文档文本内容
第06 讲 对数与对数函数
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................5
高频考点一：对数的运算......................................................................................................5
高频考点二：换底公式..........................................................................................................6
高频考点三：对数函数的概念...............................................................................................8
高频考点四：对数函数的定义域...........................................................................................9
高频考点五：对数函数的值域.............................................................................................11
角度1：求对数函数在区间上的值域............................................................................11
角度2：求对数型复合函数的值域................................................................................12
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围.............................................................14
高频考点六：对数函数的图象.............................................................................................16
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象.................................................................16
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数.............................................................18
角度3：对数（型）函数图象过定点问题....................................................................20
高频考点七：对数函数的单调性.........................................................................................22
角度1：对数函数（型）函数的单调性........................................................................22
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数.........................................................24
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式.....................................................26
角度4：对数（指数）综合比较大小............................................................................29
高频考点八：对数函数的最值.............................................................................................30
角度1：求对数（型）函数的最值................................................................................30
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数.................................................................33
角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用.....................................................35
第四部分：典型易错题型...........................................................................................................41
第一部分：基础知识
1、对数的概念
（1）对数：一般地，如果
，那么数
叫做以
为底
的对数，记作
，其中
叫做对数的底数，
叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10 为底的对数
；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的
对数
.
（3）对数式与指数式的互化：
.
2、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数
具有以下性质：
①负数和零没有对数，即
；
②1 的对数等于0，即
；
③底数的对数等于1，即
；
④对数恒等式
.
（2）对数的运算性质
如果
，那么：
①
；
②
；
③
.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：
.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换
成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10 为底的常用对数或以
为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①
；
②
；
③
(其中
，
，
均大于0 且不等于1，
).
3、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如
(
，且
)的函数叫做对数函数，其中
是自变量，函数的定义域是
．
（2）对数函数的图象与性质
图象
性质
定义域：
值域：
过点
，即当
时，
在
上是单调增函数
在
上是单调减函数
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化
【分析】根据题意分析可得
，消去即可求解.
【详解】由题意得
，则
，即
，所以
.
故选：D.
2．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为
在
上递增，且
，
所以
，
所以
，即
，
因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，
所以
，
故选：D
3．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，
定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压
级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、由对数函数的单调性解不等式
【分析】根据题意可知
，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：对数的运算
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）
．
【答案】1
【知识点】对数的运算
【分析】利用对数的运算法则即可求解.
【详解】
．
故答案为：1.
例题2．（24-25 高二上·四川绵阳·阶段练习）
【答案】7
【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用
【分析】分别用指数幂运算法则、对数恒等式、对数运算法则算出
、
、
的值，再代入
原式得出结果.
【详解】第一步：根据指数幂的运算法则，
第二步：根据对数恒等式，
第三步：根据对数运算法则，
第四步：将上述计算结果代入原式可得：
故答案为：
.
精练高频考点
1．（2025 高一上·全国·专题练习）计算：
．
【答案】11
【知识点】对数的运算性质的应用
【详解】原式
．
2．（2025 高三·全国·专题练习）计算：
．
【答案】
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算
【分析】将对数换成同底的形式进行化简，即可求解.
【详解】
.
高频考点二：换底公式
典型例题
例题1．（多选）（25-26 高三上·全国·课后作业）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算
【详解】
，所以
，所以
，故A 正确，B 错
误；
，故C 错误，D 正确．
例题2．（25-26 高三上·全国·课后作业）（1）设
，求
的值；
（2）已知
，且
，求
；
（3）求
的值．
【答案】（1）1；（2）
；（3）3
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算
【详解】解：（1）解法1 由
，得
，由换底公式得
，
所以
．
解法2 由
，两边同时取以6 为底数的对数，得
，所以
，所以
．
（2）令
，所以
，所以
，
由
，得
，所以
，所以
．
（3）原式
．
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算
【详解】
．
2．（2025 高二下·湖南郴州·）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】运用换底公式化简计算
【分析】利用换底公式可得出所求代数式的值.
