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吉林省2026 年初中学业水平考试
数学试题
数学试卷共6 页，包括三道大题，共22 道小题，全卷满分120 分．考试时间为120 分钟．考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区
域内．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题
无效．
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3 分，共18 分）
1. 如图，将一双筷子想象成两条直线，就得到一个相交线的模型．若
，则
的度数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角相等即可得到答案．
【详解】解：∵
与
是对顶角，
∴
∵
，
∴
．
2. 吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000 元，将长春市建设
成为“中国光电城”．数据160000000000 用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：数据160000000000 用科学记数法表示为
．
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3. 近期，铁路部门推出老年人专属出行福利：60 周岁及以上老年旅客，购买带有“敬”字列车的车票，
可享受9 折优惠．如果一张车票原售价为
元，那么优惠后的票价为（ ）
A.
元
B.
元
C.
元
D.
元
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵原票价为
元，
∴优惠后的票价为
元．
4. 由两个正方体组成的几何体如图所示，它的俯视图为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：它的俯视图为
．
5. 如图，
是
的内接三角形，
是
的直径，点
为边
上不与点
，
重合的任意一
点，连接
．若
，则
的度数可能为（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出
，根据
，求出
，得出
，再进行判断即可．
【详解】解：∵
是
的直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∵点
为边
上不与点
，
重合的任意一点，
∴
，
∵
∴四个选项中只有A 选项符合题意．
6. 十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10 写成两个数的和，10 除以第一个数，所得的商
乘第二个数，得
，这两个数分别为多少？若设第一个数为
，则所列方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据两数和为10，用
表示出第二个数，再按照题目描述的运算顺序列出方程，对比选项即可
得到结果．
【详解】解：∵设第一个数为
，两数和为
，
∴第二个数为
，
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∴可列方程
．
二、填空题（每小题3 分，共15 分）
7. 不等式
的解集为__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：
移项，得
，
合并同类项，得
，
故解集为
．
8. 因式分解：
__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题关键．
使用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：
．
9. 已知点
，
都在反比例函数
的图象上，比较
与
的大小：
__________
．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数图象经过的象限，以及在每个象限内的函数增减性，结合两
点的横坐标比较纵坐标的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数
中，
，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内
随
的增大而减小，
∵点
，
的横坐标都为正，
∴这两点都在第一象限，
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又∵
，
∴
．
10. 如图，车轮的半径
，车轮边缘上一点
绕点
转过的角
，则劣弧
的长为
__________
（结果保留
）．
【答案】
##
【解析】
【分析】根据弧长公式
，将已知半径和圆心角度数代入计算即可．
【详解】解：由题意可知，车轮半径
，圆心角
∴劣弧
的长
．
11. 如图，在
中，
，点
为边
上一点，
，
．以点
为圆心，
长
为半径画弧，交
于点
，连接
．若
，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】由作法可知，
，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：由作法可知，
，
，
，
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，
．
三、解答题（本题共11 小题，共87 分）
12. 先化简，再求值：
，其中
．
【答案】
原式化简结果为
，值为
【解析】
【详解】解：
，
当
时，原式
．
13. 第33 届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰
壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率．
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，再得出小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数，最后根据
概率公式求解即可．
