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班级 姓名 学号 分数
第二十二章 二次函数（学霸加练卷）
（时间：60 分钟，满分：100 分）
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．（3 分）（2022•泉港区模拟）若二次函数
的图象经过不同的六点
、
、
、
、
，
、
，则
、
、
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点
、
、
求得抛物线对称轴所处的范围，
然后根据二次函数的性质判断可得．
【解答】解：由二次函数
可知，抛物线开口向上，
、
、
、
点关于对称轴的对称点在5 与6 之间，
对称轴的取值范围为
，
，
点
到对称轴的距离小于
，点
到对称轴的距离大于
，
，
故选：
．
【点评】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴
和开口方向是解题的关键．
2．（3 分）（2022•威县校级模拟）已知抛物线
与直线
．甲、乙、丙针对
的不同取
值，得到以下结论，下列判断正确的是
甲：若
，则直线与抛物线
有1 个交点；
乙：若
，则直线与抛物线
有1 个交点；
丙：若
，则直线与抛物线
有2 个交点．
A．乙错，丙对
B．甲错，丙对
C．乙对，丙错
D．甲和乙都错
【分析】由
的值确定直线
的具体解析式，再由
，一元二次方程根的情况即为交点情况．
【解答】解：甲：
时，
，
，即
，
△
，
直线与抛物线
无交点；
故甲不符合题意；
乙：
时，
，
，
解得
，
直线与抛物线
有1 个交点为
，
故乙符合题意；
丙：
时，
，
，
解得
或
，
直线与抛物线
有2 个交点，
故丙符合题意；
故选：
．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特点，准确计算是解题的关
键．
3．（3 分）（2022•松桃县模拟）已知二次函数
的图象经过
与
两点，若
，
是关于
的一元二次方程
的两根，则下列结论中正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】把方程的根转化为抛物线和直线的交点，结合图象得出结论．
【解答】解：
二次函数
的图象经过
与
两点，
，
是关于
的一元二次方程
的两根，
，
是二次函数
的图象与直线
的交点的横坐标，
如图所示：
由图象可得，
，
故选：
．
【点评】本题考查抛物线与
轴的交点，关键是把方程的根转化为抛物线和直线的交点．
4．（3 分）（2022•泰安三模）二次函数
，
，
为常数，
中，
与
的部分对应值
如表：
0
1
2
4
0.5
1
0.5
有下列结论：
①函数有最大值，且最大值为1；
②
；
③若
满足
，则
或
；
④若方程
有两个不等的实数根则
；
其中正确结论的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】①根据表格给出的数据即可判断；②根据表中数据求出
，
，
的值；③先求出函数解析式，
在令
，解出一元二次方程的根即可判断；④由△
即可求出
的取值范围．
【解答】解：①由表格给出的数据可知
时，函数有最大值，且最大值为1，故此结论正确；
②把
，
；
，
；
，
代入
，
得
，
解得：
，
故此结论正确；
③由②知，抛物线解析式为
，
令
，则
，
解得：
，
，
，
，
若
满足
，则
或
，故本结论正确；
④
方程
两个不等的实数根，
△
，
解得：
，
故此结论错误．
故选：
．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法得出二次函数的解析式是解题关键，同时利用了二
次函数的性质，函数与不等式的关系．
5．（3 分）（2022•孝南区三模）已知：二次函数
，将该二次函数在
轴上方的图象沿
轴
翻折到
轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线
与新图象有2 个交点时，
的取
值范围是
A．
B．
或
C．
或
D．
【分析】如图所示，直线、
在图示位置时，直线与新图象有3 个交点，即可求解；当直线
在
如图所示的中间位置时图象有四个交点，综上即可得到答案．
【解答】解：如图所示，直线
与
轴重合或位于顶点
的下方时，直线与新图象有2 个交点，
当
与
轴重合时，
；
当直线
不与
轴重合时，由
得到顶点
，
，此时
．
综上所述，
的取值范围是
或
．
故选：
．
【点评】本题考查的是抛物线与
轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的
意义、图象上点的坐标特征等．
6．（3 分）（2022 春•九龙坡区期末）已知二次函数
的图象如图所示，下列结论①
；②
；③
；④
，其中正确的是
A．①③④
B．①②③④
C．②③④
D．①③
【分析】根据二次函数图象与性质，逐项判断即可．
【解答】解：
抛物线开口向下，
，
对称轴是直线
，
，即
，
，
抛物线与
轴交点在正半轴，
，
，故①正确；
