热点03+圆填空题（5大题型+高分技法+限时提升练）（解析版）-_2025中考数学题型解题分类专题合集_2025年中考数学热点•重点•难点专练[完整版]www.jiaoyupan.vip

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热点03 圆填空题
圆是中考数学的必考考点，基础题一般出现在北京中考的第13 题，第14 题，第15 题等。多以填空题的形
式出现。多考察圆的基础知识，一般不涉及辅助线，或含有简单辅助线例如链接，熟练掌握圆的基础知识
可以轻松得分。
【题型1  求度数】 
主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握圆周角定理成为解题的关
键．还需掌握切线的性质，四边形的内角和等。
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1．（2024 年北京市燕山区中考数学押题模拟）如图，PA ，PB 是
O
e
的切线，A ，B 为切点，AC 是
O
e
的
直径，若
26
P
Ð
=
o，则
BAC
Ð
的度数为      
．
【答案】13°/13 度
【详解】解：∵PA ，PB 是
O
e
的切线，A ，B 为切点，
∴PA
PB
=
，
90
CAP
Ð
=
°，
∵
26
P
Ð
=
°，
∴


1
180
26
77
2
PAB
PBA
Ð
= Ð
=
´
°-
° =
°， 
∴
90
77
13
BAC
Ð
=
°-
° =
° ，
故答案为：13°．
2．（2024 年北京市清华大学附属中学中考三模）如图，AB 为
O
e
的直径，C 为
O
e
上一点，AD
OC
∥
，
50
BOC
Ð
=
° ，AD 交
O
e
于点D，连接CD ，那么
ACD
Ð
=        
．
【答案】40°/40 度
【详解】解：如图：连接OD ，
∵AD
OC
∥
，
∴
50
DAB
BOC
Ð
= Ð
=
°，
∵OA
OD
=
，
∴
180
2
80
AOD
DAB
Ð
=
°- Ð
=
°，
∴
1
40
2
ACD
AOD
Ð
=
Ð
=
° ．
故答案为40°．
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3．（北京师范大学实验中学2022-2023 学年九年级三模）如图，AC
BC
，
是
O
e
的弦，PA
PB
，
是
O
e
的切
线，若
61
C
Ð
=
°，则
P
Ð
=       
°．
【答案】58
【详解】解：连接OA
OB
、
，
∵
61
C
Ð
=
°，
∴
2
122
AOB
C
Ð
= Ð
=
° ，
∵PA
PB
，
是
O
e
的切线，
∴OA
PA
OB
PB
^
^
，
，
∴
90
Ð
= Ð
=
°
PAO
PBO
，
∴
180
PAO
PBO
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
58
P
AOB
Ð
=
°- Ð
=
°．
故答案为：58．
4．（北京市第三十五中学2022-2023 学年九年级下学期数学开学）如图，PA ，PB 是
O
e
的两条切线，切点
分别为A ，B ，连接OA，AB ，若
35
OAB
Ð
=
° ，则
ABP
Ð
=       
°．
【答案】55
【详解】解：
PA
Q
，PB 是
O
e
的两条切线，
PA
PB
\
=
，OA
PA
^
，
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35
OAB
Ð
=
°
Q
，
90
55
BAP
OAB
\Ð
=
°- Ð
=
°，
PA
PB
=
Q
，
55
ABP
BAP
\Ð
= Ð
=
°．
故答案为：55．
5．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，
,
PA PB 与
O
e
分别相切于A，B 两点，连接
,
OA OB ．若
48
APB
Ð
=
° ，则
AOB
Ð
的度数为       
．
  
