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专题01 集合与常用逻辑用语
【考点1 集合的含义和表示】
【考点2 集合的基本关系】
【考点3 集合的交并补运算】
【考点4 子集的个数求解】
【考点5 集合中的求参问题】
【考点6 韦恩图的应用】
【考点7 集合的新定义问题】
【考点8 充分条件与必要条件的判定】
【考点9 充分条件与必要条件的应用】
【考点10 全称量词与特称量词命题】
知识点1 集合与元素
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集的记法．
集合
非负整数集
(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
知识点2 集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集
合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子集，记作A⊆B(或B⊇A．
（2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B
的真子集，记作A
B(或B
A)．
1
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（3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是
任何非空集合的真子集．
知识点3 集合的基本运算
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
补集
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA
知识点4 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇏p
p 是q 的必要不充分条件
p⇏q 且q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇔q
p 是q 的既不充分也不必要条件
p⇏q 且q⇏p
知识点5 全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并
用符号“∀”表示．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“∃”表示．
知识点6 全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x，p(x)成立
存在M 中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，﹁p(x)
∀x∈M，﹁p(x)
2
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【考点1 集合的含义和表示】
方法技巧点拨：
解决集合含义问题的关键有三点．
（1）确定构成集合的元素．（2）确定元素的限制条件．
（3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
【典例1】（2024•乐山三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，
a∈A，b∈B}，则集合C 的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【典例2】（2024•雁峰区校级模拟）若a∈{1，2，a2}，则a 的取值集合为（ ）
A．{0}
B．{0，1}
C．{0，2}
D．{0，1，2}
【典例3】（2024•湖北模拟）已知集合A＝{1，2}，B＝{0，2}，若定义集合运算：A*B＝
{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则集合A*B 的所有元素之和为（ ）
A．6
B．3
C．2
D．0
【典例4】（2024•杨浦区校级三模）已知集合P＝{1，2}，Q＝{1，3}，M＝{x|x∈P 或
x∈Q}，则M＝（ ）
A．{1}
B．{2}
C．{3}
D．{1，2，3}
【典例5】（2024•宝鸡模拟）若集合A＝{x∈R|ax2﹣2x+1＝0}中只有一个元素，则实数a＝
（ ）
A．1
B．0
C．2
D．0 或1
【考点2 集合的基本关系】
方法技巧点拨：
1．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否
则易造成漏解．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的
关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问
题．
【典例1】（2024•利通区校级模拟）设集合A＝{0，1}，B＝{1，a﹣2，a﹣1}，若A⊆B，
3
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则a＝（ ）
A．2
B．3
C．1
D．1 或2
【典例2】（2024•浏阳市校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，集合B＝{a+1，a﹣1，
3}，若A⊆B，则a＝（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【典例3】（2024•汕头模拟）已知集合M＝{x∈N|log2x≤1}，N＝{﹣1，0，1，2}，若
M⊆A⊆N，则满足集合A 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【典例4】（2024•岳麓区校级模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2024}，B＝{x|x＜a}，若
A⊆B，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（2024，+∞）
B．[2024，+∞）
C．（﹣∞，2024]
D．（﹣∞，2024）
【考点3 集合的交并补运算】
【典例1】（2024•兴庆区校级模拟）已知集合A＝{x|lg（x﹣1）≤0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，
则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3]
B．（1，2]
C．（1，3]
D．[﹣1，2]
【典例2】（2024•榆阳区校级一模）设集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，
，
则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，4）
B．（0，1）
C．（1，4）
D．（0，4）
【典例3】（2024•蜀山区校级模拟）设集合A＝{x|x＞3}，B＝{x|
≤0}，则（∁RA）∩B
＝（ ）
A．（1，3）
B．[1，3]
C．（3，4）
D．[3，4）
【典例4】（2024•眉山模拟）设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，
﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{3}
