专题01利用导数求解函数单调性问题（解析版）_数学_二轮复习_2024年_2024年新高考数学解答题核心考点分解训练与突破（新高考二轮复习）_资料

01 利用导数求解函数单调性问题
一、必备知识：
1、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）求 （通分合并、因式分解）；
fx0
（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
fx0
（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2、含参函数单调性讨论依据：
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
3.已知函数的单调性求参数方法与步骤：
（1）若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上恒成立；
（2）若函数 在区间 上单调递减，则 在区间 上恒成立；
（3）若函数 在区间 上存在单调递增区间，则 ，使得 成立；
（4）若函数 在区间 上存在单调递减区间，则 ，使得 成立.
（5）已知函数 在区间D内单调 不存在变号零点
（6）已知函数 在区间D内不单调 存在变号零点
二、题组
题组一：不带参函数单调性讨论
1．已知函数 ，讨论 的单调性.
【详解】由题意 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .2．已知函数 ，讨论 的单调性.
【详解】 的定义域为 ．由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数.
3．已知函数 ，求 的单调区间；
【详解】函数 的定义域为 ，求导得
，
当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 的递增区间是 ， ，递减区间是 .
4．已知函数 ，讨论 的单调性．
【详解】由题意 ，定义域为 ，
则 ．设 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减．又 ，即 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．5．已知函数 ，求 的单调区间.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，令 ，即 ，解得 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以 递减区间为 ，递增区间为 和 ．
巩固训练：
1．已知函数 ，求 的单调区间.
【详解】因为 ，令 ，得 或1；
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
所以 的增区间为 ， ，减区间为 .
2．已知函数 ，求 的单调区间．
【详解】由题意 ， ，
令 可得 ，故当 时 ， 单调递减；
当 时 ， 单调递增；故 递减区间为 ，递增区间为 .
3．已知函数 ， 求 的单调区间.
【详解】由题意 ， ，
令 则 ，解得 或 （舍），
当 时， 当 时，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .4．若函数 ，求 的单调区间.
【详解】由题意 ，函数定义域为 ，
， ，
令 ，得 .
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
综上， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
5．已知函数 ，求 的单调区间.
【详解】由题意 ，则 ，
设 ，则 恒成立，又 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 的减区间为 ，增区间为 .
6．已知函数 ，求函数 的单调区间；
【详解】 ，函数 的定义域为 ，
令 ，当 时， ，故 在 单调递减，
， 当 时， 单调递增,
当 时， 单调递减, 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
7．若 ，讨论函数 的单调性．【详解】由题意 ，所以 ．
令 ，得 ，所以 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
令 ，得 ，所以 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ．
综上，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
8．设函数 .(1)若函数 在 上递增，在 上递减，求实数 的值.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
由 ，解得 ，此时 ，
则 在区间 上 单调递增；在区间 上 单调递减，符合题意.
所以 的值为 .
题组二：带参函数单调性讨论
1．已知函数 ,讨论 的单调性．
【详解】由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
2．已知函数 ，， ，求 的单调区间.
【详解】由题意 的定义域为 ， .令 ，得 .
当 时， ，所以 的单调递减区间为 .
当 时， ， 的单调递增区间为 .
3．已知函数 和 ，设函数 在 上是
单调函数，求实数 的取值范围．
【详解】由题意，函数 ，
求导得 ，由函数 在 上是单调函数，
得 ， 或 恒成立，
即 或 对 恒成立，而当 时，恒有 ，
且 ，当且仅当 时取等号，因此 或 ，
所以实数 的取值范围 或 .
4．已知 ，求 的单调区间.【详解】由题可得
因为 ，所以 ，所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增.
综上， 在 上单调递减，在 上单调递增.
巩固训练：
1．设函数 ，若 ，求函数 的单调区间.
【详解】由 ，得 ，又 ，
令 ，得 ，或 ，令 ，得 ，
故若 时，函数 的单调增区间为 ，函数 的单调减区间为 ；
2．已知函数 ,讨论 的单调性．
【详解】因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
3．已知函数 ，讨论函数 的单调性．
【详解】由 可得：函数定义域为 ， .
