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空间向量与立体几何小题
一、空间几何体表面积与体积
1.
已知如图所示的圆台
，在轴截面ABCD 中，
，点
在弧CD 上且为靠近
点的三等分点，若异面直线AC 与MD 所成角的余弦值为
，则圆台
的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.
木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD 是边长为
2 的正方形，且
均为等边三角形，
，则该木楔的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.
如图所示，四边形
为正方形，将
围绕
旋转60°得到三棱锥
，且三
棱锥
的体积为
，则三棱锥
外接球的半径
为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
4.
“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，
在一个盛满米的“方斗”容器中，
，若从中取出
米后，米的高度下降
一半，则剩余的米的质量为（ ）
A．
B．48kg
C．57kg
D．
5.
已知圆台的上下底面圆的半径分别是和
，且该圆台有内切球，则该圆台的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、空间点、直线、平面之间关系
6.
已知
，
为两条不同的直线，
，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
7.
在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线平行
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
D．若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
8.
已知直线
和平面
，且
，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
9.
设
、
是两个平面，m、n 是两条直线，且
.下列四个命题：
①若
，则
或
②若
，则
，
③若
，且
，则
④若n 与
和
所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．①③④
10. 已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
三、空间夹角计算
11.
若正三棱台
的体积为
，
的面积为
，
，则侧棱
与底面
所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12. 如图，在正四面体
中，
分别是
与
的中点，设
和
所成角为
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
13. 如图在等边三角形
､
中
，点
分别在边
，边
上，且
，
,将三角形
沿
折起，将点
翻折至点
处，使得平面
平面
，则直线
与
所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
14. 已知直三棱柱
的所有棱长都相等，M 为
的中点，则
与
所成角的
余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
15. 在正三棱台
中，
分别是
和
的中点，则异面直
线
和
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
四、空间距离计算
16. 已知正方体
中，
，若点
为线段
上靠近
的三等分点，则点C
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
17. 已知正方体
的棱长为4，则点C 到平面
的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．
18. 在边长为2 的正方形
中，E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将
分别沿
折起，使A，B，C 三点重合于点
，则
到平面
的距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
19. 已知正方体
的棱长为2，
为
的中点，则点
到平面
的距离等
于（ ）
A．
B．
C．
D．
20. 如图，正方体
的棱长为1，则异面直线
与
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
五、截面问题
21. 正方体
中，M，N 分别是
，
的中点，则过
，M，N 三点的平面
截正方体所得的截面形状是（ ）
A．平行四边形
B．直角梯形
C．等腰梯形
D．三角形
22. 在正方体
中，棱长为
为棱
上靠近
的三等分点，则平面
截
正方体
的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
23. 正方体
棱长为2，
为棱
的中点，过直线
的平面
分别与侧棱
，
相交于点
，
，则截面
面积的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
24. 在棱长为4 的正方体
中，
为
的中点，若过
三点作正方体的
截面
，,
为截面
上一点，则线段
长度的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
25. 已知正四棱锥
的所有棱长都等于3，点
是
的重心，过点
作平面
，若
平面
平面
，则平面
截正四棱锥
的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
六、轨迹问题
26. 棱长为1 的正方体
中，
是
的中点，点
在正方体内部及表面上运动，
满足
平面
，则动点
的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．1
27. 如图，三棱柱
中，
为
中点，
为棱
上一
点，
为侧面
上一动点，且满足
平面
，则点
的轨迹的长度为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
28. 如图，
所在的平面
和四边形
所在的平面
互相垂直，且
，
，
，
，
．若
，则动点
在平面
内的轨迹是
（ ）．
A．椭圆的一部分B．线段
C．双曲线的一部分
D．以上都不是
29. 在棱长为2 的正方体
中，E，F，G 分别为棱
，BC，
的中点，
，
平面EFG，若
，则Q 的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
30. 正四面体
的棱长为1，若
且满足
，
则动点
的轨迹所形成的空间区域的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
七、轨迹问题
31. 已知圆台的上、下底面半径分别为1 和2，体积为
，则该圆台的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
32. 如图，在△ABC 中，AB=2
，BC=2
，AC=2
，E、F、G 分别为三边中点，将
△BEF，△AEG，△GCF 分别沿EF、EG、GF 向上折起，使A、B、C 重合，记为S，则三
棱锥S–EFG 的外接球面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
33. 正四棱台侧棱长为
，上下底面边长分别为
和
，所有顶点在同一球面上，则正
四棱台的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
34. 在三棱锥
中，三条棱
，
，
两两垂直，且
，
，
.若点
为三棱锥
的外接球球面上任意一点，则
到面
距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
35. 如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将
分别沿DE，EF，DF 折起，使A，B，C 三点重合于点
．则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
八、多选压轴
36. 在棱长为2 的正方体
中，点
是线段
的中点，点
满足
，
其中
，则（ ）
A．平面
平面
B．对于任意
，三棱锥
的体积为定值
C．
周长的最小值为
D．当
时，平面
截该正方体的外接球所得截面的面积为
37. 如图，在棱长为2 的正方体
中，
为
的中点，点
满足
，则（ ）
A．当
时，
平面
B．任意
，三棱锥
的体积是定值
C．
周长最小值为
D．当
时，平面
截该正方体的外接球所得截面的面积为
38. 如图，在棱长均为2 的正三棱柱
中，
、
分别为
、
的中点，
为线
段
上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A．若
为
的中点，则
平面
B．若
为
的中点，三棱柱被平面
分成上下两部分多面体的体积之比为
C．若
，平面
与平面
所成角的正切值为
D．三棱锥
外接球半径的取值范围为
39. 在棱长为4 的正方体
中，
分别为棱
上的动点，且
.则下列结论正确的是（ ）
A．平面
//平面
B．当
时，平面
截该正方体所得的截面为梯形
C．三棱锥
体积的最大值为
D．三棱锥
外接球半径的最小值为
40. 已知直三棱柱
中，
，
，
，O 为该三棱柱的外
接球球心，
为棱
中点，则（ ）
A．直线
与平面
所成的角为
B．
平面
C．半径为
的球可以放入该直三棱柱的内部
D．球O 被平面
截得的截面圆的面积为
