第09讲 函数模型及其应用
三种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝log x y＝xn
a
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表现 随n值变化而各
图象的变化
为与y轴平行 为与x轴平行 有不同
值的比较 存在一个x，当x>x 时，有log x<xn<ax
0 0 a
一．用函数图像刻画变化过程
例1．（1）面对突如其来的新冠病毒疫情，中国人民在中国共产党的领导下，上下同心、众志成城抗击疫
情的行动和成效，向世界展现了中国力量、中国精神．下面几个函数模型中，能比较近似地反映出图中时
间与治愈率关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】结合图象以及函数的单调性确定正确选项.
【详解】根据图象可知，治愈率先减后增，B选项符合.
ACD选项都是单调函数，不符合.
故选：B
（2）如图所示，已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设P点运动
的路程为x， ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是( )
△
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】数形结合，分P点在BC、CD、DA三种情况，依次求出S＝f(x)的解析式，根据解析式即可作出图
像﹒
【详解】由题意：
P点在BC上时，0≤x＜4，S＝ ＝2x；
P点在CD上时，4≤x≤8，S＝ ＝8；
P点在DA上时，8＜x≤12，S＝24－2x．
故选：D﹒
（3）今有一组实验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】选 代入四个选项的解析式中选取所得的 最接近 的解析式即可.
【详解】对于选项A：当 时， ，与 相差较多，故选项A不正确；
对于选项B：当 时， ，与 相差较多，故选项B不正确；
对于选项C：当 时， ，故选项C正确；
对于选项D：当 时， ，与 相差较多，故选项D不正确；
故选：C.
（4）植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数
据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）
A． ( 且 )
B． ( ，且 )
C．
D．
【答案】B
【解析】由散点图直接选择即可.
【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，
即B符合.
故选：B.
（5）某条公共汽车线路收支差额 与乘客量 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），
由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建
议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函
数关系，则（ ）A．①反映建议（2），③反映建议（1） B．①反映建议（1），③反映建议（2）
C．②反映建议（1），④反映建议（2） D．④反映建议（1），②反映建议（2）
【答案】B
【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.
【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向
相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；
对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③
反映建议（2）.
故选：B.
【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象
变化的规律，此题为基础题.
（6）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，
再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人
员每隔 测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪
个函数模型可以近似地刻画茶水温度 随时间 变化的规律（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象的变化可直接判断.
【详解】由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型.故选：C.
【点睛】本题考查函数模型的判断，属于基础题.
【复习指导】：判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不
符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
二．已知函数模型的实际问题
例2．（1）我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最
高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为 ，
那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（ ）
A．26米 B．28米 C．31米 D．33米
【答案】C
【分析】计算二次函数的最值即可.
【详解】 ， .
故选：C
（2）牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间
后的温度 满足 ，其中 是环境温度， 称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，
研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那
么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据： ， ，）
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
【答案】C
【分析】根据已知条件代入公式计算得到 ，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.
【详解】根据题意， ，即
设茶水从 降至 大约用时t分钟，则 ，
即 ，即
两边同时取对数：
解得 ，所以从泡茶开始大约需要等待 分钟
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数
的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.
（3）冈珀茨模型 是由冈珀茨（Gompertz）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述
种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型： （当 时，表
示2020年初的种群数量），若 年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则
m的最小值为_________.
【答案】6
【分析】依题意得 通过计算化简得 ，则问题可解．【详解】令 由题意知， ，
所以 得 ， 则
所以 ，解得 ，所以m的最小值为6
故答案为：6
【点睛】本题通过实际问题考查指对数不等式，关键要掌握指对数不等式求解法则．
（4）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉
宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产
品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本 （万元）.经计算若年产量x千件低于100
千件，则这x千件产品成本 ；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品
成本 .每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完.
①写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式；
②当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】① ；
②年产量为105千件，最大利润是1000万元.
【分析】①年利润 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可.
②当 时，根据二次函数单调性求 最大值；当 时，根据基本不等式求最大值，继而求出
最大值.
【详解】①当 时， ；
当 时， ，所以 .
②当 时， ，当 时， 取得最大值950，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，而 ，
所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.