【答案】132°/132 度
【详解】∵
,
PA PB 与
O
e
分别相切于A，B 两点，
∴
90
OAP
OBP
Ð
= Ð
=
°
∵
48
APB
Ð
=
°
∴
60
132
3
OAP
OBP
A
A
PB
OB
Ð
- Ð
- Ð
=
°
Ð
=
°-
故答案为：132°．
【题型2  求线段长】
考查了圆的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及
勾股定理是解题的关键．
6．（2022 年年北京理工附中九年级下二模）如图，AB 是
O
e
的直径，CD 是
O
e
的弦，AB
CD
^
，垂足为
点E ，
8cm
CD =
，
10cm
AB =
，则AE =          
．
【答案】2cm
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【详解】解：由题意可知，AB 垂直平分CD ，
1
5cm
2
OC
OA
AB
=
=
=
，
\
1
4cm
2
CE
CD
=
=
，
在Rt
CEO
△
中，
2
2
2
2
5
4
3(cm)
OE
OC
CE
=
-
=
-
=
，
2cm
AE
OA
OE
\
=
-
=
．
故答案为：2cm ．
7．（2022·北京朝阳·二模）如图，AB 为
O
e
的弦，
O
e
的半径为5 ，OC
AB
^
于点D ，交
O
e
于点C ，且
1
CD = ，则弦AB 的长是     ．
【答案】6
【详解】连接OA，如图，
∵OC
AB
^
，
∴AD
BD
=
，
在Rt
OAD
△
中，∵
5
OA =
，
5 1
4
OD
OC
CD
=
-
=
- =
，
∴
2
2
2
2
5
4
3
AD
OA
OD
=
-
=
-
=
，
∴
2
6
AB
AD
=
=
．
故答案为：6 ．
8．（2024·北京大兴·二模）如图，AB 是
O
e
的直径，CD 是
O
e
的一条弦，AB
CD
^
，连接AC ，OD ．若
30
CAB
Ð
=
°，
2
OA =
，则CD 的长是      
．
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【答案】2 3
【详解】解：连接OC ，如图所示，
∵
30
CAB
Ð
=
°，
∴
2
60
COE
ACB
Ð
Ð
=
=
°，
∵AB
CD
^
，AB 是直径，
∴
90
60
30
OCE
Ð
=
°-
° =
° ，
2
CD
CE
=
，
∴
1
1
2
OE
OC
=
= ，
∴
2
2
2
1
3
CE =
-
=
，
∴
2
2 3
CD
CE
=
=
，
故答案为：2 3 ．
9．（2024·北京门头沟·二模）如图，AB 是
O
e
的直径，弦CD
AB
^
于点E ，AC
CD
=
，如果
2 3
AC =
则
O
e
的半径长为      
．
【答案】2
【详解】解：如图，连接AD ，OC ，
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∵AB 是
O
e
的直径，弦CD
AB
^
，
∴CE
DE
=
，AC
AD
=
，
∵AC
CD
=
，
∴AC
CD
AD
=
=
，
∴
ABC
V
为等边三角形，
∴
60
ACD
Ð
=
° ，
90
60
30
CAE
Ð
=
°-
° =
° ，
∴
1
3
2
CE
AC
=
=
，
∵OA
OC
=
，
∴
30
OCA
OAC
Ð
= Ð
=
° ，
∴
60
30
30
OCE
Ð
=
°-
° =
°，
∴
3
2
cos30
3
2
CE
CO =
=
=
°
，
故答案为：2
10．（2024·北京朝阳·一模）如图，
O
e
是Rt
ABC
△
的外接圆，OE
AB
^
于点D ，交
O
e
于点E ，若
8
AB =
，
2
DE =
，则BC 的长为     ．
  
【答案】6
【详解】解：∵OE
AB
^
，
∴
1
4
2
AD
BD
AB
=
=
=
，
90
ADO
BDO
Ð
= Ð
=
° ，
∵OA
OC
=
，
∴OD 是
ABC
V
的中位线，
∴
1
2
OD
BC
=
，即
2
BC
OD
=
，
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设半径为r ，则
2
=
-
=
-
OD
OE
DE
r
，
在Rt AOD
V
中，由勾股定理得：
2
2
2
OA
OD
AD
=
+
，
∴


2
2
2
2
4
r
r
=
-
+
，解得
= 5
r
，
∴
2
3
OD
r
=
-
=
，
∴
2
6
BC
OD
=
=
．
【题型3  求阴影部分面积】
考查了30 度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、垂径定理、圆周角定理和扇形面积公式，熟练掌握相
关性质定理并灵活运用，即可解题．
11．（2024·北京顺义·二模）小红在手工课上制作的折扇，折扇展开是一个扇形，如图所示，已知扇形的半
径是20cm ，扇形的圆心角是120°，则扇形的面积是     
2
cm ．
【答案】400 π
3
【详解】解：


