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机密★启用前
江西省2026 年初中学业水平考试
数学试题卷
说明：1．本试题卷满分120 分，考试时间为120 分钟．
2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效．
一、单项选择题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应
位置．错选、多选或未选均不得分．
1. 下列图书馆标志不是
．．轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B 选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，所以不是轴对称图形，
A，C，D 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形．
2. 2025 年是“十四五”规划收官之年，是中国式现代化进程中具有重要意义的一年．我国经济顶压前行、
向新向优发展，民生保障更加有力，社会大局保持稳定，第二个百年奋斗目标新征程实现良好开局．经初步
核算，2025 年国民总收入为1393700亿元．1393700亿用科学记数法表示为（ ）
A.
15
0.13937 10
B.
6
1.3937 10
C.
14
1.3937 10
D.
16
1.3937 10
【答案】C
【解析】
【详解】解：1393700亿139370000000000
=
14
1.3937 10
=
．
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3. 如图，已知a
b
，1
40
=
，则
2
的度数为（ ）
A. 40
B. 100
C. 120
D. 140
【答案】D
【解析】
【分析】根据邻补角求得
3
，进而根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
∵1
40
=
，
∴
3 180
1 180
40
140
−
−
=
=
=
∵a
b
∴
2
3 140
= =
4. 下列运算正确的是（ ）
A.
2
3
m
m
m
+
=
B.
2
2
3
3
m
m
−
=
C.
3
2
6
m
m
m
=
D.
2
2
m
m
m
=
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法则逐一判断选项，得到正确结果．
【详解】解：选项A：
(
)
2
1
2
3
m
m
m
m
+
=
+
=
，∴ A 运算正确；
选项B：
(
)
2
2
2
2
3
3 1
2
3
m
m
m
m
−
=
−
=
，∴ B 运算错误；
选项C：∵
3
2
3 2
5
6
m
m
m
m
m
+
=
=
，∴ C 运算错误；
选项D：∵
2
2
2 2
1
m
m
m
m
−
=
=
，∴ D 运算错误．
5. 如图是2020
2024
―
年全国城市声环境功能区昼间、夜间达标率统计图，则下列说法正确的是（ ）
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A. 2024 年夜间达标率较2020 年提高了1.2%
B. 夜间达标率逐年上升
C. 2022 年昼间达标率最高
D. 昼间达标率逐年上升
【答案】B
【解析】
【详解】解：A. 2024 年夜间达标率较2020 年提高了88.2% 80.1%
8.1%
−
=
，故该选项不正确，不符合
题意；
B. 夜间达标率逐年上升，故该选项正确，符合题意；
C. 2023 年昼间达标率最高，故该选项不正确，不符合题意；
D. 昼间达标率先升后降，不是逐年上升，故该选项不正确，不符合题意；
6. 如图，观察函数
2
3
3
y
x
x−
=
+
的图象，可以发现方程
2
3
3
0
x
x−
+
=
在0，1 之间有根．取0，1 的平均
数0.5，当
0.5
x =
时，
0
y
，进一步可知这个根在0.5 和1 之间，则与方程
2
3
3
0
x
x−
+
=
另一根更接近
的是（ ）
A.
4.5
−
B.
4
−
C.
3.5
−
D.
