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专题四 概率统计
第八讲 计数原理与概率
1．（2024•哈尔滨模拟）哈三中招聘了8 名教师，平均分配给南岗群力两个校区，其中2 名语文教师不能
分配在同一个校区，另外3 名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有
A．18 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
2．（2024•江苏模拟）某学校组织
接力跑比赛，某班级决定派出
，
，
，
，
，
位同学
参加比赛．在安排这6 人的比赛顺序时要保证
要在
之前，
和
的顺序不能相邻，则符合要求的安排
共有
A．240 种
B．180 种
C．120 种
D．150 种
3．（2024•镇江模拟）将编号为1，2，3，4 的4 个小球，放入五个不同的盒子中，每个盒子至多放2 个球，
且同一盒子内不出现连续编号的小球，则不同的放法数是
A．300
B．320
C．360
D．540
4．（2024•湖北模拟）已知二项式
的展开式中共有8 项，则下列说法正确的有
A．所有项的二项式系数和为128
B．所有项的系数和为1
C．第4 项和第5 项的二项式系数最大
D．有理项共3 项
5．（2024•黄冈三模）设
，下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．当
时，
除以2000 的余数是1
6．（2024•武汉模拟）已知
，
为随机事件，
（A）
，
（B）
，则下列结论正确的有
A．若
，
为互斥事件，则
B．若
，
为互斥事件，则
C．若
，
相互独立，则
D．若
，则
7．（2024•广州一模）甲箱中有3 个红球和2 个白球，乙箱中有2 个红球和2 个白球（两箱中的球除颜色
外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件
和
表示从甲箱中取出的球是红球
和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件
表示从乙箱中取出的两球都是红球，则
A．
B．
C．
D．
8．（2024•广州二模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4 的四个外观相同的空箱子中随机选
择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个
箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以
便增加中奖概率．现在已知甲选择了1 号箱，用
表示号箱有奖品
，2，3，
，用
表示主持人打
开号箱子
，3，
，则
．若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
【精选练习】
9．（2024•浙江模拟）某商场举行抽奖活动，箱子里有10 个大小一样的小球，其中红色的3 个，黄色的3
个，蓝色的4 个，现从中任意取出3 个，则其中至少含有两种不同的颜色的小球的取法共有
A．96 种
B．108 种
C．114 种
D．118 种
10．（2024•陕西二模）甲、乙等6 人报名参加了
，
，
三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个
项目仅需1 名志愿者，且甲不能参加
，
项目，乙不能参加
，
项目，那么不同的志愿者分配方案共
有
A．52 种
B．68 种
C．72 种
D．108 种
11．（2024•岳阳模拟）已知
，则
A．
B．
C．
D．
12．（2024•滨州二模）已知随机事件
，
发生的概率分别为
（A）
，
（B）
，则下列说
法正确的是
A．若
，则
，
相互独立
B．若
，
相互独立，则
C．若
，则
D．若
，则
13．（2024•盐城一模）有
’，
个编号分别为1，2，3，
，
的盒子，1 号盒子中有2 个
白球和1 个黑球，其余盒子中均有1 个白球和1 个黑球．现从1 号盒子任取一球放入2 号盒子；再从2 号盒
子任取一球放入3 号盒子；
；以此类推．记“从号盒子取出的球是白球”为事件
，2，3，
，
，则
A．
B．
C．
D．
14．（2024•烟台模拟）人工智能领域让贝叶斯公式：
站在了世界中心位置，
换
脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“
”视频，“
”视频占有率为0.001．
某团队决定用
对抗
，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该
视频是伪造的情况下，它有
的可能鉴定为“
”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，
它有
的可能鉴定为“
”．已知某个视频被鉴定为“
”，则该视频是“
”合成的可能性为
A．
B．
C．
D．
第九讲 随机变量及其分布
1．（2024•金华模拟）为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满
200 元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10 个小球，
其中，红球2 个，白球3 个，黄球5 个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2 个球，根据摸出球的颜色情况
分别进行兑奖．将顾客摸出的2 个球的颜色分成以下四种情况：
个红球1 个白球，
个红球，
个白球，
：至少一个黄球．若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，
不中奖．
（1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率；
（2）求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率；
（3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为
，求
的分布列和期望．
2．（2023•四省联考）一个池塘里的鱼的数目记为
，从池塘里捞出200 尾鱼，并给鱼作上标识，然后把
鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500 尾鱼，