【详解】
.
故选：C.
高频考点三：对数函数的概念
典型例题
例题1．（24-25 高三上·全国·课后作业）若代数式
有意义，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】对数的概念判断与求值
【分析】由对数的真数大于0 列式即可求.
【详解】由题可得
，解得
或
，
故实数
的取值范围为
．
故选：D
例题2．（24-25 高三上·上海·随堂练习）函数
为对数函数，则实数a 的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】C
【知识点】对数的概念判断与求值
【分析】根据对数函数的定义得出
，求解出
值，需要看是否在底数的取值范围内．
【详解】解：
，
所以
，
，
所以
，
故选：C．
精练高频考点
1．（多选）（23-24 高三上·湖北武汉·开学考试）下列选项中，使
有意义的a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【知识点】对数的概念判断与求值
【分析】利用对数函数的定义列出关于a 的不等式组，求解即可.
【详解】要使
有意义，则
，解得
或
，
所以a 的取值范围是
.
故选：BC.
2．（24-25 高三上·上海·随堂练习）若对数
有意义，则
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】对数的概念判断与求值
【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得.
【详解】依题意，
，解得
且
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
高频考点四：对数函数的定义域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·新疆喀什·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域
【分析】根据对数函数的特点以及分母不等于0 即可得到不等式组，解出即可.
【详解】函数
的定义域需满足
，解得
且
，
故选：D
例题2．（24-25 高三上·广东深圳·期末）函数
的定义域为 .
【答案】
或
【知识点】求对数型复合函数的定义域
【分析】根据真数大于零，求解一元二次不等式，即可求得结果.
【详解】要使得函数有意义，则
，即
，
解得
或
.故
的定义域：
或
.
故答案为：
或
.
精练高频考点
1．（2025 高二下·湖南郴州·学业考试）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】使分母不等于
，及对数的真数大于
即可求解.
【详解】要使
有意义，则有
，解得
且
，
所以
的定义域为
.
故选：D.
2．（24-25 高三上·河南漯河·阶段练习）函数
的定义域是 ．
【答案】
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域
【分析】根据对数真数大于零、偶次根式底数不小于零可构造不等式组求得结果.
【详解】由题意，
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
故答案为：
.
高频考点五：对数函数的值域
角度1：求对数函数在区间上的值域
典型例题
例题1．（24-25 高三上·全国·单元测试）函数
，
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】求对数函数在区间上的值域
【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域.
【详解】函数
在定义域
上单调递减，
当
时，
，即
，且当
时
，
所以函数
，
的值域是
.
故选：A
例题2．（2024 高三·河南）函数
的值域是 .
【答案】
【知识点】求对数函数在区间上的值域
【分析】确定函数的单调性可得最大值和最小值，从而得值域．
【详解】因为函数
和
在
上都是增函数，
所以
在
上是增函数，所以
，
，
函数值域为
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查求函数的值域，考查对数函数的性质，确定函数单调性是求函数值域的常用方法．
精练高频考点
1．（23-24 高三·全国·课后作业）已知函数
，则f（x）的值域是（ ）
A．
B．[﹣
，2]
C．[0，2]
D．[0，
]
【答案】A
【知识点】求对数函数在区间上的值域
【解析】利用对数函数的单调性求解即可．
【详解】函数
是减函数，
所以函数的最小值为：
，
函数的最大值为：
．
函数的值域为：
．
故选：A
【点睛】本小题主要考查对数函数的值域，属于基础题.
