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2.2 二次函数的图像与性质
一、 选择题
1. 抛物线 y ＝( x －2) 2 +3 的顶点坐标是（ ）．
A．(2,3) B．(－2,3) C．(2，－3) D．(－2，－3)
2. 把抛物线 y ＝－ x 2 向右平移1 个单位，然后向下平移3 个单位，则平
移后抛物线的表达式为（ ）．
A． y ＝－( x －1) 2 +3 B． y ＝－( x +1) 2 +3 C． y ＝－( x －
1) 2 －3 D． y ＝－( x +1) 2 －3
3. 已知二次函数 y ＝－ x 2 + bx + c 中函数 y 与自变量 x 之间的部分
对应值如下表所示，点 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )在函数的图象上，
当0＜ x 1 ＜1，2＜ x 2 ＜3 时， y 1 与 y 2 的大小关系正确的是（ ）．
x
… 0
1
2
3
…
y
… －1
2
3
2
…
A． y 1 ≥ y 2 B． y 1 ＞ y 2 C． y 1 ＜ y 2 D． y 1 ≤ y 2
4. 若把函数 y ＝ x 的图象用 E ( x ， x )表示，函数 y ＝2 x +1 的图象
用 E ( x, 2 x +1)表示，…，则 E ( x ， x 2 －2 x +1)可以由 E ( x ， x
2 )怎样平移得到（ ）．
A．向上平移1 个单位 B．向下平移1 个单位
C．向左平移1 个单位 D．向右平移1 个单位
5. 下列抛物线中，开口最大的是（ ）
A．
B．
C． y ＝－ x 2 D．
6. 抛物线
的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．(1，2)，直线 x ＝1
B．(－1，2)，直线 x ＝－1
C．(－4，－5)，直线 x ＝－4
D．(4，－5)，直线 x ＝4
7. 二次函数 y ＝ x 2 的图象向右平移3 个单位，得到新的图象的函数关系
式是（ ）
A． y ＝ x 2 +3 B． y ＝ x 2 －3
C． y ＝( x +3) 2 D． y ＝( x －3) 2
8. 已知函数 y ＝－3 x 2 +1 的图象是抛物线，若该抛物线不动，把 x 轴向
上平移两个单位， y 轴向左平移一个单位，则该函数在新的直角坐标系内的
函数关系式为（ ）
A． y ＝－3( x +1) 2 +2 B． y ＝－3( x －1) 2 －1
C． y ＝3( x +1) 2 +2 D． y ＝3( x －1) 2 －2
9. 在平面直角坐标系中，函数 y ＝－ x +1 与 y ＝
( x －1) 2 的图
象大致是（ ）
10. 二次函数 y ＝ ax 2 + bx + c 中， b 2 ＝ ac ，且 x ＝0 时， y ＝－
4，则（ ）
A． y 最大值 ＝－4 B． y 最小值 ＝－4
C． y 最大值 ＝－3 D． y 最小值 ＝－3
二、填空题
11. 将 y ＝2 x 2 －12 x －12 变为 y ＝ a ( x － m ) 2 + n 的形式，则
m n ＝__________.
12. 当 x ＝__________时，二次函数 y ＝ x 2 +2 x －2 有最小值．
13. 抛物线 y ＝2 x 2 － bx +3 的对称轴是直线 x ＝1，则 b 的值为
__________．
14. 已知抛物线 y ＝ ax 2 + bx + c ( a ＞0)的对称轴为直线 x ＝1，且
经过点(－1， y 1 )，(2， y 2 )，试比较 y 1 和 y 2 的大小： y 1 __________
y 2 (填“＞”“＜”或“＝”)．
15. 二次函数的一般式为____________；若抛物线的顶点坐标为（h，k），则可
设该抛物线的顶点式为____________；若抛物线与x 轴交于（x 1 ，0）、（x 2 ，
0），则可设该抛物线的两点式为____________.
16. 抛物线y=ax 2 +bx+c 的形状与y=2x 2 -4x-1 相同，对称轴平行于y 轴，
且x=2 时，y 有最大值-5，该抛物线关系式为____________.
三、解答题
17. 已知反比例函数
的图象经过点(－1,－2).
（1）求 y 与 x 的函数关系式;
（2）若点(2, n )在这个图象上,求 n 的值.
18.如图所示的二次函数
的图象中，刘星同学观察得出了下
面四条信息：（1）
；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其
中错误的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．1 个
19.如图，已知A（a，m）、B（2a，n）是反比例函数y= （k＞0）与一次函数y=-
x+b 图象上的两个不同的交点，分别过A、B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为
C、D，连结OA、OB，若已知1≤a≤2，则求S △OAB 的取值范围．
20.已知反比例函数
和一次函数y=-x+a-1（a 为常数）
（1）当a＝5 时，求反比例函数与一次函数的交点坐标（5 分）
（2）是否存在实数a，使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，
求出实数a，如果不存在，说明理由（5 分）
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答案解析部分(共有 20 道题的解析及答案)
一、选择题
1、A
点拨： 二次函数 y ＝ a ( x － h ) 2 + k ( a ≠0)的顶点坐标是( h ， k )．
2、C
点拨： 抛物线 y ＝－ x 2 向右平移1 个单位，得到 y ＝－( x －1) 2 ，再下平
移3 个单位，得到 y ＝－( x －1) 2 －3.