B．{﹣3，﹣1，1，2，3}
C．{﹣3，﹣2，0，2，3}
D．{﹣3，2}
【典例5】（2024•袁州区校级模拟）已知集合A＝{3，5，7，9}，B＝{x|x＝2a﹣3，
a∈A}，C＝{5，6，8}，则（A∩B）∪C＝（ ）
A．{3}
B．{3，5，6，8}
C．{5，6，7，8}
D．{3，5，6，7，
8}
【考点4 子集的个数求解】
4
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方法技巧：
如果集合A 中含有n 个元素，则有
（1）A 的子集的个数有2n个． （2）A 的非空子集的个数有2n－1 个．
（3）A 的真子集的个数有2n－1 个 （4）A 的非空真子集的个数有2n－2 个．
【典例1】（2024•全国一模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，则集合
B 的真子集个数是（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【典例2】（2024•西秀区校级一模）已知集合A＝{x∈N|x＜4}，B＝{x|x＝n2﹣1，n∈A}，P
＝A∩B，则集合P 的子集共有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．8 个
【典例3】（2024•海陵区校级模拟）若集合A＝{x∈Z|m＜x＜4}有15 个真子集，则实数m
的取值范围为（ ）
A．[﹣1，0）
B．（﹣1，0]
C．（﹣1，0）
D．[﹣1，0]
【典例4】（2024•秦淮区校级二模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，则A 的子集个数为（
）
A．4
B．7
C．8
D．16
【考点5 集合中的求参问题】
【典例1】（2024•青羊区校级模拟）已知集合A＝{x|3x2﹣2x﹣1＜0}，B＝{x|x≥a}，若
A∩B＝∅，则实数a 的取值范围为（ ）
A．（1，+∞）
B．
C．[1，+∞）
D．
【典例2】（2024•河南模拟）已知集合A＝{﹣5，﹣4，0，2}，B＝{x|﹣5＜x＜a﹣2}，若
A∩B 中有2 个元素，则实数a 的取值范围为（ ）
5
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A．（2，4]
B．[2，4]
C．（﹣2，2]
D．（2，4）
【典例3】（2024•开封模拟）设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x＞a}，且（∁UA）
∪B＝R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1）
B．（﹣∞，1]
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）
【典例4】（2024•广东模拟）若集合A＝{x|3x2﹣8x﹣3≤0}，B＝{x|x＞1}，定义集合A﹣B
＝{x|x∈A 且x∉B}，则A﹣B＝（ ）
A．
B．
C．
D．（1，3]
【典例5】（2024•铜川三模）已知集合A＝{x|x＜m}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，若A⊇B，则实
数m 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）
B．（﹣∞，﹣2]
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）
【考点6 韦恩图的应用】
【典例1】（2024•延边州模拟）已知集合U＝{1，2，3，4，6}，A＝{1，2}，B＝{2，4，
6}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{1，2，4，6}
B．{1，2，3}
C．{1}
D．{1，2，3，6}
【典例2】（2024•邵阳模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，
如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{x|﹣1≤x≤6}
B．{x|x＜﹣1}
C．{x|x＞6}
D．{x|x＜﹣1 或x＞6}
【典例3】（2024•沙坪坝区校级模拟）如图所示，U 是全集，A，B 是U 的子集，则阴影
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部分所表示的集合是（ ）
A．∁U（A∪B）
B．A∪∁UB
C．∁UA∩（∁UB）
D．（∁UA）∪（∁UB）
【典例4】（2024•浙江模拟）若全集U，集合A，B 及其关系用韦恩图表示如图，则图中
阴影表示为（ ）
A．∁U（A∩B）
B．∁U（A∪B）
C．（∁UA）∩B
D．A∩（∁UB）
【典例5】（2024•芝罘区校级模拟）若集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|x2≥1}，则图中阴影
部分表示的集合为（ ）
A．{x|x＞0}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜3}
D．{x|0＜x＜1 或x≥3}
【考点7 集合的新定义问题】
方法技巧：
（1）看清集合中的元素．
（2）对集合进行化简使问题变得简单明了．
（3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn 图．
【典例1】（2024•南通模拟）定义集合运算A⊙B＝{z|z＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，集合A
＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B 所有元素之和为 ．
【典例2】（2024•河北模拟）已知函数y＝ln（x2﹣3x+2）的定义域为集合A，值域为集合
B，则∁BA＝（ ）
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A．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，l]∪[2，+∞）
C．（1，2）
D．[1，2]
【典例3】（2024•深圳校级模拟）定义两集合M，N 的差集：M﹣N＝{x|x∈M 且x∉N}，已
知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A﹣（A﹣B）的子集个数是（ ）个．
A．2
B．4
C．8
D．16
【典例4 】（2024• 山东一模）用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义
，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）•（x2+ax+2）
＝0}，且A*B＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S，则C（S）等于（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【典例5】（2024•雨花区校级一模）对于任意两个正实数a，b，定义
，其中
常数
．若u≥v＞0，且u⊗v 与v⊗u 都是集合
