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第 08 讲 拓展一：空间几何体内接球与外接球问题
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高考真题回归..............................................4
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：内切球...............................................4
角度1：等体积法...............................................4
角度2：独立轴截面法...........................................5
高频考点二：长方体、正方体外接球问题.............................6
高频考点三：补形法...............................................7
角度1：墙角型.................................................7
角度2：对棱相等型.............................................8
高频考点四：单面定球心法.........................................9
角度1：底面是等边三角形.......................................9
角度2：底面是直角三角型......................................10
角度3：底面是普通三角型......................................10
高频考点五：双面定球心..........................................12
第一部分：知识点必背
1、球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：即： ，可求出 .
2、内切球独立截面法
如图，在三棱锥 中， 是其内切球球心，求其内切球的半径
①在例题图形中，画出过经过球心和切点的大圆的截面图，如图中
②在独立截面中，找到和球半径相关的直角三角形，如图中 和
③利用相似性求出内切球半径.
3、正方体、长方体外接球
①正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；
设长方体一个顶点出发的三条边长分别为 ， ， ，则外接球半径 ；
②长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半；
设正方体边长为 ，则外接球半径 ；
4、墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）
①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
③正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
5、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥 中，选中底面 ，确定其外接
圆圆心 （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心
）；
②过外心 做（找）底面 的垂线，如图中 面 ,则球心一定在直线（注意不一定在线段
上） 上；
③计算求半径 :在直线 上任取一点 如图：则 ，利用公式 可计算
出球半径 .
6、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥 中：
①选定底面 ，定 外接圆圆心
②选定面 ，定 外接圆圆心
③分别过 做面 的垂线，和 做面 的垂线，两垂线交点即为外接球球心 .
P
O
2 O
A
O
H 1
B C
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和
，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国（乙卷文理）·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若
该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国（乙卷文）·统考高考真题）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3的
等边三角形， 平面 ，则 ________．
5．（2023·全国（甲卷理）·统考高考真题）在正方体 中，E，F分别为AB， 的中
点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．
6．（2023·全国（甲卷文）·统考高考真题）在正方体 中， 为 的中点，若该
正方体的棱与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是________．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：内切球
角度1：等体积法
典型例题
例题1．（河北省唐山市十县一中联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题）正四棱锥 中，
底面边长 ，侧棱 ，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023春·山东菏泽·高一统考期中）已知正三棱锥 中， ， ，
，则正三棱锥 内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．角度2：独立轴截面法
典型例题
例题1．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知球与圆台的上下底面和侧面都相
切．若圆台的侧面积为 ；上、下底面的面积之比为 ，则球的表面积为（ ）．
A． B． C． D．
例题2．（2023春·江苏·高一专题练习）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚
杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融
化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心 （水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是
（ ）
A．1 B． C． D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥内切球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
B．
考点一练透核心考点
1．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱
锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为 ，动点Q在正方形ABCD内运
动，且满足 ，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东深圳·校考一模）已知四边形ABCD为平行四边形， ， ， ，现将
沿直线BD翻折，得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切球与外接球表面
积的比值为_________.
3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在正四棱锥 框架内放一个球O，球O与侧棱PA，PB，
PC，PD均相切．若 ，且OP＝2，则球O的表面积为______．4．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的
倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．
5．（2023·全国·高一专题练习）如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长
为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为__________.
6．（2022秋·河北张家口·高二校联考期中）球O为正四面体 的内切球， ， 是球O的直
径，点M在正四面体 的表面运动，则 的最大值为__________．
高频考点二：长方体、正方体外接球问题
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期中）半径为R的球内接一个正方
体，则该正方体的体积是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球
的表面积为______________．
练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）若棱长分别为 ，2，3的长方体的顶点都在同-球面上，
则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．
3．（2021·山东·高三学业考试）长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O
的表面积为（ ）
A．14π B．28π C．42π D．56π
4．（2021春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为
4，体积为64，则这个球的表面积是__________.
高频考点三：补形法
角度1：墙角型
典型例题
例题1．（1991·全国·高考真题）在球面上有四点 、 、 、 ，如果 、 、 两两垂直，
且 ，则这个球的表面积是
例题2．（2023·全国·高一专题练习）三棱锥 中，已知 两两垂直，且
，则三棱锥 的外接球的表面积为___________.
