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专题24.2 圆心角、弧、弦的关系【九大题型】
【人教版】
【题型1 圆心角、弧、弦的概念】.......................................................................................................................1
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】...................................................................................................4
【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】............................................................................................6
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】...................................................................................................9
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】.................................................................................................12
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】..........................................................................................16
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】..............................................................................................19
【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】.........................................................................................................22
【题型9 圆心角、弧、弦中的的倍数关系】.....................................................................................................25
【知识点1 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧
或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推
二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与
原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念】
【例1】（2022 秋•余姚市期中）下列语句中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②等弦对等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系，等弧，轴对称等知识一一判断即可．
【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．
②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．
③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．
故选：A．
【变式1-1】（2022 秋•长沙县期末）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠BAC＝∠DAC，则下列正确的是
（ ）
A．AB＝AD
B．BC＝CD
C．^
AB =^
AD
D．∠BCA＝∠DCA
【分析】根据∠BAC＝∠DAC，得到^
BC =^
CD，根据圆心角、弧、弦的关系得到BC＝CD．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAC，
∴^
BC =^
CD，
∴BC＝CD，
故选：B．
【变式1-2】（2022 秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O 中，^
AB =^
CD，则下列结论中：①AB＝CD；
②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④^
AC =^
BD，正确的是 ①②③④ （填序号）．
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：在⊙O 中，^
AB =^
CD，
∴AB＝CD，故①正确；
∵BC 为公共弧，
∴^
AC =^
BD故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．
【变式1-3】（2022 秋•武汉期末）如图，⊙O 中，弦AB⊥CD，垂足为E，F 为^
CBD的中点，连接AF、
BF、AC，AF 交CD 于M，过F 作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①^
CF =^
DF；②HC＝BF：③MF＝
FC：④^
DF +^
AH =^
BF +^
AF，其中成立的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．
【解答】解：∵F 为^
CBD的中点，
∴^
CF =^
DF，故①正确，
∴∠FCM＝∠FAC，