由图象可知，
时
，
，
，故②错误；
，
，
，
，故③正确，
时，
是函数的最大值，
，
，
，
故④正确，
正确的有①③④，
故选：
．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
7．（3 分）（2022•来安县二模）已知实数
，
满足
，则
的最大值为
A．10
B．22
C．34
D．142
【分析】化简代数式，利用二次函数的最值求解即可．
【解答】解：
，
，
，
由二次函数的性质可知，当
时，函数有最大值，最大值为34，
故选：
．
【点评】本题考查二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．（3 分）（2022•红花岗区三模）已知二次函数
下列结论正确是
①已知点
，点
在二次函数的图象上，则
；
②该图象一定过定点
和
；
③直线
与抛物线
一定存在两个交点；
④当
时，
的最小值是
，则
；
A．①④
B．②③
C．②④
D．①②③④
【分析】根据表格中的数据，可得到该二次函数开口向上，对称轴为
，再根据二次函数的性质，即可
判断题目中各选项是否正确．
【解答】解：二次函数开口向上，对称轴为
，所以点
关于对称轴的对称点为
，
，在对称轴右边，
随
的增加而增加，
，
，故①错误；
当
时，
，
，
解得，
或
，
该图像一定经过定点
，
，故②正确；
由题意可得方程：
，
整理可得：
，
△
，
直线
与抛物线一定存在两个交点，故③正确；
当
时，
随
的增加而减少，
当
时，
有最小值为
，
即
，
解得
，故④错误；
综上，正确的选项有②③，
故选
．
【点评】本题考察二次函数图像与系数的关系，二次函数与语言二次方程．二次函数图像上点的坐标特征，
熟练掌握二次函数是解题的关键．
9．（3 分）（2022•新华区校级一模）如图，抛物线
为常数且
与
轴交于点
，
过点
作
轴的垂线，与
交于点
，点
是
的顶点．则下列说法；
①当
时，射线
经过线段
的一个端点；
②当
时，射线
经过线段
的一个四等分点；
③当
时，射线
会经过线段
的中点；
④当
时，射线
会经过线段
的一个四等分点．
其中错误的是
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
【分析】由
求出
，
，分别求出
的中点为
，线段
的四等分点坐标
为
，
，
，
，
，顶点
，直线
的解析式为
，再结合选项进行判
断即可．
【解答】解：①当
时，
，
对称轴为直线
，
，
令
，则
，
，
轴，
，
设直线
的解析式为
，
，
，
当
时，
，
点在直线
上，
射线
经过线段
的一个端点；
故①不符合题意；
②当
时，
，
，
，
可求直线
的解析式为
，
当
时，
，
解得
，
直线
上有一点
，
，
令
，则
，
解得
或
，
，
，
线段
的四等分点坐标为
，
，
，
，
，
射线
经过线段
的一个四等分点；
故②不符合题意；
③
与
轴的交点
，
令
，则
，
解得
或
，
，
的中点为
，
的顶点为
，
直线
的解析式为
，
将点
代入
，
，
，
不存在，
故③符合题意；
④线段
的四等分点坐标为
，
，
，
，
，
直线
的解析式为
，
将点
，
代入
，可得
；
将点
代入
，可得
；
将点
，
代入
，可得
；
，
射线
不会经过线段
的一个四等分点，
故④符合题意；
故选：
．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求直线的解析式
是解题的关键．
10．（3 分）（2022•泰安二模）如图，抛物线
的对称轴为
，经过点
，下列结
论：
①
；②
；③
；④点
，
，
，
在抛物线
上，当
时，
；⑤
为任意实数，都有
．其中正确结论有
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断．
【解答】解：
抛物线开口向上，与
轴交于负半轴，
，
，
抛物线的对称轴为：
，
，
，
①正确，②正确；
抛物线过点
．
，
，
，
，
③正确．
抛物线开口向上，对称轴是直线
，
当
时，
随
的增大而增大，
④错误；
抛物线开口向上，对称轴为
，
当
时，函数有最小值，
对任意实数
，当
时的函数值不小于
时的函数值，
，即
，
，
⑤正确，
正确结论有①②③⑤，共4 个，
故选：
．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二．填空题（共8 小题，满分24 分，每小题3 分）
11．（3 分）（2022•沂源县二模）在平面直角坐标系
中，抛物线
经过点
和
．将抛物线在
、
之间的部分记为图象
（含
、
两点）．将图象
沿直线
翻折，得
到图象
．若过点
的直线
与图象
、图象
都相交，且只有两个交点，则
的取值范围
或
．
【分析】根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．
【解答】解：设点
关于
的对称点为
，则点
．
若直线
经过点
和
，可得
．
若直线
经过点
和
，可得
．
直线
平行
轴时，
．
综上，
或
．
故答案为：
或
