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§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.(2024·晋城模拟)若sin 18°=m，则sin 63°等于( )
A.√2
2 (√1-m
2-m)
B.1
2m+√3
2 √1-m
2
C.√2
2 (m+√1-m
2)
D.√3
2 m+1
2 √1-m
2
2.已知cosα+√3sin α=8
5，则cos(α - π
3)等于( )
A.3
5
B.4
5
C.-3
5
D.-4
5
3.已知sin α+sin β=1
2，cosα+cosβ=1
3，则cos(α-β)的值等于( )
A.- 7
12
B.-17
18
C.-59
72
D.59
72
4.定义运算|
ab
c d|=ad-bc，若cosα=1
7 ，|
sin α sin β
cosα cos β|=3√3
14 ，0<β<α<π
2 ，则β 等于( )
A. π
12
B.π
6
C.π
4
D.π
3
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.下列等式成立的有( )
A.tan 15°=√3-1
B.sin 75°cos15°+cos75°sin 15°=1
C.cos50°cos160°-cos40°sin 160°=-√3
2
D.√3sin 15°+cos15°=1
6.下列结论正确的是( )
A.sin(α-β)sin(β-γ)-cos(α-β)cos(γ-β)=-cos(α-γ)
B.√15sin x+√5cosx=√5sin(x + π
6)
C.f(x)=sin x
2+cos x
2的最大值为2
D.tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.(2024·西安模拟)已知sin x-2cosx=√5sin(x+φ)，则sin2φ-2cos2φ= .
8.已知tan(α+β)，tan(α-β)是方程x2+5x+6=0 的两个根，则tan 2α= .
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)已知sin(α-β)=1
2，sin(α+β)=1
3.
(1)证明：tan α+5tan β=0；(6 分)
(2)计算tan(α - β)- tan α + tan β
tan
2α tan(α - β)
的值.(7 分)
10.(15 分)已知cos(
π
4 -α)=3
5，sin(
5 π
4 + β)=-12
13，α∈(
π
4 ，3 π
4 )，β∈(0，π
4).求：
(1)sin α 的值；(7 分)
(2)cos(α+β)的值.(8 分)
每小题5 分，共10 分
11.求值cos10°(1+√3 tan10°)-2sin50°
sin5°
= .
12.已知3cos(2α+β)+5cosβ=0，则tan(α+β)tan α= .
答案精析
1.C [因为sin 18°＝m，
所以cos 18°＝√1-m
2，
所以sin 63°＝sin(18°＋45°)
＝√2
2 (sin 18°＋cos 18°)
＝√2
2 (m＋√1-m
2).]
2.B [由cos α＋√3sin α＝8
5，
得2cos(α - π
3)＝8
5，
故cos(α - π
3)＝4
5 .]
3.C [sin α＋sin β＝1
2
⇒sin2α＋sin2β＋2sin αsin β＝1
4 ，
①
cos α＋cos β＝1
3⇒cos2α＋cos2β＋2cos αcos β＝1
9，
②
①＋②得，2＋2(sin αsin β
＋cos αcos β)＝13
36⇒cos(α－β)
＝1
2×(
13
36 -2)＝－59
72.]
4.D [由题意得，
sin αcos β－cos αsin β
＝sin(α－β)＝3√3
14 .
∵0<β<α<π
2 ，∴0<α－β<π
2 ，
∴cos(α－β)＝13
14 .
又∵cos α＝1
7，
∴sin α＝4√3
7
，
sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝4√3
7
×13
14 －1
7 ×3√3
14 ＝√3
2 ，
∴β＝π
3 .]
5.BC [对于A，tan 15°
＝tan(45°－30°)
＝
tan 45° - tan30°
1＋tan 45°·tan30°
＝
1- √3
3
1＋√3
3
＝2－√3，故A 错误；
对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°
＝sin(75°＋15°)
＝sin 90°＝1，故B 正确；
对于C，cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°
＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)＝cos 210°
＝－cos 30°＝－√3
2 ，故C 正确；
对于D，√3sin 15°＋cos 15°
＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝√2，
故D 错误.]