【复习指导】：求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
三．构造函数模型的实际问题
命题点1 构造二次函数模型
例3 某居民小区要建一座休闲场所， 如图， 它的主体造型平面图是一个长为 4 ， 宽为 2 的矩形
． 居民小区计划在 上建一座花坛 (图中阴影部分)， 在 和 上建两个沙坑．
若 ， 记花坛 的面积为 ， 两个沙坑的总面积为 (点 与正方
体的顶点不重合)．
(1)求 关于 的函数表达式， 并直接写出自变量 的取值范围．(2)当 为何值时， 的值最大？ 并求出这个最大值．
【答案】(1) 关于 的函数表达式为 ， 自变量 的取值范围是
(2)当 时， 取得最大值， 最大值为 7
【分析】（1）由题及图可知 将已知条件代入化简即可
（2）由（1）将 代入 ，由题知 ，化简表达式利用二次函数求解即可
【详解】（1）由题意得：
．
（2）则 关于 的函数表达式为 ， 自变量 的取值范围是 ．
（2）
，
当 时， 取得最大值， 最大值为7 ．
命题点2 构造指数函数、对数函数模型
例4 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半
时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积
为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【详解】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，
则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－ .
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，即 ＝ ，
即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
≥ ，即≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
命题点3 构造分段函数模型
例5 如图， 病人服下一粒某种退烧药后， 每毫升血液中含药量 (微克) 与时间 (小时)之间的关系
满足：
前 5 个小时按函数 递增， 后 5 个小时 随着时间 变化的图像是一条线段．
(1)求 关于 的函数关系式；
(2)已知每毫升血液中含药量不低于 3 微克时有治疗效果， 含药量低于 3 微克时无治疗效果， 试问病人
服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为多少小时？【答案】(1) ；(2) 小时
【分析】(1)根据图像中特殊点,求出函数的解析式即可.
(2)根据题意构造不等式 ,分段求解即可.
【详解】（1）由图可得,函数过点 ,可得 ， 得 ．
当 时， 设 ，
由图可得 得 所以 ．
故
（2）由题意得 或 得 或 ， 即 ．
故病人服下一粒该退烧药后有治疗效果的时间为 小时．
【复习指导】：(1)在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型．
②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．
③解模：求解函数模型，得出数学结论．
④还原：将数学结论还原为实际意义的问题．
(2)通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升
数学建模核心素养．1．下列四个图象中，与所给三个事件吻合最好的顺序为（ ）
①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
②我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
③我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
其中y表示离开家的距离，t表示所用时间.
A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①
【答案】A
【分析】根据三个事件的特征，分析离家距离的变化情况，选出符合事件的图像.
【详解】对于事件①，中途返回家，离家距离为0，故图像④符合；
对于事件②，堵车中途耽搁了一些时间，中间有段时间离家距离不变，故图像①符合；
对于事件③，前面速度慢，后面赶时间加快速度，故图像②符合；
故选：A.
2．某农科院学生为研究某花卉种子的发芽率 和温度 （单位: ）的关系，在 个不同的温度条件下
进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图.由此散点图，在 至 之间，
下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】观察散点图的图像，只有对数型函数图像最适宜作为发芽率 和温度 的回归方程类型，故选C.
【详解】根据图中散点图可知，散点大致分布在某一条对数型函数曲线周围，
A选项是直线型，B选项是抛物线型，D选项是指数型，只有C选项是对数型.
故选：C.
3．水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度 与时间 的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考查容器的形状来确定水的高度的变换规律，选择图形即可.
【详解】容器由下到上口径越来越大，水以恒速注入，则容器中水的高度增加的速度逐渐变慢，A符合；
B选项容器中水的高度增加的速度逐渐变快；
C选项容器中水的高度是匀速增加；
D选项容器中水的高度增加的速度先增加较慢，后增加较快.
故选：A
4．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最
亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上
的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个
像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.
【详解】根据图片处理过程中图像上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的
图像上每个像素的灰度值增加,所以图象在y=x上方，
结合选项只有A选项能够较好的达到目的，
故选：A.
5．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器集到如下一组数据：
1 2 3 4 5 8
0.5 1.5 2.08 2.5 2.85 3.5
在四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映x，y函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据选项中函数的递增特征进行判断即可.
【详解】根据数据可以知道：
当自变量每增加1时，y的增加是不相同的，所以不是线性增加，排除A；
当自变量增加到8时，y的增加也不是很多，所以不符合指数的增加特征，排除B；
当x增加时，y是缓慢增加，并没有靠近一常数的特征，所以排除D.
故选：C
6．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无
坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函
数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】根据一丈等于十尺，即可得出结果.
【详解】因为一丈等于十尺，
所以“道高一尺魔高一丈”更适合用 ， 来表示；
故选：A.
7．某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留量 （单位：毫
克）与时间 （单位：小时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如下散点图.现拟
从下列四个函数模型中选择一个估计 与 的关系，则应选用的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用散点图的分布结合函数的单调性可选择合适的选项.