2
2
120
20
400
cm
360
3
S
p
p
´
=
=
故答案为：400 π
3
．
12．（北京市首都师范大学第二附属中学2024~2025 学年上学期九年级10 月）如图，已知PA 与
O
e
相切于
点A，点B 为
O
e
上一点，
120
AOB
Ð
=
° ，过点B 作BC
PA
^
于点C，BC 交
O
e
于点D，连接AB ．已知
2
OA =
，则图中阴影部分的面积是      
．
【答案】2
3
p
【详解】解：连接OD ，
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∵PA 与
O
e
相切于点A，
∴OA
AP
^
，
∵BC
PA
^
，
∴OA
BC
∥
，
∴
BOD
BAD
S
S
=
V
V
，
∵OA
OB
=
，
∴
30
OAB
OBA
Ð
= Ð
=
° ，
∵OA
BC
∥
，
∴
30
ABD
OAB
=
=
Ð
Ð
° ，
∵PA 是
O
e
的切线，
∴
30
DAC
ABD
Ð
= Ð
=
°，
∴
30
BAD
Ð
=
° ，
由圆周角定理可得：
2
60
BOD
BAD
Ð
= Ð
=
° ，
2
60
2
2
360
3
BOD
S
S
p
p
´
\
=
=
=
阴影部分
扇形
．
故答案为: 2
3
p
13．（2023·北京门头沟·二模）如图，扇形OAB 的圆心角为直角，边长为1 的正方形OCDE 的顶点C、E、
D 分别在OA
OB
、
、弧AB 上，AF
ED
^
，交ED 的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是       
．
【答案】
2
1
-
【详解】解：Q正方形OCDE 的边长为1，
2
2
1
1
2
OD
\
=
+
=
，
2
1
AC
\
=
- ，
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DE
DC
=
Q
，BE
AC
=
，

BD
AD
=
，
S
\
=
阴影
长方形ACDF 的面积
( 2
1) 1
2
1
AC
CD
=
´
=
-
´ =
- 
故答案为：
2
1
- ．
14．（北京市玉渊潭中学2023-2024 学年九年级下学期开学）如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A
逆时针旋转30°，点B 的对应点为B¢，连接AB¢，若
8
AB =
，则图中阴影部分的面积是         
．
  
【答案】8π
4 3
3 +
【详解】解：设旋转后AB¢与半圆O 交于点C，连接OC ，过点C 作CD
AB
^
于点D，如图，
  Q OA
OC
=
，
\
30
OAC
OCA
Ð
= Ð
=
° ，
\
180
30
30
120
AOC
Ð
=
°-
°-
° =
° ，
60
COD
Ð
=
° ，
Q
8
AB =
，
\
4
OA
OC
=
=
，
Q
60
COD
Ð
=
° ，
\
3
3
4
2 3
2
2
CD
OC
=
=
´
=
，
\


AOC
AOC
S
S
S
S
=
-
-
V
阴影
半圆
扇形
2
2
1
120
π
4
1
π
4
4 2 3
2
360
2
æ
ö
°´ ´
=
´
-
-
´ ´
ç
÷
°
è
ø
16π
8π
4 3
3
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
8π
4 3
3
=
+
，
故答案为：8π
4 3
3 +
．
15．（北京市第二中学2023-2024 学年九年级下学期月考）如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A 逆
时针旋转30°，点B 的对应点为B¢，连接AB¢，若
4
AB =
，则图中阴影部分的面积是       
．
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【答案】2
3
3p +
/
2
3
3p
+
【详解】解：记AB¢与半圆O 交于点C ，连接OC ，作OD
AC
^
于点D ，
由旋转的性质可知，两个半圆面积相等，
30
OAC
Ð
=
° ，
\图中阴影部分的面积=
OAC
OBC
S
S
+
V
扇形
，
Q若
4
AB =
，
2
OA
OC
\
=
=
，
1
2
1
OD
OA
\
=
= ，
2
2
3
AD
OA
OD
\
=
-
=
，
2
2 3
AC
AD
\
=
=
，
1
1
2 3 1
3
2
2
OAC
S
AC OD
\
=
×
=
´
´ =
V
，
Q
30
OAC
Ð
=
° ，
2
60
BOC
OAC
\Ð
= Ð
=
°，
2
60
2
2
360
3
OBC
S
p
p
´
\
=
=
扇形
，
\图中阴影部分的面积是2
3
3p +
，
故答案为：2
3
3p +
．
【题型4  圆与三角函数综合】
考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角函数等知识．熟练掌握同弧
所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角函数的相关知识是解题的关键．
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16．（2022·北京东城·二模）如图，在边长为1 的正方形网格中，点A，B，D 在格点上，以AB 为直径的圆
过C，D 两点，则sin
BCD
Ð
=       
．
【答案】3
5
【详解】解：如图，连接AD
BD
、
，
∴
4
3
AD
AB
=
=
，
，
∵

