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§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课标要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两
角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝ ；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝ ，其中sin φ＝
b
√a
2＋b
2，cos φ＝
a
√a
2＋b
2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β 是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝tan α ＋tan β
1- tan α tan β 对任意角α，β 都成立.( )
(4)公式asin x＋bcos x＝√a
2＋b
2sin(x＋φ)中φ 的取值与a，b 的值无关.( )
2.1
2sin π
12 －√3
2 cos π
12的值为( )
A.0
B.－√2
2
C.1
D.√2
2
3.若2cos α－sin α＝0，则tan(α - π
4)等于( )
A.－1
3
B.1
3
C.－3
D.3
4.若tan α＝1
3，tan(α＋β)＝1
2，则tan β＝ .
谨防两个易误点
(1)运用公式时要注意公式成立的条件；
(2)在求角的三角函数值时，往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一.
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)若
cos(
π
4 ＋α)
cos(
π
4 -α)
＝3，则tan(α ＋π
4)等于( )
A.－3
B.－1
3
C.1
3
D.3
(2)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)等于( )
A.－3m
B.－m
3
C.m
3
D.3m
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
跟踪训练1 (1)已知sin(α ＋π
3)＝sin(α - π
6)，则tan α 等于( )
A.√3
B.2＋√3
C.√6
D.√6＋√3
(2)(2024·新课标全国Ⅱ)已知α 为第一象限角，β 为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝√2＋1，
则sin(α＋β)＝ .
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式
例2 (1)在△ABC 中，tan A＋tan B＋√3＝√3tan Atan B，则C 的值为( )
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.2π
3
(2)(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝3sin x＋4cos x.若x＝θ 时，f(x)取得最大值，则cos(θ＋π
4)等于( )
A.7√2
10
B.－7√2
10
C.√2
10
D.－√2
10
思维升华 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、
逆用和变形使用.
(3)对asin x＋bcos x 化简时，要清楚如何求辅助角φ 的值.
跟踪训练2 (1)(2024·柳州模拟)已知α∈(0，π)，若√3sin α＋cos α＝√3sin 2α－cos 2α，则sin(α - π
12)等
于( )
A.√2
2
B.√3
2
C.√6＋√2
4
D.√6-√2
4
(2)已知函数f(x)＝sin x－3cos x，不等式f(x)≤a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是
.
题型三 角的变换问题
例3 (1)(2024·南宁模拟)已知sin(α ＋π
3)＝3
5，α∈(
π
4 ，π
2)，则sin(α ＋π
12)等于( )
A.－√2
10
B.－7√2
10
C.√2
10
D.7√2
10
(2)(2024·徐州模拟)已知角α，β 满足cos β＝1
3，cos αcos(α＋β)＝1
4 ，则cos(2α＋β)等于( )
A.1
3
B.1
4
C.1
6
D.1
8
思维升华 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公
式把“所求角”变成“已知角”.
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α ＋β
2
＋α - β
2
，π
3 ＋α＝π
2 －(
π
6 -α)，α＝(α＋β)－β＝(α－
β)＋β，(
π
4 ＋α)＋(
π
4 -α)＝π
2 等.
跟踪训练3 (1)已知sin(α ＋π
4)＝4
5 ，α∈(
π
4 ，π
2)，则cos α 等于( )
A.√2
10
B.3√2
10
C.√2
2
D.7√2
10
(2)(2024·杭州模拟)已知α∈(
π
2 ，π)，β∈(0，π
2)，若sin(α＋β)＝1
3，cos β＝√3
3 ，则sin α 等于( )
A.√6
3
B.√3
9
C.5√3
9
D.1
3
答案精析
落实主干知识
1.(1)cos αcos β＋sin αsin β
(2)cos αcos β－sin αsin β
(3)sin αcos β－cos αsin β
(4)sin αcos β＋cos αsin β
(5) tan α - tan β
1＋tan α tan β (6) tan α ＋tan β
1- tan α tan β
2.√a
2＋b
2sin(α＋φ)
自主诊断
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.B [1
2sin π
12 －√3
2 cos π
12
＝cos π
3 sin π
12－sin π
3 cos π
12
＝sin(
π
12 - π
3)＝sin(- π
4)＝－√2
2 .]
3.B [因为2cos α－sin α＝0，
则sin α＝2cos α，故tan α＝2，
因此，tan(α - π
4)＝
tan α - tan π
4
1＋tan α tan π
4
＝2-1
1＋2 ＝1
3.]
4.1
7
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝tan(α ＋β)- tan α
1＋tan(α ＋β)tan α ＝
1
2 - 1
3
1＋1
2 × 1
3
＝1
7.
探究核心题型
例1 (1)C [由题意，
得
√2
2 (cosα -sin α )
√2
2 (cosα ＋sin α )
＝1- tan α
1＋tan α ＝3，
所以tan α＝－1
2，
则tan(α ＋π
4)＝tan α ＋1
1- tan α
＝
- 1
2 ＋1
1-(- 1
2)
＝1
3.]