2．（23-24 高三上·全国·课后作业）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性
【分析】利用换元法和对数函数的性质即可求得函数
的值域．
【详解】令
，则
，
又
在
上单调递增，
所以
，
故函数
的值域为
．
故选：B．
角度2：求对数型复合函数的值域
典型例题
例题1．（23-24 高三上·广东深圳·阶段练习）函数
的值域是（ ）
A．
B．R
C．
D．
【答案】A
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、求对数型复合函数的值域
【分析】先求出函数的定义域，再换元令
，则
，求出的范围，再利用对数函数的性质
可求出函数的值域
【详解】由
，得
，
令
，则
，
因为
，
，
所以
，
因为函数
在
上单调递减，
所以
，
所以函数的值域为
，
故选：A
例题2．（23-24 高一上·四川成都·阶段练习）求解下列各题
(1)已知
，求
的最大值与最小值.
(2)求函数
的值域.
【答案】(1)
(2)
【知识点】求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的值域
【分析】根据复合函数,求最值和值域，求出内层函数的值域，然后再求外层函数的值域.
【详解】（1）令
，因为
，所以
则
变为
所以当
，
时
即
，
当
时，也就是
时，
即
.
（2）函数
的定义域满足
即
，所以定义域为
，又因为
，
，所以
故函数
的值域为
精练高频考点
1．（23-24 高三上·全国·阶段练习）若函数
，则
的值域为 .
【答案】
【知识点】求对数函数在区间上的值域
【解析】根据对数函数的单调性即可求出.
【详解】因为
在
上单调递减，所以
，
所以
的值域为
.
故答案为：
.
2．（23-24 高二下·甘肃武威·期中）函数
的值域是 .
【答案】
【知识点】求对数型复合函数的值域
【分析】设
，求出的范围，再根据
的单调性可求得结果.
【详解】设
，则
，
因为
在
上单调递减，
所以
，
所以函数
的值域为
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性求函数的值域，属于基础题.
角度3：根据对数函数的值域求参数值或范围
典型例题
例题1．（2025 高二下·陕西西安·学业考试）若函数
的值域为
，则实数a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
]
【答案】D
【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围
【分析】令
，等价于
的值域能取到
内的任意实数即可，
【详解】令
，等价于
的值域能取到
内的任意实数，
若
，则
，符合题意，
若
，则需
，解得
，∴a 的范围为
，
故选：D．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
的值域为
，求a 的取值范
围．
【答案】
【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围
【分析】由函数值域转化成
值域要取遍
，且不能多取．即可求解；
【详解】
的值域为
，
设
，命题等价于
的值域要取遍
，且不能多取．
∴
，解得
．
故a 的取值范围是
．
精练高频考点
1.（24-25 高三下·河南·开学考试）已知函数
的最大值为1，则实数
（ ）
A．1
B．2 或
C．4
D．4 或
【答案】D
【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围
【分析】分析可知
的最大值为4，结合二次函数最值运算求解即可.
【详解】令
因为
在定义域内为增函数，且最大值为1，
可知
的最大值为4，则
，解得
，
经验证
均满足题意.
故选：D.
2．（24-25 高一上·山东济宁·阶段练习）函数
的值域为
，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、根据对数函数的值域求参数值或范围
【分析】分
和
两类讨论，根据对数函数的性质结合二次函数的性质即可得出结论.
【详解】由题意可知，只需满足函数
的值域取遍大于
的所有数即可.
当
时，
，符合题意，
当
时，只需满足
即可，解得
，
综上所述，
的取值范围是
.
故答案为：
高频考点六：对数函数的图象
角度1：对数（型）函数与其它函数的图象
典型例题
例题1．（2025 高二下·湖南郴州·）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状
【分析】先求得函数
为偶函数，图象关于
轴对称，当
时，
，结合对数函数的性
质，结合选项，即可求解.
【详解】由函数
，可得函数
的定义域为
，
又由
，所以函数
为偶函数，图象关于
轴对称，
当
时，
，由对数函数的性质得
在
单调递减，且
，
所以选项D 符合题意.
故选：D.
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
且
，则函数
与函数
的图
象可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状
【分析】化简对数型函数后可得正确的选项.
【详解】因
，故
，故
，
而
与
关于
对称，
各选项中只有B 满足，
故选：B.