3
−
【答案】B
【解析】
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【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为3
−，结合已知根在0.5 与1 之间，可推知另一根在
4
−与3.5
−
之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近4
−．
【详解】解：设方程
2
3
3
0
x
x−
+
=
的两个根为
1x ，
2x ，
1
a =
，
3
b =
，
3
c
−
=
，
由一元二次方程根与系数关系可知
1
2
3
b
x
x
a
−
−
+
=
=
，
∵ 已知
1x 在0.5 与1 之间，
2
1
3
x
x
−
=
−
，
当x 在0.5 和1 之间时，
∴ 另一根
2x 在4
−与3.5
−
之间，
取
3.75
x
−
=
，
2
( 3.75)
3 ( 3.75)
3
14.0625 11.25 3
0.1875
0
y
−
= −
+ −
−=
−
−=
，
当
4
x
−
=
时，
2
( 4)
3 ( 4)
3
16 12
3
1
0
y = −
+ −
−=
−
−=
，
2x
在4
−与3.75
−
之间，
2x
到4
−的距离
2
( 4)
3.75
( 4)
0.25
x
−
=
−−
−−
=
，
2x 到3.5
−
的距离
2
( 3.5)
( 3.5)
( 3.75)
0.25
x
= −
−
−
−−
=
，
2x
到4
−的距离小于
2x 到3.5
−
的距离，
∴ 与另一根更接近的是4
−．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
7. 有理数−
1
2的倒数为_____________．
【答案】−2
【解析】
【详解】解：有理数
1
2
−
的倒数为−2 ．
8. 在平面直角坐标系中，将点(
)
2,1 向左平移3 个单位长度后得到的对应点的坐标为_______________．
【答案】(
)
1,1
−
【解析】
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【分析】根据平移规律“左减右加，上加下减”即可得到结果；
【详解】解：将点(
)
2,1 向左平移3 个单位长度后得到的对应点的坐标为(
)
1,1
−
．
9. 我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B 两种型号智能机器来加工某种零件．已知A 每小时比B 多加
工50 个零件，A 加工1640 个零件所用时间与B 加工1230 个零件所用时间相等，求A，B 每小时各加工多
少个零件．设B 每小时加工𝑥 个零件，可列分式方程为__________________．
【答案】1640
1230
50
x
x
=
+
【解析】
【分析】设B 每小时加工𝑥 个零件，则A 每小时加工(
)
50
x +
个零件，根据“A 加工1640 个零件所用时间
与B 加工1230 个零件所用时间相等”列出分式方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设B 每小时加工𝑥 个零件，则A 每小时加工(
)
50
x +
个零件，依题意得，1640
1230
50
x
x
=
+
．
10. 生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1 是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大
时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知𝐴𝐶 与𝐵𝐷 相交于点𝑂 ，CE 为半圆的
直径，
9
OC =
，
6
CE =
，则此时张角
AOB
的大小为______________．
【答案】150
【解析】
【分析】设右半圆的圆心为𝑀 ，𝐵𝐷 与
M
相切于点𝑁 ，连接𝑀𝑁 ，分别求得
,
MN OM ，根据
1
sin
2
MON
=
，得出
30
MON
=
，进而根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：如图，设右半圆的圆心为𝑀 ，𝐵𝐷 与
M
相切于点𝑁 ，连接𝑀𝑁 ，
∴
90
MNO
=
，
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∵
9
OC =
，
6
CE =
，
∴
1
3
2
MN
MC
EC
=
=
=
，
9 3
6
OM
OC
MC
−
=
= −=
，
∴
3
1
sin
6
2
MN
MON
OM
=
=
=
，
∴
30
MON
=
，
∴
180
180
30
150
AOB
MON
−
−
=
=
=
．
11. 如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，
3
AB =
，
4
BC =
，E 是边𝐴𝐷 上的动点，连接BE ，过点𝐶 作CF
BE
⊥
于点𝐹 ．当BFC
面积最大时，𝐷𝐸 的长为_______________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意得出𝐹 在以𝐵𝐶 为直径的
