北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
模块卷
时间:100分钟 分值:120分
统计与概率、复数
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
4
1.(2020陕西教学质量检测,1)已知复数z= (i为虚数单位),则z的虚部为 ( )
1+i
A.2 B.2i C.-2 D.-2i
答案 C 本题考查复数的运算.
4 4(1-i) 4(1-i)
由题意得z= = = =2-2i,∴z的虚部为-2,故选C.
1+i (1+i)(1-i) 2
2.(2019重庆中山外国语学校模拟,5)如饼图,某学校共有教师120人,从中选出一个30人的样本,其中被选出
的青年女教师的人数为 ( )
A.12 B.6 C.4 D.3
答案 D 青年教师的人数为120×30%=36,
30
所以青年女教师为12人,故样本中青年女教师被选出的人数为12× =3.故选D.
120
3.(2020甘肃、青海、宁夏联考,3)从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:厘米)分布情况汇总如
下:
身高 (100,110](110,120](120,130](130,140] (140,150]
频数 5 35 30 20 10
由此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字) ( )
A.119.3 B.119.7 C.123.3 D.126.7
答案 C 本题考查中位数,体现了数学运算的核心素养.
由题意知身高在(100,110],(110,120],(120,130]的频率依次为0.05,0.35,0.3,前两组频率和为0.4,组距为10,设中
0.3
位数为x,则(x-120)× =0.1,解得x≈123.3.故选C.
10
4.(2020重庆模拟,5)2020年2月,在新型冠状病毒肺炎疫情防控工作期间,某单位有4名党员报名参加该地四
个社区的疫情防控服务工作,假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作,则
恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为 ( )
81 27 9 9
A. B. C. D.
256 64 64 16
答案 D 本题考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,体现了逻辑推理、数学运算的核
心素养.
由题意得基本事件总数为44,而恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数为 ,则恰有
C1C2A3
4 4 3
一个社区未被这4名党员选取的概率P= C1 4 C2 4 A 3 3 = 9 .故选D.
44 16
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^
5.(2020贵州贵阳期末,8)已知关于变量x,y的线性回归方程为y=0.25x+0.55,且x,y的一组相关数据如下表所
示,则表格中m的值为 ( )
x 1 2 3 4
y 0.8 m 1.4 1.5
A.1 B.1.05 C.1.2 D.2
1+2+3+4
答案 A 由题意知x= =2.5,
4
0.8+m+1.4+1.5 3.7+m
y= = ,
4 4
所以样本点的中心为( 3.7+m),
2.5,
4
^
3.7+m
代入线性回归方程 =0.25x+0.55,得 =0.25×2.5+0.55,解得m=1.
y
4
6.(2020安徽淮北二模,8)2020年高校招生实施强基计划,其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综
合素质优秀或基础学科拔尖的学生,聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关
键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域,有36所大学首批试点强基计划.某中学积极应对,高考前进行
了一次模拟笔试,甲、乙、丙、丁四人参加,按比例设定入围线,成绩公布前四人分别做猜测如下:
甲猜测:我不会入围,丙一定入围;
乙猜测:入围者必在甲、丙、丁三人中;
丙猜测:乙和丁中有一人入围;
丁猜测:甲的猜测是对的.
成绩公布后,四人中恰有两人预测正确,且恰有两人入围,则入围的同学是 ( )
A.甲和丙 B.乙和丁 C.甲和丁 D.乙和丙
答案 C 本题主要考查合情推理,主要抓住共同点及矛盾点去探索结果,体现了逻辑推理的核心素养.
∵甲、丁的猜测是一样的,
∴甲、丁的猜测要么同时与结果相符,要么同时与结果不符.
①假设甲、丁的猜测成立,则乙、丙的猜测不成立,
根据甲、丁的猜测,丙入围,乙、丁中必有一人入围;
这与丙的猜测不成立相矛盾.
故甲、丁的猜测不成立.
②甲、丁的猜测不成立,则乙、丙的猜测成立.
∵乙、丙的猜测成立,∴丁必入围.
∵甲、丁的猜测不成立,乙的猜测成立,
∴丙不入围,甲入围.
从而入围的是甲和丁.
故选C.
思路分析 本题主要抓住甲、丁的猜测是一样的,则甲、丁的猜测要么同时与结果相符,要么同时与结果不
符.先假设甲、丁的猜测成立,则乙、丙的猜测不成立,可推出矛盾,故甲、丁的猜测不成立,则乙、丙的猜测成
立,再分析可得出入围的是甲和丁.
7.(2020河南安阳模拟,10)已知随机变量X的分布列如表:
X -1 0 1
P a b c
1
其中a,b,c>0.若X的方差D(X)≤ 对所有a∈(0,1-b)都成立,则 ( )
3
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1 2 1 2
A.b≤ B.b≤ C.b≥ D.b≥
3 3 3 3
答案 D 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的求法,考查运算求解能力,体现了逻辑推
理和数学运算的核心素养.