∵∠ACF＝∠ACM+∠MCF，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，
∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，
∴FC＞FM，故③错误，
∵AB⊥CD，FH⊥AC，
∴∠AEM＝∠CGF＝90°，
∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，
∴∠CFH＝∠BAF，
∴^
CH =^
BF，
∴HC＝BF，故②正确，
∵∠AGF＝90°，
∴∠CAF+∠AFH＝90°，
∴^
AH的度数+^
CF的度数＝180°，
∴^
CH的度数+^
AF的度数＝180°，
∴^
AH +^
CF =^
AH +^
DF =^
CH +^
AF =^
AF +^
BF，故④正确，
故选：C．
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD 是⊙O 的直径，^
AE =^
BD，若∠AOE＝32°，则∠COE 的度
数是（ ）
A．32°
B．60°
C．68°
D．64°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由^
AE =^
BD得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得
∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．
【解答】解：∵^
AE =^
BD，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝32°
∴∠COE＝32°+32°＝64°．
故选：D．
【变式2-1】（2022•灌阳县一模）如图，在⊙O 中，^
AB =^
CD，∠1＝45°，则∠2＝（ ）
A．60°
B．30°
C．45°
D．40°
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论．
【解答】解：∵^
AB =^
CD，
∴∠2＝∠1＝45°，
故选：C．
【变式2-2】（2022 秋•天河区期末）如图，在⊙O 中，AC＝BD，若∠AOC＝120°，则∠BOD＝
120°
．
【分析】证明^
AC =^
BD可得结论．
【解答】解：∵AC＝BD，
∴^
AC =^
BD，
∴∠BOD＝∠AOC＝120°，
故答案为：120°．
【变式2-3】（2022 秋•亭湖区期末）如图，AB 是⊙O 的直径，^
BC =^
CD =^
DE，∠COD＝34°，则∠AEO
的度数是
51°
．
【分析】由^
BC =^
CD =^
DE，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE 的度数；然后
再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO 的度数．
【解答】解：如图，∵^
BC =^
CD =^
DE，∠COD＝34°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO= 1
2 ×（180°﹣78°）＝51°．
故答案为：51°．
【题型3 利用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2022 春•永嘉县校级期末）如图，半径为R 的⊙O 的弦AC＝BD．且AC⊥BD 于E，连接AB，
AD，若AD＝2√2，则半径R 的长为（ ）
A．1
B．√2
C．2
D．2√2
【分析】连接OA，OD，由弦AC＝BD，可得^
AC =^
BD，继而可得^
BC =^
AD，然后由圆周角定理，证得
∠ABD＝∠BAC，即可判定AE＝BE，由AE＝BE，AC⊥BD，可求得∠ABD＝45°，继而可得△AOD 是
等腰直角三角形，则可求得AD=√2R，由此即可解决问题．
【解答】解：连接OA，OD，
∵弦AC＝BD，
∴^
AC =^
BD，
∴^
BC =^
AD，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD=√2R，
∵AD＝2√2，
∴R＝2，
故选：C．
【变式3-1】（2022•桂平市二模）如图，在Rt△ACB 中∠ACB＝60°，以直角边AB 为直径的⊙O 交线段
AC 于点E，点M 是弧AE 的中点，OM 交AC 于点D，⊙O 的半径是6，则MD 的长度为（ ）
A．√3
2
B．3
2
C．3
D．2√3
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A＝30°，根据垂径定理求出OD⊥AE，根据含30°角的直角三角
形的性质求出OD，再求出MD 即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝30°，
∵M 为弧AE 的中点，OM 过圆心O，
∴OM⊥AD，
∴∠ADO＝90°，
∴OD= 1
2OA= 1
2 ×6=3，
∴MD＝OM﹣OD＝6﹣3＝3，
故选：C．
【变式3-2】（2022•渝中区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是弧AC 的中点，过点D 作DE⊥AB
于点E，延长DE 交⊙O 于点F，若AE＝2，⊙O 的直径为10，则AC 长为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【分析】根据垂径定理求出DE＝EF，^
AD =^
AF，求出^
ADC =^
DAF，求出AC＝DF，求出EF 的长，再
求出DF 长，即可求出答案．
【解答】解：连接OF，如图：
∵DE⊥AB，AB 过圆心O，
∴DE＝EF，^
AD =^
AF，
∵D 为弧AC 的中点，
∴^
AD =^
DC，
∴^
ADC =^
DAF，
∴AC＝DF，
∵⊙O 的直径为10，
∴OF＝OA＝5，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，
在Rt△OEF 中，由勾股定理得：EF=√O F
2−O E
2=√5
2−3
3=4，
∴DE＝EF＝4，
∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，
故选：D．
【变式3-3】（2022 秋•曾都区期中）如图，在⊙O 中，AC= 1
2AB，直径BC＝2√5，^
BD =^
CD，则AD＝
3√2 ．