．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意数形结合，
使抽象的问题变得具体化，降低解题的难度．
12．（3 分）（2022•双阳区一模）如图，抛物线
与
轴交于
点，与
轴交于
、
两点，
，
，连接
，将线段
向上平移落在
处，且
恰好经过这个抛物线的顶点
，则
四边形
的周长为
．
【分析】先利用交点式得到抛物线解析式为
，则利用配方法得到顶点
的坐标为
，再
确定
，则可根据勾股定理计算出
，利用待定系数法确定直线
的解析式为
，
接着根据平移的性质可判断四边形
为平行四边形，然后利用待定系数法求出直线
的解析式得到
，然后利用四边形
的周长
进行计算即可．
【解答】解：
抛物线
与
轴交于
和
，
抛物线解析式为
，
即
；
，
顶点
的坐标为
，
当
时，
，则
，
，
设直线
的解析式为
，
把
，
分别代入得
，
解得
，
直线
的解析式为
，
线段
向上平移得到
，
，
，
四边形
为平行四边形，
设直线
的解析式为
，
把
代入得
，
解得
，
直线
的解析式为
，
当
时，
，则
，
，
四边形
的周长
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了抛物线与
轴的交点：把求二次函数
，
，
是常数，
与
轴
的交点坐标问题转化为解关于
的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
13．（3 分）（2022•梁子湖区二模）如图，正方形
的边长为8，
是边
上一动点（与
，
不
重合），连接
．
是
延长线上一点，过点
作
的垂线交
的平分线于点
，则
面
积的最大值是
8
．
【分析】先根据正方形的性质和角平分线的性质证明出
，设
，则
，再利用同角
的余角相等，判断出
，进而得出
，得出
，然后求出
，
再根据三角形的面积公式求出
的面积，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：作
于
，
四边形
是正方形，
，
是
的角平分线，
，
，
，
，
设
，则
，
，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
当
时，
．
故答案为：8．
【点评】主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式以及二次函
数求最值，判断出
是解本题的关键．
14．（3 分）（2022•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形
的顶点
、
、
的坐标分别
为
、
、
．若抛物线
的图象与正方形
有公共点，则
的取值范围是
．
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的
的值即可解决问题．
【解答】解：
正方形
的顶点
、
、
的坐标分别为
、
、
．
，
当抛物线经过点
时，则
，
当抛物线经过
时，
，
观察图象可知
，
故答案为：
．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（3 分）（2022•江岸区校级模拟）二次函数
的图象如图所示，给出下列结论：①
；②
；③若
，则
；④
，其中正确的序号是
②③④
．
【分析】根据函数的开口方向以及对称轴的位置、与
轴的交点即可判断①④，根据对称轴得出
，
时，
，即可得出
，即可判断②；根据根与系数的关系即可判断③．
【解答】解：
抛物线开口向上，对称轴在
轴的右侧，交
轴的正半轴，
，
，
．
．故①错误；
对称轴
，又
，则
，则
，
当
时，
，
，故②正确；
设抛物线与
轴的两个交点的横坐标是
和
，
，则
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
．
，
，故④正确；
故答案是：②③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，二次函数
，①
二次项系数
决定抛物线的开口方向和大小．当
时，抛物线向上开口；当
时，抛物线向下开口．
②一次项系数
和二次项系数
共同决定对称轴的位置．当
与
同号时（即
，对称轴在
轴左；
当
与
异号时（即
，对称轴在
轴右．（简称：左同右异）③．常数项
决定抛物线与
轴交点．
抛物线与
轴交于
．
16．（3 分）（2022 春•西湖区校级期末）已知函数
在
上有最大值4，则常数
的值为
或
．
【分析】分两种情况：
和
分别求
的最大值即可
【解答】解：
．
当
时，
当
时，
有最大值，
，
；
当
时，
当
时，
有最大值，
，
，
综上所述：
的值为
或
．
故答案是：
或
．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防
漏解．
17．（3 分）（2022•贵港）已知二次函数
图象的一部分如图所示，该函数图象经过
点
，对称轴为直线
．对于下列结论：①
；②
；③
；④
（其中
；⑤若
，
和
，
均在该函数图象上，且
，则
．其中正确结论的个数共有
