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专题9 指数型函数取对数问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或不可
解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如
的函数取对数可以起
到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在解高考
导数题中有时能大显身手.
(一) 等式两边同时取对数把乘除运算转化为加减运算
形如
的等式通过两边取对数，可以把乘除运算，转化
为加减运算，使运算降级.
【例1】（2024 届辽宁省名校联盟高三上学期联考）已知
，
，函数
和
的图像共有三个不同的交点，且
有极大值1．
(1)求a 的值以及b 的取值范围；
(2)若曲线
与
的交点的横坐标分别记为
，
，
，且
．证明：
．
【解析】（1）因为
，
，所以当
时，
，
，
所以
在
上单调递增，无极大值；
当
时，
，
，
所以当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
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所以
为极大值点，所以
，解得
．
因为
，
图像共有三个不同的交点，
所以方程
有三个不等正实根．
设
，则
，且当
时，t 与x 一一对应，
所以问题转化为关于t 的方程
有三个不等实根．
又0 不满足方程
，所以方程
有三个实根．
设
，则函数
与函数
的图像有三个交点，
当
或
时，
，
，所以
在
，
上单调递增；
当
时，
，
，所以
在
上单调递减．
当
，
时，
，而
；当
时，
，
无论
还是
，当
时，都有
，
当
时，
．
根据以上信息，画出函数
的大致图像如下图所示，
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所以当
时，函数
与函数
的图像有三个交点，故b 的取值范围为
．
（2）证明：要证
，只需证
，
只需证
．
设（1）中方程的
三个根分别为
，
，
，
且
，
，
，2，3，从而只需证明
．
又由（1）的讨论知
，
，
．
下面先证明
，设
，则
．
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，所以当
时，
，
从而当
，
时，
．
又由（1）知
在
，
上单调递增，
在
上单调递减．
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所以当
时，
，令
，解得
，
由
得
；
当
时，
，令
，解得
，
由
得
；
当
时，
，令
，解得
，
由
得
．
综上，
，得证．
(二) 等式两边同时取对数把乘方运算转化为乘法运算
通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算，这种运算法则的改变或能简化运算，或能改变运算式子的
结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对数运算
比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.
【例2】（2024 届辽宁省大连市高三上学期考试）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
（e 是自然对数的底数），且
，
，
，证明：
.
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导得则
，由
得
，
若
，当
时，
，则
单调递减，当
时，
，则
单调递增，
若
，当
时，
，则
单调递增，当
时，
，则
单调递减；
所以当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
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当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由
，两边取对数得
，即
，
由（1）知，当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，而
，
时，
恒成立，
因此当
时，存在
且
，满足
，
若
，则
成立；
若
，则
，记
，
，
则
，
即有函数
在
上单调递增，
，即
，
于是
，
而
，
，
，函数
在
上单调递增，因此
，即
，
又
，则有
，则
，
所以
.
【例3】（2024 届湖南省娄底市高三下学期考前仿真联考二）已知函数
.
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)若
，
（i）证明：函数
有三个不同的极值点；
（ii）记函数
三个极值点分别为
，且
，证明：
.
【解析】（1）函数
的定义域为
，当
时，
，则
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，
令
，则
，
所以
在
上递增，所以
，
所以当
时，
，当
时，
，所以
在
上递减，在
上递增；
（2）（i）因为
，且
，
，
由
，得
（
），令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递减，在
上递增，所以
，
当
时，
在
和
上各有一个实数根，分别记为
，则
，
设
，当
或
时，
，当
或
时，
，
所以
在
和
上递减，在
和
上递增，
所以函数
在
上有三个不同的极值点，
（ii）由（i）
，
所以
是方程
的两个不相等的实数根，即
，
，
所以
，同理
，
所以
，
由
，
，得
，
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所以
，
因为
，所以要证
，只要证
，
即证
，即证
，
即证
，只需证
，即
，即
，
由（i）可得
，所以
，
根据（i）中结论可知函数
在
上递减，所以要证
，即证
，
因为
，所以
，所以只要证
，即
，得
，
即
，得
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
在
上递减，所以
，所以
，
所以
在
上递减，所以
，所以得证.
(三) 把指数型不等式通过两边取对数转化为对数型不等式
若一个不等式两边同时含有幂值，常通过取对数改变不等式结构
【例4】（2024 届天津市武清区杨村一中高三下学期第二次热身练）已知
（
，
且
）.