依题意,知a+b+c=1,故c=1-a-b,当a∈(0,1-b)时,E(X)=-a+c=1-b-2a,则D(X)=E(X2)-E2(X)=a+c-(c-a)2=a+c-[(c-
a)2+4ac]+4ac=(a+c)-(a+c)2+4a(1-b-a)
=(1-b)-(1-b)2+4a(1-b-a),令1-b=t,则t∈(0,1),
1
D(X)=t-t2+4a(t-a)≤ ,a∈(0,t),
3
1
故4a2-4at+t2-t+ ≥0在a∈(0,t)上恒成立,
3
当a=t 时D(X)有最小值,故4(t ) 2 -4×t ×t+t2-t+1≥0,故t≤1,即1-b≤1,所以b≥2,故选D.
2 2 2 3 3 3 3
b
8.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab<0”是“复平面内表示复数a+ 的点位于第一象限”的 ( )
i
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B 因为ab<0,所以a>0,b<0或a<0,b>0.
b b
因为a+ =a-bi,所以,若复平面内表示复数a+ 的点位于第一象限,则a>0,b<0.所以“ab<0”是“复平面内
i i
b
表示复数a+ 的点位于第一象限”的必要而不充分条件.
i
b
易错易混 本题容易误认为若在复平面内表示复数a+ 的点位于第一象限,则a>0,b>0,错选D.在做题时,需
i
b b
要注意a+ 与a+bi的区别,本题需要先对a+ 进行化简,再进行判断.
i i
9.一次考试中,某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100),则该班数学成绩的及格率可估计为(成
绩达到90分为及格)(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68) ( )
A.60% B.68% C.76% D.84%
答案 D 由题意得μ=100,σ=10.因为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,所以P(90≤X≤110)≈0.68,
1
所以P(90≤X≤100)= P(90≤X≤110)≈0.34.
2
易知P(X≥100)=0.5,所以该班数学成绩的及格率可估计为0.34+0.5=0.84.
故选D.
10.(2020广西柳州模拟,8)袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球,3个白球,从中不放回地依次随机摸取两
球,在第一次摸到了黑球的条件下,第二次摸到白球的概率是( )
4 2 1 1
A. B. C. D.
7 7 2 3
答案 C 本题考查条件概率的计算方法,以及利用计数原理求事件个数.同时考查学生的运算能力.体现了
逻辑推理的核心素养.
在这两次摸球过程中,设A=“第一次摸到黑球”,B=“第二次摸到白球”.
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则n(A)= =24,n(AB)= =12,
C1C1 C1C1
4 6 4 3
n(AB) 12 1
所以P(B|A)= = = .故选C.
n(A) 24 2
12
11.已知随机变量X满足条件X~B(n,p),且E(X)=12,D(X)= ,那么n与p的值分别为 ( )
5
4 2 4 3
A.16, B.20, C.15, D.12,
5 5 5 5
12
答案 C ∵X~B(n,p),且E(X)=12,D(X)= ,
5
{
np=12,
∴ 解得n=15,p=4,故选C.
12
np(1-p)= , 5
5
12.已知一组数据的茎叶图如图所示,下列说法错误的是 ( )
8 5 7
0 0 1 1 4 4
9
7
A.该组数据的极差为12 B.该组数据的中位数为91
C.该组数据的平均数为91 D.该组数据的方差为10
-5-3+1+1+4+4+7
答案 D 依题意,该组数据的极差为97-85=12;中位数为91;平均数为90+ =91;
9
1
方差为 [(85-91)2+(87-91)2+2×(90-91)2+2×(91-91)2+2×(94-91)2+(97-91)2]=12,故选D.
9
二、解答题:共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
13.(12分)某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单,从中随机抽出100张,对每单消费金额进行统计
得到下表:
消费金额 (200,400
(0,200] (400,600](600,800] (800,1000]
(单位:元) ]
购物单张
25 25 30
数
由于工作人员失误,后两栏数据无法辨识,但当时记录表明,根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计
出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率,完成下列问题:
(1)估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中,单笔消费额超过800元的概率;
(2)为鼓励顾客消费,该商场计划在今年国庆期间进行促销活动,凡单笔消费超过600元者,可抽奖一次.抽奖规
则为:从装有大小、材质完全相同的5个红球和5个黑球的不透明口袋中,随机摸出4个小球,并记录两种颜
色小球的数量差的绝对值X,当X=4,2,0时,消费者可分别获得价值500元、200元和100元的购物券.求参与
抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期望.
解析 (1)因消费额在区间(0,400]的频率为0.5,故中位数估计值为400. (2分)
设所求概率为p,而消费额在(0,600]的概率为0.8.