当 时， ，此时函数 在定义域 上单调递减；当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
此时函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
综上可得：当 时，函数 在定义域 上单调递减；
当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
4．设函数 ，讨论 在 上的单调性.
【详解】∵ ，∴ ，
①当 时， 在 上单调递增.
②当 ，即 或 时， ，∴ 在 上单调递减.
③当 且 时，由 得 .
令 得 ；令 得 .
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上递增；
当 或 时， 在 上递减；
当 且 时， 在 上递增，在 上递减.
5．已知函数 ， ，其中 ， ，讨论 的单调性.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，定义域为 ，则 ，当 ，即 时 ，所以 在 上单调递减，
当 ，即 时，令 ，解得 ， ，
所以当 时 ，当 或 时 ，
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
综上可得，当 时 在 上单调递减；
当 时 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递减.
6．已知函数 ，讨论函数 在区间 上的单调性.
【详解】由题意 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时 在区间 上单调递减，
当 时 在区间 上单调递减，在 上单调递增.
题组三：由函数单调性求参
1．设函数 ，且 在区间 内单调递增，求实数a的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，又 在区间 内单调递增，所以 在 恒成立，即 恒成立，所以 ，
而 ，当且仅当 且 时，即 时，取等号，
所以实数a的取值范围为 .
2．已知函数 在 上单调递增，求 的取值范围.
【详解】由题意 ， 设 ，则 ，显然当 时，
， 在 上是增函数，即 在 上是增函数，由 得 ，
当 时， ， 在 递减，
当 时， ， 在 递增，
要使函数 在 上单调递增，则 ，所以 .
3．已知函数 ,若 在 上是增函数，求 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ,
因为 在 上是增函数，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
因为 的对称轴为 ，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 开口向下；综上，要使得 在 上恒成立，
只需 ，解得 ，所以 的取值范围为 .
4．已知函数 ，若 在其定义域上单调递增，求k的取值范围．
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 在其定义域上单调递增，得 ，则 ，
当 时， ，当且仅当 时取等号，
因此 ，解得 ，当 时， ， 在 上递增，
所以k的取值范围是
5．已知函数 ,若 在 上单调递增，求 的取值范围.
【详解】（1）法一：因为 在 上单调递增，所以 时 ，即 ，
设 ，则 ，
所以 时 单调递减， 时 单调递增，
所以 ，所以 ，即 的取值范围是 ；
法二：因为 ，所以 ，
若 ，则 在 上单调递增；
若 ，令 ，则 ，时 单调递减； 时 单调递增，
所以 是 的极小值点，所以 ，
所以当 ，即 时， 在 上单调递增.
综上， 的取值范围是 .
6．已知函数 ， ,若 在 上不单调，求a的取值范围.
【详解】函数 ，则 ，
∵ 在 上不单调，故函数 在 存在极值，
∴ 在 存在零点，即 在 存在解，即直线 与曲线 在 有交点，
当 时， ，所以a的取值范围为 ．
巩固训练：
1．已知函数 ，,如果 在区间 上是增函数，求
实数 的取值范围．
【详解】由题意 在 上是增函数，
则 对 恒成立，即 对 恒成立，
又 在 上为增函数，则 在 上为增函数，则 ，
∴实数 的取值范围是 ．
2．已知函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围．
【详解】函数 的定义域为 ，又 ，依题意可得当 时， 恒成立，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，则 .
令 ， ，由 ，知 在 上单调递增，
从而 .经检验知，当 时，函数 不是常函数，
所以 的取值范围是 .
3．若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围.
【详解】因为 ，则 ，
依题意 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 的取值范围为 .
4．已知函数 ， ，若函数 在 上单调递减，求a的取值范围：
【详解】记 在 上单调递减，
对 恒成立， ，而 ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以当 时， 取得最小值为 .
，所以a的取值范围为
5．已知函数 ，若函数 在 上为增函数，求实数k的取值范围．
【详解】函数 的定义域为 ，要使函数 在定义域内为增函数，
只需 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立.