BD
BD
=
，
∴
BCD
BAD
Ð
= Ð
，
∵AB 为圆的直径，
∴
90
ADB
Ð
=
° ，
由勾股定理得，
2
2
5
AB
AD
BD
=
+
=
，
∴
3
sin
sin
5
BD
BCD
BAD
AB
Ð
Ð
=
=
=
，
故答案为：3
5 ．
17．（北京师范大学附属中学2023-2024 学年九年级下学期月考）如图，AB 为
O
e
的弦，C 为
O
e
上一点，
OC
AB
^
于点D．若
10
OA =
，
6
AB =
，则sin
OAD
Ð
=            
．
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【答案】10
10
【详解】解：∵OC
AB
^
∴
1
3
2
AD
DB
AB
=
=
=
，
在Rt
ADO
△
中，
2
2
1
DO
AO
AD
=
-
= ，
∴
1
10
sin
10
10
OD
OAD
OA
Ð
=
=
=
，
故答案为：10
10
．
18．（23-24 九年级下·北京海淀·开学考试）如图，AB 为
O
e
的弦，C 为
O
e
上一点，OC
AB
^
于点D．若
10
OA =
，
6
AB =
，则cos AOD
Ð
=        
．
【答案】10
10
【详解】解：∵OC
AB
^
，
6
AB =
，
∴
1
90 ,
3
2
ADO
AD
BD
AB
Ð
=
°
=
=
=
，
在Rt AOD
V
中，
10
OA =
，
∴OD＝
2
2
1
OD
OA
AD
=
-
= ，
∴
1
10
cos
10
10
OD
AOD
OA
Ð
=
=
=
．
故答案为：10
10
．
19．（2021·北京海淀·模拟预测）如图，在6 6
´
正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点, ,
A B C 均在
网格交点上，
O
e
是ABC
D
的外接圆，则cos
BAC
Ð
的值是            
．
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【答案】2 5
5
【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，
由勾股定理得，BD=
2
2
2
4
2 5
+
=
，
在Rt△BDC 中，cos∠BDC=
4
2 5
5
2 5
CD
BD =
=
，
由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC= 2 5
5
，
故答案为：2 5
5
．
20．（2023·北京海淀·二模）如图，AB 为
O
e
的弦，C 为
O
e
上一点，OC
AB
^
于点D．若
10
OA =
，
6
AB =
，则tan AOD
Ð
=      
．
【答案】3
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【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形，先利用垂径定理得到
1
3
2
AD
AB
=
=
，再利用勾股定理求得
OD ，然后利用正切定义求解即可．
【详解】解：∵OC
AB
^
，
6
AB =
，
∴
1
3
2
AD
AB
=
=
，
90
ADO
Ð
=
° ，又
10
OA =
，
∴


2
2
2
2
10
3
1
OD
OA
AD
=
-
=
-
= ，
∴tan
3
AD
AOD
OD
Ð
=
=
，
故答案为：3．
【题型5 圆相关的最值问题】
主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，
正确作出辅助线推出PA
PB
+
能取得最小值的情形或利用垂线段最短等性质是解题的关键．
21．（北京陈经纶中学2020—2021 学年九年级上学期12 月）如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线
2
y =
上的一个动点，
P
e
的半径为1，直线OQ 切
P
e
于点Q ，则线段OQ 的最小值为        
．
【答案】
3
【详解】解：连接PQ、OP ，如图，
Q直线OQ 切
P
e
于点Q ，
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PQ
OQ
\
^
，
在Rt
OPQ
△
中，
2
2
2
1
OQ
OP
PQ
OP
=
-
=
- ，
当OP 最小时，OQ 最小，
当OP ^ 直线
2
y =
时，OP 有最小值2，
OQ
\
的最小值为
2
2
1
3
- =
．
故答案为
3 ．
22．（北京市铁路第二中学2023-2024 学年九年级上学期期中）如图，CD 是
O
e
的直径，
8
20
CD
ACD
=
Ð
=
°
，
，点B 为弧AD 的中点，点P 是直径CD 上的一个动点，则PA
PB
+
的最小值为      ．
【答案】4
【详解】解：作A 关于CD 的对称点Q，连接CQ
BQ
BQ
，
，
交CD 于P，此时AP
PB
QP
PB
QB
+
=
+
=
，
根据两点之间线段最短，PA
PB
+
的最小值为QB 的长度，
连接OQ
OB
，
，
∵点B 为弧AD 的中点，
∴
20
BOD
ACD
Ð
= Ð
=
°，
∵A、Q 关于CD 对称，
∴
20
QCD
ACD
=
=
°
∠
∠
，
∴
2
2
20
40
QOD
QCD
Ð
= Ð
=
´
° =
°，
∴
20
40
60
BOQ
Ð
=
° +
° =
°．
∵OB
OQ
=
，
∴
BOQ
△
是等边三角形，
∴
1
4
2
BQ
OB
CD
=
=
=
，即PA
PB
+
的最小值为4．
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故答案为：4．
23．（北京市昌平区2023-2024 学年九年级上学期期末）如图，AB 是
O
e
直径，点C 是
O
e
上一点，
1
OC =
且
60
BOC
Ð
=
° ，点D 是
BC 的中点，点P 是直径AB 上一动点，则CP
DP
+
的最小值为      
．
【答案】2
【详解】解：作点D 关于AB 的对称点D¢，连接OD ，OD¢ ，CD¢，PD¢，DD¢．
可知CP
DP
CP
D P
¢
+
=
+
，根据“两点之间线段最短”得当C，P，D¢三点共线时，CP
D P
¢
+
最小，即CD¢．
∵点C 在
O
e
上，
60
BOC
Ð
=
° ，点D 是
BC 的中点，
∴
1
30
2
DOB
BOC
Ð
=
Ð
=
° ，
∵点D 关于AB 的对称点D¢，
∴