精练高频考点
1．（24-25 高一上·福建泉州·期末）函数
的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状
【分析】先求函数的定义域，再取特殊值即可求解.
【详解】令
，由
或
，
所以
的定义域为
，故可以排除AB 选项，
令
有
，故C 错误，D 正确.
故选：D.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状
【分析】根据指数函数与对数函数的图象和性质求解.
【详解】若
，则
在
上是增函数，
在
上是减函数；
若
，则
在
上是减函数，
在
上是增函数，
综上，这两个函数中，一个是增函数，另一个是减函数，故排除A，C，D．
又由于
的定义域为
，其图象只能在y 轴左侧，B 正确．
故选：B.
角度2：根据对数（型）函数的图象判断参数
典型例题
例题1．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知实数
且
，函数
的大致图象如下，则
，
的取值范围可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围
【分析】利用函数的单调性可得
，由
，可求得
.
【详解】由图象可知函数
是减函数，所以
；
当
时，
，所以
．
故选：C.
例题2．（23-24 高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数
，对数函数
的图象如图所示，则下
列关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、根据对数型函数图象判断参数的范围
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到
的范围，从而得到结果.
【详解】由图象可得，指数函数
为减函数，
对数函数
为增函数，
所以
，
即
.
故选：B
精练高频考点
1．（2024 高三上·全国·专题练习）已知函数
为常数，其中
的图象如图，则下
列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、对数函数图象的应用、对数函数单调性的应用
【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.
【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以
；
因为图象与
轴的交点在
轴上方，所以
，所以
.
故选：D
2．（23-24 高三·全国·课堂例题）如图所示的曲线分别是对数函数
，
，
，
的图象，则
，
，，
，1，0 的大小关系为 （用“＞”号连接）．
【答案】
【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围
【分析】由对数函数的图象与性质判断
【详解】由题图可知
，
，
，
．
直线
与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，
，
，
，
故答案为：
角度3：对数（型）函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（24-25 高三下·海南·阶段练习）已知函数
的图象经过定点
，且幂函数
的图象过点
，则
．
【答案】3
【知识点】对数型函数图象过定点问题、求幂函数的值
【分析】利用对数型函数图象特征求出点
坐标，进而求出
的值.
【详解】函数
中，当
，即
时，恒有
，则点
，
由幂函数
的图象过点，得
.
故答案为：3
例题2．（2025·河南·三模）函数
过定点A，若
，则
的最小值为（ ）．
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据给定条件，求出点
的坐标，进而求出
的关系式，再借助＂1＂的妙用计算作答．
【详解】当
，即
时，恒有
，即
过定点
，
因为
，所以点
在
上，
则
，且
，
于是得
，
当且仅当
，即
时取＂
＂，由
且
得：
，
所以当
时，
取得最小值8．
故选：C
精练高频考点
1．（2025·上海宝山·二模）已知函数
且
)的图像经过定点
，则点
的
坐标为
【答案】
【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题
【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可.
【详解】令
，可得
.
所以定点
的坐标为
.
故答案为：
.
2．（23-24 高一下·云南昭通·期末）已知函数
（
，
）的图象恒过定点A，若
点A 在一次函数
的图象上，其中
，
，则
的最小值是 .
【答案】
【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由对数函数性质确定定点坐标，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由函数
（
，
）可知定点
，
又因为点A 在一次函数上，所以
，
所以
，
当且仅当
，
时等号成立.
故答案为：
高频考点七：对数函数的单调性
角度1：对数函数（型）函数的单调性
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性
【分析】根据二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可.
【详解】由
得
，解得
或
，
所以函数
的定义域是
，
因为当
时，
单调递增，
而
在定义域内单调递增，故函数
的单调增区间是
.
故选：D
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误
是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
例题2．（2025·山东潍坊·一模）写出一个同时具有下列性质①②的函数
．
①
；②
在
上是增函数．
【答案】
（答案不唯一，形如
都可以）
【知识点】对数的运算性质的应用、研究对数函数的单调性
【分析】取
验证①②即可.