O
上运动，进而可得当OF
BC
⊥
时，𝐹 到𝐵𝐶 的距离最
大，此时BFC
面积最大，得出
45
FBC
=
，结合题意得出ABE
是等腰直角三角形，求得
3
AE
AB
=
=
，根据线段的和差关系，即可求解．
【详解】解：如图，设𝐵𝐶 的中点为𝑂 ，
∵CF
BE
⊥
∴
90
BFC
=
∴𝐹 在以𝐵𝐶 为直径的
O
上运动
∴当OF
BC
⊥
时，𝐹 到𝐵𝐶 的距离最大，此时BFC
面积最大，
∴BF
FC
=
∴
45
FBC
=
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是矩形，
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∴
90
A
ABC
=
=
，
4
AD
BC
=
=
∴
90
90
45
45
ABE
FBC
−
=
=
−
=
，
∴ABE
是等腰直角三角形，
∴
3
AE
AB
=
=
∴
4 3 1
DE
AD
AE
−
=
=
−=
12. 如图，点𝑃 在直线
(
)
0
y
x
b b
−
=
+
上，过𝑃 作𝑥 轴、𝑦 轴的垂线，垂足分别为A ，𝐵 ，矩形OAPB
的面积为1（𝑂 为坐标原点）．若满足条件的点𝑃 有且仅有三个，则点𝑃 的横坐标为______________．
【答案】1 或1
2
−
或1
2
+
【解析】
【分析】设(
)
,
P x
x
b
−
+
，依题意，(
)
1
x
x
b
−+
= ，得出
2
1
x
bx
−
=
或
2
1
x
bx
−
−
=
，根据满足条件的点
𝑃 有且仅有三个，确定𝑏 的值，进而解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设(
)
,
P x
x
b
−
+
，依题意，
(
)
1
x
x
b
−+
=
∴
2
1
x
bx
−
=
或
2
1
x
bx
−
−
=
∵
2
1
x
bx
−
=
中，
2
Δ
4
0
b
=
+
，方程有两个不等实数解，
依题意，满足条件的点𝑃 有且仅有三个
∴方程
2
1
x
bx
−
−
=
有且只有一个解，
∴
2
Δ
4
0
b
=
−
=
∵
0
b
∴
2
b =
所以方程
2
2
1
x
x
−
=
，
∴
2
2
1
2
x
x
−
+ =
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∴(
)
2
1
2
x−
=
∴
1
2
x−=
解得：
1
2
1
2,
1
2
x
x
= −
= +
解方程
2
2
1
x
x
−
−
=
∴(
)
2
1
0
x−
=
解得：𝑥= 1
综上所述，点𝑃 的横坐标为1 或1
2
−
或1
2
+
三、解答题（本大题共5 小题，每小题6 分，共30 分）
13. 按要求解答：
（1）计算：
(
)
2
1
1
2
1
2
−+ −
−−
；
（2）解不等式：3
1
2
x
x
−
．
【答案】（1）1 （2）
1
x
【解析】
【小问1 详解】
解：原式
1
1
1
2
2
=
+ −
1
= ．
【小问2 详解】
解：去分母得：3
1
2
x
x
−
，
移项得：3
2
1
x
x
−
，
合并同类项：
1
x ．
14. 如图，𝐷 ，E 分别在△𝐴𝐵𝐶 的边𝐵𝐴 ，CA 的延长线上，
//
DE BC ，
3
AD =
，
5
AB =
，
5
DE =
，求
BC 的长．
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【答案】
25
3
BC =
【解析】
【分析】根据
//
DE BC ，证明ABC
ADE
∽
，进而得出AB
BC
AD
DE
=
，代入数据，即可求解．
【详解】解：
DE
BC
，
B
D
=
，
C
E
=
，
ABC
ADE
∽
，
AB
BC
AD
DE
=
．
3
AD =
，
5
AB =
，
5
DE =
，
5
3
5
BC
=
，
25
3
BC
=
．
15. 先化简：
2
1
1
1
1
x
x
x
−
+
−
，再从0，1，2 中选择一个合适的数作为𝑥 代入求值．
【答案】
1
x + ；当
2
x =
时，原式
3
=
【解析】
【详解】解：原式
(
)(
)
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
+
=
+
(
)(
)
1
1
1
x
x
x
x
x
−
−
+
=
1
x
=
+ ．
0
x
且
1
x ，
∴ 将
2
x =
代入上式，得原式
2 1
3
=
+ =
．
16. 如图，在8 4
的正方形网格中，△𝐴𝐵𝐶 的顶点𝐵 ，𝐶 均在格点上，
90
A
=
，
30
C
=
，𝑀𝑁
为△𝐴𝐵𝐶 的中位线．
（1）请仅用无刻度直尺
．．．．．．．作
ABC
的平分线，交𝑀𝑁 于点𝑃 ；（保留作图痕迹）
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（2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中BP 的长为______________．
【答案】（1）如图，BQ 即为所求；
（2）2 3
【解析】
【分析】（1）由题意分别求出
,
,
AM BM MN 的长度，取格点P，由题意可知，BM
MP
=
，则有
MBP
MPB