【分析】如图，连接DB，DC，过点D 作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 交AC 的延长线于点F．证明四边形
DEAF 是正方形，可得AD=√2AF，想办法求出AF，可得结论．
【解答】解：如图，连接DB，DC，过点D 作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC 交AC 的延长线于点F．
∵BC 是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵BC＝2√5，AB＝2AC，
∴AC＝2，AB＝4，
∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，
∴四边形DEAF 是矩形，
∵AD 平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∴四边形DEAF 是正方形，
∴AD=√2AF，
∵∠DAB＝∠DAC，
∴^
BD =^
CD，
∴BD＝CD，
∵∠DEB＝∠F＝90°，DB＝DC，DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE＝CF，
∴AB+AC＝AE+BE＝AF﹣CF＝2AF＝6，
∴AF＝3，
∴AD=√2AF＝3√2，
故答案为：3√2．
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】（2022 秋•龙口市期末）如图，已知⊙O 的半径等于1cm，AB 是直径，C，D 是⊙O 上的两点，且
^
AD =^
DC =^
CB，则四边形ABCD 的周长等于（ ）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．7cm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD、△OCD、△COB 是等边三
角形，然后由等边三角形的性质求得线段AD、DC、CB 与已知线段OA 间的数量关系．
【解答】解：如图，连接OD、OC．
∵^
AD =^
DC =^
CB（已知），
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；
∵AB 是直径，
∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；
∵OA＝OD（⊙O 的半径），
∴△AOD 是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA；
同理，得
OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，
∴AD＝CD＝BC＝OA，
∴四边形ABCD 的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；
故选：B．
【变式4-1】（2022 秋•海口期末）如图，A、B 是半径为3 的⊙O 上的两点，若∠AOB＝120°，C 是^
AB的
中点，则四边形AOBC 的周长等于
12
．
【分析】通过等弧所对的圆心角相等和∠AOB＝120°，得到△AOC 和△BOC 都是等边三角形，再求出
四边形AOBC 的周长．
【解答】解：∵C 是^
AB的中点
∴∠AOC＝∠BOC，而∠AOB＝120°
∴∠AOC＝∠BOC＝60°
∴△AOC 和△BOC 都是等边三角形
∴OA＝OB＝CA＝CB＝3
所以四边形AOBC 的周长等于12．
故填12．
【变式4-2】（2022 秋•西林县期末）如图，在⊙O 中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB 的周长为
9 cm
．
【分析】由OA＝OB，得△OAB 为等边三角形进行解答．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB 为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB
∵AB＝3cm，
∴△AOB 的周长为3+3+3＝9（cm）．
故答案为：9cm．
【变式4-3】（2022•江北区校级开学）如图，⊙O 的弦AC＝BD，且AC⊥BD 于E，连接AD，若AD＝3√6
，则⊙O 的周长为
6 √3π
．
【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O 的弦AC＝BD 求出^
BC =^
AD，根据圆周角定理求出∠BAC＝
∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC= 1
2（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝
90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．
【解答】解：连接AB，AO，DO，
∵⊙O 的弦AC＝BD，
∴^
ABC =^
BAD，
∴^
BC =^
AD，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC= 1
2（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD 是等腰直角三角形，
∵AD＝3√6，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝3√3，
∴⊙O 的周长是2×π×3√3=6√3π，
故答案为6√3π．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】（2022•海丰县模拟）如图，A，B 是⊙O 上的点，∠AOB＝120°，C 是^
AB的中点，若⊙O 的半径
为5，则四边形ACBO 的面积为（ ）
A．25
B．25√3
C．25√3
4
D．25√3
2
【分析】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC 和
△OBC 都是等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：连OC，如图，
∵C 是^
AB的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形，
∴S 四边形AOBC＝2× 1
2 ×5
2× √3
2 = 25
2 √3．
故选：D．