表示捞出的500 尾鱼中有标识的鱼的数目．
（1）若
，求
的数学期望；
（2）已知捞出的500 尾鱼中15 尾有标识，试给出
的估计值（以使得
最大的
的值作为
的
估计值）．
3．（2024•广东模拟）一个袋子中装有6 个黑球，2 个白球，它们除颜色外完全相同．现每次从袋中不放
回地随机取出一个球，直到2 个白球都被取出为止．以
表示袋中还剩下的黑球个数．
（1）记事件
表示“第
次取出的是白球”，
，2，
，8，求
；
（2）求
的分布列和数学期望．
4．（2024•湖北模拟）数学多选题的得分规则是：每小题的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得
6 分，部分选对按比例得分，有选错得0 分，小明根据大量的多选题统计得到：多选题正确的选项共有四
个的概率为0，正确选项共有两个的概率为
．
（1）现有某个多选题，小明完全不会，他有两种策略，策略一：在
、
、
、
四个选项中任选一个
选项；策略二：在
、
、
、
四个选项中任选两个选项，求小明分别采取这两个策略时小明得分的期
望；
（2）若有一个多选题，小明发现
正确，
、
、
选项他不会判断，现在他也有两个策略，策略一：
选
和
、
、
中的任一个，策略二：选
和
、
、
中的任意2 个，在
的条件下，判断小明
该选择哪个策略．
5．（2024•许昌模拟）某教学研究机构从参加高考适应性考试的20000 名优秀考生中随机抽取了200 人对
其数学成绩进行了整理分析，作出了如图频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，同一组数据用该组区间的中点值作代表，求得这200 名考生数学成绩的平均数
为
．据此估计这20000 名优秀考生数学成绩的标准差；
（2）根据以往经验，可以认为这20000 名优秀考生的数学成绩
近似服从正态分布
，其中参数
和
可以分别用（1）中的
和
来估计．记考生本次考试的各科总成绩为
，若
，试估计
这20000 名优秀考生中总成绩
，
的人数．
另：
；
若
，则
，
．
【精选练习】
6．（2024•沈阳三模）下列说法正确的是
A．连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷．设随机变量
表示停止时抛掷的
次数，则
B．从6 名男同学和3 名女同学组成的学习小组中，随机选取2 人参加某项活动，设随机变量
表示所
选取的学生中男同学的人数，则
C．若随机变量
，则
D．若随机变量
，则当
减小，
增大时，
保持不变
7．（2024•聊城三模）在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7 纳米．
某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5 件，其中优秀产品的件数为
．
另一随机变量
，则
A．
B．
，
C．
D．
随
的增大先增大后减小
8．（2024•常州模拟）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1 分，负者得0 分，比赛
一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为
，
乙获胜的概率为
，
，
，
，且每局比赛结果相互独立．
①若
，
，则甲运动员恰好在第4 局比赛后赢得比赛的概率为 ；
②若比赛最多进行5 局，则比赛结束时比赛局数
的期望
的最大值为 ．
9．（2024•深圳一模）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0 和1 中
的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误．已知发送信号0 时，接收为0 和1
的概率分别为
，
；发送信号1 时，接收为1 和0 的概率分别为
，
．假设
每次信号的传输相互独立．
（1）当连续三次发送信号均为0 时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为
，求
的最
小值；
（2）当连续四次发送信号均为1 时，设其相应四次接收到的信号数字依次为
，
，
，
，记其中连
续出现相同数字的次数的最大值为随机变量
，
，
，
中任意相邻的数字均不相同时，令
，
若
，求
的分布列和数学期望．
第十讲 统计与成对数据的统计分析
1.（2024•深圳一模）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024 年巴黎奥运会，已知运动员甲
特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的
A．众数为12
B．平均数为14
C．中位数为14.5
D．第85 百分位数为16
2．（2024•武汉二调）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其
中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用
虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023 年8 月使用虚拟角色直播带货后的销售金
额情况统计．
年月
2023 年8 月
2023 年9 月
2023 年10 月
2023 年11 月
2023 年12 月
2024 年1 月
月份编号
1
2
3
4
5
6
销售金额
万元
15.4
25.4
35.4
85.4
155.4
195.4
若
与
的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量
与
的样本相关系数
（结果精确到
；
（2）试求
关于
的经验回归方程，并据此预测2024 年2 月份该公司的销售金额．
附：经验回归方程
，其中
，
，
样本相关系数
；
参考数据：
，
．
3．（2024•温州二模）红旗淀粉厂2024 年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金
（万元）与年收益
（万元）的8 组数据：
10
20
30
40
50
60
70
80
12.8 16.5
19
20.9 21.5 21.9
23
25.4
（1）用
模拟生产食品淀粉年收益
与年投入资金
的关系，求出回归方程；