故消费额在区间(600,800]的概率为0.2-p.
因此消费额的平均值可估计为100×0.25+300×0.25+500×0.3+700×(0.2-p)+900×p.
令其与中位数400相等,解得p=0.05. (5分)
C4+C4
1
C1C3+C3C1
10
C2C2
10
(2)根据题意P(X=4)= 5 5= ,P(X=2)= 5 5 5 5= ,P(X=0)= 5 5= .(9分)
C4 21 C4 21 C4 21
10 10 10
设抽奖顾客获得的购物券价值为Y元,则Y的分布列为
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X 4 2 0
Y 500 200 100
1 10 10
P
21 21 21
(10分)
1 10 10 500
故E(Y)=500× +200× +100× = (元). (12分)
21 21 21 3
思路分析 (1)设所求概率为p,根据每单消费额的中位数与平均数恰好相等得到关于p的方程,再解方程即得
解.(2)先求P(X=4)、P(X=2)和P(X=0),再列出分布列,最后计算出数学期望.
14.(12分)2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.
北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取
2
了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占 ,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣.
3
(1)完成2×2列联表,并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”;
有兴趣 没有兴趣 合计
男 55
女
合计
(2)若将频率视为概率,现再从该校一年级全体学生中,采用随机抽样的方法每次抽取1名学生,抽取5次,记被
抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列、期望和方差.
附表:
P(K2≥k) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
0
n(ad-bc)2
K2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
解析 (1)根据已知数据得到如下列联表:
有兴趣 没有兴趣 合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
(2分)
100×(45×15-10×30)2 100
根据列联表中的数据,得到K2= = ≈3.030>2.706, (4分)
55×45×75×25 33
所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”. (5分)
3
(2)由列联表中数据可知,对冰球有兴趣的学生的频率是 ,将频率视为概率,则从大一学生中抽取一名学生对
4
3
冰球有兴趣的概率是 , (7分)
4
由题意知X~B( 3),从而X的分布列为
5,
4
X 0 1 2 3 4 5
1 15 45 135 405 243
P
10241024 512 512 10241024
(10分)
3 15
E(X)=np=5× = , (11分)
4 4
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D(X)=np(1-p)=5×3×( 3)=15. (12分)
1-
4 4 16
思路分析 (1)根据已知数据得到列联表,求出K2≈3.030>2.706,从而有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣
与性别有关”.
(2)由列联表中数据可知,对冰球有兴趣的学生的频率是3,由题意知X~B( 3),由此能求出X的分布列、
5,
4 4
期望和方差.
知识归纳 二项分布满足的条件:
①每次试验中,事件发生的概率是相同的.
②各次试验中的事件是相互独立的.
③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生.
④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.
15.(12分)(2020河南洛阳一模)“公平正义”是构建社会主义和谐社会的重要特征之一,是社会主义法治理念
的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径,正被广泛采用.每次考试过后,考生最关心的问
题是:自己的考试名次是多少,自己能否被录取,能获得什么样的职位.某单位准备通过考试(按照高分优先录
取的原则)录用300名职员,其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000,考试满分为400分
(一般地,对于一次成功的考试来说,考试成绩应服从正态分布).考试后考试成绩的部分统计结果如下:
考试平均成绩是180分,360分及以上的高分考生有30名.
(1)最低录取分数是多少?
(2)考生甲的成绩为286分,若甲被录取,能否获得高薪职位?若不能被录取,请说明理由.
X-μ
参考资料:①当X~N(μ,σ2)时,令Y= ,则Y~N(0,1).
σ
②当Y~N(0,1)时,P(Y≤2.17)≈0.985,P(Y≤1.28)≈0.900,P(Y≤1.09)≈0.863,P(Y≤1.04)≈0.85.
解析 本题考查正态分布的性质以及正态分布在实际生活中的应用.
(1)设考生的成绩为X分,则由题意可得X服从正态分布,
X-180
即X~N(180,σ2),令Y= ,则Y~N(0,1),
σ
30
由360分及以上的高分考生有30名,得P(X≥360)= ,
2000
30
则P(X<360)=1- =0.985,
2000
即有P( 360-180)=0.985,
Y<
σ
360-180
则 ≈2.17,可得σ≈83.
σ
所以X~N(180,832).设最低录取分为x 分,
0
则P(X≥x
0
)=P(
Y≥
x
0
-180)= 300 ,
83 2000
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则P(
Y<
x
0
-180)=1- 300 =0.85,
83 2000
x -180
0
即 ≈1.04,
83
可得x≈266.32,即最低录取分数为266.32分.
0
(2)考生甲的成绩286>267,所以能被录取.
P(X<286)=P( 286-180)=P(Y<1.28)≈0.9,表明不低于考生甲的成绩的人数大约为(1-
Y<
83
0.9)×2000=200,200<275,
所以甲能获得高薪职位.