【变式5-1】（2022•嘉兴二模）如图所示，在10×10 的正方形网格中有一半径为5 的圆，一条折线将它分
成甲、乙两部分．S 甲表示甲的面积，则S 甲＝ 25 π
2
．
【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S 弓形AD＝S 弓形BC，S 弓形AB＝S 弓形CD，根据三角形的
面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．
【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∴S 弓形AD＝S 弓形BC，S 弓形AB＝S 弓形CD，
∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，
∴S 甲＝S 乙= 1
2S 圆= 25 π
2
，
故答案为：25 π
2
．
【变式5-2】（2022 秋•朝阳区校级期末）如图，在⊙O 中，^
AC =^
CB，CD⊥OA 于点D，CE⊥OB 于点
E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC 的面积．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定
理证明结论；
（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵^
AC =^
BC，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∵∠CDO＝90°，
∴∠OCD＝30°，
∴OD= 1
2OC＝1，
∴CD=√OC
2−O D
2=√2
2−1
2=√3，
∴△OCD 的面积= 1
2 ×OD×CD= √3
2 ，
同理可得，△OCE 的面积= 1
2 ×OE×CE= √3
2 ，
∴四边形DOEC 的面积= √3
2 + √3
2 =√3．
【变式5-3】（2022•浙江自主招生）如图，在半径为1 的⊙O 上任取一点A，连续以1 为半径在⊙O 上截
取AB＝BC＝CD，分别以A、D 为圆心A 到C 的距离为半径画弧，两弧交于E，以A 为圆心O 到E 的距
离为半径画弧，交⊙O 于F．则△ACF 面积是（ ）
A．√2
B．√3
C．√3+2√2
4
D．√3+3
4
【分析】连OA，OB，AD，DF，过A 作AG⊥CF 于G 点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧
AB 的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD 的度数＝3×60°＝180°，所以AD 为⊙O 的直径，∠CFA＝
60°；再由AN＝AF＝OE，则AD 平分NF，EF 过O 点，弧FD＝弧FA，得到△FAD 为等腰直角三角形，
可得FA= √2
2 AD=√2，在Rt△AGF 中，GF= 1
2AF= √2
2 ，AG=√3GF= √6
2 ，在Rt△AGC 中，CG＝AG
= √6
2 ，最后利用三角形的面积公式即可求出△ACF 面积．
【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A 作AG⊥CF 于G 点，连OE 交⊙O 于N，连AN，如图，
∵AB＝OA＝OB＝1，
∴△OAB 为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弧AB 的度数＝60°，
又∵AB＝BC＝CD，
∴弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴弧ABD 的度数＝3×60°＝180°，
∴AD 为⊙O 的直径，∠CFA＝60°，
∵AN＝AF＝OE=√2，∴AD 平分NF，∴EF 过O 点，
∴弧FD＝弧FA，
∴△FAD 为等腰直角三角形，
∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA= √2
2 AD=√2，
在Rt△AGF 中，GF= 1
2AF= √2
2 ，AG=√3GF= √6
2 ，
在Rt△AGC 中，CG＝AG= √6
2 ，
∴S△ACF= 1
2CF•AG= 1
2 ×（√2
2 + √6
2 ）× √6
2 = √3+3
4
．
故选：D．
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】（2022•下城区校级四模）如图，等腰△ABC 的顶角∠CAB 为50°，以腰AB 为直径作半圆，交BC
于点D，交AC 于点E，则^
DE的度数为（ ）
A．50°
B．25°
C．80°
D．65°
【分析】连接AD，取AB 的中点O，连接OE，OD．利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出∠DOE
＝50°，可得结论．
【解答】解：连接AD，取AB 的中点O，连接OE，OD．
∵AB 是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥CB，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠DAC= 1
2∠BAC＝25°，
∴∠DOE＝2∠DAC＝50°，
∴^
DE的度数为50°，
故选：A．
【变式6-1】（2022 秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C 为圆心，
BC 为半径的圆分别交AB、AC 于点D、点E，则弧BD 的度数为（ ）
A．28°
B．64°
C．56°
D．124°
【分析】先利用互余计算出∠B＝64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到∠CDB＝∠B＝64°，则
根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝62°，
∴∠BCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴^
BD的度数为56°．
故选：C．
【变式6-2】（2022•新昌县模拟）如图在给定的圆上依次取点A，B，C，D，连接AB，CD，AC＝BD，设
AC，BD 相交于点E，弧AD＝100°，AB＝ED，则弧AB 的度数为
50°
．
【分析】连接BC，如图，由弧AD＝100°得到∠ACD＝50°，再证明^
AB =^
CD得到AB＝CD，∠ACB＝
