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第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
讲义设计思维导图：
【考试要求】
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.
2.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
1.角的概念的推广
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形；
（ 2 ） 分 类 ：
{按旋转方向不同分为 、 、 ;
按终边位置不同分为 角和 角.
（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜
β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式
（1）定义：长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad
表示；
（2）公式
l
角α的弧度数公式 ｜α｜＝ （弧长用l表示）
r
π
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝
180
弧长公式 l＝
扇形面积公式
S＝ ＝
3.任意角的三角函数
（1）设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），则sin α＝
y
，cos α＝ ，tan α＝ （x≠0）；
x
（2）任意角的三角函数的定义（推广）：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，
y x y
其到原点O的距离为r，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ （x≠0）；
r r x
（3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【易错点提醒】
(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角，第一类
是象限角，第二类、第三类是区间角．
(2) 角度制与弧度制可利用 180° ＝ π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一
致，不可混用．
1.下列判断中正确的个数是（ ）
（1）小于90°的角是锐角. （ ）
（2）锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角. （ ）
（3）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关. （ ）
（4）不相等的角的终边一定不相同. （ ）
（5）终边相同的角的同一三角函数值相等. （ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、（多选）下列结论正确的是( )A－是第三象限角．
B若角α的终边过点P(－3,4)，则cos α＝－.
C若sin α>0，则α是第一或第二象限角．
D若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为.
9π
3、下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是（ ）
4
9π
A.2kπ＋45°（k∈Z） B.k·360°＋ （k∈Z）
4
5π
C.k·360°－315°（k∈Z） D.kπ＋ （k∈Z）
4
4、已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________.
5、一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为 .
考点一 角的集合表示及象限角的判定
角度1 终边相同的角
例1.（1）（多选）下列命题正确的是 （ ）
A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z}
B.终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z}
3π
C.第三象限角的集合为{α︱π＋2kπ≤α≤ ＋2kπ，k∈Z}
2
D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
（2）与－2020°终边相同的最小正角是________.
【对点演练1】若角α与β的终边关于x轴对称，则有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
【对点演练2】在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
角度2 象限角的判断
例2(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则( )
A．－α是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上【对点演练】“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点二 扇形的弧长及面积公式
角度1 公式的简单应用
2π 2π
例3已知一扇形的弧长为 ，面积为 ，则其半径r＝ ，圆心角θ＝ .
9 9
【对点演练】已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列说法正确的有( )
A．扇形的半径可能为2
B．扇形的半径可能为1
C．圆心角的弧度数可能是1
D．圆心角的弧度数可能是2
角度2 最值问题
例4 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
【对点演练】某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形
环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD
与 ， 的长度之和为30，圆心角为θ弧度．
(1)求θ关于x的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．
角度3 扇形公式在实际问题中的考查
例5（2022·全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算
⏜
圆弧长度的“会圆术”.如图，
AB
是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D
⏜ ⏜
CD2
在
AB
上，CD⊥AB.“会圆术”给出
AB
的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋ .当OA
OA
＝2，∠AOB＝60°时，s＝（ ）11-3❑√3 11-4❑√3
A. B.
2 2
9-3❑√3 9-4❑√3
C. D.
2 2
【对点演练】《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中(方田)章给出的计算
弧田面积的经验公式为:弧田面积 (弦 矢 矢 ),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的
弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦的长,“矢”等于半径长减去圆心到弦的距离,若有弧长为
,半径为 的弧田,按照上述经验公式计算得到的弧田面积是( )
A. B. C. D.
考点三 三角函数的定义及应用
角度1 根据定义求三角函数值
例6（1）已知角 的顶点与坐标原点 重合,始边与 轴的非负半轴重合,终边上的一点
的坐标为 ,则 ( )
A. B. C. D.
（2） 已知角 的终边经过点 ,则 __________.
【对点演练】若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．
角度2 根据定义求参数
例7若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sin θ＝，则实数a的值为________．
【对点演练】已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a的值是( )
A．－2 B.
C．－2或 D．1
角度3 判断三角函数值的符号
例8（1）sin2cos3tan4的值( )A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
（2）若sin αtan α<0，且>0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【对点演练1】(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( )
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【对点演练2】若sin x＜0，且sin（cos x）＞0，则角x是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
【对点演练3】已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例9 在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中用电焊切割成扇形，现有
如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，试说明哪种方案最优.
【
例10．如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶
点A与P重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A
再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点 A第一次回到点P的位置时，正方
形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为________．
【对点演练1】 如图已知长为 ,宽为 的长方体木块在桌面上做无滑动翻滚,翻滚到第
四次时被小木块挡住,此时长方体木块底面与桌面所成的角为 ,则点 走过的路程为
__________,走过的弧所在的扇形的总面积为__________.1．与－2 023°终边相同的最小正角是( )
A．137° B．133° C．57° D．43°
2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 （ ）
A.1 B.4
C.1或4 D.2或4
3．(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P，则cos θ等于( )
A. B．－ C. D．－
4. 古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画,题字题画的部分多为扇环.已知某扇
形的扇环如图所示,其中外弧线的长为 ,内弧线的长为 ,连接外弧与内弧的两端的
线段均为 ,则该扇形的中心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
5．(2023·惠州模拟)如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五
号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道
飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆
形轨道，嫦娥五号距离月球表面400 千米，已知月球半径约为1 738 千米，则嫦娥五号绕
月每旋转弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)( )
A．1 069千米 B．1 119千米
C．2 138千米 D．2 238千米
7．在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)
D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)
8.(2023·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀
算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为 100，
小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcos α的值为( )
A. B. C. D.
9. （多选） 已知角 的终边与单位圆相交于点 ,则( )
A. B. C. D.
10.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.若α是第一象限角，则－α是第四象限角
B.若α，β是第一象限角，且α＜β，则sin α＜sin β
π 2π
C.若圆心角为 的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
3 3
2π 8π
D.若扇形的圆心角为 ，圆心角所对的弦长为4❑√3，则该扇形的弧长为
3 3
11.（多选）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴的非负半轴为始边，
终边经过点P（1，m）（m＜0），则下列各式的值恒大于0的是（ ）
sinα
A. B.cos α－sin α
tanα
C.sin αcos α D.sin α＋cos α