(1)当
时，求
在
处的切线方程；
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(2)当
时，求证：
在
上单调递增；
(3)设
，已知
，有不等式
恒成立，求实数a 的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，
，
所以
，
，所以切线方程为
，即
.
（2）当
时，
，则
，
要证明
在
上单调递增，
只需证明
在
上恒成立，则只需证
，即只需证
.
设
，则只需证
因为
，所以
在
单调递增，
所以
时
，即
时，
成立，
所以
，所以
在
上单调递增.
（3）
，即
，两边取对数得：
，即
设
，令
，得
，当
时，
，
单调递减.
又因为
，所以
，
在
单调递减，
由
，则
在
恒成立，即
，
上式等价于
，即
，
由
在
单调递减，所以
.即实数
的取值范围为
.
(四) 把证明乘积型数列不等式通过取对数转化为数列之和型的不等式
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若
，证明含有
型的不等式通常可转化为证明含有
型
的不等式
【例5】（2024 届福建省泉州第一中学高三下学期适应性测试）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：
．
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，则
，
当
时，
，当
时，
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有极小值
，无极大值.
（2）因为
恒成立，得
，
，令
，
，求导的
，
当
,
,当
时，
，
即函数
在
上递减，在
上递增，
因此
，则a≤- 1
e ，所以
的取值范围a≤- 1
e .
（3）证明：由（2）知，
时，即
，于是
，
，
，
，
因此
所以
.
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(五) 把比较
转化为比较
的大小
比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较
的大小，可通过取对数转化为比较
的大小，再转化为
比较
的大小，然后可以构造函数
，利用
的单调性比较大小.
【例6】一天，小锤同学为了比较
与
的大小，他首先画出了
的函数图像，然后取了离1.1
很近的数字1，计算出了
在x=1 处的切线方程，利用函数
与切线的图像关系进行比较.
（1）请利用小锤的思路比較
与
大小
（2）现提供以下两种类型的曲线
，试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较
的大小.
【解析】（1）构造函数
，由f(x)在
上单调递增，在
上单调递减，得
，即
，取x=1，得
（2）通过取对数，把比较
的大小转化为比较e
与3 的大小，即比较
与
大小
选
，令
与
公切于e
则有
，
记
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增,
，下证：
只需证
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，只需证
而
，即
选
，通过取对数，把比较
的大小转化为比较e
与3 的大小，即比较
与
大小，即较
与
大小
令
与y=kx+t 切于
，则有
令
∴
在
上单调递增，在
上单调递减,
，当
取等
下证
，只需证
，
.
【例1】（2024 届湖南省衡阳市祁东县高三下学期考前仿真联考三）已知正项数列
的前
项和为
，
首项
.
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(1)若
，求数列
的通项公式；
(2)若函数
，正项数列
满足：
.
（i）证明：
；
（ii）证明：
.
【解析】（1）正项数列
中，
，
，
，当
时，
，
两式相减得
，即
，
而
，则
，因此数列
是首项为1，公差为2 的等差数列，
所以数列
的通项公式为
.
（2）（i）令
，求导得
，当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，即
，
于是
，
即
，即
，
当
时，
，
当
时
，因此
，
所以
（ii）由已知
，所以
，得
，
当
时，
，于是
，
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当
时，
，
又
，所以
，恒有
，当
时，
，
由
，得当
时，
，
则当
时，
，
从而
，
于是
，
所以
.
【例2】（2024 届江苏省盐城市高三5 月考前指导卷）已知函数
，其中
．
(1)若
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)当
时，若
且
，比较
与
的大小，并说明理由
【解析】（1）
，
在
上单调递增，
在
上恒成立且满足
的点不连续．
当
时，
．由
在
上单调递减可知，
当
时，
，
，综上，
的取值范围为
（2）当
时，
，
且
，
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下面证明
，即证明
，等价于证明：
，
设
，所证即为：
，
等价于证明：
，设函数
．
在
上单调递增，而
，
，所证不等式成立．
【例3】（2024 届湖南省衡阳市雁峰区衡阳市第八中学高三模拟预测）已知
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当n 为正整数时，试比较
的大小关系，并证明．
【解析】（1）①当
时，
，此时
无单调性，
②当
时，
的定义域
，
，
令
，所以
，
所以
单调递增；
单调递减；且
，
所以，
在
上
，所以
在
和
上单调递减；
综上所述，当
时，
，此时
无单调性；当
时，
在
和
上单调递
减.