【详解】由散点图可知，函数在 上单调递减，且散点分布在在一条曲线附近，
函数 的图象为一条直线，不合乎题意；
函数 的图象为一条曲线，且当 时，该函数单调递减；
函数 在区间 上单调递增，不合乎题意；
由双勾函数的单调性可知，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，不合乎题意.
故选：B.
8．某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润
增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与
售出商品的数量x的关系，则可选用（ ）
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
【答案】D
【分析】细读题目，可知初期增长迅速，后来增长越来越慢，只有对数函数最符合题意.
【详解】由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关
系.
故选：D.
【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，考查逻辑思维能力，考查学生对实际问题的分析和解决能力，
属于常考题.
9．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为
投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是（ ）
A．投资3天以内（含3天），采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资6天，采用方案一
D．投资12天，采用方案二
【答案】D
【分析】结合图象对应的高低，可得方案一的回报最多，A正确；投资4天，分别计算出方案一和二的回
报, 结合图象对应的高低，可得B正确；投资6天，分别计算出方案一和二的回报, 结合图象对应的高低，
可得C正确；投资12天，根据图象的变化可知D不对，得出选项．【详解】由图可知，投资3天（含3天）内的，结合图象对应的高低，可得方案一的回报最多，所以A正
确；
投资4天，方案一的回报约为 （元 ，方案二的回报约为 （元 ，结合图象对
应的高低，可知方案一，方案二都比方案三高，所以B正确；
投资6天，方案一的回报约为 （元 ，方案二的回报约为 （元 ，结
合图象对应的高低，可知方案一比方案二方案三高，所以C正确；
投资12天：根据图象的变化可知，方案三高很多，所以采用方案三，所以D不对；
故选:D．
【点睛】本题考查函数模型的应用，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档
题．
10．学校宿舍与办公室相距 ，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发先匀速跑步3分钟来到办公
室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍.在这个过程中，这位同学行走的路程是时间的函数，则
这个函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得开始路程是递增，停留时路程不发生变化，再匀速时总路程也是增加的，即可判断.
【详解】由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增，停留2分钟，
路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，只有A符合,
故选：A.
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，考查了函数图象在实际中的应用,属于基础题．
11．已知甲､乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市
后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0，在这辆汽
车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合题干分析求解分段函数解析式即可．
【详解】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上：
故选：D．
12．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如
图所示，现给出下列说法：①前5 min温度增加越来越快； ②前5 min温度增加越来越慢；③5 min后温
度保持匀速增加；④5 min后温度保持不变．其中说法正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．②③ D．①③
【答案】C
【分析】本题首先可以观察题目所给出的图，得出图像中的曲线是怎么变化的，然后对比题目所给选项，
即可得出结果．
【详解】由图可知，前 温度增加越来越慢， 后温度保持匀速增加，
故②③是正确的，故选C．
【点睛】本题考查函数的图像，主要考查函数图像的变化趋势，考查学生的观察能力，考查推理能力，是简单题．
13． 年至 年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量 ，当年电
影放映场次作为函数值 ，下列函数模型中，最不适合近似描述这 年间电影放映场次逐年变化规律的函
数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数在第一象限内是增函数进行判断．
【详解】由图象可知在第一象限内， 是关于 的增函数，A、B、C均合题意
当 时， 在第一象限内是减函数，
当 时， 在第一象限内没有图象，
故 不适合．
故选D．
【点睛】本题考查函数模型的应用及函数的单调性判断，熟记基本初等函数的基本性质是关键，属于中档
题．
14．甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑
自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车快．若每人离开甲地的距离 与所用时间
的函数用图象表示，则甲、乙对应的图象分别是（ ）A．甲是(1)，乙是(2) B．甲是(1)，乙是(4)
C．甲是(3)，乙是(2) D．甲是(3)，乙是(4)
【答案】B
【分析】根据题设甲乙的出行方式判断甲乙对应图象中直线斜率的大小关系，即可确定甲、乙对应的图象.
【详解】由甲先骑自行车后跑步，故图象斜率先大后小，则甲图象为(1)或(3)，
由乙先跑步后骑自行车，故图象斜率先小后大，则乙图象为(2)或(4)，
又甲骑车比乙骑车快，即甲前一半路程图象的中 随 的变化比乙后一半路程 随 的变化要快，
所以甲为(1)，乙为(4)．
故选：B．
15．如图，阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是图中的( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知， 是， 是减函数，故A、B错；
由图形阴影面积的变化趋势来看，函数减小的趋势是变慢的，故选C．
点睛：观察函数的单调性和变化趋势来解决问题，本题观察阴影部分的变化情况，首先可知是减函数，再
根据等长递减观察，可知递减的趋势是由快变慢的，故得到图象为C选项．
16．据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万，0.4万和0.76万，则该地区这三个月的用工
人数y(万人)关于月数x的函数关系近似地是( )A．y＝0.2x B．y＝ (x2＋2x)
C．y＝ D．y＝0.2＋log x
16
【答案】C
【详解】当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.
