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3.2 利用导数研究函数的单调性
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考点一 函数与导函数图像的关系
【例1】（2024 内蒙古包头）
的图象如图所示，则
的图象最有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 云南）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图是函数
的导函数
的图象，若
，则
的
图象大致为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔）已知函数
的图象如图所示（其中
是函数
的导函数），下面
四个图象中可能是
图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 无参函数单调区间
【例2】（2024 广东东莞）（1）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）（2024 重庆·阶段练习）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）（2024 北京）已知函数
，则
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
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1．（2024 广东东莞）函数
的单调减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 重庆长寿）函数
的单调递减区间为（ ）
A．（0，2）
B．（2，3）
C．（1，3）
D．（3，+∞）
3．（2024·浙江·模拟预测）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 某区间上单调求参
【例3-1】（2024 江西南昌）已知函数
在区间
上单调递减，则实数m 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2024 江苏南京）已知函数
在区间
上单调递增，则实数a 的最小值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【例3-3】（2024 海南海口）已知函数
在
上为减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-4】（2024 浙江）已知函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·广东茂名·一模）（多选）若
是区间
上的单调函数，则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．3
D．4
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2．（2024 福建南平）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
的单调递减区间为
，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．（2024 安徽宿州）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 某区间存在单调求参
【例4-1】（2024 福建泉州·阶段练习）若函数
在
上存在单调递增区间，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间
上，函数
存在单调递增区间，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 内蒙古锡林郭勒盟·期末）若函数
在
上存在单调递减区间，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
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C．
D．
2．（2024 重庆江北·期中）若函数
在区间
内存在单调递减区间，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 江西萍乡）已知函数
在区间
上存在单调递增区间，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 江苏常州）若函数
存在单调递减区间，则实数
的取值范围为是 .
考点五 某区间上不单调求参
【例5-1】（23-24 高三上·福建三明·期中）已知函数
，则
在
上不单调的一个充
分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2024 江苏苏州·期末）（多选）若函数
在区间
上不单调，则实数
的
值可能是（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
【一隅三反】
1．（2024 四川绵阳）已知函数
，则
在
上不单调的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
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C．
D．
2．（2024 山东德州）若函数
在(0，1)上不单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 北京）已知函数
．若
在
内不单调，则实数a 的取值范围是
．
考点六 含参函数的单调性分类讨论
【例6-1】（2024·福建漳州·一模）已知函数
，
且
．
(1)证明：曲线
在点
处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数
的单调性．
【例6-2】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，讨论
的单调性.
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【例6-3】（2024 高三·全国·专题练习）已知
，讨论
的单调性.
【一隅三反】
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1．（2024 浙江杭州·期末）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)已知
时，直线
为曲线
的切线，求实数
的值．
2．（2024 安徽）已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线；
(2)讨论
的单调性；
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
．
，讨论函数
的单调区间；
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4．（2024 湖南）已知
，讨论函数
的单调性.
5．（2024 广东湛江）设函数
（
），讨论
的单调性.
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考点七 单调性的应用之比较大小
【例6-1】（2024·云南贵州·二模）已知
，则
的大关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
，若
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国·模拟预测）若
，
，
，则
，
，的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点八 单调性的应用之解不等式
【例8-1】（2024·北京延庆·一模）已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数
.若
，则
的取值范围是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【例8-3】（2024·湖南邵阳·二模）已知函数
的定义域为
为
的导函数.若
，且
在
上恒成立，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·贵州贵阳·一模）已知
是定义在
上的偶函数，且
也是偶函数，若
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江苏·模拟预测）已知函数
的定义域为
，对任意
，有
，则“
”是
“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
3．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为
的函数
，其导函数为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在
上的函数
的导函数为
，且有
，且对任意
都有
，则使得
成立的
的取值范围
是 .
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5．（2024·四川成都·二模）已知函数
，若
，则实数
的取值范围为
.
一.单选题
1．（2023 春·四川乐山）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
，
2．（2023 春·吉林长春）若函数
在区间
上是增函数，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 广东深圳·期末）
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象最有
可能是下列选项中的（ ）
A．
B．
C．
D．
4．2024 广西河池·期末）已知函数
在区间
上不单调，则实数a 的取值范围为（ ）
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A．
B．
C．
D．
5．（2024·宁夏·一模）设定义在R 上的函数
满足对
都有
，且当
时，
，若
，
，
，则a、b、c 的大小关系是（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，
也是定义在
上的奇函数，
则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·四川遂宁·二模）已知a，b，c 均为正数，且
，
，
，则
a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．多选题
9．（2023 春·河南）函数
的图象如图所示，则以下结论正确的有
（ ）
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A．
B．
C．
D．
10．（2024 春重庆）=已知函数
在
上有三个单调区间，则实数
的取值可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在
上的奇函数
连续，函数
的导函数为
．当
时，
，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．
在
上为减函数
B．当
时，
C．
D．
在
上有且只有1 个零点
三．填空题
12．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在
上的可导函数
满足
，若
，则
的取值范围为 ．
13．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数
在区间
上不单调，则
m 的取值范围是 ．
14．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数
，
，若
，
则实数
的取值范围为______．
四．解答题
15．（2024 福建）已知函数
.
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（1）
时，求函数
的单调递增区间；
（2）若函数
在区间
上不单调，且
时，不等式
恒成立，求实数a 的取值范围.
16．（2024·山东青岛·一模）已知函数
．
(1)若
，曲线
在点
处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论
的单调性．
17．（23-24 高三下·河北保定·开学考试）已知
.
(1)当
时，求
的零点个数；
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(2)讨论
的单调性.
18．（2023·全国·高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
19．对下面函数的单调性进行分类讨论
（1）（2024·广西）已知函数
，讨论
的单调性；
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（2）．（2024·安徽）已知函数
，讨论函数
的单调性；
（3）（2024 福建）已知函数
，讨论f（x）的单调性；
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（4）（2024·福建 ）设函数
，
，讨论函数
的单调性；
（5）（2024 湖北）已知函数
，
，讨论函数
的单调性；
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