(2)A [由cos(α＋β)＝m 得
cos αcos β－sin αsin β＝m.
①
由tan αtan β＝2 得sin α sin β
cosα cos β ＝2，
②
由①②得{
cosα cos β ＝-m,
sin α sin β ＝-2m,
所以cos(α－β)
＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.]
跟踪训练1 (1)B [因为sin(α ＋π
3)＝sin(α - π
6)，
所以1
2sin α＋√3
2 cos α
＝√3
2 sin α－1
2cos α，
所以(√3＋1)cos α＝(√3－1)sin α，
所以tan α＝√3＋1
√3-1 ＝2＋√3.]
(2)－2√2
3
解析 由题意得tan(α＋β)
＝tan α ＋tan β
1- tan α tan β ＝
4
1-(√2＋1)
＝－2√2，
因为α∈(2k π ，2k π ＋π
2)，
β∈(2m π ＋π ，2m π ＋3 π
2 )，k，m∈Z，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，
(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α＋β)＝－2√2<0，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋3 π
2 ，
(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
则sin(α＋β)<0，
则sin(α ＋β)
cos(α ＋β)＝－2√2，
联立 sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，
解得sin(α＋β)＝－2√2
3
.
例2 (1)C [由已知可得
tan A＋tan B＝√3(tan Atan B－1)，
∴tan(A＋B)
＝tan A ＋tan B
1- tan A tan B ＝－√3.
又0<A＋B<π，∴A＋B＝2π
3 ，
∴C＝π
3 .]
(2)C [f(x)＝3sin x＋4cos x＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝4
3 ，sin φ＝4
5 ，cos φ＝3
5，
∵当x＝θ 时，f(x)取得最大值，
∴θ＋φ＝π
2 ＋2kπ，k∈Z，
即θ＝π
2 ＋2kπ－φ，k∈Z，
∴cos(θ＋π
4)
＝cos(
π
2 ＋2k π -φ＋π
4)
＝cos(
3 π
4 -φ)
＝cos 3 π
4 cos φ＋sin 3 π
4 sin φ
＝－√2
2 ×3
5 ＋√2
2 ×4
5 ＝√2
10 .]
跟踪训练2 (1)A [因为√3sin α＋cos α＝√3sin 2α－cos 2α，
所以√3
2 sin α＋1
2cos α
＝√3
2 sin 2α－1
2cos 2α，
所以sin(α ＋π
6)＝sin(2α - π
6)，
所以α＋π
6 ＝2α－π
6 ＋2kπ，k∈Z 或α＋π
6 ＋2α－π
6 ＝2kπ＋π，k∈Z，
又α∈(0，π)，所以α＝π
3 ，
所以sin(α - π
12)＝sin(
π
3 - π
12)
＝sin π
4 ＝√2
2 .]
(2)[√10，＋∞)
解析 f(x)＝sin x－3cos x＝√10sin(x－φ)(其中tan φ＝3)，
√10sin(x－φ)∈[－√10，√10]，
所以f(x)∈[－√10，√10]，
故a≥√10.
例3 (1)D [α∈(
π
4 ，π
2)，
故α＋π
3 ∈(
7 π
12 ，5 π
6 )，
所以cos(α ＋π
3)<0，
又sin(α ＋π
3)＝3
5，
故cos(α ＋π
3)＝－4
5 ，
sin(α ＋π
12)＝sin[(α ＋π
3)- π
4]
＝sin(α ＋π
3)cos π
4
－cos(α ＋π
3)sin π
4
＝3
5×√2
2 －(- 4
5)×√2
2 ＝7√2
10 .]
(2)C [由cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1
3，
结合cos αcos(α＋β)＝1
4 ，
可得sin(α＋β)sin α＝1
3 －1
4 ＝1
12，
所以cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cos αcos(α＋β)－sin αsin(α＋β)＝1
4 －1
12 ＝1
6.]
跟踪训练3 (1)A [由α∈(
π
4 ，π
2)，得α＋π
4 ∈(
π
2 ，3 π
4 )，
则cos(α ＋π
4)
＝－√
1- sin
2(α ＋π
4)＝－3
5，
cos α＝cos[(α ＋π
4)- π
4]
＝cos(α ＋π
4)cos π
4 ＋sin(α ＋π
4)·sin π
4 ＝－3
5×√2
2 ＋4
5 ×√2
2 ＝√2
10 .]
(2)C [因为α∈(
π
2 ，π)，β∈(0，π
2)，sin(α＋β)＝1
3>0，
cos β＝√3
3 ，所以α＋β∈(
π
2 ，π)，
则sin β＝√1-co s
2 β ＝√6
3 ，
cos(α＋β)＝－√1- sin
2(α ＋β)
＝－2√2
3
，
所以sin α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β
＝1
3×√3
3 －(- 2√2
3 )×√6
3 ＝5√3
9
.]