3
个．
【分析】根据抛物线与
轴的一个交点
以及其对称轴，求出抛物线与
轴的另一个交点
，利用
待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得
，进而可得
，
，再结合二次函数
的图象和性质逐条判断即可．
【解答】解：
抛物线的对称轴为直线
，且抛物线与
轴的一个交点坐标为
，
抛物线与
轴的另一个坐标为
，
把
，
，
代入
，可得：
，
解得
，
，故③正确；
抛物线开口方向向下，
，
，
，
，故①错误；
抛物线与
轴两个交点，
当
时，方程
有两个不相等的实数根，
，故②正确；
，
，
，
又
，
，
，
即
（其中
，故④正确；
抛物线的对称轴为直线
，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在
时，
随
的增大而减小，
，
，故⑤错误，
正确的有②③④，共3 个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性
质，利用数形结合思想解题是关键．
18．（3 分）（2022 春•浦东新区校级期末）已知点
是直线
上一动点，以点
为顶点的抛物线
交
轴于点
，作点
关于
轴的对称点
，连接
、
．若
是直角三角形，则
点
的坐标为
，
，
，
或
，
．
【分析】分别求出
，
的坐标，再求
，
的值即可．
【解答】解：抛物线
的顶点
，
当
时，
，
，
，
当
是直角三角形时，可能
或
，
当
时，
关于
轴的对称点是
，
，
，
①，
在直线
上，
，代入①得：
，
解得
（舍去）或
或
，
当
时，
，
当
时，
，
，
或
，
．
当
时，
，
，
（舍去）或
，
，
，
．
故答案为：
，
，
，
或
，
．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，找到
，
坐标，判断直角顶点是求解本题的关键．
三．解答题（共6 小题，满分46 分）
19．（6 分）（2022•柯城区校级三模）如图，隧道的截面由抛物线
和矩形
构成，矩形的长
为
，宽
为
，以
所在的直线为
轴，线段
的中垂线为
轴，建立平面直角坐标系．
轴是
抛物线的对称轴，最高点
到地面距离为4 米．
（1）求出抛物线的解析式．
（2）在距离地面
米高处，隧道的宽度是多少？
（3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6 米，宽2.4 米，这辆货运
卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
【分析】（1）抛物线的解析式为
，根据
点的坐标由待定系数法就可以求出结论；
（2）当
时代入（1）的解析式，求出
的值即可求出结论；
（3）方法同（2）．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
，
，
设抛物线的解析式为
，
把
代入得：
，
解得
，
抛物线的解析式为
；
（2）在
中，令
得：
，
解得
，
距离地面
米高处，隧道的宽度是
；
（3）这辆货运卡车能通过该隧道，理由如下：
在
中，令
得：
，
解得
，
，
，
这辆货运卡车能通过该隧道．
【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时
求出二次函数的解析式是关键．
20．（6 分）（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函
数图象的“梅岭点”．
（1）若点P（3，p）是一次函数y＝mx+6 的图象上的“梅岭点”，则m＝ ﹣
1
；
若点P（m，m）是函数
的图象上的“梅岭点”，则m＝
3 或﹣
1
；
（2）若点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c 的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b 是常数，a＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的
“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣1＜x1＜1，|x1﹣x2|＝2，如果k＝﹣b2+2b+2，请直接写
出k 的取值范围．
【分析】（1）根据“梅岭点“的定义，P（3．p）的横纵坐标相等，即p＝3m+6＝3；P（m，m）的横
纵坐标相等，即m＝
，分别求解即得答案；
（2）由题意得：抛物线y＝x2+bx+c 与直线y＝x 的唯一交点为P（﹣2，﹣2），方程x2+bx+c＝x 的根为：
x1＝x2＝﹣2，即方程x2+（b
1
﹣）x+c＝0 可写为（x+2）2＝0，对比两个方程的系数，即可求出b，c，进
而得出答案：y＝x2+5x+4；
（3）先由“梅岭点'的定义证明x1、x2是方程ax2+（b
1
﹣）x+2＝0 的两个实数根，利用根与系数的关系
得出x1+x2＝
，x1•x2＝
，进而利用|x1﹣x2|＝2，推出k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2