（2）因为
，且
，
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所以只需要比较
的大小即可，
由（1）知，
时，
在
和
上单调递减
所以
在
和
上单调递减，
又因为n 为正整数，所以
，故
，即
，
所以
，所以
.
【例4】（2021 全国甲卷高考试题）已知
且
，函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若曲线
与直线
有且仅有两个交点，求a 的取值范围．
【解析】（1）当
时，
,
令
得
,当
时，
,当
时，
,
∴函数
在
上单调递增；
上单调递减；
（2）
,设函数
,
则
,令
，得
,
在
内
,
单调递增；
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在
上
,
单调递减；
,
又
，当
趋近于
时，
趋近于0，
所以曲线
与直线
有且仅有两个交点，即曲线
与直线
有两个交点的充分
必要条件是
,这即是
,
所以
的取值范围是
．
【例5】已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)设a，b 为两个不相等的正数，且
，证明：
．
【解析】 (1)
，定义域为
，
由
，解得
，由
，解得
，由
，解得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
(2)∵a，b 为两个不相等的正数，且
，
∴
，即
，
由（1）可知
，且
，
时，
，
则令
，则
为
的两根，且
，
不妨设
，则
，
先证
，即证
，即证
，
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令
，即证在
上，
，
则
，
在
上单调递增，即
，
∴
在
上恒成立，即
在
上单调递减，
，
∴
，即可得
；再证
，即证
，
由（1）
单调性可得证
，
令
，
，
在
上单调递增，
∴
，且当
，所以存在
使得
，
即当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
又有
，且
，
所以
恒成立，∴
，则
，即可证得．
1．（2024 届重庆市南开中学校高三第九次质量检测）已知函数
.
(1)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)已知直线
是曲线
的两条切线，且直线
的斜率之积为1.
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（i）记
为直线
交点的横坐标，求证：
；
（ii）若
也与曲线
相切，求
的关系式并求出
的取值范围.
2．（2024 届四川省成都市实验外国语学校教育集团高三下学期联考）已知函数
，
.
(1)若函数
，
，讨论函数
的单调性；
(2)证明：
.（参考数据：
，
）
3．（2024 届广东省广州市高中毕业班冲刺训练题二）已知函数
（
）.
(1)求
在区间
上的最大值与最小值；
(2)当
时，求证：
.
4.（2023 届新疆高三第三次适应性检测）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有两个不相等的实根
，求实数
的取值范围，并证明
．
5.已知函数，
，
．
(1)求
的极值；
(2)若
有两个零点a，b，且
，求证：
．
6.设函数
.
(1)设
、
且
，求证：对任意的
、
，总有
成立；
(2)设
，
，且
，求证：
.
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7.已知函数
（1）讨论g(x)的单调性；
（2）若
，对任意
恒成立，求a 的最大值；
8.已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)当
时，证明：函数
有两个零点；
(3)若函数
有两个不同的极值点
（其中
），证明：
．
9.形如
的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数
得
，两边对
求导数，得
，于是
.已知
，
.
（1）求曲线
在
处的切线方程；
（2）若
，求
的单调区间；
（3）求证：
恒成立.
10.已知函数
．
(1)求
的极值点．
(2)若有且仅有两个不相等的实数
满足
．
（i）求k 的取值范围
（ⅱ）证明
．
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11.已知
，
.
(1)记
，讨论
的单调区间；
(2)记
，若
有两个零点a，b，且
.
请在①②中选择一个完成.
①求证：
；
②求证：
12．已知
，
，（其中e 为自然对数的底数）.
（1）求函数
的单调区间；
（2）若
，函数
有两个零点
，
，求证：
.
13.已知函数
存在极大值
.
（1）求实数
的值；
（2）若函数
有两个零点
，
，求实数
的取值范围，并证明：
.
14.已知函数
.
（1）若
是曲线
的切线，求a 的值；
（2）若
有两不同的零点，求b 的取值范围；
（3）若
，且
恒成立，求a 的取值范围.
15．已知函数
，
．
（1）当
时，
①求
的极值；
②若对任意的
都有
，
，求
的最大值；
（2）若函数
有且只有两个不同的零点
，
，求证：
．
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16.已知函数
，
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)设
有两个极值点
，
，证明：
．（
…为自然对数的底数）