16.(12分)(2020四川七市一诊)已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关,现收集了一只该品种昆虫的产卵数
y(个)和温度x(℃)的7组观测数据,其散点图如图所示:
根据散点图,结合函数知识,可以发现产卵数y和温度x可用方程y=ebx+a来拟合,令z=lny,结合样本数据可知z
与温度x可用线性回归方程来拟合,根据收集到的数据,计算得到以下数值:
7 7 7
x y z ∑ (x-x)2 ∑ (z-z)2 ∑ (x-x)(z-z)
i i i i
i=1 i=1 i=1
27 74 3.537 182 11.9 46.418
1 7
表中z=lny,z= ∑z.
i i i
7
i=1
(1)求z和温度x的回归方程(回归系数结果精确到0.001);
(2)求产卵数y关于温度x的回归方程;若该地区一段时间内的气温在26℃~36℃之间(包括26℃与36℃),估计
该品种一只昆虫的产卵数的范围.(参考数据:e3.282≈27,e3.792≈44,e5.832≈341,e6.087≈440,e6.342≈568)
附:对于一组数据(ω,υ),(ω,υ),…,(ω,υ),其回归方程^=^+^ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为^=
1 1 2 2 n n
υ α β β
n
∑(ω -ω)(υ -υ)
i i
i=1 , ^ =υ- ^ .
α βω
n
∑(ω -ω)2
i
i=1
解析 本题考查非线性回归方程的求法以及应用.
(1)因为z与温度x可以用线性回归方程来拟合,
7
∑(x -x)(z -z)
故可设 ^ = ^ + ^ x,则 ^ =i=1
i i
=
46.418
≈0.255,
z a b b
7 182
∑(x -x)2
i
i=1
所以^= -^ =3.537-0.255×27=-3.348.
z
a bx
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故z关于x的线性回归方程为^=0.255x-3.348.
z
(2)由(1)可得lny=0.255x-3.348,
所以产卵数y关于温度x的回归方程为^=e0.255x-3.348,
y
当x=26时,^=e0.255×26-3.348=e3.282≈27;
y
当x=36时,^=e0.255×36-3.348=e5.832≈341.
y
因为函数y=e0.255x-3.348为增函数,所以气温在26℃~36℃之间时,估计该品种一只昆虫的产卵数的范围是
[27,341]内的正整数.
易错警示 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,只有在散点图大致呈线性分布时,
求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无意义.根据回归方程进行预报,仅是一个预
报值,而不是真实发生的值.
17.(12分)(2020山东济宁三模)2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年,为落实“精准扶贫”政策,某扶贫小
组为“对点帮扶”一农户引种了一种新的经济农作物,并指导该农户于2020年初开始种植,已知该经济农作
物每年每亩的种植成本为1000元,根据前期各方面调查发现,该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机
性,且两者互不影响,其具体情况如下表:
该经济农作
物 900 1200
亩产量(kg)
概率 0.5 0.5
该经济农作物
市场价格(元/ 15 20
kg)
概率 0.4 0.6
(1)设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元,求X的分布列;(纯收入=收入-成本)
(2)若该农户从2020年开始,连续三年种植该经济农作物,假设三年内各方面条件基本不变,求这三年中该农
户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率;
(3)2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家,且该农户在2020年的家庭所
有支出与其他收入正好相抵,凭这一亩经济农作物的纯收入,预测该农户在2020年底是否可以脱贫,并说明理
由.
注:亩是中国市制土地面积单位,1亩≈666.67平方米.
解析 本题考查概率的基本性质,考查二项分布及数学期望.
(1)由题意知1200×20-1000=23000,1200×15-1000=17000,
900×20-1000=17000,900×15-1000=12500,
所以X的所有可能取值为23000,17000,12500.
设A表示事件“该经济农作物亩产量为900kg”,则P(A)=0.5,
设B表示事件“该经济农作物市场价格为15元/kg”,则P(B)=0.4,
且A,B相互独立,
则P(X=23000)=P(A B)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
P(X=17000)=P(AB)+P(AB)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,
P(X=12500)=P(AB)=0.5×0.4=0.2.
所以X的分布列为
2300 1700 1250
X
0 0 0
P 0.3 0.5 0.2
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北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
(2)设C表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于16000元”,
则P(C)=P(X≥16000)=P(X=23000)+P(X=17000)=0.3+0.5=0.8.
设这三年中有Y年的纯收入不少于16000元,
则所求概率P=P(Y≥2)= ×0.83+ ×0.82×0.2=0.896.
C3 C2
3 3
(3)由(1)知,预测2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为
E(X)=23000×0.3+17000×0.5+12500×0.2=17900(元).
17900
因为 >4000,所以该农户的人均纯收入的预测值超过了国家脱贫标准.
4
所以预测该农户在2020年底可以脱贫.
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