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进阶篇 不等式证明方法
进阶1 指对放缩
切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放
缩可以深入理解数学的本质.
题型一 指对切线放缩
常见的指对切线放缩
例1 证明不等式：ex－ln(x＋2)>0.
证明 要证ex－ln(x＋2)>0，
即证ex>ln(x＋2)，
又ex≥x＋1，当且仅当x＝0 时等号成立，
令t＝x＋2，则ln(x＋2)＝ln t≤t－1＝x＋1，
即ln(x＋2)≤x＋1，当且仅当x＝－1 时等号成立，
故ex≥x＋1≥ln(x＋2)，等号成立的条件不一致，则ex>ln(x＋2)，结论得证.
思维升华 指对同时出现时，一般求导难以解决，常见的方法有隐零点、同构、放缩等.
跟踪训练1 当x>0 时，证明：ex2－xln x<xex＋1
e .
证明 要证当x>0 时，ex2－xln x<xex＋1
e ，
只需证ex－ln x<ex＋1
e x .
下证－ln x≤1
e x ，
即证ln1
x ≤1
e x ，
令t＝1
x ，即证ln t≤1
e t.
显然成立，且等号成立的条件是t＝e，
即x＝1
e .
又ex≤ex，当且仅当x＝1 时等号成立，
由不等式的基本性质及等号成立的条件不一致得原不等式成立.
题型二 指对增强放缩
1.与ex相关的增强放缩
(1)ex≥x＋1
ex≥1＋x＋
x
2
2 (x≥0)
ex＝1＋
x
1！＋x
2
2！＋x
3
3！＋…＋
x
n
n！＋o(xn)(泰勒展开式).
(2)ex≥ex
ex≥ex＋(x－1)2(x≥0).
(3)通过变换得到的其他不等式
把ex≥x＋1 中的x 换成ln x，可得ln x≤x－1.
把ex≥x＋1 中的x 换成x－1，可得ex≥ex.
把ex≥x＋1 中的x 换成－x，可得e－x≥－x＋1，取倒数后可得ex≤1
1- x (x<1).
把ex≥x＋1 中的x 换成x＋ln x，可得ex＋ln x＝xex≥x＋ln x＋1(朗博同构).
2.与ln x 相关的增强放缩
(1)ln x≤x－1
ln(x＋1)≤x
ln x≥1－
1
x
ln(x＋1)＝x－
x
2
2 ＋x
3
3 - x
4
4 ＋…＋(－1)n x
n＋1
n＋1＋
o(xn＋1)(泰勒展开式).
(2)ln x≤x
e .
(3)飘带不等式：2( x -1)
x＋1 ≤ln x≤1
2(x - 1
x)，x≥1.
(4)通过变换得到的其他不等式
把ln x≤x－1 中的x 换成ex，可得ex≥x＋1.
把ln x≤x－1 中的x 换成x
e ，可得ln x≤x
e .
把ln x≤x－1 中的x 换成x＋1，可得ln(x＋1)≤x.
把ln(x＋1)≤x 中的x 换成1
n ，可得ln(n＋1)－ln n<1
n.
把ln(x＋1)≤x 中的x 换成－
1
n＋1 ，可得ln(n＋1)－ln n>
1
n＋1.
例2 证明：ex＋1
x ≥2－ln x＋x2＋(e－2)x.
证明 由题意知x>0，因为ex≥ex＋(x－1)2，
所以要证ex＋1
x ≥2－ln x＋x2＋(e－2)x 成立，
只需证ex＋(x－1)2＋1
x ≥2－ln x＋x2＋(e－2)x，
即证ln1
x ≤1
x －1，
令t＝1
x ，即证ln t≤t－1，显然成立.
结论得证.
思维升华 在利用ex≥x＋1 或ex≥ex 进行切线放缩时，不等号右侧的增长速度比左侧的快，显然不成立，
此时选用增强版的曲线放缩.
跟踪训练2 证明：对任意x>0，不等式ex＋x2－(e＋1)x＋e
x >2 成立.