=
，再利用
//
MN BC 得到
PBC
MPB
=
则可证
PBC
MPB
=
，则可知BQ 即
为所求角平分线；
（2）取格点H，则有PH
BC
⊥
，
3
BH =
，由（1）可知
1
30
2
PBH
ABC
=
=
，利用锐角三角
形函数求BP 的长即可．
【小问1 详解】
解：取𝑀𝑁 与网格交点P，连接BP 并延长交𝐴𝐶 于点Q，BQ 即为所求；
由网格可知，
8
BC =
，
∵
90
A
=
，
30
C
=
，
∴
1
4
2
AB
BC
=
=
，
∵𝑀𝑁 为△𝐴𝐵𝐶 的中位线，
∴
1
2,
4
2
BM
MN
BC
=
=
=
，
//
MN BC ，
∴BM
MP
=
，
∴
MBP
MPB
=
，
∵
//
MN BC ，
∴
PBC
MPB
=
，
∴
PBC
MBP
=
，
则BQ 即为所求；
【小问2 详解】
解：取格点H，由网格可知，
PH
BC
⊥
，
3
BH =
，
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∵
90
A
=
，
30
C
=
，
∴
60
ABC
=
∴
1
30
2
PBH
ABC
=
=
∴
3
2 3
cos30
3
2
BH
BP =
=
=
．
17. 如图，AD为
O
的直径，
4
AD =
，𝐵 ，𝐶 是
O
上的点，四边形OABC 为菱形．
（1）求AC 的长；
（2）延长AD到点𝑃 ，使得
2
DP =
，求证：𝑃𝐶 是
O
的切线．
【答案】（1）4π
3
（2）证明：如图2，连接𝐶𝐷 ．
由（1）可得
//
AB OC ，
60
A
=
，
∴
60
A
COD
=
=
，
OC
OD
=
，
COD
是等边三角形，
2
CD
OD
=
=
，
60
OCD
ODC
=
=
．
2
DP =
，
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DP
CD
=
，
1
30
2
DCP
P
ODC
=
=
=
．
90
OCP
OCD
DCP
=
+
=
，
又∵OC 是
O
的半径，
PC
是
O
的切线．
【解析】
【分析】（1）连接𝑂𝐵 ．首先，证得AOB
是等边三角形，得
60
A
=
，
120
AOC
=
，然后，求得
1
2
2
OA
AD
=
=
，最后，再代入弧长公式计算即可；
（2）连接𝐶𝐷 ．先证得COD
是等边三角形，得
2
CD
OD
=
=
，
60
OCD
ODC
=
=
，再由𝐷𝑃=
2 ，得DP
CD
=
，进而得
30
DCP
=
，
90
OCP
=
，即可证得结论．
【小问1 详解】
解：如图1，连接𝑂𝐵 ．
∵四边形OABC 为菱形，
OA
AB
=
，
//
AB OC ．
又
OA
OB
=
，
AOB
是等边三角形．
60
A
=
，
180
120
AOC
A
=
−=
．
∵
4
AD =
，
1
2
2
OA
AD
=
=
，
AC
的长为120 π 2
4π
180
3
=
；
【小问2 详解】
略
四、解答题（本大题共3 小题，每小题8 分，共24 分）
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18. 如图，我国古代典籍《周易》用“卦”描述事物的变化规律，共包括“乾、坤、震、巽（xùn ）、坎、
离、艮（gèn ）、兑”八个卦象．每个卦象由三个爻（yáo ）组成，其中“
”表示阳爻，“
”
表示阴爻．
（1）若从八个卦象中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是_________________；
（2）现从“乾、坤、震、巽”中随机抽取两个卦象，请用画树状图法或列表法，求抽到的卦象中每个卦
象至少有一个阳爻的概率．
【答案】（1）3
8
（2）
1
2
【解析】
【分析】（1）观察图形，可得只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，进而根据概率公式，即可求解；
（2）记“乾、坤、震、巽”分别为𝑎 ，𝑏 ，𝑐 ，𝑑 ，根据列表法或画树状图法求解即可．
【小问1 详解】
解： 共有八个卦象，只有两个阳爻的是离、兑、巽，共三个，
∴从中随机抽取一个卦象，则抽到的卦象只有两个阳爻的概率是3
8
【小问2 详解】
解：记“乾、坤、震、巽”分别为𝑎 ，𝑏 ，𝑐 ，𝑑 ．
列表法：
第一卦象
第二卦象
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑎
(
)
,b a
(
)
,c a
(
)
,
d a
𝑏
(
)
,a b
(
)
,c b
(
)
,
d b
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𝑐
(
)
,a c
(
)
,b c
(
)
,
d c
𝑑
(
)
,a d
(
)
,b d
(
)
,c d
树状图：
由表或树状图可得，总共有12 种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．
其中满足条件的结果有：(
)
,a c ，(
)
,a d ，(
)
,c a ，(
)
,c d ，(
)
,
d a ，(
)
,
d c 共6 种．
所以所求概率为
6
1
12
2
P =
=
．
19. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，
(
)
2,
A
m
−
，
(
)
2,0
B
，
(
)
0, 1
C
−
，点𝐷 在𝑥 轴上，反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）𝑃 为边𝐵𝐶 上的一点，直线AP 交双曲线另一支于点𝑄 ，当ABP
的面积等于
ABCD
的面积的1
4
时，求点𝑄 的坐标．
【答案】（1）
2
y
x
−
=
（2）
(
)
2, 1
Q
−
【解析】
【分析】（1）如图，过点A作AM
x
⊥
轴于点𝑀 ．证明
(
)
ADM
CBO AAS
≌
，根据全等三角形的性质
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可得
1
AM
CO
=
= ，进而求得A的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）根据已知可得𝑃 为𝐵𝐶 的中点，则坐标为
1
1,
2
−
．待定系数法求得直线AP 的表达式为
1
2
y
x
−
=
，
可得直线AP 经过坐标原点，进而根据正比例函函数与反比例函数图象的性质即可得出点𝑄 的坐标．
【小问1 详解】
解：如图，过点A作AM
x
⊥
轴于点𝑀 ．
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 为平行四边形，
//
AD BC
，AD
BC
=
，
ADM
CBO
=
，
又∵
90
AMD
COB
=
=
，
(
)
ADM
CBO AAS
≌
．
1
AM
CO
=
= ，
(
)
2,1
A
−
．
(
)
2
1
2
k
−
= −
=
，
∴反比例函数的表达式为
2
y
x
−
=
．
【小问2 详解】
ABP
的面积等于
ABCD
的面积的1
4
，
P
为𝐵𝐶 的中点，
P
的坐标为
1
1,
2
−
．
设直线AP 的表达式为y
ax
b
=
+
，
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则
2
1
1
2
a
b
a
b
−
+
=
+
= −
，
，
解得
1
2
0
a
b
= −
=
，
．
∴直线AP 的表达式为
1
2
y
x
−
=
，即直线AP 经过坐标原点，
又∵
(
)
2,1
A −
，
∴由中心对称可得
(
)
2, 1
Q
−
．
20. “以球之名，为城而战”，2025 年江西省城市足球超级联赛于7 月12 日在南昌八一体育场拉开帷幕．赛
事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展．在常规赛阶段，分
南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制（每两队之间进行两场比赛），北区共20 场比赛，南区共30
场比赛．赛制规定：每队胜一场得𝑥 分，平一场得𝑦 分，负一场得0 分．以下是常规赛结束时积分及进/失
球个数部分数据．
积分表
北区
胜/平/负
积分
南区
胜/平/负
积分
九江队
4/3/1
15
宜春队
*/*/*
*
上饶队
*/*/*
*
赣州队
6/2/2
20
南昌队
3/*/2
𝑚
抚州队
*/*/*
*
景德镇队
*/*/*
*
新余队
*/*/*
*
鹰潭队
*/*/*
*
萍乡队
*/*/*
*
吉安队
*/*/*
*
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根据以上信息解答下列问题：
（1）x =_____________，y = ______________，m = ______________；
（2）分别求两个赛区平均每场比赛进球个数；
（3）现收集了7 名球员每个人的进球个数（最多的进7 个球），甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到
如下结果：
甲：平均数为3，极差为4；乙：众数为2，平均数为4．
试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由．
【答案】（1）3；1；12
（2）
2.5
x
=
南
；
2.15
x
=
北
（3）甲的数据分析不可信，理由如下：
∵至少有1 个7 ，极差为4 ，
∴最小数为3 ，则平均数大于3 ，与平均数为3 相矛盾．
乙的数据分析有一定的可信度，如①2 ，2 ，2 ，3 ，5，7 ，7 ；②2 ，2 ，2 ，3 ，6 ，6 ，7 ；③2 ，
2 ，2 ，4 ，5，6 ，7 ；④2 ，2 ，2 ，2 ，6 ，7 ，7 ；⑤2 ，2 ，2 ，4 ，4 ，7 ，7 ．（只要列举
其中一组数据说明即可）
【解析】
【分析】（1）根据九江队和赣州队的比赛胜负情况和积分情况列出二元一次方程组，求得,x y 的值，进而根
据北区每队比赛的场次为8 场，以及积分规则求得𝑚 的值，即可求解；
（2）根据各赛区总进球数与失球数相等，得出总进球数，进而根据平均数的定义，即可求解；
（3）根据平均数，极差，众数的定义分析，即可求解．
【小问1 详解】
解：依题意得4
3
15,
6
2
20
x
y
x
y
+
=
+
=
，
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解得
3,
1.