6.AD [对于A，左边＝－[cos(α－β)·cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]
＝－cos(α－γ)，故A 正确；
对于B，√15sin x＋√5cos x
＝2√5(
√3
2 sin x＋1
2 cos x)
＝2√5sin(x＋π
6)，
故B 错误；
对于C，f(x)＝sin x
2＋cos x
2
＝√2sin(
x
2 ＋π
4)，所以f(x)的最大值为√2，故C 错误；
对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确.]
7.2
5
解析 sin x－2cos x＝√5sin(x＋φ)＝√5sin xcos φ＋√5cos xsin φ，
所以cos φ＝√5
5 ，sin φ＝－2√5
5 ，
则sin2φ－2cos2φ＝(- 2√5
5 )
2
－2×(
√5
5 )
2
＝2
5.
8.1
解析 由题意可得
tan(α＋β)＋tan(α－β)＝－5，
且tan(α＋β)tan(α－β)＝6，
则tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝tan(α ＋β)＋tan(α - β)
1- tan(α ＋β)tan(α - β) ＝-5
1-6＝1.
9.(1)证明 方法一
由sin(α－β)＝1
2，
sin(α＋β)＝1
3，
得2sin(α－β)＝3sin(α＋β)，
即2sin αcos β－2cos αsin β
＝3sin αcos β＋3cos αsin β，
整理得sin αcos β＝－5cos αsin β，
也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0 得证.
方法二 由sin(α－β)＝1
2，
sin(α＋β)＝1
3，
即sin αcos β－cos αsin β＝1
2，
sin αcos β＋cos αsin β＝1
3，
得sin αcos β＝5
12，cos αsin β＝－1
12，
从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0 得证.
(2)解 由于tan(α－β)＝
tan α - tan β
1＋tan α tan β ⇒tan α－tan β
＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，
所以tan(α - β)- tan α ＋tan β
tan
2α tan(α - β)
＝tan(α - β)- tan(α - β)(1＋tan α tan β)
tan
2α tan(α - β)
＝- tan(α - β)tan α tan β
tan
2α tan(α - β)
＝－tan β
tan α ＝1
5.
10.解 (1)因为α∈(
π
4 ，3 π
4 )，
所以π
4 －α∈(- π
2 ，0)，
又因为cos(
π
4 -α)＝3
5，
所以sin(
π
4 -α)＝－4
5 .
所以sin α＝sin[
π
4 -(
π
4 -α)]
＝sin π
4 cos(
π
4 -α)
－cos π
4 sin(
π
4 -α)
＝√2
2 ×3
5 －√2
2 ×(- 4
5)＝7√2
10 .
(2)因为sin(
5 π
4 ＋β)＝－12
13，
所以sin(
π
4 ＋β)＝12
13，
又β∈(0，π
4)，
则π
4 ＋β∈(
π
4 ，π
2)，
所以cos(
π
4 ＋β)＝5
13.
则cos(α＋β)
＝cos[(
π
4 ＋β)-(
π
4 -α)]
＝cos(
π
4 ＋β)cos(
π
4 -α)
＋sin(
π
4 ＋β)sin(
π
4 -α)
＝5
13×3
5 ＋12
13×(- 4
5)＝－33
65，
故cos(α＋β)＝－33
65.
11.－2√2
解析 cos10°(1＋√3 tan10°)-2sin50°
sin5°
＝(cos10°＋√3sin10°)-2sin50°
sin5°
＝2sin(10°＋30°)-2sin50°
sin5°
＝2sin 40° -2sin50°
sin5°
＝2sin 40° -2cos 40°
sin5°
＝2√2sin(40° - 45°)
sin5°
＝-2√2sin5°
sin5°
＝－2√2.
12.－4
解析 由已知得3cos[(α＋β)＋α]
＋5cos[(α＋β)－α]＝0，
因此3cos(α＋β)cos α
－3sin(α＋β)sin α
＋5cos(α＋β)cos α
＋5sin(α＋β)sin α＝0，
整理得8cos(α＋β)cos α
＋2sin(α＋β)sin α＝0，
因此sin(α＋β)sin α
＝－4cos(α＋β)cos α，
于是sin(α ＋β)
cos(α ＋β)· sin α
cosα ＝－4，
即tan(α＋β)tan α＝－4.