17．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量 会按确定的比率衰减（称为衰减率）， 与死亡年数 之
间的函数关系式为 （其中 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半
衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的 ，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：
参考时间轴：
A．宋 B．唐 C．汉 D．战国
【答案】D
【分析】根据给定条件可得函数关系 ，取 即可计算得解.
【详解】依题意，当 时， ，而 与死亡年数 之间的函数关系式为 ，
则有 ，解得 ，于是得 ，
当 时， ，于是得： ，解得 ，
由 得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
18．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 ，h称为半衰期，其中 是环境温度．若 ℃，现有一杯80℃
的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据： ，
）（ ）
A．9分钟 B．10分钟
C．11分钟 D．12分钟
【答案】B
【分析】根据已知条件代入公式计算可得 ，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即
可求解.
【详解】解：由题意， ℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得
，
所以 ，
又水温从75℃降至45℃，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.
故选：B.19．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 (单位： )与时间 (单位： )间
的关系式为 ，其中 为正常数.如果一定量的废气在前 的过滤过程中污染物被消除了
那么污染物减少到最初含量的 还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：
)（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由已知条件建立方程求得 ，再代入模型中求得时间得选项.
【详解】由已知得 ，方程两边取自然对数得 ，所以 ，
设污染物减少到最初含量的 需要经过t小时，则 ，两边取自然对数得 ，解得
，
所以还需要经过 个小时的时间使污染物减少到最初含量的 ，
故选：B.
【点睛】方法点睛：在解决函数的模型的问题时，需注意生活中的量在模型中的含义，建立方程求解.
20．为践行"绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强，某化工企业
在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的20%才达到排放标准．已知
在过滤过程中，废气中污染物含量y（单位：mg/L，）与时间t（单位：h）的关系式为 （ ，k
为正常数， 表示污染物的初始含量），实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%．则
该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为（ ）（结果四舍五入保留整数，参
考数据 ）
A．12h B．16h C．26h D．33h
【答案】B
【分析】利用函数关系式，结合条件可求出常数k的值，然后结合排放标准即可求出结论．
【详解】由题意，实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%，∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
当 时， ，
即 ，
∴ ,
即该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为16h.
故选：B.
21．从盛满20L纯酒精的容器里倒出1L酒精，然后用水填满，这样继续下去，若倒第k次 时共倒出
纯酒精xL，倒第 次时共倒出纯酒精 L，则 的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】每次倒出的纯酒精应为混合溶液体积乘以酒精浓度，根据题意可建立x与 的关系式，进而得
解．
【详解】每次倒出的纯酒精应为混合溶液体积乘以酒精浓度，
第 次倒时，容器里还剩 L纯酒精，所以酒精的浓度为 ，
而又倒出1L混合溶液，故倒出的纯酒精为 L，
则 ，则 ．故选：B．
22．已知某种食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位： ）满足函数关系 （ 为自
然对数的底数， 为常数），且在 时的保鲜时间是192小时，在 时的保鲜时间是48小时，则这
种食品在 时的保鲜时间是（ ）
A．12小时 B．18小时 C．24小时 D．36小时
【答案】C
【分析】根据题意建立方程组，进而解出 ，然后将33代入即可求得答案.
【详解】由题意，得 ，即 ，
所以该食品在 的保鲜时间是 .
故选：C.
23．在“3820”战略工程思想精髓的指导下，福州经济持续增长．据统计，2011年至2021年十年间，福州
GDP增幅达 ，位列全国过去十年主要城市GDP增幅第2名．假设从2011年起福州GDP保持相同的
年增长率，要增长到原来的y倍，需经过x年，则函数 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】设2011年的GDP为1，年增长率为 ，根据题意有 ，求得 ，然后建立函数关系
式，即可判断函数图像.
【详解】不妨设2011年的GDP为1，年增长率为 ，则 ，
所以 ，即
因为指数函数 为增函数，且 时， ，
所以函数 的图像大致为C项中的图.
故选:C.
24．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减
为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物
体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.
【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为 ，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，
根据经过N年衰减为原来的一半，则 ，即 ，
且生物体内碳14原有初始质量为Q
所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为即
故选:D.
25．某公司一年购买某种货物 吨，每次购买 吨，运费为 万元/次，一年的总存储费用为 万元．要
使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值是________．
【答案】
【分析】将费用之和表示为关于 的函数的形式，根据基本不等式取等条件可确定结果.