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入
的
年该企业计划投入200 万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1 万元）
附：①回归直线
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
②
161
29
20400
109
603
③
，
4．（2024•石家庄三模）在推动电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的
改革探索．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量
（件与相应的生产总成本
（万元）
的四组对照数据．
5
7
9
11
200
298
431
609
企业研究人员建立了
与
的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：
经验回归方程①：
；经验回归方程②：
．
其中经验回归方程①的残差图如图所示（残差
观测值
预测值）
（1）在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为
关于
的回归方程，并说明理由；
5
7
9
11
200
298
431
609
（2）从该企业在过去几年生产的该产品中随机抽取100 件，优等品有60 件，合格品有40 件．每件优等品
利润为20 万元，每件合格品利润为15 万元．若视频率为概率，该企业某月计划生产12 件该产品，记优等
品件数为
，总利润为
．
（ⅰ）求
与
的关系式，并求
和
；
（ⅱ）记该月的成本利润率
，在（1）中选择的经验回归方程下，求
的估计值．（结果保留2 位小
数）
附：成本利润率
．
5．（2024•全国甲卷）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品
中随机抽取150 件进行检验，数据如下：
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
（1）填写如下列联表：
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
能否有
的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有
的把握认为甲、乙两车间产
品的估级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率
．设
为升级改造后抽取的
件产品的优级品率．如
果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150 件产品的数据，能否认为
生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？
附：
，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
【精选练习】
6．（2024•开封一模）气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5 天的日平均温度均不低于
，现有
甲、乙、丙、丁四地连续5 天的日平均温度的记录数据的部分信息（记录数据都是正整数）．
．甲地5 个数据的中位数为24，众数为22
．乙地5 个数据的中位数为25，平均数为24
．丙地5 个数据的平均数为22，众数为22
．丁地5 个数据中有一个数据是28，平均数为24，方差为4.8
依据以上信息，能确定进入夏季地区的选项有
A．
B．
C．
D．
7．（2024•沧州模拟）如表是某地从2019 年至2023 年能源消费总量近似值
（单位：千万吨标准煤）的
数据表：
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号
1
2
3
4
5
能源消费总量近似值
（单位：千万吨标准
煤）
44.2
44.6
46.2
47.8
50.8
以
为解释变量，
为响应变量，若以
为回归方程，则决定系数
，若以
为回归方程，则决定系数
，则下面结论中正确的有
A．变量
和变量
的样本相关系数为正数
B．
比
的拟合效果好
C．由回归方程可准确预测2024 年的能源消费总量
D．
8.（2024•山东模拟）某校为了落实“双减”政策，决定调查学生作业量完成情况．现随机抽取200 名学生
进行完成率统计，发现抽取的学生作业完成比率均在
至
之间，进行适当地分组后
，
，
，
，
，
，
，
，
，画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是
A．直方图中
的值为0.015
B．在被抽取的学生中，作业完成比率在区间
，
内的学生有75 人
C．估计全校学生作业完成比率的中位数约为
D．若各组数据用所在区间中点值代替，估计全校学生作业完成比率的平均值为
9．（2024•合肥二模）树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150 分）的统计数据如表：
性别
参加考试人数
平均成绩
标准差
男
30
100
16
女
20
90
19
在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2 层，把第一层样本记为
，
，
，
，
其平均数
记为
，方差记为
；把第二层样本记为
，
，
，
，
，其平均数记为
，方差记为
；把总样
本数据的平均数记为
，方差记为
．
（1）证明：
；
（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到
；
（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布
，以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分
别作为
和
的估计值．如果按照
，
，
，
的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为
，
，
，
四个等级，试确定各等级的分数线（精确到
．
附：
，
，
，
．
微专题9 马尔科夫链
1．（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未