【详解】对于函数
，该函数的定义域为
，且该函数在
上为增函数，满足②；
对任意的
、
，
，满足①.
故答案为：
（答案不唯一，形如
都可以）.
精练高频考点
1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】对数型复合函数的单调性
【分析】先求函数
的定义域，再求函数
在定义域上的增区间即可.
【详解】解：由已知得
，解得
或
，函数的定义域为
，
因为
总为增函数，要求函数
的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数
在
上的增区间
由二次函数的性质可得
在
上的增区间为
，
故函数
的单调递增区间是
.
故选：A.
2．（24-25 高三上·安徽蚌埠·期末）函数
的单调递增区间是 .
【答案】
（或
）
【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域
【分析】先求函数
的定义域，根据复合函数单调性分析求解.
【详解】令
，解得
，可知函数
的定义域为
，
因为
，
且
在
内单调递增，在
内单调递减，
在定义域内单调递增，
可知函数
在
内单调递增，在
内单调递减，
所以函数
的单调递增区间为
.
故答案为：
（或
）.
3．（24-25 高三上·山西运城·期末）函数
的单调递减区间是 ．
【答案】
【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式
【分析】先求出函数
的定义域，令
，则
，再根据复合函
数的单调性，求出单调区间，即得结果.
【详解】由
，得
，则函数
的定义域为
，
令
，
，则
，
函数
的对称轴为
，
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
因为
为增函数，根据复合函数同增异减，
要使函数
单调递减，则需函数
单调递减，
所以原函数的单调递减区间为
.
故答案为：
.
角度2：由对数函数（型）函数的单调性求参数
典型例题
例题1．（24-25 高一下·广西·期中）已知函数
在
上单调递减，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性，结合定义域列式求解.
【详解】函数
在
上单调递减，而函数
在
上单调递减，
则函数
在
上单调递增，且恒有
，
因此
且
，解得
，
所以
的取值范围为
.
故选：D
例题2．（24-25 高三上·安徽宿州·期末）已知关于
的函数
在
上单调递增，
则实数
的取值范围是 .
【答案】
【知识点】对数型复合函数的单调性
【分析】根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】令
，则
，
因为
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，且
，
所以
，解得
，
故答案为：
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误
是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
精练高频考点
1．（24-25 高三上·上海浦东新·阶段练习）若函数
在
上是严格增函数，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求得结果.
【详解】由题意知函数定义域为
或
，
令
是二次函数，对称轴为
，在
上单调递增，
由复合函数单调性可知，
在
上严格增，则
.
故答案为：
2．（24-25 高三上·湖南永州·阶段练习）若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围
【答案】
【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数
【分析】由复合函数的单调性计算即可得.
【详解】令
，对称轴为
，
因为函数
在区间
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，且
，
所以
且
，即
且
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
角度3：由对数函数（型）函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．（24-25 高三上·北京西城·阶段练习）已知函数
.
(1)判断
的奇偶性，并证明；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
为奇函数，证明见解析
(2)
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、由对数函
数的单调性解不等式
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再计算
，即可证明；
（2）首先判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】（1）
为奇函数，证明如下：
由题意可得
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
又
，
所以函数
是定义在
上的奇函数.
（2）因为
，
又
在
上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，
不等式
，即
，即
，即
，
解得
，
所以
的取值范围为
.
例题2．（24-25 高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知函数
的图象与
（
且
）
的图象关于直线
对称，且
的图象过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
成立，求x 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、求反函数、求对数函数的解析式
【分析】（1）已知点坐标代入
求得
，然后由
求得
，再把
互换位置即得；
（2）由
的单调性解不等式．
【详解】（1）
的图象过点
，则
，即
，∴
（负值舍去），
∴
，
由
得
，所以
；
（2）
在定义域内是减函数，
因此由
得
，解得
．
友情提醒：对数型复合函数问题尤其要注意定义域，忽略了定义域而造成错误
是最常见的，解此类题时，请牢记定义域
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数
是指数函数.