【详解】设一年的总运费与总存储费用之和为 ，则 ；
（当且仅当 ，即 时取等号），
要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值为 .
故答案为： .
26．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足
，其中 为非零常数；已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为
m，则释放信息素4秒后，距释放处的___________米的位置，信息素浓度为 .
【答案】4
【分析】根据函数关系式将已知数据代入求解即可.
【详解】因为释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，
所以 ，所以 ，即
当 时， ，
整理得 即 ，
所以 ，因为 ，所以 .
故答案为:4.27．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将____________块这样的玻璃重叠起来，
才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据： ．）
【答案】
【分析】构造不等式 ，利用对数运算法则解不等式可求得结果.
【详解】假设需要 块这样的玻璃，则 ， ，
，
至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的 .
故答案为： .
28．某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，
奖金 （单位：万元）随利润 （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超
过利润的20%，现有三个奖励模型：① ，② ，③ ，则该符合该商场要求的模型
为______（填序号）.
【答案】②
【分析】数形结合，根据三个函数图象是否在直线 和 的下方判断即可.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数 ， ， 的图象如图所示.观察图象可知，
在区间 内，函数 ， 的图象都有一部分在直线 的上方，只有函数 的图
象始终在直线 和 的下方，所以按模型 进行奖励符合商场的要求.故答案为：②
29．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ， 后物体的温度
可由公式 求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数．若将 的
物体，放在 的空气中冷却，可测得 以后物体的温度是 由此可求出 的值约为 ．现将
的物体，放在 的空气中冷却，则开始冷却______分钟（精确0.01）后物体的温度是 ．（参考数据：
）
【答案】5.78
【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.
【详解】由题意可知 ， ， ，
代入方程 得 即 ，
两边取对数得 ，
由参考数据可知 ，
所以 ，
故答案为：5.78
30．秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，
已知药物释放过程中，室内空气中的含药量 （ ）与时间 （ ）（ ）成正比；药物释放完
毕后， 与t的函数关系式为 （ 为常数， ），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到
（ ）以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前__________小时进行消毒工作.【答案】1
【分析】根据题意求出参数a，当 时,令 ，解不等式即可.
【详解】由图中一次函数图象可得，图象中线段所在直线的方程为 ，
又点 在曲线 上，所以 ，
解得 ，
因此含药量 与时间 之间的函数关系式为 ，
当 时，令 ，即 ，即 ，解得
故答案为：1.
31．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量 （毫克/毫升）随时间 （小时）变化的规律近似满足表达式
《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超
过 毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车___________.（精确到 小时）
【答案】4
【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过 毫克 毫升时，才能开车，因此只需由 ，求出
/
的值即可.【详解】当 时，由 得 ，
解得 ，舍去；
当 时，由 得 ，即 ，
解得 ，
因为 ，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
故答案为：4
32．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益 与投资额x成
正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益 与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图
2．
(1)分别写出两种产品的年收益 和 的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年
收益是多少万元?
【答案】(1)
(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
【分析】（1）根据待定系数法可得；
（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，写出年收益的解析式，利用换元法可得.
【详解】（1）由题意可设 ，由图知，函数 和 的图象分别过点 和 ，
代入解析式可得 ，
所以
（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为 ，年收益为y，
则 ，
令 ，则 ，
当 ，即 时， ，
所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
33．某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经
调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：
，且单株施用肥料及其它成本总投入为 元．己知这种水果的市场售价大约
为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为 （单位：元）．
(1)求函数 的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元
【分析】（1）利用 ，即可求解；（2）对 进行化简，得到 ，然后分 、 讨论
的取值，进而得到答案.
【详解】（1）根据题意， ，化简得，
；
（2）由（1）得
，
当 时， ，
当 时， ，所以
，
当且仅当 时，即 时等号成立，
因为 ，所以当 时， ，
故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元.