8
﹣a+3＝﹣4（a+1）
2+7，再由﹣1＜x1＜1 计算出a 的取值范
围，即可求出k 的取值范围．
【解答】解：（1）∵点P（3，p）是一次函数y＝mx+6 的图象上的梅岭点，
∴p＝3m+6＝3，
解得：m＝﹣1，
∵点P（m，m）是函数
的图象上的“梅岭点”，
∴m＝
，
整理得：m2
2
﹣m
3
﹣＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
经检验，m1＝3，m2＝﹣1 都是m＝
的根，
∴m＝3 或﹣1；
故答案为：﹣1；3 或﹣1；
（2）点P（p，﹣2）是二次函数y＝x2+bx+c 的图象上唯一的“梅岭点”，
即抛物线y＝x2+bx+c 与直线y＝x 的唯一交点为P（﹣2，﹣2），
∴方程x2+bx+c＝x 的根为：x1＝x2＝﹣2，
即方程x2+（b
1
﹣）x+c＝0 可写为（x+2）2＝0，
∴x2+（b﹣l）x+c＝x2+4x+4．
∴b
1
﹣＝4，c＝4，
∴b＝5，
∴二次函数的表达式为y＝x2+5x+4；
（3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b 是常數，a＞0）的图象过点（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵y＝ax2+bx+2 图象上存在两个不同的“梅岭点”A（x1，x1），B（x2，x2），
∴x1＝ax1
2+bx1+2，x2＝ax2
2+bx2+2，
∴ax1
2+（b
1
﹣）x1+2＝0，ax2
2+（b
1
﹣）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b
1
﹣）x+2＝0 的两个实数根，
∴x1+x2＝
，x1•x2＝
，
|
∵x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2
4
﹣x1x2＝（
）2
4×
﹣
＝4，
∴b2
2
﹣b+1
8
﹣a＝4a2，
∴k＝﹣b2+2b+2＝﹣4a2
8
﹣a+3＝﹣4（a+1）2+7，
|
∵x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝2 或x2﹣x1＝2，
1
∵﹣＜x1＜1，
3
∴﹣＜x2＜﹣1 或1＜x2＜3
3
∴﹣＜x1•x2＜3，
3
∴﹣＜
＜3，
∵a＞0，
∴a＞
，
4
∴﹣（a+1）2+7＜﹣4×（
+1）2+7＝﹣
，
∴
．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的
关系，不等式性质等知识点，熟练掌握根与系数关系，理解应用新定义“梅岭点”是解题的关键．
21．（8 分）（2022•沂源县二模）已知抛物线
的顶点为
，与
轴的交点为
．
（1）请直接写出
的解析式；
（2）若直线
与
仅有唯一的交点，求
的值；
（3）若抛物线
关于
轴对称的抛物线记作
，平行于
轴的直线记作
．试结合图形回答：当
为何值时，
与
和
共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点．
【分析】（1）设抛物线
的解析式为
，把
代入
，通过解方程求得
的值即可；
（2 ）解方程组得到
，由于直线
与
仅有唯一的交点，于是得到△
，解方程即可求得
的值；
（3）根据轴对称的性质得到抛物线
的解析式为：
，根据图象即可得到结论．
【解答】解：（1）抛物线
的顶点为
，
设抛物线
的解析式为
，
把
代入
得
，
，
抛物线
的解析式为：
，即
；
（2）由
，得
，
直线
与
仅有唯一的交点，
△
，
；
（3）
抛物线
关于
轴对称的抛物线记作
，
抛物线
的顶点坐标为
，与
轴的交点为
，
抛物线
的解析式为
，
①当直线
过抛物线
的顶点
和抛物线记作
的顶点
时，
即
时，
与
和
共有两个交点；
②当直线
过
时，即
时，
与
和
共有三个交点；
③当
或
时，
与
和
共有四个交点．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
22．（8 分）（2022•大方县模拟）如图，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交
于点
，直线
经过点
，
，点
是抛物线上的动点，过点
作
轴，垂足为
，交直
线
于点
．
（1）求抛物线的解析式及点
的坐标；
（2）当点
位于直线
上方且
面积最大时，求
的坐标；
（3）若点
是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点
，使得以
，
，
，
为顶点的四边形是
菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把
代入
，先求出
的值，再求出
的坐标，将点
、
代入解析式
，求解即可；
（2 ）设
，则
，用含
的代数式表示出
，可得
，利用二次函数求最值求解即可；
（3）分类讨论，当点
在
轴右侧时，当点
在