BD
BD¢
=
∴
30
BOD
BOD
¢
Ð
= Ð
=
° ，
∴
90
COD¢
Ð
=
°， 
∵
1
OC
OD¢
=
= ，
∴
2
2
2
CD
OC
OD
¢
¢
=
+
=
．
故答案为：2 ．
24．（北京市三帆中学2024 一2025 学年上学期期末模拟）如图所示， AB 是
O
e
的直径，
4
AB =
，
30
A
Ð
=
°， 
O
e
的切线BE 与直线AD 交于点E ，点M 是
O
e
上一个动点． 过M 作MN
AD
^
， 垂足为
N ， 则NM
EN
+
 的最大值为      
．
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【答案】5 3
2 2
1
3
+
+
【详解】解：在EA延长线取点F ，使得NF
MN
=
，
∴MN
EN
NF
EF
EF
+
=
+
=
，即求EF 的最大值，
∵MN
AD
^
，
∴
90
MNF
Ð
=
° ，
∴随着M 的运动，
45
MFE
NMF
Ð
= Ð
=
°时，
当平移MF 至MF 与
O
e
相切时，有EF 最大值，延长MO 交AE 于点G ，
∴
90
GMF
Ð
=
°，
∴
45
MFE
MGF
Ð
= Ð
=
° ，
∴
GMF
△
为等腰直角三角形，
∵
2
OA =
，
30
OAG
Ð
=
°，
∴
1
OK = ，
∴由勾股定理得：
2
2
2
2
2
1
3
AK
OA
OK
=
-
=
-
=
，
∵
45
OGA
Ð
=
° ， 
∴
45
OGA
GOK
Ð
= Ð
=
°，
∴
1
GK
OK
=
= ，
∴由勾股定理得
2
OG =
，
∴
2
2
MG =
+
，
2 2
2
GF =
+
，
∵
30
OAG
Ð
=
°，
∴
1
2
BE
AE
=
，
∴由勾股定理得
2
2
2
AB
BE
AE
+
=
，
∴
8 3
3
AE =
，
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∵
3
1
AG =
+ ，
∴
5 3
1
3
EG =
- ，
∴
5 3
2 2
1
3
EF
EG
GF
=
+
=
+
+ ，
∴NM
EN
+
 的最大值为5 3
2 2
1
3
+
+ ，
故答案为：5 3
2 2
1
3
+
+ ．
25．（北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2024~2025 学年上学期九年级期中）如图，在
O
e
中，直径
2
AB =
，延长AB 至C ，使BC
OB
=
，点D 在
O
e
上运动，连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，
连接OE ，则线段OE 的最大值为           
．
  
【答案】2 2
1
+ /1
2 2
+
【详解】如图，过点C 作AC 的垂线，在垂线上截取CF
CO
=
，连接DF ，
  
\
90
DCE
OCF
Ð
= Ð
=
°，
\
OCE
FCD
Ð
= Ð
，
Q CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，
\ CD
CE
=
，
在
OCE
△
和FCD
V
中，
CD
CE
OCE
FCD
CF
CO
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
\