3、C
点拨： 由题中条件可知，该抛物线的对称轴是 x ＝2，且开口向下，∴当0＜ x 1
＜1,2＜ x 2 ＜3 时， y 1 ＜ y 2 .
4、D
点拨： 根据给出的新定义， E ( x ， x 2 －2 x +1)为函数 y ＝ x 2 －2 x +1
的图象， E ( x ， x 2 )为函数 y ＝ x 2 的图象．因为 y ＝ x 2 －2 x +1＝( x
－1) 2 ，因此只要把函数 y ＝ x 2 的图象向右平移1 个单位就得到函数 y ＝ x
2 －2 x +1 的图象．
5、D
点拨： 抛物线 y ＝ ax 2 ，| a |越小，抛物线的开口越大．
6、D
点拨： y ＝
x 2 －4 x +3＝
( x 2 －8 x )+3＝
( x －4) 2 －5．
7、D
点拨： 抛物线左右平移横坐标变化，而纵坐标不变，平移规律是“左加右减”．
8、B
点拨： 平移坐标轴相当于把图象反向平移．
9、D
点拨： 一次函数 y ＝－ x +1 中， b ＝1＞0，交于 y 轴的正半轴，排除A、B；二
次函数
的顶点坐标是(1，0)，由此可作出判断．
10、C
点拨： y ＝ ax 2 + bx + c 配方为
，∵ b 2 ＝ ac ，
∴
．当 x ＝0 时， y ＝ c ，即 c ＝－4．
∴
．∵ c ＜0， b 2 ≥0，∴ a ＜0．∴ y 有最大值是－3．
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二、填空题
11、－90
点拨： 将 y ＝2 x 2 －12 x －12 进行配方，得 y ＝2( x －3) 2 －30，所以 m
＝3， n ＝－30，所以 m n ＝－90.
12、－1
点拨： 当 x ＝－
＝－
＝－1 时，二次函数 y ＝ x 2 +2 x －2 有最
小值．
13、4
点拨： 由于－
＝1，解得 b ＝4.
14、＞
15、 解析： 一般情况下，若知道抛物线上的三点坐标，可设二次函数的一般式为
y=ax 2 +bx+c；若知道顶点坐标（h，k）或对称轴x=h，可设顶点式y=a(x-h) 2 +k;
若知道抛物线与x 轴的两个交点坐标，可设两点式y=a(x-x 1 )(x-x 2 )，这样将
比较简便.
答案： y=ax 2 +bx+c y=a(x-h) 2 +k y=a(x-x 1 )(x-x 2 )
16、 解析： 两个抛物线形状相同，二次系数相同或互为相反数.这里a=-2，又对
称轴为x=2，y 有最大值-5，即抛物线y=ax 2 +bx+c 与y=2x 2 -4x-1 形状相同，
∴a=±2.
又∵二次函数有最大值，∴a=-2.
∴y=-2(x-2) 2 -5=-2(x 2 -4x+4)-5=-2x 2 +8x-13.故解析式为y=-2(x-2) 2 -5.
答案： y=-2(x-2) 2 -5
三、解答题
17、（1）
（2）
18、 【答案】A
【解析】解： 观察图像:函数与x 轴有两个交点，所以（1）
正确；函
数与y 轴的交点的纵坐标在0 到1 之间，所以0＜c＜1，故（2）c>1 错误；由函数的
对称轴
，而
，所以
，所以（3）2a－b<0
正确；当
时，函数y 的值为
，观察图像可知：
，所
以（4）a+b+c<0 错误。故选A。
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19、 【答案】2≤S △OAB ≤8．
【解析】
试题分析：先根据函数图象上点的坐标特征得出m=
，n=
，
=-
a+b，
=-
a+b，于是k=
a 2 ，再由反比例函数系数k 的几何意义可知S △OAC =S
△OBD ，那么S △OAB =S △OAC -S △OBD +S 梯形ABDC =S 梯形ABDC =2a 2 ，根据二次函数的性质
即可求解．
试题解析：∵A（a，m）、B（2a，n）在反比例函数y=
（k＞0）的图象上，
∴m=
，n=
，
∵A（a，m）、B（2a，n）在一次函数y=-
x+b 图象上，
∴
=-
a+b，
=-
a+b，
解得：k=
a 2 ，
∴S △OAB =S △OAC -S △OBD +S 梯形ABDC
=S 梯形ABDC
=
（
+
）（2a-a）
=
×
×a
=
k
=
×
a 2
=2a 2 ．
当1≤a≤2 时，S △OAB =2a 2 ，随自变量的增大而增大，此时2≤S △OAB ≤8．
考点：反比例函数系数k 的几何意义．
20、 【答案】（1） 交点坐标为
或
;（2） 存在，当
a=3 或a=-1 时，有且只有一个交点
【解析】
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试题分析：（1）当a=5 时，一次函数为y=-x+4
则交点满足：
解得
，
∴交点坐标为
或
（2）把y=-x+a-1 代入反比例函数可得：x（-x+a-1）=1
即-x 2 +（a-1）x-1=0
当反比例函数与一次函数有且只有一个交点时，△=（a-1） 2 -4=0
解得a=3 或a=-1
也即存在实数a，当a=3 或a=-1 时，有且只有一个交点
考点：反比例函数和一次函数交点
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