34．中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每
年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，某种两岁燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度 米 秒 之间满
足关系： ，其中 表示燕子耗氧量的单位数．(1)当该燕子的耗氧量为 个单位时，它的飞行速度大约是多少？
(2)若某只两岁燕子飞行时的耗氧量变为原来的 倍，则它的飞行速度大约增加多少？ 参考数据： ，
【答案】(1) （米/秒）
(2) （米/秒）
【分析】（1）由耗氧量和飞行速度的关系可将 表示为对数，然后求出 即可．
（2）记燕子原来的耗氧量为 ，飞行速度为 ，现在的耗氧量为 ，飞行速度为 ，则可得 ，然
后化为对数运算即可．
【详解】（1）当 时， ，即 ，
所以 ，
所以 ，
即它的飞行速度大约是 米 秒 ．
（2）记燕子原来的耗氧量为 ，飞行速度为 ，现在的耗氧量为 ，飞行速度为 ，
则 ，即 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以它的飞行速度大约增加 米 秒 ．
35．2022年12月7日，国务院发布了精准防控新冠疫情的十条最新措施，以减轻疫情防控对企业经营和
民众生活带来的损失．某公司为了尽快恢复经营活动，决定对业绩在50万元到200万元的业务员进行奖励，
奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，但不超过业绩
值的 ．
(1)若某业务员的业绩为100万，核定可得5万元奖金，若该公司用函数 （k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（参考数据 ）
(2)若采用函数 ，求a的范围．
【答案】(1)业绩200万元的业务员可以得到7.3万元奖励；
(2)a的取值范围是 ．
【分析】(1)将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.
(2)根据题意列出关于 的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数 的取值范围.
【详解】（1）对于函数模型 （k为常数），
当 时， ，代入得，
解得 ，即 ，
因为函数 和函数 在 上都为增函数
所以函数 在 上都为是增函数，
当 时， ，
所以业绩200万元的业务员可以得到7.3万元奖励．
（2）对于函数模型 ，
因为函数 在 递增，所以 ，即 ；
又由奖金不超过业绩值得5%，得
恒成立，
即 对 恒成立．
记 ，
因为二次函数 图象开口向上且 ，所以函数 图象的对称轴 ，所以只需 ，即
解得 ．所以
综上可知，实数a的取值范围是 ．
36．2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．
该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装
备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价
（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足 （k为正常数）．该商
品的日销售量 （个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出两种函数模型：① ，② ，请你根据上表中的数据，从中选择你认为
最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 与时间x的关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该商品的日销售收入 （ ， ）（元）的最小值．
【答案】(1)
(2)选择②， ，（ ， ）
(3)121元
【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；
（2）由表中数据的变化可确定 描述该商品的日销售量 与时间x的关系，代入表述
数据可求得其解析式；（3）讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.
【详解】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以 ，解得 ；
（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②:
代入数据可得： ，解得 ， ，
所以 ，（ ， ）
（3）由（2）可得， ，
所以， ，
所以当 ， 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以当 时， 有最小值，且为121；
当 ， 时， 为单调递减函数，
所以当 时， 有最小值，且为124，
综上，当 时， 有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．
37．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的
抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企
业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品
的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元 满足 （k为常数），如果不
搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该
产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按 元来计算）
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
【分析】（1）根据题意列方程即可.
（2）根据基本不等式，可求出 的最小值，从而可求出 的最大值.
【详解】（1）由题意知，当 时， （万件），
则 ，解得 ，∴ ．
所以每件产品的销售价格为 （元），
∴2020年的利润 ．
（2）∵当 时， ，
∴ ，
当且仅当 即 时等号成立．
∴ ，
即 万元时， （万元）．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
38．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数
与空气污染指数 的关系为： ，其中空气污染指数 与时
刻 （小时）和 的算术平均数成反比，且比例系数为 ， 是与气象有关的参数， ．
(1)求空气污染指数 的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数 的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数
最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．
【答案】(1) ， ， ;
(2)没有超标；理由见解析.
【分析】（1）根据题意直接写出函数 ，利用均值不等式求最值即可；
（2）设 ，换元后原函数转化为分段函数 ，利用二次函数的性质求出函数的单调区间，分类讨
论可得 的最大值，即可求解.
1
2 x
p(x)= =
【详解】（1）由题意得 1 x2+1， ，
x+
x
2
即
当且仅当 时， ．
（2）由（1）得 ， ，设 ，
1
令g(t)=t|t−k)+ ， ，
4
则
( 1) (k) k2 1 (1) 1 k
由图像知 在 和 k, 上单调递增，在 上单调递减，且g = + ，g = − ，
2 2 4 4 2 2 2
所以 ，k2 k 1
令 + − ≥0，解得 ，
4 2 4
k2 k 1
令 + − <0，解得0<k<❑√2−1，
4 2 4
所以
当0<k<❑√2−1时， ，
当 时， ，
即g(t) <1，所以 ，
max
所以目前市中心的综合污染指数没有超标.
39．某企业生产 两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润 （万元）与投资额 （万元）成正
比，其关系如图（1）所示； 产品的利润 （万元）与投资额 （万元）的算术平方根成正比，其关系如
图（2）所示.
(1)分别将 两种产品的利润表示为投资额的函数.