SAS
OCE
FCD
V
V
≌
，
\ OE
FD
=
，
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连接FO ，并延长FO 交圆于点H ，FH 即为FD 最大值，
Q
2
AB =
，BC
OB
=
，
\
2
CF
CO
=
=
，
\
2 2
OF =
，
\
2 2
1
FH
OF
OH
=
+
=
+ ，
\
2 2
1
OE
DF
FH
=
=
=
+
最大值
最大值
，
故答案为：2 2
1
+ ．
（建议用时：20 分钟）
一、单选题
1．如图，AB 是
O
e
的直径，B 是
CD 的中点，连接AC ，OD ，若
24
CAB
Ð
=
°，则
BOD
Ð
= （   ）
A．48°
B．24°
C．66°
D．33°
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接AD ，得到
24
DAB
CAB
Ð
= Ð
=
°，得出
2
48
BOD
DAB
Ð
= Ð
=
°，即可得到答案．
【详解】如图，连接AD ，
Q B 是
CD 的中点，


BC
BD
\
=
，
24
DAB
CAB
\Ð
= Ð
=
° ，
2
48
BOD
DAB
\Ð
= Ð
=
° ，
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故选：A．
2．如图，AB 是
O
e
的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与
O
e
相切，切点为点D ，如果
35
A =
o
∠
，那么
C
Ð
=
（　　）
A．20o
B．30o
C．40o
D．50o
【答案】A
【分析】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，连接OD ，由切线的
性质推导出
90
ODC
Ð
=
°，而
2
70
COD
A
Ð
= Ð
=
°，所以
90
20
C
COD
Ð
=
° - Ð
=
° ，于是得到问题的答案．正确
地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接OD ，
CD
Q
与
O
e
相切，切点为点D ，
CD
OD
\
^
，
90
ODC
\Ð
=
° ，
35
A
Ð
=
°
Q
，
2
70
COD
A
\Ð
= Ð
=
° ，
90
20
C
COD
\Ð
=
° - Ð
=
° ，
故选：A．
3．如图，以点O 为圆心的扇形AOB 中，
4
OB =
，
90
AOB
Ð
=
° ，再以点A 为圆心，OA为半径作弧，交弧AB
于点C，则阴影部分的面积是（   ）
A．
π
3
3
-
B．2 3
π
-
C．4 3
π
-
D．
4
4 3
π
3
-
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【答案】D
【分析】本题考查计算不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质．掌握扇形面积公式是解题的关键．
连接OC ，AC ，先证OAC
V
是等边三角形，根据阴影部分的面积


AOC
BOC
AOC
S
S
S
=
-
-
V
扇形
扇形
求解．
【详解】解：如图，连接OC ，AC ，作OH
AC
^
于点H，
由作图知，
4
OC
OA
AC
OB
=
=
=
=
，
\ OAC
V
是等边三角形，
\
60
AOC
OAC
Ð
= Ð
=
° ，
\
2
60
π
4
8
=
π
360
3
AOC
S
°´ ´
=
°
扇形
，
Q OAC
V
是等边三角形，OH
AC
^
，
\
1
2
2
AH
AC
=
=
，
2
2
2 3
OH
OA
AH
=
-
=
，
\
1
1
4 2 3
4 3
2
2
AOC
S
AC OH
=
×
=
´ ´
=
V
，
\
AOC
S
-
扇形
8 π
4 3
3
AOC
S
=
-
V
，
Q
90
AOB
Ð
=
° ，
\
90
60
30
BOC
Ð
=
°-
° =
°，
\
2
30
π
4
4
=
π
360
3
BOC
S
°´ ´
=
°
扇形
，
\阴影部分的面积


4
8
4
π
π
4 3 =4 3
π
3
3
3
AOC
BOC
AOC
S
S
S
æ
ö
=
-
-
=
-
-
-
ç
÷
è
ø
V
扇形
扇形
，
故选D．
4．如图，在
O
e
中，弦
8
AB =
，半径OC
AB
^
于点D ，
3
OD = ，则
O
e
的半径为（    ）
  