x
y
=
=
∵常规赛中，北区每队比赛的场次为8 场，
∴南昌队3 胜3 平2 负，
3 3 3 1 2 0
12
m
= + + =
．
故
3
x =
，𝑦= 1 ，
12
m =
．
【小问2 详解】
∵各赛区总进球数与失球数相等，
∴北区总进球数为7
4
7 10 15
43
+ + +
+
=
，
∴北区平均每场比赛进球个数为
43
2.15
20
x
=
=
北
．
∵南区总进球数为16 17 8 8 15 11
75
+
+ + +
+
=
，
∴南区平均每场比赛进球个数为
75
2.5
30
x
=
=
南
．
【小问3 详解】
略
五、解答题（本大题共2 小题，每小题9 分，共18 分）
21. 如图，在△𝐴𝐵𝐶 中，AB
AC
=
，
30
BAC
=
，点P 在BC 的延长线上，将AP 绕点A 按逆时针方
向旋转30得到AQ ，连接CQ ，PQ ．
（1）求证：BP
CQ
=
；
（2）若
15
CAP
=
，
2 2
PQ =
，求BP 的长．
【答案】（1）证明：
AP
绕点A按逆时针方向旋转30得到AQ ，
30
PAQ
=
，AP
AQ
=
．
30
BAC
=
，
BAP
CAQ
=
．
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AB
AC
=
，
(
)
ABP
ACQ SAS
≌
，
BP
CQ
=
．
（2）
4
BP =
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得
30
PAQ
=
，AP
AQ
=
，结合已知可得
BAP
CAQ
=
，进而根据
SAS ，证明ABP
ACQ
≌
，根据全等三角形的性质，即可得证；
（2）过点𝑄 作QH
BC
⊥
，交BC 的延长线于点𝐻 ，根据全等三角形的性质得出
75
ACQ
B
=
=
，
进而得出
30
QCH
=
，
45
QPH
=
，解直角三角形求得
2
QH =
，进而求得BP 的长．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
解：过点𝑄 作QH
BC
⊥
，交BC 的延长线于点𝐻 ．
AB
AC
=
，AP
AQ
=
，
30
BAC
PAQ
=
=
，
75
B
ACB
=
=
，
75
APQ
AQP
=
=
．
ABP
ACQ
≌
，
75
ACQ
B
=
=
．
15
CAP
=
，
60
APB
=
，
30
QCH
=
，
45
QPH
=
．
2 2
PQ =
，
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2 2sin45
2
QH
=
=
．
2
4
BP
CQ
QH
=
=
=
．
22. 为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法
与过程如表：
具体问
题
利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度
主要工
具
无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺
截面示
意图
操作步
骤
1．在水平地面上选定一个激光发射点A，使A位于土坑上底面直径𝐷𝐸 所在的直线上；
2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；
3．调整反射镜与水平线的夹角𝜃 ，使得从A处发出的激光经反射镜𝐶 处反射后恰好到达坑底
最右端𝐹 处；
4．在线段AD 上确定一点𝐵 ，使得从𝐵 处发出的激光经反射镜𝐶 处反射后恰好到达坑底最
左端𝐺 处．
（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内）
测量数
据
18
AB
m
=
，
12
DE
m
=
，
30
CAB
=
，
60
CBD
=
，
22.5
=
．
参考数
据
sin75
0.966
，cos75
0.259
，tan75
3.732
，3
1.732
．
根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到0.01m ）
第21页/共26页
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（1）任务一：计算点𝐶 离水平地面的高度；
（2）任务二：计算
GCF
=_____________，
BCG
= ______________；
（3）任务三：计算土坑的深度．
【答案】（1）点𝐶 离水平地面的高度约为15.59m
（2）30；15
（3）土坑的深度约为6.80m
【解析】
【分析】（1）连接𝐷𝐸 ，过点𝐶 作CK
GF
⊥
