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2.复数、平面向量
1.复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类
复数z=a+bi(a，b∈R)
{
实数(b =0),
虚数(b≠0){
纯虚数(a=0,b≠0),
非纯虚数(a≠0,b≠0).
(3)复数相等、共轭复数
复数相等：a+bi=c+di⇔a = c 且
b = d (a，b，c，d∈R).
共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a = c 且
b =-
d (a，b，c，d∈R).
(4)复数的模
向量⃗OZ的模叫做复数z=a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=r=√a
2+b
2(r≥0，a，b∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi
复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z=a+bi(a，b∈R)
平面向量⃗OZ.
3.复数的运算法则
加减法：(a+bi)±(c+di)=( a ± c )+(
b ± d )i ；
乘法：(a+bi)(c+di)=( ac
- bd
)+(
ad
+ bc
)i ；
除法：(a+bi)÷(c+di)=ac +bd
c
2+d
2 +bc -ad
c
2+d
2 i
( c + d i ≠
0)
.(其中a，b，c，d∈R)
4.复数的几个常见结论
(1)(1±i)2=±2i.
(2)1+i
1-i=i，1-i
1+i =-i.
(3)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
5.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，
λ2，使a=λ1e1+λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
6.向量a 与b 的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作⃗OA=a，⃗OB=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b
的夹角.当θ=0 时，a 与b 同向；当θ=π 时，a 与b 反向.如果a 与b 的夹角是π
2 ，我们说a 与b 垂直，记作
a⊥b.
7.平面向量的数量积
(1)若a，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b=| a||b
|·cos
θ .
(2)设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+ y 1y2.
8.两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则
(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2- x 2y1=0.
(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+ y 1y2=0.
9.利用数量积求长度
(1)若a=(x，y)，则|a|=√a·a=√x
2+ y
2.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|⃗AB|=√( x2- x1)
2+( y2- y1)
2.
10.利用数量积求夹角
设a，b 为非零向量，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ 为a 与b 的夹角，
则cos θ=
a·b
|a||b| =
x1 x2+ y1 y2
√x1
2+ y1
2√x2
2+ y2
2.
11.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O 为△ABC 所在平面上一点，角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，则
(1)O 为△ABC 的外心⇔|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|=
a
2sin A .
(2)O 为△ABC 的重心⇔⃗OA+⃗OB+⃗OC=0.
(3)O 为△ABC 的垂心⇔⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA.
(4)O 为△ABC 的内心⇔a⃗OA+b⃗OB+c⃗OC=0.
1.复数z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0 且b≠0.还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.
2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2=-1 化简合并同类项.
3.若⃗AP=λ(⃗
AB
|⃗AB|
+⃗
AC
|⃗AC |)(λ∈(0，+∞))，则点P 的轨迹过△ABC 的内心.忽略了⃗
AB
|⃗AB|
和⃗AC
|⃗AC |
是单位
向量，从而不能正确理解以它们为邻边构成的平行四边形是菱形，也就难以得出⃗
AB
|⃗AB| +⃗
AC
|⃗AC | 与角平分
线的关系.若忽略λ>0，当λ=0 时，此时点P 与点A 重合，就不能完整地表示点P 在角平分线上的轨迹.
4.找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视.