轴左侧时，有菱形的性质可得
，
，
求出
的解析式为
，设
，再根据
，建立关于的方程，求解即可．
【解答】解：（1）把
代入
得
，解得
，
直线
的解析式为
．
令
，则
，
．
把点
，
代入抛物线的解析式，
得
，
解得
．
抛物线的解析式为
．
令
，解得
，
，
；
（2）设
，则
，
，
，
．
，
当
时，
的面积最大，此时
；
（3）存在，理由如下：
当点
在
轴右侧时，
四边形
为菱形，
，
，
设
的解析式为
，
把
坐标代入，得
，
，
的解析式为
，
设
，
，
，
解得
或
（舍，
；
当点
在
轴左侧时，同理可得，
；
综上，
，
．
【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．解题关键是要会利用数
形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关
系．
23．（8 分）（2022•政和县模拟）已知抛物线
过点
，
，直线
与抛物线的另一
个交点为
，交
轴正半轴于点
，且
面积为
．
（1）求此抛物线解析式；
（2）求点
的坐标；
（3）过点
的任意一条直线与抛物线交于
，
两点，过点
作
轴于点
，
①求证：
平分
；
②求证：
，
，
三点共线．
【分析】（1）将点
，
代入
，即可求解；
（2）设
，求出
的直线解析式，从而求出
点坐标，再由三角形
的面积列出方程
，求出即可求解；
（3）①由（2）可知，点
的坐标为
，设
，即可得：
，则
，故
，由
，可得
，即可证得
平分
；
②设直线
的解析式为
，联立方程组
，求出
，
，在求出直线
的
解析式为
，联立方程组为
，求出
，
，再将
点坐标代入直线
中，从而确定
点在直线
上，即可证明．
【解答】（1）解：将点
，
代入
，
，
，
；
（2）解：设
，
设直线
的解析式为
，
，
，
，
，
，
面积为
，
，
或
，
点在
轴正半轴，
，
，
，
点
的坐标为
；
（3）证明：①由（2）可知，点
的坐标为
．
设
，
则
，
，
，
，
，连接
，
，
，
平分
；
②设直线
的解析式为
，
联立方程组
，
，
，
，
，
，
，
设直线
的解析式为：
，
，
，
直线
的解析式为：
，
联立方程组
，
，
，
，
，
，
，
，
将
代入
，得
，
点
在直线
上，
、
、
三点共线．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，熟练应用待定系数法求函数解
析式，会求直线与抛物线的交点坐标，准确计算是解题的关键．
24 ．（10 分）（2022• 南岗区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，
为坐标原点，抛物线
分别交
轴、
轴于
、
、
三点，连接
、
，
的面积为
．
（1）求
的值；
（2）点
在第四象限内抛物线上，其横坐标为，连接
、
，设
的面积为
，求
与的函数
关系式；（不需要写出的取值范围）
（3）在（2）的条件下，点
在线段
上且点
坐标为
，连接
，将射线
沿
翻折与
轴交
于点
，
，点
在
的平分线上，连接
并延长交线段
于点
，
，
点到
轴的距离等于
，过点
作
轴且与过点
的直线交于点
，连接
交线段
于点
，若
，
，求直线
的解析式．
【分析】（1）求得
，设
，
，从而
，即：
，根据根与系数
的关系得
，
，进一步求得
的值；
（2）作
于
，交
于
，可得
，进而求得直线
的解析式为：
，从而得出
和
的坐标，进而表示出
与的关系式；
（3）作
，交
于
，连接
，作
于
，在
上截取
，作
于
，
作
于
，作
于
，将
绕点
逆时针旋转
知
，可得出四边形
是
正方形，可得出
，从而得出
，根据
，从而求得
，进一
步求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
，
，
设
，
，
，
，
令
，
，
，
，
，
；
（2）如图1，
作
于
，交
于
，
，
，
由
，
，
，
，
，
直线
的解析式为：
，
当
时，
，
，
，
；
（3）如图2，
作
，交
于
，连接
，作
于
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是正方形，
在
上截取
，作
于
，作
于
，
，
，
，
平分
，
，
，
，
轴，
，
，
平分
，
平分
，
，
，
，
，
，
，
到
轴距离
，
，
，
，
，
，
，
，
作
于
，
设
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
将
绕点
逆时针旋转
知
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
设
的解析式为：
，
，
，
．
【点评】本题以二次函数为背景，考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形的判定和性质，全等三角
形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“半角”的模型．