(1)求
的表达式；
(2)判断
的奇偶性，并加以证明；
(3)解不等式：
.
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数是指数函数求参数、函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）利用指数函数的定义求解即可；
（2）结合指数运算，根据函数奇偶性的定义即可证明；
（3）根据对数函数的单调性即可求解不等式的解集.
【详解】（1）函数
是指数函数，所以
解得
或2，
又
，所以
，所以
.
（2）由（1）知
，
其定义域为R，关于原点对称，
又因为
，所以
是奇函数；
（3）由（1）知：
，
所以
，解得：
，
所以不等式
的解集为
.
2．（24-25 高三上·山东临沂·期末）已知函数
为偶函数.
(1)求a 的值；
(2)若
，求m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数
【分析】(1)根据偶函数的定义,由
，求得
;
(2) 首先写出
解析式,然后利用对数函数的单调性,结合定义域,得不等式组,求解即可.
【详解】（1）
,
的定义域为
为偶函数,
的定义域一定关于原点对称，即
此时
,
,满足
,
.
故
.
（2）由（1）知
,则
,
故
可转化为
解得
或
,
故实数m 的取值范围为
角度4：对数（指数）综合比较大小
典型例题
例题1．（2025·天津南开·二模）已知
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】比较指数幂的大小、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较.
【详解】由
，
，
所以满足
，
故选：C.
例题2．（2025·天津滨海新·三模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、对数的运算、比较对数式的大小
【分析】由指数函数、对数函数单调性即可求解.
【详解】由题意
.
故选：A.
精练高频考点
1．（2025·天津·二模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】利用指、对、幂的单调性比较大小即可.
【详解】
是增函数，
，
在
是增函数，
，故
，
在
是增函数，
，
即
，
故选：D.
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法比较大小即可.
【详解】因为函数
在
上单调递增，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
，
，所以
.
故选：D.
高频考点八：对数函数的最值
角度1：求对数（型）函数的最值
典型例题
例题1．（24-25 高三上·全国·课后作业）函数
在区间
内的最大值为 ．
【答案】
【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数函数的最值
【分析】利用对数型函数的单调性求解即可.
【详解】由
，解得：
或
所以
的定义域为
，
因为
在区间
内单调递增，所以函数
在区间
内单调递减，
函数在区间
内的最大值为
．
故答案为：
.
例题2．（24-25 高三上·浙江杭州·期中）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，求函数
的值域
【答案】(1)
(2)
【知识点】由奇偶性求函数解析式、求对数函数的最值
【分析】（1）根据函数
是定义在R 上的奇函数可得
，利用奇函数的定义可求
时
的表达式，从而得到
的解析式.
（2）计算
表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调
性即可得到结果.
【详解】（1）
是定义在
上的奇函数，
．
时，
，
当
时，
，
．
（2）由题意得
，
，
令
，问题等价于求
的值域，
函数
图象开口向上，对称轴为直线
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
函数
的值域为
．
精练高频考点
1．（23-24 高三上·吉林延边·期末）设函数
，且
.
(1)求实数
的值及函数
的定义域；
(2)求函数
在区间
上的最小值.
【答案】(1)
，定义域为
(2)0
【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数函数的最值
【分析】（1）根据题中条件，即可对数运算，得到
的值；再根据真数大于零，列出不等式组求解，即可
求出定义域；
（2）由（1）将函数解析式整理得到
，判断其在给定区间的单调性，即可得出最小值.
【详解】（1）因为
，
由
，得
，则
，解得
；
又
，解得
，
所以
的定义域为
；
（2）由（1）得
，
因为
，令
，
令
，则函数
单调递增，
故
，即
时，
取最小值，
故
的最小值为0．
2．（23-24 高三上·陕西延安·期末）设
，且
．
(1)求
的值及
的定义域；
(2)求
在区间
上的最值.
【答案】(1)
，定义域为
(2)最大值为
，最小值为
.