角度2：对棱相等型
典型例题
例题1．（多选）（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知四面体
中， ， ， ， 为其外接球球心， 与 ， ， 所成
的角分别为 ， ， ，有下列结论正确的是（ ）
A．该四面体的外接球的表面积为
B．该四面体的体积为10
C．D．
例题2．（多选）（2023·江苏·高一专题练习）已知三棱锥 中， ，
分别是 的中点， 是棱 上（除端点外）的动点，下列选项正确的是
（ ）
A．直线 与 是异面直线；
B．当 时，三棱锥 体积为 ；
C． 的最小值为 ；
D．三棱锥 外接球的表面积 .
考点三练透核心考点
1．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥 中，已知
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中， ， ，
，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·辽宁沈阳·高一新民市第一高级中学校考期末）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、
PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的体积是_______________.
4．（2020秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）已知点 ， ， ， 在同一个球的球表面上， 平面
， ， ， ，则该球的表面积为________．高频考点四：单面定球心法
角度1：底面是等边三角形
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，
，点 在 上， ，过点 作三棱锥 外接球的截面，
则截面圆周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（多选）（2023·全国·高一专题练习）正三棱锥 的外接球半径为2，底面边长为
，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023春·江苏·高一专题练习）在三棱锥 中，已知 平面 ，且 是边长
为 的正三角形，三棱锥 的外接球的表面积为 ，则三棱锥 的体积为___________.
例题4．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥 中，侧棱 ， ，
，则此三棱锥外接球的表面积为_______．
角度2：底面是直角三角型
典型例题
例题1．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥 中，已知
，且平面 平面 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知直三棱柱 外接球的表面积为 ，，若 外接圆的圆心 在 上，半径 ，则直三棱柱 的体积为______．
角度3：底面是普通三角型
典型例题
例题1．（2023秋·四川乐山·高二统考期末）在三棱锥 中， 平面
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 中， 平面 ， ，
， ，则该三棱锥外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）三棱锥 中， 平面 ， ，
，则三棱锥 的外接球表面积为__________．
考点四练透核心考点
1．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）已知正三棱锥 的侧棱长为 ，点 ， 分别在线段 ，
（不包括端点）上，且 ， ，若点 为三棱锥 的外接球的球面上任意一
点，则点 到平面 距离的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥 中， ，平面
平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱的高与底面边长均为2，则该正三棱柱内半径最大的球与其
外接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ，则三棱
锥 外接球的表面积是（ ）A． B． C． D．
5．（2023春·山东临沂·高一校考阶段练习）在三棱锥 中， 平面 ，若 ，
， ，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考期末）已知直三棱柱 的顶点都在球
上，且 ， ， ，则此直三棱柱的外接球 的表面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称
为“堑堵”．在堑堵 中， ，四边形 是边长为4的正方形，则堑堵
外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ，则
三棱锥 的外接球的表面积为__________.
9．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
，则三棱锥 的外接球的体积为__________．
10．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥 中， ， ，平面
平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥 的底面为矩形，
，
则其外接球的表面积为________．高频考点五：双面定球心
典型例题
例题1．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在三棱锥 中，
和 均为边长为2的等边三角形，且二面角 的平面角为 ，则三棱锥的外接球的表面积
为（ ）
A． π B． π C． π D． π
例题2．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）在四棱锥 中，侧面 底面 ，侧面 是
正三角形，底面 是边长为 的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥 中， 是边长为6的等边三角形，
，三棱锥 体积的最大值是__________；当二面角 为 时，三棱锥
外接球的表面积是__________.
练透核心考点
1．（2023·河北·统考模拟预测）在三棱锥 中， 底面 ， 和 的外接圆半径分别
为 ， ，若三棱锥 外接球的表面积与体积数值相同， ，则 取得最大值时，
的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高一专题练习）已知等边 的边长为2，将其沿边 旋转到如图所示的位置，且二面
角 为 ，则三棱锥 外接球的半径为____________3．（2023春·广东茂名·高三统考阶段练习）已知在边长为2的菱形ABCD中， ，沿对角线BD
将 折起，使平面 平面BCD，则四面体ABCD外接球的表面积为________；若P为AB的中
点，过点P的平面截该四面体ABCD的外接球所得截面面积为S，则S的最小值为________．