【详解】解：短道速滑、冰壶、冰球这三个项目分别用A、B、C 表示，画树状图如下：
由树状图可知，一共有9 种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果有3 种，
∴小冰和小雪被分配到同一项目组的概率为
．
14. 如图，在正方形
中，点
、
分别在边
、
上，且
，连接
、
．求
证：
．
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【答案】证明：∵四边形
是正方形，
∴
，
，
在
和
中，
∴
．
【解析】
【分析】根据正方形的性质，结合 “
”证明全等即可．
【详解】略
15. 吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7 箱“吉林一号”玉米和9 箱
“吉林二号”玉米共花费580 元；购买2 箱“吉林一号”玉米比1 箱“吉林二号”玉米多花费5 元．求每
箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价．
【答案】每箱“吉林一号”玉米售价为25 元，每箱“吉林二号”玉米售价为45 元．
【解析】
【分析】设出两种玉米的单价，根据题干给出的两个等量关系列出方程组，解方程组即可得到结果．
【详解】解：设每箱“吉林一号”玉米售价为
元，每箱“吉林二号”玉米售价为
元．
根据题意列方程组得
，
解得
，
答：每箱“吉林一号”玉米售价为25 元，每箱“吉林二号”玉米售价为45 元．
16. 图①、图②均是
的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点
，
，
，
，
均在格
点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
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（1）在图①中，找一个格点
，画一个以点
，
，
为顶点的等腰三角形．
（2）在图②中，找一个格点
，画一个以点
，
，
，
为顶点的平行四边形．
【答案】（1）
（答案不唯一）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的定义解答即可；
（2）根据平行四边形的定义作图即可
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
略
17. 某小区为了解居民生活用水情况，通过简单随机抽样，调查获得若干个家庭的月均用水量
（单位：
）．把收集到的数据分成
，
，
，
，
，
，
，
八组，并绘制了如下频数分布直方图．
请根据图中信息，解答下列问题：
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（1）此次一共调查了多少个家庭？
（2）请直接写出这些家庭月均用水量的中位数位于哪一组．
（3）若该小区有550 个家庭，根据以上调查结果，估计该小区有多少个家庭的月均用水量小于
．
【答案】（1）此次一共调查了55 个家庭；
（2）
组
（3）估计该小区有210 个家庭的月均用水量小于
．
【解析】
【分析】（1）根据频数分布直方图将八组家庭数量相加求解即可；
（2）根据中位数的定义求解即可；
（3）用小区总家庭数乘以样本中月均用水量小于
的家庭占比求解即可．
【小问1 详解】
解：
（个），
答：此次一共调查了55 个家庭；
【小问2 详解】
解：55 个家庭中，中位数为第28 名家庭月均用水量，
A、B、C 三组的家庭数为
（个），A、B、C、D 四组的家庭数为
（个），
这些家庭月均用水量的中位数位于
组；
【小问3 详解】
解：
（个），
答：估计该小区有210 个家庭的月均用水量小于
．
18. 如图，为了测量某条河的宽度，小明站在
点，到河岸的距离
为
，刚好正对河对岸的一棵大
树
，此时点
，
，
在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了
，到达
点，此时测
得
．求这条河的宽度
（结果保留整数）．（参考数据：
，
，
）
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【答案】
【解析】
【分析】先根据三角函数求出
的长度，减去
的长度，即可求出
的长度．
【详解】解：由题意知，
，
在
中，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
答：这条河的宽度
为
．
19. 如图，在矩形
中，
，
．动点
从点
出发，沿折线
以
的速度向终点
运动．在运动过程中，连接
．设点
的运动时间为
，
扫过的
图形面积为
．
（1）求
关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（2）当
扫过的图形面积
由矩形
面积的
扩大到矩形
面积的
时，点
运动
了多长时间？
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）分
和
两种情况建立函数关系式即可；
（2）分别求出矩形
面积的
和矩形
面积的
，然后分别代入
和
求出对应
的时间，再求解时间差即可．
【小问1 详解】
解：∵四边形
是矩形，
∴
，
，
当
时，
；
当
时，
扫过的图形为四边形
，此时
∴
∴
；
【小问2 详解】
解：由题意得，
，
当
时，则
，解得
；
当
时，则
，解得
∴点
运动了
．
20. 一位记者乘坐汽车赴
外的历史博物馆采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公
路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程
（单位：
）与时间
（单位：
）之间的关系如图所示．
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（1）求汽车在高速公路上行驶的速度．
（2）求
所在直线对应的函数解析式．
（3）记者出发后多长时间到达采访地？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据路程除以时间即可求解；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把