∠DBC，则CD＝ED，所以∠DEC＝∠DCE＝50°，然后计算出∠ECB 的度数，从而得到弧AB 的度数．
【解答】解：连接BC，如图，
∵弧AD＝100°，
∴∠ACD＝50°，
∵AC＝BD，
∴^
AC =^
BD，
即^
AB+^
AD =^
AD +^
CD，
∴^
AB =^
CD，
∴AB＝CD，∠ACB＝∠DBC，
∵AB＝ED，
∴CD＝ED，
∴∠DEC＝∠DCE＝50°，
∵∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝2∠ECB，
∴∠ECB= 1
2∠DEC＝25°，
∴弧AB 的度数为50°．
故答案为：50°．
【变式6-3】（2022•浙江）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则
^
BC的度数是（ ）
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
【分析】直接利用翻折变换的性质得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BO，过点O 作OE⊥AB 于点E，
由题意可得：EO= 1
2BO，AB∥DC，
可得∠EBO＝30°，
故∠BOD＝30°，
则∠BOC＝150°，
故^
BC的度数是150°．
故选：C．
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】（2022 秋•顺义区期末）如图，在⊙O 中，如果^
AB =2^
AC，则下列关于弦AB 与弦AC 之间关系正
确的是（ ）
A．AB＝AC
B．AB＝2AC
C．AB＞2AC
D．AB＜2AC
【分析】取弧AB 的中点D，连接AD，BD，则^
AB =2^
AD =2^
BD，由已知条件^
AB =2^
AC，得出
^
AD =^
BD =^
AC，根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到AD＝BD＝AC，又在△ABD 中，根据三角形
三边关系定理得出AD+BD＞AB，即可得到AB＜2AC．
【解答】解：如图，取弧AB 的中点D，连接AD，BD，则^
AB =2^
AD =2^
BD，
∵^
AB =2^
AC，
∴^
AD =^
BD =^
AC，
∴AD＝BD＝AC．
在△ABD 中，AD+BD＞AB，
∴AC+AC＞AB，即AB＜2AC．
故选：D．
【变式7-1】（2022 秋•西林县期末）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 的是⊙O 中非直径的任意一条弦，试比
较AB 与CD 的大小，并说明理由．
【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：连接OC，OD，
∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD，
∴AB＞CD．
【变式7-2】（2022 秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果
^
AB+^
CD =^
EF，那么AB+CD 与EF 的大小关系是（ ）
A．AB+CD＝EF
B．AB+CD＜EF
C．AB+CD＞EF
D．大小关系不确定
【分析】在弧EF 上取一点M 使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到
AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE 即可．
【解答】解：如图，在弧EF 上取一点M 使弧EM＝弧CD，
则弧FM＝弧AB，
∴AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF 中，FM+EM＞EF，
∴AB+CD＞EF．
故选：C．
【变式7-3】（2022 天河区一模）如图，AB 为半圆的直径，点C、D 在半圆上．
（1）若^
BC =3^
AD，^
CD =2^
AD，求∠DAB 和∠ABC 的大小；
（2）若点C、D 在半圆上运动，并保持弧CD 的长度不变，（点C、D 不与点A、B 重合）．试比较
∠DAB 和∠ABC 的大小．
【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小；
（2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系．
【解答】解：（1）∵^
BC =3^
AD，^
CD =2^
AD
∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD
∵∠BOC+∠COD+∠AOD＝180°
∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60°
∴∠DAB= 1
2∠BOD= 1
2（∠BOC+∠COD）＝75°
∠ABC= 1
2∠AOC= 1
2（∠AOD+∠COD）＝45°
（2）①若^
AD＜^
CB，则∠DAB＞∠ABC；
②若^
AD =^
CB，则∠DAB＝∠ABC；
③若^
AD＞^
CB，则∠DAB＜∠ABC
【题型8 圆心角、弧、弦中的证明问题】
【例8】（2022 秋•自贡期末）如图，AB 为⊙O 的直径，^
BE =^
CE，CD⊥AB 于点D，交BE 于F，连接
CB．
求证：BC＝CF．
【分析】证明：连接AE，利用圆心角、弧与弦的关系证明即可．
【解答】证明：连接AE
∵^
CE =^
BE
∴∠A＝∠FBC，
∵AB 为直径，
∴∠E＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∵CD⊥AB 于D，
∴∠FDB＝90°，
∴∠CFB+∠ABE＝90°，
∴∠A＝∠CFB，
∴∠FBC＝∠CFB，
∴BC＝CF．
【变式8-1】（2022 秋•西林县期末）如图，AB、CD 是⊙O 的直径，弦CE∥AB．求证：^
BD =^
BE．（用
两种不同的方法证明）
【分析】方法一：由CE∥AB 知^
AC =^
BE，再由∠BOD＝∠AOC 知^
AC =^
BD，据此可得证；
方法二：连接OE，知∠OCE＝∠OEC，根据AB∥CE 知∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，从而得
∠BOD＝∠BOE，继而可得证．
【解答】证明：方法一：∵CE∥AB，
∴^
AC =^
BE，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴^