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A．
73
B．55
C．25
6
D．5
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得
1
4
2
BD
AB
=
=
，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：∵在
O
e
中，弦
8
AB =
，半径OC
AB
^
于点D ，
∴
1
4
2
BD
AB
=
=
，
∴
2
2
5
OB
OD
BD
=
+
=
，
故选：D．
5．如图，在
O
e
中，直径AB
CD
^
于点E ，
6
CD = ，
1
BE = ，则弦AD 的长为（    ）
A．9
B．3 10
C．10
D．4 5
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关
键．由垂径定理得
1
3
2
CE
ED
CD
=
=
= ，设
O
e
的半径为r ，则
1
OE
OB
EB
r
=
-
=
- ，在Rt OED
V
中，由勾
股定理得出方程，求出
= 5
r
，即可得出
9
AE = ，在Rt ADE
V
中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：
AB
CD
^
Q
，
6
CD = ，
\
1
3
2
CE
ED
CD
=
=
= ，
设
O
e
的半径为r ，则
1
OE
OB
EB
r
=
-
=
- ，
在Rt OED
V
中，由勾股定理得：
2
2
2
OE
DE
OD
+
=
，
即
2
2
2
(
1)
3
r
r
-
+
=
，
解得：
= 5
r
，
5
OA
\
=
，
4
OE =
，
9
AE
OA
OE
\
=
+
=
，
在Rt ADE
V
中，由勾股定理得：
2
2
2
2
9
3 1
3
0
AD
DE
AE
=
+
=
+
=
，
故选：B．
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二、填空题
6．如图，AD 是
ABC
V
的角平分线，过点A
D
、
的圆与BC 相切，与边AB
AC
、
分别交于点E
F
、
．若
6
2
AD =
，
8
AE =
，
6
AF =
，则BC 的长为   ．
【答案】7 3
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作圆O 的直径DG ，连接AG ，证
明
EDB
DAE
Ð
= Ð
，同理
FDC
DAF
Ð
= Ð
，连接DE ，DF ，AD 是
ABC
V
的角平分线，BC 是
O
e
的切线，
得
CDF
EDB
DAC
EAD
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
，证明ADB
AFD
V
V
∽
，对应边成比例得
12
AB =
，证明
EDB
DAB
△
∽△
，求出
4 3
2 6
BD
DF
=
=
，
，再证明CDF
DAE
V
V
∽
，求出
3 3
CD =
，进而可得BC．
【详解】解：如图，作圆O 的直径DG ，连接AG ，
∴
90
DAG =
°
∠
，
∴
90
DAE
EAG
Ð
+ Ð
=
° ，
∵BC 是
O
e
的切线，
∴
90
GDB
Ð
=
° ，
∴
90
EDB
EDG
Ð
+ Ð
=
°，
∵
EAG
EDG
Ð
= Ð
，
∴
EDB
DAE
Ð
= Ð
，
同理，
FDC
DAF
Ð
= Ð
，
连接DE
DF
，
，
∵AD 是
ABC
V
的角平分线，
∴Ð
= Ð
DAB
DAC ，
∴
CDF
EDB
DAC
EAD
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
，
∴
ADB
ADE
BDE
AFD
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
，
∴ADB
AFD
V
V
∽
，
∴AB
AD
AD
AF
=
，
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∴


2
6
6 2
AB =
，
∴
12
AB =
，
∴
12
8
4
BE
AB
AE
=
-
=
-
=
，
∵
B
B
BDE
EAD
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
，
∴
EDB
DAB
△
∽△
，
∴BE
BD
BD
AB
=
，
∴
2
4 12
48
BD
BE AB
=
×
=
´
=
，
∴
4 3
BD =
，
∵ADB
AFD
V
V
∽
，
∴AB
BD
AD
DF
=
，
∴12
4 3
6 2
DF =
´
，
∴
2 6
DF =
，
∵
CFD
AED
CDF
EAD
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
，
∴CDF
DAE
V
V
∽
，
∴CD
DF
AD
AE
=
，
∴
2 6
8
6 2
CD =
，
∴
3 3
CD =
，
∴
4 3
3 3
7 3
BC
BD
CD
=
+
=
+
=
．
故答案为：7 3 ．
7．如图，已知正方形ABCD 与正五边形EFGCH 都内接于
O
e
，则
DCH
Ð
的度数为      
．
【答案】9°
【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正五边形和正方形的性质是解题的关键．根据题意得到



,
CH
CG CD
CB
=
=
，求得

DH
BG
=
，得到
DCE
BCG
Ð
= Ð
，即可得到结论．
【详解】解：Q正方形ABCD 与正五边形EFGCH 都内接于
O
e
，
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,
CH
CG CD
CB
\
=
=
，