代入
即可求解．
【小问1 详解】
解：
，
答：汽车在高速公路上行驶的速度为
；
【小问2 详解】
解：设
所在直线对应的函数解析式为
，
代入
和
则
解得
∴
所在直线对应的函数解析式为
；
【小问3 详解】
解：由
解析式，得到汽车在普通公路上行驶的速度为
；
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则汽车在普通公路上行驶时间为
，
总用时为
答：记者出发后
到达采访地．
21. 如图①，在矩形
中，点
为边
上一点，连接
．将
沿
折叠得到
．点
为
上一点，连接
，
．
（1）如图②，当直线
经过点
时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使
是等边
三角形，不需要说明理由．
（2）如图③，当
于点
时，判断四边形
的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，延长
交矩形
的边于点
．若
，
，当
时，直
接写出
的长．
【答案】（1）添加条件：
；
（2）解：四边形
是菱形，理由如下：
∵四边形
是矩形，
∴
，
由折叠可得
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
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∴
．
∵
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∵
，
∴
是菱形．
（3）
或
【解析】
【分析】（1）由折叠可得
，
，当
时，可得到
，即可得
出
是等边三角形；
（2）连接
．由矩形的性质得到
，由折叠得到
，
，
，根据等角的余角相等得到
，从而有
，再证明
，可得四边形
是平行四边形，结合
得出
是菱形；
（3）设
，根据勾股定理构造方程，求得
，设
，在
中根据勾
股定理构造方程，求得
，由
即可解答．
【小问1 详解】
解：由折叠可得
，
，
当
时，
，
∴
，
∴
是等边三角形．
【小问2 详解】
略
【小问3 详解】
解：①如图，
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设
，则
，
∵由翻折有
，
∴
，
∵在
中，
，
∴
，解得
，
∴
，
∴
．
设
，则
，
∵
，
∴
，
∴在
中，
，
即
，
解得
，
∴
，
∴
．
②如图，
设
，则
，
∵由翻折有
，
∴
，
∵在
中，
，
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∴
，解得
，
∴
，
∴
．
设
，则
，
∵
，
∴
，
∴在
中，
；在
中，
，
，
即
，
，
解得
，
∴
，
∴
．
22. 如图①，在平面直角坐标系中，
为坐标原点，函数
的图象记为
，顶
点为点
．将
向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到图象
，点
的对应点为点
，
图象
与
合起来得到的图象记为
．
（1）填表：
图象
对应的函数解析式
点的坐标
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（__________，
__________）
__________
（__________，
__________）
（2）观察图象
，解答下列问题：
①直接写出当
在什么范围内取值时，
随
的增大而减小；
②当
时，
，求
的取值范围．
（3）如图②，点
为
上一点，横坐标为
；点
为
上一点，横坐标为
；点
为
上一点，
横坐标为3．过点
作
轴的平行线
，点
关于直线
的对称点为点
，过点
作
轴的平行线
．图
象
上
，
两点之间的部分（含
，
两点）的最高点和最低点到直线
的距离分别为
，
．
①请你判断点
，
是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；
②当
时，直接写出
的值．
【答案】（1）
，
，
（2）①
或
；②
（3）①是；②
或
或
【解析】
【分析】（1）根据顶点式写出点
的坐标，根据抛物线的平移规律写出
的解析式，进而根据顶点式写出
顶点
的坐标，即可求解；
（2）①根据函数图象，即可求解．
②令
：
，求得
的值，结合函数图象即可求解；
（3）①根据横坐标，代入函数解析式，分别求得点
的坐标，根据点的平移，得出
平移后的坐标，即
可求解；
②根据
的图象，分三段讨论，当
时，当
时，当
时，分别画出图形，
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根据函数图象，找到最高点和最低点，进而求得
，结合
，列出方程，解方程，即可求解．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
①略
②令
：
，
解得：
（舍去），
如图，
又∵
根据函数图象可得：当
时，
【小问3 详解】
①∵
，
：
，
点
为
上一点，横坐标为
，则
，
点
向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到
，
点
为
上一点，横坐标为
，
，即
∴点
，
是平移前后的一组对应点；
②解：∵点
为
上一点，横坐标为3．
∴
时，
，则
，
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∵点
关于直线
的对称点为点
，
∴
，
即
∴
，
情形一：当
时，点
在
轴及其上方部分，
最高点为
，
（i）如图，当
时，最低点为
∴
当
时，
，
此方程无解，不存在此情形；
（ii）如图，当
时，最低点为
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∴
当
时，
解得：
（舍去）或
情形二：当
时，此时如图，
最高点为点
，则
最低点为
，则
当
时，
，
解得：
或
（舍去）；
情形三：当
时，
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最高点为点
，则
最低点为
，则
当
时，
，
解得：
（舍去）或
，
综上所述，当
时，
或
或
．