令 ， ，则 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即实数 的取值范围为 ．
6．已知函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
【详解】由题意，得 ．
因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，即 在 上恒成立，所以 在 上恒成立．
因为当 时， （当且仅当 时，等号成立），
所以 ，解得 ．所以 的取值范围为 ．
7．已知函数 ，在区间 上存在减区间，求 的取值范围；
【详解】由题意 ，若函数 在区间 上存在减区间，
等价于 ，使得 成立，
可得 ，使得 成立，构建 ，
可知 开口向上，对称轴 ，故 ，
解得 ，则 的取值范围为 ．
三、达标检测
1．已知函数 ，求函数 的单调区间．
【详解】由题意 ， ，易知 时， ，即此时函数单调递增，时， ，即此时函数单调递减，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
2．已知函数 ，求 的单调区间.
【详解】由已知 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
3．已知函数 ， 求 的单调区间.
【详解】由题意 ， ，
令 则 ，解得 或 （舍），
当 时， 当 时，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
4．已知函数 ，求 的单调区间．
【详解】由题意 函数的定义域为 ，又 ，
令 ，则 ，所以 （ ）在定义域 上单调递增，
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
5．已知函数 ，设函数 ，求 的单调区间．
【详解】函数 ，求导得 ，
则 其定义域为R，求导得 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
6．函数 ，求 在 上的单调区间．
【详解】 ，
令 ，得 ；令 ，得 或 ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ．
7.已知函数 ．讨论函数的单调性；
【详解】易知 定义域为 ，
令 得 或 ，
①当 即 时，令 得 或 ，令 得 ；
故 在 单调递减，在 上单调递增；
②当 即 时， 恒成立，故 在R上单调递增；
③当 即 时，令 得 或 ，
令 得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上，当 时， 在 单调递减，在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增：当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增.
8．已知函数 ，求 的单调区间.【详解】由 求导得 ，
由 可得 或 .
①当 时，由 可得 ，由 可得 ；
②当 时， 在 上恒成立；
③当 时，由 可得 ，由 可得 .
故当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
当 时， 的单调增区间为 ，无递减区间；
当 时， 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
9．已知函数 ,当 时，讨论函数 的单调性.
【详解】函数 的定义域为 ，又 ，
又 ，二次函数 ，开口向上，对称轴为 ，当 时 ，
所以关于 的方程 异号的两个实数根，解得 或 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
10．若函数 在 上单调递减，求实数a的取值范围．
【详解】因为 ，所以 ，
因为 在[1，4]上单调递减，所以当 时， 恒成立，即 恒成立．令 ， ，则 ，而 ,
因为 ，所以 ，所以 （此时 ），所以 .
又因为 ，则 ，故实数a的取值范围是 .
11．已知函数 在 上单调递增，求实数a的取值范围.
【详解】因为 ，
又 在 上单调递增，所以 对 恒成立，
所以 对 恒成立，所以 对 恒成立；
令 ，且 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，即 的取值范围是 ；
12．已知函数 .若函数 为增函数，求 的取值范围.
【详解】∵ ，则 ，
若 是增函数，则 ，且 ，可得 ，
故原题意等价于 对 恒成立，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上递增，在 递减，故 ，∴ 的取值范围为 .
13．已知函数 在 上单调递增，求实数a的取值范围．
【详解】由题意 ，因为 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
所以 ，解得 ，所以实数a的取值范围是 .
14．已知函数 在区间 上为增函数，求 的取值范围.
【详解】由已知得 ，则 ．
因为 在 上单调递增，所以 恒成立，即 ，
由于 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当 时， ，仅在 时取等号，适合题意，
故 .
15．已知函数 且 在区间 上为单调函数，求 的取值范围.
【详解】函数 ，求导得 ，
因为函数 在区间 上是单调函数，则
当函数 在 上单调递增时， ， ，
即 在 上恒成立，令 ， ，显然函数 在 上单调递增， ，
因此 ，解得 ，
当函数 在 上单调递减时， ， ，
即 在 上恒成立，
因此 ，解得 或 ，
所以 的取值范围为 .