命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为
0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2 次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3 ）已知：若随机变量
服从两点分布，且
，
，2 ，
，
，则
．记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
2．（2024•晋中模拟）甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0 分，掷1 枚
骰子1 次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为
，当骰
子朝上的点数不小于3 时，掷骰子的人积2 分，否则此人积1 分，未掷骰子的人本轮积0 分，然后进行下
一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．
（1）求经过4 轮游戏，甲的累计积分为4 分的概率；
（2）经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷．
当骰子朝上的点数不小于3 时，积2 分，否则积1 分．甲、乙分别在
分之间选一个整数分数，且两
人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏．记两人累计积分
之和为
的概率为
．
证明：
为等比数列．
（ⅱ）甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由
3．（2024•武汉四调）已知常数
，在成功的概率为
的伯努利试验中，记
为首次成功时所需的
试验次数，
的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量
的概率分布为几何分布．
（1）对于正整数
，求
，并根据
，求
；
（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为
的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的
试验次数的期望为
，现提供一种求
的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验
失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是
，即总的试验次数为
；若第一次试
验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，
相当于重新试验，此时总的试验次数为
．
求
；
记首次出现连续
次成功时所需的试验次数的期望为
，求
．
4．（2024•武汉九调）甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方
式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手
中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子
点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷
次骰
子后
，记球在甲手中的概率为
，则
；
．
【精选练习】
5．（2024•温州模拟）现有标号依次为1，2，
，
的
个盒子，标号为1 号的盒子里有2 个红球和2 个
白球，其余盒子里都是1 个红球和1 个白球．现从1 号盒子里取出2 个球放入2 号盒子，再从2 号盒子里取
出2 个球放入3 号盒子，
，依次进行到从
号盒子里取出2 个球放入
号盒子为止．
（1）当
时，求2 号盒子里有2 个红球的概率；
（2）当
时，求3 号盒子里的红球的个数
的分布列；
（3）记
号盒子中红球的个数为
，求
的期望
．
6．（2024•衡阳模拟）在”五四”来临之际，某学校团委组织以“春风吹，青春启航”为主题的知识竞赛，
比赛分初赛和决赛两个阶段，甲、乙两人进入决赛争夺冠军，决赛规则如下：每轮答题获得1 分，其概率
为
，获得2 分，其概率为
．最多进行20 轮答题，某同学累计得分为20 分时，比赛结束，该同学获得
冠军，另一同学获得亚军．
（1）当进行完3 轮答题后，甲同学总分为
，求
的分布列及
；
（2）若累计得分为
的概率为
，（初始得分为0 分，
①求
的表达式
．
②求获得亚军的概率．
微专题10 极大似然估计
1．（2024•张家界模拟）某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200
名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占
，线下人数占
，通过分别统计他们的数学成绩得到
了如下两个频率分布直方图：
其中
，
称为合格，
，
称为中等，
，
称为良好，
，
称为优秀，
，
称为优异．
（1）根据频率分布直方图，求这200 名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；
（2）现从这200 名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还
是来自线下考试的可能性大；
（3）现从线下考试的学生中随机抽取10 名同学，且抽到
个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求
的值．
2．（2024•浙江模拟）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0 出发，每
次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动
次后质点位于位置
．则下列命题正确的是
A．
B．
C．
D．移动
次后质点最有可能回到原点
3．（2024•衡阳模拟）小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为
类题和
类题，小张回答
类题正
确的概率为0.9，小张回答
类题正确的概率为0.45．已知题库中
类题的数量是
类题的两倍．