【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数函数的最值
【分析】（1）根据
代入求出
的值，即可得到
解析式，再根据对数的真数大于
得到不等式
组，求解即可；
（2）首先分析函数的单调性，求出最大值与区间端点函数值，进而可得解.
【详解】（1）因为
，且
，
所以
，即
，解得
.
故
,
令
，解得
,
故
的定义域为
.
（2）因为
，
，
又
，在
上单调递增，在
上单调递减，
在定义域上单调递增，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
，
所以
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
角度2：根据对数（型）函数的最值求参数
典型例题
例题1．（23-24 高三上·山西长治·期末）已知函数
的最大值为2，则
．
【答案】6
【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围
【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得.
【详解】因为函数
由
与
复合而成，
而
在定义域上单调递增，所以当
取最大值时，函数
取得最大值，
由二次函数的性质易知当
时，
，此时
，所以
，解得
．
故答案为：
例题2．（22-23 高三上·安徽合肥·阶段练习）若函数
（
且
）的最小值为
－4，则实数a 的值为 .
【答案】
/
【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围
【分析】结合复合函数的单调性、最值以及二次函数的性质即可求出.
【详解】由题意知，
，解得
，
因为
，
因为
，则
，又因为
的最小值为－4，
则
，所以
，
即
，得
，因为
，所以
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（23-24 高三上·四川成都·期末）已知函数
的值域为
，
的值域为
，则
（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5
【答案】A
【知识点】求指数型复合函数的值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据对数函数的最
值求参数或范围
【分析】由已知可得函数
的值域为
，从而可得
的值，
的最小值为
9，从而可得
的值，即可得解．
【详解】因为函数
的值域为
，
所以函数
的值域为
，
所以
，解得
，
因为
的值域为
,
，
所以
的最小值为9，所以
，
解得
，
所以
．
故选：A．
2．（2024·广西南宁·模拟预测）已知函数
，若
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】对数型复合函数的单调性、根据对数函数的最值求参数或范围
【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可.
【详解】由
，得
，
所以函数
定义域为
，
因为
由外层函数
和内层函数
复合而成，
当
时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以
单调递减，
当
时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以
单调递增，
所以
，所以
，
又因为
，所以
.
故选：C
角度3：对数（型）函数的最值与不等式综合应用
典型例题
例题1．（24-25 高三上·河北张家口·开学考试）已知函数
（
为常数，
），且
是偶函数.
(1)求
的值；
(2)若函数
，问是否存在正实数
，使关于
的不
等式
对
恒成立，若存在，求出
的范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数运算求解即可；
（2）整理可得
，换元令
，根据对数的真数大于0 可得
，且
，对对数的底数分类讨论，结合对数函数单调性分析求解.
【详解】（1）由题意可知：函数
的定义域为
，
若函数
是偶函数，则
，
又因为
，
即
，结合x 的任意性可得
，所以
.
（2）由（1）可知：
，
则
，
可得
，
若不等式
对
恒成立，即
，
令
，可得
，
可知
对任意
恒成立，
且
，可得
，
因为
在
内单调递增，则
，
可得
，且
，
若
，则
，可得
，
因为
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
，即
符合题意；
若
，则
，可得
，
因为
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，则
，
可得
，无解；
综上所述：存在正实数
符合题意，实数
的取值范围为
.
【点睛】关键点点睛：对于对数函数问题，要先考虑对数的真数大于0，否则容易出现错误.
例题2．（24-25 高三上·山西太原·开学考试）已知函数
．
(1)证明函数
为奇函数；
(2)设函数
，若
，使得
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义来证得结论成立.
（2）根据
的单调性求得
在区间
上的最小值，利用换元法求得
在区间
上的最小
值，由此列不等式来求得
的取值范围.
【详解】（1）由
，得
，解得
，
即
的定义域为
，关于原点对称，
，
所以函数
为奇函数.