证明 因为ex≥ex，
所以只需证ex＋x2－(e＋1)x＋e
x >2 成立，
即证x2－x＋e
x >2 成立，
即证x2－2x＋1＋x＋e
x －1>2 成立，
即证(x－1)2＋(x＋e
x)>3 成立，
由基本不等式得x＋e
x ≥2√e，当且仅当x＝√e时等号成立，
而2√e>3，(x－1)2≥0，故原不等式成立，
结论得证.
课时精练
[分值：34 分]
1.(17 分)已知函数f(x)＝ex.
(1)讨论函数g(x)＝f(ax)－x－a 的单调性；(8 分)
(2)证明：f(x)＋ln x＋3
x > 4
√x .(9 分)
(1)解 g(x)＝f(ax)－x－a＝eax－x－a，
g'(x)＝aeax－1，
①若a≤0，g'(x)<0，g(x)在R 上单调递减.
②若a>0，当x<－1
aln a 时，g'(x)<0，g(x)单调递减；
当x>－1
aln a 时，g'(x)>0，g(x)单调递增.
综上，当a≤0 时，g(x)在R 上单调递减；
当a>0 时，g(x)在(-∞，- 1
a ln a)上单调递减，在(- 1
a ln a，＋∞)上单调递增.
(2)证明 要证f(x)＋ln x＋3
x > 4
√x ，
只需证x(ln x＋ex)－4√x＋3>0，x>0，
由(1)可知，当a＝1 时，ex－x－1≥0，
即ex≥x＋1，等号成立的充要条件为x＝0.
当x＋1>0 时，上式两边取以e 为底的对数，
可得ln(x＋1)≤x(x>－1)，
用x－1 代替x 可得ln x≤x－1(x>0)，
又可得ln1
x ≤1
x －1(x>0)，
所以ln x≥1－1
x (x>0)，
等号成立的充要条件为x＝1.
所以x(ln x＋ex)－4√x＋3
>x(1- 1
x ＋x＋1)＋3－4√x
＝x2＋2x＋2－4√x＝(x＋1)2－4√x＋1
≥(2√x)2－4√x＋1
＝(2√x－1)2≥0，
从而不等式f(x)＋ln x＋3
x > 4
√x 成立.
2.(17 分)已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)当x≥0 时，若不等式f(x)≥0 恒成立，求实数a 的取值范围；(8 分)
(2)若x>0，证明：(ex－1)ln(x＋1)>x2.(9 分)
(1)解 由条件得f'(x)＝ex－1－2ax，
令h(x)＝ex－1－2ax，则h'(x)＝ex－2a.
①当2a≤1，即a≤1
2时，在[0，＋∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增，
∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)＝0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(0)＝0，
∴当a≤1
2时满足条件；
②当2a>1，即a>1
2时，令h'(x)＝0，解得x＝ln 2a，在[0，ln 2a)上，h'(x)<0，h(x)单调递减，
∴当x∈(0，ln 2a)时，有h(x)<h(0)＝0，
即f'(x)<f'(0)＝0，
∴f(x)在(0，ln 2a)上单调递减，
∴f(x)<f(0)＝0，不符合题意.
综上，实数a 的取值范围为(-∞，1
2].
(2)证明 由(1)得，当a＝1
2 ，且x>0 时，
ex>1＋x＋x
2
2 ，
即ex－1>x＋x
2
2 ＝x
2＋2 x
2
，
要证不等式(ex－1)ln(x＋1)>x2，
只需证明ex－1>
x
2
ln( x＋1) ，
只需证明x
2＋2 x
2
>
x
2
ln( x＋1) ，
只需证ln(x＋1)> 2 x
x＋2 ，
设F(x)＝ln(x＋1)－2 x
x＋2 ，
则F'(x)＝
1
x＋1 -
4
( x＋2)
2 ＝
x
2
( x＋1)( x＋2)
2 ，
∴当x>0 时，F'(x)>0 恒成立，
故F(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又F(0)＝0，
∴当x>0 时，F(x)>0 恒成立.
∴原不等式成立.