,
CH
CG CD
CB
\
=
=
，
\ 

DH
BG
=
，
\
DCE
BCG
Ð
= Ð
，
(5
2) 180
108
5
HCG
-
´
°
Ð
=
=
°
Q
，
90
DCB
Ð
=
°，
1
108
90
9
2
2
2
HCG
DCB
DCE
BCG
Ð
- Ð
°-
°
\Ð
= Ð
=
´
=
= ° ，
故答案为：9°．
8．如图，点A 、B 、O 是正方形网格上的三个格点，以O 为圆心，OA为半径作
O
e
，点P 是圆上任意一点，
且
APB
Ð
是锐角，则sin
APB
Ð
的值为          
．
【答案】
2
2
【分析】本题主要考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值等知识点，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧
所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半成为解题的关键．
根据题意求出
90
AOB
Ð
=
° ，根据圆周角定理求出
APB
Ð
的度数，再根据特殊角的三角函数值解答即可．
【详解】解：由题意和正方形的性质得，
90
AOB
Ð
=
° ，
∴
1
2
45
APB
AOB
Ð
=
Ð
=
° ，
∴
2
sin
2
APB
Ð
=
．
故答案为：
2
2 ．
9．如图，在半径为5 的
O
e
中，弦
8
AB =
，D 为优弧
AB 的中点，C 为
AD 上一点，DE
AC
^
于点E，DH
BC
^
于点H，连接DB ．若
6
HB = ，则DE =        
．
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【答案】2 11
【分析】过点D 作DG
AB
^
于点G，连接
,
,
AD OB CD ，证明
ABD
△
是等腰三角形，由等腰三角形三线合一
可得
1
4
2
AG
BG
AB
=
=
=
，根据三角形外接圆的性质可得点O 在DG 上，利用勾股定理求出
3
OG = ，进而
得到
8
DG =
，利用勾股定理求出
4 5
BD
AD
=
=
，
2 11
DH =
，由圆周角定理得到
DAE
CBD
Ð
= Ð
，结合
90 ,
DEA
DHB
AD
BD
Ð
= Ð
=
°
=
，证明


AAS
ADE
BDH
V
V
≌
，推出
2 11
DE
DH
=
=
即可．
【详解】解：过点D 作DG
AB
^
于点G，连接
,
,
AD OB CD ，
∵D 为优弧AB 的中点，
∴

AD
BD
=
，
∴AD
BD
=
，
∴
ABD
△
是等腰三角形，
∵DG
AB
^
，
8
AB =
，
∴
1
4
2
AG
BG
AB
=
=
=
，
∵
O
e
是
ABD
△
的外接圆，
∴点O 在DG 上，
∵
O
e
的半径为5，
∴
5
OB
OD
=
=
，
∴
2
2
3
OG
OB
BG
=
-
=
，
∴
8
DG
OG
OD
=
+
=
，
∴
2
2
4 5
BD
AD
BG
DG
=
=
+
=
，
∵DH
BC
^
于点H，
6
HB = ，
∴
90
BHD
Ð
=
° ，
∴
2
2
2 11
DH
BD
BH
=
-
=
，
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∵

CD
CD
=
，
∴
DAE
CBD
Ð
= Ð
，
∵
90 ,
DEA
DHB
AD
BD
Ð
= Ð
=
°
=
，
∴


AAS
ADE
BDH
V
V
≌
，
∴
2 11
DE
DH
=
=
．
故答案为：2 11 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出
辅助线构造三角形全等时解题的关键．
10．如图，正方形ABCD 边长为2 2 ，内切圆O 上一动点P ，连接AP 、DP ，则
2
2
AP
PD
+
的最小值为      
．
【答案】
5
【分析】本题考查了圆与相似三角形的综合应用，勾股定理，正方形的性质等，熟练掌握相似三角形的判
定和性质是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理求出BD 、OD 的长，以及内切圆的半径，构建相似
三角形，根据相似三角形的对应边之比相等求出
2
2
EP
PD
=
，结合两点之间，线段最短即可求解5 ．
【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为2 2 ，
故正方形ABCD 的对角线




2
2
2
2
2 2
2 2
4
BD
BC
CD
=
+
=
+
=
，
∴
1
2
2
OD
BD
=
=
，
∵点P 在正方形ABCD 的内切圆O 上，
故
1
2
2
OP
AD
=
=
，
在OD 上取一点E ，使得
1
1
2
OE
OD
=
= ，连接AE 、PE 、OP ，如图：
故
2
2
2
2
2
1
5
AE
OA
OE
=
+
=
+
=
，
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∵
1
2
2
2
OE
OP =
=
，
2
2
OP
OD =
，
POE
POD
Ð
= Ð
，
∴OEP
OPD
V
V
∽
，
∴
2
2
EP
OE
DP
OP
=
=
，
即
2
2
EP
PD
=
，
故
2
2
AP
PD
AP
PE
+
=
+
，
当点A 、P 、E 三点共线时，AP
PE
AE
+
=
，此时，AP
PE
+
的值最小，
即点A 、P 、E 三点共线时，
2
2
AP
PD
+
有最小值，为5 ．
故答案为： 
5 ．