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专题04 构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍.......................................................................................1
二、典型题型.......................................................................................2
题型一：构造
或
(
，且
)型...........2
题型二：构造
或
(
，且
)型...........3
题型三：构造
或
型.................................4
题型四：构造
或
型.................................5
三、专项训练.......................................................................................6
一、必备秘籍
1、两个基本还原
①f
'( x)g( x)+f ( x)g
'( x)=[ f ( x)g( x)]
' ②
f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)
[ g( x)]2
=[ f ( x)
g( x) ]
'
2、类型一：构造可导积函数
①enx [ f
'(x)+nf (x)]=[enx f (x)]
' 高频考点1： ex[ f
'( x)+f ( x)]=[ex f ( x)]
'
②xn−1[ x f
'(x)+nf (x)]=[ xnf (x)]
'
高频考点1：x f
'( x)+f ( x)=[xf ( x)]
' 高频考点2 x[ x f
'( x)+2f ( x)]=[ x2f ( x)]
'
③
f
'( x)−nf ( x)
enx
=[ f ( x)
enx ]
' 高频考点1： f '( x)−f ( x)
ex
=[ f ( x)
ex
]'
④x f
'( x)−nf ( x)
xn+1
=[ f ( x)
xn ]
'
高频考点1：
x f
'( x)−f ( x)
x2
=[ f ( x)
x
]
' 高频考点2 x f
'( x)−2f ( x)
x3
=[ f ( x)
x2 ]
'
1
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⑤
⑥
序号
条件
构造函数
1
f
'( x)g( x)+f ( x)g
'( x)≥0
F( x)=f ( x)g( x)
2
f '( x)+f ( x)<0
F( x)=ex f ( x)
3
f
'( x)+nf ( x)<0
F( x)=enx f ( x)
4
x f '( x)+f ( x)>0
F( x)=xf ( x)
5
x f
'( x)+2f ( x)≤0
F( x)=x2f ( x)
6
x f
'( x)+nf ( x)>0
F( x)=xnf ( x)
7
f
'( x)sin x+f ( x)cos x>0
F( x)=f ( x)sin x
8
f
'( x)cos x−f ( x)sin x>0
F( x)=f ( x)cos x
3、类型二：构造可商函数
①
f
'( x)−nf ( x)
enx
=[ f ( x)
enx ]
' 高频考点1： f '( x)−f ( x)
ex
=[ f ( x)
ex
]'
②x f
'( x)−nf ( x)
xn+1
=[ f ( x)
xn ]
'
高频考点1：
x f
'( x)−f ( x)
x2
=[ f ( x)
x
]
' 高频考点2：
x f
'( x)−2f ( x)
x3
=[ f ( x)
x2 ]
'
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造
或
(
，且
)型
1．（23-24 高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数
为定义在
上的偶函数，当
时，
，则下列四个判断正确的为（ ）
A．
B．
2
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C．
D．
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知
的定义域为
是
的导函数，且
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（23-24 高二下·山西太原·期中）已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．当
时，
D．当
时，
4．（多选）（23-24 高三上·安徽六安·期末）已知函数
的导函数为
，对任意的
正数x，都满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：构造
或
(
，且
)型
1．（23-24 高二上·江苏宿迁·期末）函数
是定义在
上的奇函数，对任意实数
恒有
，则（ ）
A．
B．
3
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C．
D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R 上的连续可导函数
及其导函数
满足
恒成立，且
时
，则下列式子不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·广东梅州·模拟预测）设
是
的导函数，定义在
上的函数
满足（1）
；（2）
，则
的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）（23-24 高二上·安徽滁州·期末）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，且对任意的
，都有
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知定义在
上的连续可导函数
，
，
的
导函数为
，若
，
是指数函数，
，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
，
D．
题型三：构造
或
型
1．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）函数
是定义在
上的奇函数，其导函
4
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数为
，且
，当
时，
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·重庆）设
是函数
的导函数，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·江苏·阶段练习）函数
的定义域是
，其导函数是
，若
，则关于
的不等式
的解集为 ．
题型四：构造
或
型
1．（23-24 高二上·宁夏石嘴山·）定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒
有
成立．则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（23-24 高二下·安徽滁州·阶段练习）定义在
上的函数
，已知
是它的导函数，且恒有
成立，则有（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
3．（23-24 高二下·江苏苏州·期中）已知函数
，
，
是其导函数，
恒有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、专项训练
1．（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）已知
为函数
的导函数，当
时，有
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数
的定义域为
，对任意
，有
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·四川内江·阶段练习）已知函数
是定义在R 上的可导函数，其导函
数为
．若
，且
，则使不等式
成立的x 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（21-22 高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数
是奇函数
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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5．（23-24 高三上·陕西·阶段练习）已知函数
的定义域是
，其导函数为
，
且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（22-23 高二下·四川绵阳·期中）已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（22-23 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（22-23 高二下·江西吉安·期末）若定义在
上的可导函数
满足
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2024·浙江温州·一模）定义在
上的函数
的导函数为
，对于任意实数
，
都有
，且满足
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．不等式
的解集为
C．若方程
有两个根
，
，则
D．
在
处的切线方程为
10．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上是减函数
D．
在
上是增函数
三、填空题
11．（23-24 高二下·上海·期中）设
是定义在
上的偶函数，
为其导函数，
7
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，当
时，有
恒成立，则不等式
的解集为
.
12．（23-24 高二下·江西南昌·阶段练习）定义在
上的函数
的导函数为
，
且
，则不等式
的解集为 ．
13．（22-23 高二下·吉林长春·期中）已知函数
的导数为
，若
，
，则不等式
的解集为 .
14．（22-23 高三上·山东·阶段练习）已知为定义域上函数的导函数，且，， 且，则不等式
的解集为 ．
8