AC =^
BD，
∴^
BD =^
BE；
方法二：连接OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB∥CE，
∴∠BOD＝∠OCE，∠BOE＝∠OEC，
∴∠BOD＝∠BOE，
∴^
BD =^
BE．
【变式8-2】（2022 秋•福清市期末）如图，已知C，D 是以AB 为直径的⊙O 上的两点，连接BC，OC，
OD，若OD∥BC，求证：D 为^
AC的中点．
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出
∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解答】证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠C，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，
∴∠AOD＝∠COD，
∴^
AD =^
CD，
即D 为^
AC的中点．
【变式8-3】（2022•眉山模拟）如图所示，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC，
求证：
（1）^
AD =^
BC；
（2）AE＝CE．
【分析】（1）由AB＝CD，推出^
AB =^
CD，推出^
AD =^
CD．
（2）证明△ADE≌△CBE 可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴^
AB =^
CD，
∴^
AC +^
BC =^
AD+^
AC，
∴^
AD =^
BC．
（2）∵^
AD =^
BC，
∴AD＝BC，
∵∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝EC．
【题型9 圆心角、弧、弦的的倍数关系】
【例9】（2022•原州区期末）在⊙O 中，AB 是直径，CO⊥AB，D 是CO 的中点，DE∥AB，则^
CE与^
BE之
间的等量关系是什么？请证明你的结论．
【分析】连接OE，证出OD= 1
2CO= 1
2OE，得出∠DEO＝30°，求出∠DOE＝60°，∠BOE＝30°，即可
得出结论．
【解答】解：^
CE =2^
BE，理由如下：
连接OE，如图所示：
∵CO⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵DE∥AB，
∴DE⊥CO，
∴∠ODE＝90°，
∵D 是CO 的中点，
∴OD= 1
2CO= 1
2OE，
∴∠DEO＝30°，
∴∠DOE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BOE＝90°﹣60°＝30°，
∴^
CE =2^
BE．
【变式9-1】（2022•铁岭模拟）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，把半圆沿弦AC 折叠，^
AC
恰好经过点O，则^
BC与^
AC的关系是（ ）
A．^
BC = 1
2^
AC
B．^
BC = 1
3^
AC
C．^
BC =^
AC
D．不能确定
【分析】连接OC，BC，过O 作OE⊥AC 于D 交圆O 于E，根据折叠的性质得到OD= 1
2OE，根据圆周
角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD= 1
2BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝
120°，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接OC，BC，过O 作OE⊥AC 于D 交圆O 于E，
∵把半圆沿弦AC 折叠，^
AC恰好经过点O，
∴OD= 1
2OE，
∵AB 是半圆O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴OD= 1
2BC，
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴^
BC = 1
2^
AC，
故选：A．
【变式9-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3 的两条弧，则弦心距与弦长的比为（
）
A．1：3
B．2：3
C．1：4
D．1：2
【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB= 1
4 ×360°＝90°；求得△AOB 是等腰直角三角形，过
O 作OC⊥AB 于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：弦AB 将⊙O 分成了度数比为1：3 两条弧．
则弦所对的圆心角∠AOB= 1
4 ×360°＝90°；
∴△AOB 是等腰直角三角形，
过O 作OC⊥AB 于C，
∴OC= 1
2AB，
∴弦心距与弦长的比为1：2，
故选：D．
【变式9-3】（2022•长安区二模）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且^
AC =3^
BC，则弦AC
与弦BC 的关系是（ ）
A．AC＝3BC
B．AC=√3BC
C．AC＝（√2+1）BC
D．√3AC＝BC
【分析】如图，过点O 作OD⊥AB，交AC 于D，连接BD，OC，证明△CDB 是等腰直角三角形，且
AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=√2x，计算AC 和BC 的比可得结论．
【解答】解：如图，过点O 作OD⊥AB，交AC 于D，连接BD，OC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵^
AC =3^
BC，
∴∠AOC＝135°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∵OD 是AB 的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝22.5°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
设CD＝CB＝x，则AD＝BD=√2x，
∴BC
AC =
x
x +√2 x =
1
√2+1，
∴AC＝（√2+1）BC．
故选：C．