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使
企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（结果精确到0.1万元）？
【答案】(1) ， ；
(2)当A产品投入3.75万元， 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为 万元，即4.1万元．
【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果；（2）设A产品投入 万元，则 产品投入 万元，设企业的利润为 万元，则有
，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解．
【详解】（1）设投资额为 万元，A产品的利润为 万元， 产品的利润为 万元，
由题设得 ， ，
由图可知 ，则 ，又 ，所以 ，
所以 ， ；
（2）设A产品投入 万元，则 产品投入 万元，设企业的利润为 万元，
则 ， ，
令 ，则 ，故 ，
所以当 时， ，此时 ， ，
所以当 产品投入3.75万元， 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为 万元，即4.1万元．
40．某企业投资 万元购入一套垃圾处理设备.该设备维护费用 （万元）与使用时间 （年）之间满足
函数关系 ，此外该设备每年的运转费用是 万元.
(1)求该企业使用这套设备 年的年平均垃圾处理费用 （万元）；
(2)该企业使用这套设备几年年平均垃圾处理费用最低？最低是多少万元？
【答案】(1) .
(2)10年，最低费用 （万元）.
【分析】（1）由垃圾处理费用的构成即可求得关于 的解析式；
（2）利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）由题意可知：使用 年的垃圾处理费用=投资费用+维护费用+运转费用，
使用这套设备 年，维护费用为 ，运转费用为 ，投资 万元，故有 .
（2）由基本不等式可得：
，
当且仅当 ， ，即 时取等号.
即该企业使用这套设备10年，年平均费用最低，最低费用为 （万元）.
41．成都市某高中为了促使学生形成良好的劳动习惯和积极的劳动态度，建设了“三味园”生物研学基地.
某班级研究小组发现某种水果的产量 （单位：百千克）与肥料费用 （单位：百元）满足关系
，且投入的肥料费用不超过6百元.另外，还需要投入其它的费用 百元.若此种的水果市场价
格为18元/千克（即18百元/百千克），且市场始终供不应求.记这种水果获得的利润为 （单位：百
元）.
(1)求函数 的关系式，并写出定义域；
(2)当肥料费用为多少时，这种水果获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) ，
(2)肥料费用为 元时，该水果获得的利润最大，最大利润是 元．
【分析】（1）根据收入减去成本为利润，即可得到函数解析式，再写出函数的定义域即可；
（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）解：依题意可得 ，
因为 ，所以 ， ；
（2）解： ，
当且仅当 ，即 时取等号．
当投入的肥料费用为 元时，该水果获得的利润最大，最大利润是 元．
42．在20世纪30年代，美国地震学家里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，就是我们常说的甲氏震级M，其
计算公式为 ．其中A是被测地震的最大振幅， 是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是
为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．
(1)假设在一次地震中，测震仪记录地震的最大振幅是 ，此时标准地震的振幅是0.001，求这次地震的
震级；
(2) 级地震给人的震感已比较明显，求 级地震的最大振幅约是 级地震的最大振幅的多少倍？（精确到
1倍，参考数据： ）
【答案】(1) 级；(2) 倍
【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得震级.
（2）求得 级和 级地震的振幅，进而求得所求的倍数.
【详解】（1）依题意 ，
所以这次地震的震级是 级.
（2）依题意 ，其中 分别表示 级地震、 级地震的最大振幅，
两式相减得 ，
所以 倍.
所以 级地震的最大振幅约是 级地震的最大振幅的 倍.
43．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得
分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运
动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多
得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：① ；② ；③
.(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
【答案】(1)选 ，理由见解析
(2)答案见解析
(3)55分钟
【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，
（2）将 ， 代入求解系数即可.
（3）将 代入解析式即可.
【详解】（1）第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一，当 时，匀速增长；
对于模型二，当 时，先慢后快增长；
对于模型三，当 时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选 .
（2）第三步把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将 ， 代入解析式得到 ，即 ，
解得 ， ，即 .
第四步：完善模型是否合适
当 时， ，满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为 .
（3）由 ， ，
得 ，得 ，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
44．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有90分钟，现需要制定一个课
余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分 与当天锻炼时间 （单位：分）的函数关系，要求及图示如下：
（1）函数是区间 上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时
间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型① ，
② ，③ 供选择.
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注： ，结果保留整数）
【答案】(1)模型③，理由见解析， ；(2)55分钟
【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，再将（0，0），（30，3）代入求解系数即可.
（2）将 代入解析式即可.
【详解】（1）第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一，当 时，匀速增长；对于模型二，当 时，先慢后快增长；
对于模型三，当 时，先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选 .
第三步：把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将（0，0），（30，3）代入解析式得到 ，即 ，
解得 ，即 .
第四步：验证模型是否合适
当 时， ，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为 .