交GF 于𝐾 ，交𝐷𝐸 于𝐻 ，则CH
DE
⊥
，根据三角形的外
角的性质得出
30
ACB
=
，根据等角对等边可得
18
BC
AB
=
=
，解Rt CBH
，即可求得𝐶𝐻 的长；
（2）根据光的反射原理得出
NCF
MCA
=
，得出
(
)
180
2
30
75
ACF
−
=
+
=
，
(
)
180
2
60
15
BCG
−
=
+
=
，进而根据
GCF
ACF
ACB
BCG
−
−
=
，即可求解；
（3）证明
(
)
CGK
CFK ASA
≌
，得出
6
GK
FK
=
=
，解Rt CGK
，求得CK ，进而求得HK 的长，
即可求解．
【小问1 详解】
解：如图，连接𝐷𝐸 ，过点𝐶 作CK
GF
⊥
交GF 于𝐾 ，交𝐷𝐸 于𝐻 ，则CH
DE
⊥
．
30
CAB
=
，
60
CBD
=
，
30
ACB
=
18
BC
AB
m
=
=
．
在Rt CBH
中，
3
sin60
18
9 3
15.588
15.59
2
CH
BC
m
=
=
=
即点𝐶 离水平地面的高度约为15.59m．
【小问2 详解】
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解：如图，
∵AB
PC
，
30
CAB
=
∴
30
PCA
CAB
=
=
又∵
22.5
=
，
∴
30
22.5
30
52.5
NCF
MCA
MCP
PCA
=
=
+
=
+
=
+
=
∴
(
)
180
2
30
120
2
120
2 22.5
75
ACF
−
−
=
+
=
=
−
=
同理可得
(
)
180
2
60
60
2
60
2 22.5
15
BCG
−
−
−
=
+
=
=
=
，
∴
GCF
ACF
ACB
BCG
−
−
=
75
30
15
−
−
=
30
=
．
【小问3 详解】
解：由题意得四边形DEFG 是矩形，
则DE
GF
=
，
在Rt CBH
中，
60
CBH
=
，
30
BCH
=
．
30
15
15
GCK
BCH
BCG
=
−
=
−
=
，
75
CGK
=
，
15
FCK
GCK
=
=
，
CK
CK
=
(
)
CGK
CFK ASA
≌
，
1
1
6
2
2
GK
FK
GF
DE
m
=
=
=
=
．
在Rt CGK
中，
tan75
6 3.732
22.392
CK
GK
=
=
，
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22.392 15.588
6.804
6.80
HK
CK
CH
=
−
=
−
=
，
即土坑的深度约为6.80m ．
六、解答题（本大题共12 分）
23. 如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴随对称抛物线”．
（1）试判断
2
4
4
y
x
x
=
−
+
与
2
2
y
x
x
−
=
+
是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由；
（2）如图1，若
1
C ：
(
)
2
1
1
1
y
a
x
h
k
−
=
+
与
2
C ：
(
)
2
2
2
2
y
a
x
h
k
−
=
+
互为“伴随对称抛物线”，顶点分
别为
1A ，
2
A ，记
1
C ，
2
C 组成的图形为𝐶 ．
①试猜想
1a 与𝑎2的数量关系，并证明；
②进一步探究可知𝐶 为中心对称图形，请确定𝐶 的对称中心的位置；（直接写出结果）
③如图2，若
1
C ：
2
y
x
=
，
2
0
h
，
1
B ，
2
B 分别为
1
C ，
2
C 上的点，且四边形
1
1
2
2
A B A B 为正方形，求
(
)(
)(
)
2
2
2
2
1
1
h
h
h
−
−
+
的值．
【答案】（1）解：
2
4
4
y
x
x
=
−
+
与
2
2
y
x
x
−
=
+
互为“伴随对称抛物线”，
理由如下：
(
)
2
2
4
4
2
y
x
x
x−
=
−
+
=
的顶点为(
)
2,0 ，
将
2
x =
代入
2
2
y
x
x
−
=
+
中，得
2
2
2 2
0
y
−
=
+
=
，
即
2
2
y
x
x
−
=
+
经过(
)
2,0 ．
(
)
2
2
2
1
1
y
x
x
x
−
−
−
=
+
=
+ 的顶点为(
)
1,1 ，
将𝑥= 1 代入
2
4
4
y
x
x
=
−
+
中，得
21
4 1 4
1
y =
−+
=
，
即
2
4
4
y
x
x
=
−
+
经过(
)
1,1 ．
第24页/共26页
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故
2
4
4
y
x
x
=
−
+
与
2
2
y
x
x
−
=
+