（1）求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
（2）已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10 个题目，若小张在这10 个
题目中恰好回答正确
个
，1，2，
，
的概率为
，则当
为何值时，
最大？
【精选练习】
4．（2024•唐山一模）某项测试共有8 道题，每道题答对5 分，不答或答错得0 分．某人答对每道题的概
率都是
，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为
．
（1）求此人得分的期望；
（2）指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由．
5．（2024•日照一模）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变
人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行
应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语舷错误，则软件正确应答的概率为
；若出
现语法错误，则软件正确应答的概率为
．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为
．
（1）求一个问题能被软件正确应答的概率；
（2）在某次测试中，输入了
个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的
个数为
，
，1，
，
的概率记为
，则
为何值时，
的值最大？
跨章节综合4 概率与数列
1．（2024•泰州二调）某游戏设置了两套规则，规则
：抛掷一颗骰子
次，若
次结果向上的点数之和
大于2 时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则
：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2 时，继
续下一次抛掷，否则停止抛掷．
（1）若执行规则
，求抛掷次数恰为1 次的概率；
（2）若执行规则
，证明：抛掷次数的数学期望不大于3．
【精选练习】
2.（2024•南通一调）某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3 个
红球和5 个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3 个球，若摸出的3 个球中至少有2 个红球，则该顾客
中奖．
（1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；
（2）现有编号为
的
位顾客按编号顺序依次参加活动，记
是这
位顾客中第一个中奖者的编号，
若无人中奖，则记
．证明：
．
跨章节综合5 概率与导数
1．（2024•汕头一模）2023 年11 月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数
学在内共有16 个学科900 多项实验与实践活动．
我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学
生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，学生小明两手空
空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最
后什么也没摘到．
假设小明在果园中一共会遇到
颗番石榴（不妨设
颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现
在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下
策略：不摘前
颗番石榴，自第
颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番
石榴，否则就摘最后一颗．
设
，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为
．
（1）若
，
，求
；
（2）当
趋向于无穷大时，从理论的角度，求
的最大值及
取最大值时的值．
（取
【精选练习】
2．（2024•邵阳模拟）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测
（检测分为初试和复试），共有4 万名学生参加初试．组织者随机抽取了200 名学生的初试成绩，绘制了
频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求
的值及样本平均数的估计值；
（2）若所有学生的初试成绩
近似服从正态分布
，其中
为样本平均数的估计值，
．
规定初试成绩不低于90 分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
（3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数
学题的概率均为
，答对物理题的概率为
．若小明全部答对的概率为
，答对两道题的概率为
，求概
率
的最小值．
附
：
若
随
机
变
量
服
从
正
态
分
布
，
则
，
，
．
3．（2024•沧州模拟）某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．
为提高服务水平，现对当日购票的120 人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分
别为36、60 和24．
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120 人中随机抽取10 人，再从这10 人中随机抽取4 人，
求随机抽取的4 人中恰有2 人购买单程上山票的概率．
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2 人和购买回程票的
且
人组成一组，负责人从某组中任选2 人进行询问，若选出的2 人的购票类型相同，则该
组标为
，否则该组标为
，记询问的某组被标为
的概率为
．
试用含
的代数式表示
；
若一共询问了5 组，用
表示恰有3 组被标为
的概率，试求
的最大值及此时
的值．