（2）由 ，得 ，
得 ，得 ，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
45．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为 亩，计
划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的 倍时，所用时间是 年．
(1)求森林面积的年增长率；
(2)到今年为止，森林面积为原来的 倍，则该地已经植树造林多少年？
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程，求解即可；
（2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可.【详解】（1）设森林面积的年增长率为 ，根据题意可得： ，
即 ，则 ，故 .
故森林面积的年增长率为 .
（2）设该地已经植树造林 年，根据题意可得： ，
即 ，则 ，解得 .
故该地已经植树造林 年.
46．有一种放射性元素，最初的质量为 ，按每年 衰减
(1)求两年后，这种放射性元素的质量；
(2)求 年后，这种放射性元素的质量 （单位为： ）与时间 的函数表达式；
(3)由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫作半衰期）．
（精确到 年，已知： ， ）
【答案】(1)405 ；(2) ；(3) 年.
【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来
的一半，建立等式，利用换底公式求解.
【详解】（1）经过一年后，这种放射性元素的质量为 ，
经过两年后，这种放射性元素的质量为 ，
即两年后，这种放射性元素的质量为405
（2）由于经过一年后，这种放射性元素的质量为 ，
经过两年后，这种放射性元素的质量为 ，
……
所以经过 年后，这种放射性元素的质量 .
（3）由题可知 ，即 年.47．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻
力和地球引力的理想状态下，可以用公式 计算火箭的最大速度v（单位：m/s）.其中 （单位
m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质
量的总和， 称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.
参考数据： .
(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的 ，
若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比最小整数值？
【答案】(1) ；(2)45
【分析】（1）根据最大速度公式求得正确答案.
（2）根据火箭最大速度的要求列不等式，由此求得正确答案.
【详解】（1）当总质比为230时， ，
即 型火箭的最大速度为 .
（2） 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以 型火箭的喷流相对速度为
，总质比为 ，
由题意得：
因为 ，所以 ，
所以在材料更新和技术改进前总质比最小整数值为45.
48．果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，
种植成本 （万元）与果树数量 （百棵）之间的关系如下表所示.
1 4 9 16
1
(1)根据以上表格中的数据判断： 与 哪一个更适合作为 与 的函数模型；
(2)已知该果园的年利润 （万元）与 的关系为 ，则果树数量 为多少时年利润最大？【答案】(1) 更适合作为 与 的函数模型
(2)果树数量 为 时年利润最大
【分析】（1）将点 代入 和 ，求出两个函数，然后将 和 代入，
看哪个算出的数据接近实际数据哪个就更适合作为 与 的函数模型.
（2）根据（1）可得 ，利用二次函数的性质求最大利润.
【详解】(1)①若选择 作为 与 的函数模型，将 的坐标分别带入，得
解得
此时，当 时， ，
当 时， ，
与表格中的 和 相差较大，
所以 不适合作为 与 的函数模型.
②若选择 作为 与 的函数模型，将 的坐标分别带入，得
解得
此时，当 时， ，
当 时， ，
刚好与表格中的 和 相符合，所以 更适合作为 与 的函数模型.
(2)由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定 的取值范围为 ，
令 ，则
经计算，当 时， 取最大值 （万元），
即， 时（每亩约38棵），利润最大.
49．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复
正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检
验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝cmt(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量
才能达到正常状态？
【详解】(1)由题意可列方程组两式相除，解得
(2)由题意可列不等式 ≤0.5，
所以 ≤8，即t≥8，解得t≥32.
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
50．突如其来的新冠肺炎改变了人们的生活方式,某商品经销商积极探索销售模式,在2020年10月份前14
天先延续传统的销售模式进行销售,14天后改用网络直播带货的模式,经过调研利用数学建模的手段得
知,2020年10月份第 天的销售量(单位:件)近似满足
,第 天的单件销售价格(单位:元)近似满足 (为常数),且第5天该商品的销售收入为1575元(销售收入=销售价格×销售量).
(1)求 的值;
(2)按此模式该月第几天的销售收入最高?最高为多少?
【答案】(1)
(2)当第20天时,该商品销售收入最高,最高为2020元
【分析】(1)由已知 ,解方程即可得到结果;
(2)设销售收入为 ,根据已知条件写出 的解析式,再分别应用二次函数在闭区间上的最值和基本不等
式求解即可;
【详解】（1）由已知 时, ,解得 .
（2）设销售收入为 .
由(1)知 ,
当 时, ,
故当 时取到最大值 ;
当 时,
,
当且仅当 即 时,等号成立,
即当 时, 取得最大值2020元,
因为 ,故当第20天时,该商品销售收入最高,最高为2020元.