互为“伴随对称抛物线”．
（2）①
1
2
0
a
a
+
=
，证明如下：
∵
1
C ：
(
)
2
1
1
1
y
a
x
h
k
−
=
+
与
2
C ：
(
)
2
2
2
2
y
a
x
h
k
−
=
+
∴
(
)
1
1
1
,
A h k
，
(
)
2
2
2
,
A
h k
，
∵若
1
C ：
(
)
2
1
1
1
y
a
x
h
k
−
=
+
与
2
C ：
(
)
2
2
2
2
y
a
x
h
k
−
=
+
互为“伴随对称抛物线”，
(
)
2
1
2
1
2
2
k
a
h
h
k
=
−
+
，
(
)
2
2
1
2
1
1
k
a h
h
k
=
−
+
，
两式相加得(
)(
)
2
1
2
1
2
0
a
a
h
h
+
−
=
．
1
2
h
h
，
1
2
0
a
a
+
=
．
②𝐶 的对称中心为线段
1
2
A A 的中点；
③(
)(
)(
)
2
2
2
2
1
1
4
h
h
h
−
−
+
=
【解析】
【分析】（1）分别求出
2
4
4
y
x
x
=
−
+
与
2
2
y
x
x
−
=
+
的顶点坐标，再根据“伴随对称抛物线”的定义解答
即可；
（2）①先求出
(
)
1
1
1
,
A h k
，
(
)
2
2
2
,
A
h k
，再根据“伴随对称抛物线”的定义得出
(
)
2
1
2
1
2
2
k
a
h
h
k
=
−
+
，
(
)
2
2
1
2
1
1
k
a h
h
k
=
−
+
，两式相加即可解答；
②根据𝐶 为中心对称图形，可得𝐶 的对称中心为线段
1
2
A A 的中点，即可解答；
③根据题意得出
2
1
1
a
a
−
−
=
=
，则
2
C ：
(
)
2
2
2
y
x
h
k
−
−
=
+
．设
1
2
A A 与
1
2
B B 相交于点𝑃 ，根据四边形
1
1
2
2
A B A B 为正方形，得出𝑃 为𝐶 的对称中心，
2
2
,
2
2
h
k
P
．过点𝑃 作直线l
y
⊥
轴，垂足为𝑀 ，过点
1
B
作
1
B N
l
⊥
，垂足为𝑁 ．证明
1
1
PB N
A PM
≌
，得出
1
PN
AM
=
，
1B N
PM
=
．设
(
)
1
1
1
,
B
x y
，得出
2
2
1
2
h
k
x
−
=
，
2
2
1
2
h
k
y
+
=
．结合
2
2
2
k
h
=
，点
1
B 在
1
C 上，可得
3
2
2
2
2
2
2
h
h
h
−
−
=
，即可解答．
【小问1 详解】
略
第25页/共26页
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【小问2 详解】
解：①略
②∵𝐶 为中心对称图形，
∴𝐶 的对称中心为线段
1
2
A A 的中点．
③
1
C
：
2
y
x
=
，
1
2
0
a
a
+
=
，
∴
1
1
a = ，
2
1
1
a
a
−
−
=
=
，
2
C
：
(
)
2
2
2
y
x
h
k
−
−
=
+
，
∴
(
)
1 0,0
A
，
(
)
2
2
2
,
A
h k
，
2
2
2
k
h
=
，
如图，设
1
2
A A 与
1
2
B B 相交于点𝑃 ，
∵四边形
1
1
2
2
A B A B 为正方形，
P
为𝐶 的对称中心，
1
2
1
2
1
1
,
A A
B B B P
A P
⊥
=
，
2
2
,
2
2
h
k
P
．
过点𝑃 作直线l
y
⊥
轴，垂足为𝑀 ，过点
1
B 作
1
B N
l
⊥
，垂足为𝑁 ．
则
1
1
1
1
1
,
90
B NP
AMP
B PN
MAP
MPA
=
=
=
−
，
∴
(
)
1
1
PB N
A PM AAS
≌
，
∴
1
PN
AM
=
，
1B N
PM
=
．
设
(
)
1
1
1
,
B
x y
，
则
2
2
1
2
2
h
k
x
−
=
，
2
2
1
2
2
k
h
y −
=
，即
2
2
1
2
h
k
x
−
=
，
2
2
1
2
h
k
y
+
=
．
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又
2
2
2
k
h
=
，
2
2
2
1
2
h
h
x
−
=
，
2
2
2
1
2
h
h
y
+
=
．
∵点
1
B 在
1
C 上，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
h
h
h
h
+
−
=
，化简整理得
3
2
2
2
2
2
2
h
h
h
−
−
=
，
(
)(
)(
)
(
)(
)
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
4
h
h
h
h
h
h
h
h
−
−
+
=
−
−
=
−
−
+
=
+
=
．