（2）由题意得，
，
，
由
为
上恒为正且为增函数，
在
上为增函数，
可得
在
上单调递增，故
，
对于
，
，
令
，则
，故
，
其对称轴为
，所以当
，即
时，
，
由题意得
，
解得
，即实数
的取值范围为
.
精练高频考点
1．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若
在
上单调递增，求
的取值范围．
(3)设
，若对于任意
，存在
，使得不等式
成立，求
的取值范
围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】求对数函数的最值、对数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式的恒成立问题、由对数
（型）的单调性求参数
【分析】（1）当
时，分析函数
的单调性，可求得函数
的最小值；
（2）利用复合函数的单调性可知，内层函数
在
上为增函数，且
，可得出关于
实数
的不等式组，由此可解得实数
的取值范围；
（3）由题意可知，
对任意的
恒成立，可得出
对任意的
恒成
立，参变量分离可得出
，利用基本不等式可求得实数
的取值范围.
【详解】（1）当
时，
，
对任意的
，
恒成立，此时，函数
的定义域为
，
因为内层函数
的减区间为
，增区间为
，
外层函数
为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数
的减区间为
，增区间为
，
故
.
（2）令
，因为外层函数
在定义域上为增函数，且函数
在
上单调递增，
则内层函数
在
上为增函数，且
，
即
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
（3）对于任意
，存在
，使得不等式
成立，
则
对任意的
恒成立，
因为
，
当
时，
，故当
时，即当
时，函数
取最小值，
即
，
所以，
对任意的
恒成立，
由
可得
，参变量分离得
，
因为
，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时等号成立，则
，
因此，实数
的取值范围是
.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
.
2．（24-25 高三上·山西·期末）已知函数
．
(1)当
时，解方程
；
(2)若对
，函数
在区间
上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的
取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式求和的最小值、
由对数函数的单调性解不等式
【分析】（1）根据对数的运算性质求解即可；
（2）根据复合型对数函数的定义域和单调性，列不等式组求解即可.
【详解】（1）当
时，
，
所以
，
所以
可化为
，
即
，所以
，或
，
所以
，或
，
即方程
的解为
或
．
（2）因为对
在
上总有意义，
所以对
在
上恒成立．
令
，则
，
因为
，所以
在
上单调递减，所以
，
所以
恒成立，即
，所以
，
因为
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，
所以
，
由题意知
，
即
，
所以
，即
，
因为
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故实数的取值范围为
．
【点睛】关键点点睛：对于恒（能）成立问题，常常结合最值分析处理，而最值又结合函数的单调性，所
以对于函数的单调性要灵活熟练应用.
第四部分：典型易错题型
备注：对数型复合函数容易忽略定义域
1．（24-25 高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数
在
内单调递增，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数
【分析】根据同增异减可得
的增减性，故可求实数
的取值范围.
【详解】设
，因为
为
上的增函数，
而
在
内单调递增，
故
为
内的增函数，且
在
内恒成立，
故
，故
，
故选：D.
2．（2025·广东·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、对数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值
或范围
【分析】由复合函数的单调性得到
在
上单调递增，列出不等式组，解之即得参
数范围.
【详解】因为
在
上单调递增，由函数
在
上单调递增，
可得
在
上单调递增且
恒成立，
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
故选：C.
3．（24-25 高一上·云南昆明·期末）函数
的单调递减区间为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】对数型复合函数的单调性
【分析】由
，求得
，再由对数型复合函数的单调性即可判断；
【详解】由
，
可得：
或
，
易知当
时，
单调递减；
再由对数型复合函数的单调性可知：
在
上单调递减；
故选：B
备注：分段函数单调性容易忽视分段点的大小比较
1．（24-25 高二上·安徽·开学考试）已知
是
上的减函数，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】分段函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数
【分析】在定义域内，保证两段都是减函数，在1 附近还要一直减.列不等式求解即可.
【详解】根据题意保证两段都是减函数，在1 附近还要一直减.可得
，解得
.
故选：C.
