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专题05 利用导函数研究恒成立问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量
的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若
)对
恒成立，则只需
；若
对
恒成立，则只需
．
③求最值.
二、典型题型
1．（2023·上海崇明·统考一模）若存在实数
，对任意实数
，使得不等式
恒
成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
，
（1）若
，
，总有
成立，故
；
（2）若
，
，有
成立，故
；
（3）若
，
，有
成立，故
；
（4）若
，
，有
，则
的值域是
值域的子集 ．
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若
恒成立，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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3．（2023·江西九江·统考一模）若对
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，若对于任意的
，都有
，则
实数
的取值范围是 .
【点睛】恒成立问题方法指导：
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)
恒成立⇔
；
恒成立⇔
；
能成立⇔
；
能成立⇔
.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求
解．
5．（2023·湖南永州·统考一模）若函数
，当
时，恒有
，则实数t
的取值范围 ．
6．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数
在
时有极小值.曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求
的值；
(2)若对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围.
2
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7．（2023·四川内江·统考一模）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二
是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知
，且
恒成立，则k 的值不可以是（
）
A．－2
B．0
C．2
D．4
2．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若不等式
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知
，
为实数，不等式
在
上恒成立，则
的最小值为（ ）
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
二、多选题
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知
，则
的可能取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数
，若
恒成立，则实数的可能
3
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的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·海南·模拟预测）若
时，关于
的不等式
恒成立，则实数
的值可以为
（ ）
（附：
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
7．（2023 上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数
，若
对
恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数
，
，若
时，
恒成立，则实数
的取值范围是 .
四、问答题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数
（其中为自然对数的底数）．
(1)当
时，讨论函数
在
上的单调性；
(2)若对一切
，
恒成立，求实数
的取值范围．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)若曲线
在
处的切线方程为
，求实数a，b 的值；
(2)若
，对任意的
，且
，不等式
恒成立，求m 的取值范围．
4
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11．（2023 下·安徽合肥·高二统考期末）已知函数
．
(1)当
时，讨论
在区间
上的单调性；
(2)若当
时，
，求
的取值范围．
12．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）已知函数
．
(1)当
时，求
的零点；
(2)讨论
在
上的最大值；
(3)是否存在实数
，使得对任意
，都有
？若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由．
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