的元
素，则u⊗v＝ ．
【考点8 充分条件与必要条件的判定】
方法技巧
（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
（2）集合法：根据p，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件
中涉及参数范围的推断问题
【典例1】（2024•通州区校级三模）已知a＞0，b＞0，则“a2+b2＞2”是“a+b＞2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2024•船营区校级一模）已知向量
，
，则“x＝3”是
8
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“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例3】（2024•古蔺县校级模拟）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的
（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例4 】（2024• 碑林区校级模拟）在△ABC 中，“ ∠ACB 是钝角” 是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例5】（2024•蓟州区校级一模）“0＜a＜b”是“lg|a|﹣b2＜lg|b|﹣a2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点9 充分条件与必要条件的应用】
方法技巧
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合
之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
（2）要注意区间端点值的检验．
【典例1】（2024•和平区二模）若x∈R，下列选项中，使“x2＜1”成立的一个必要不充分
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条件为（ ）
A．﹣2＜x＜1
B．﹣1＜x＜1
C．0＜x＜2
D．﹣1＜x＜0
【典例2】（2024•辽宁三模）已知正实数a，b，则“a+2b≤2”是“a2+4b2≤2”的
（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要
【典例3】（2024•河东区校级三模）设x∈R，不等式|x﹣3|＜2 的一个充分不必要条件是（
）
A．1＜x＜5
B．x＞0
C．x＜4
D．2≤x≤3
【典例4】（2024•新县校级模拟）已知曲线C：
＝1（m≠0），则“m∈（0，
4）”是“曲线C 的焦点在x 轴上”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例5】（2024•顺义区模拟）若函数f（x）＝
则“x1+x2＞0”是“f
（x1）+f（x2）＞0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点10 全称量词与特称量词命题】
方法技巧：
（1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命
10
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题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否
定的真假．
（2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可
利用等价命题求参数的范围．
【典例1】（2024•凉山州模拟）已知命题“
+m≤0”是
假命题，则m 的取值范围为（ ）
A．[﹣2，+∞）
B．（﹣2，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（﹣∞，﹣2]
【典例2】（2024•昌乐县校级模拟）“a＜﹣1”是“∃x0∈R，asinx0+1＜0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例3】（2024•莲湖区校级二模）设函数f（x）＝ax2﹣2ax，命题“∃x∈[2，6]，f（x）
≤﹣2a+3”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．（3，+∞）
C．（2，+∞）
D．
【典例4】（2024•重庆模拟）若命题∃x∈R，﹣x2﹣2mx+2m﹣3≥0”为真命题，则m 的取
值范围为
．
一．选择题（共11 小题）
1．（2024•平罗县校级三模）已知集合A＝{x|x2＝x}，则﹣1 与集合A 的关系为（ ）
A．﹣1∈A
B．﹣1∉A
C．﹣1⊆A
D．﹣1⊂A
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2．（2024•莲湖区校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜7}，B＝{x|0＜x＜9}，则A∪B＝（
）
A．（﹣1，0）
B．（﹣1，9）
C．（0，7）
D．（0，9）
3．（2024•眉山模拟）设全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣2，﹣1，
0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则{﹣3，2}＝（ ）
A．（∁UA）∩B
B．（∁UA）∪B
C．∁U（A∩B）
D．∁U（A∪B）
4．（2024•河南模拟）已知集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2a}，若A⊆B，则a 的取值
范围为（ ）
A．[0，+∞）
B．[1，+∞）
C．（0，1]
D．（0，
]
5．（2024•晋城三模）已知集合A＝{x∈Z|x+1＞0}，B＝{x|x≤a}，若A∩B 中有2 个元素，
则a 的取值范围是（ ）
A．[2，4）
B．[1，2）
C．[2，4]
D．[1，2]
6．（2024•长沙三模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则集合∁A∪B
（A∩B）＝（ ）
A．（﹣1，1）
B．（﹣2，2）
C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
D．（﹣2，﹣1]∪[1，2）
7．（2024•洪山区校级模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|log2x≤1}，则
A∩B＝（ ）
A．（0，3）
B．（0，3]
C．（0，2]
D．（1，2]
8．（2024•碑林区校级模拟）满足M⊆{a，b，c，d}且M∩{a，b，c}＝{a}的集合M 的个
数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．（2024•南通模拟）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）≤2}，则集合A∩B
的子集个数为（ ）
A．32
B．16
C．8
D．4
10．（2024•重庆模拟）已知集合
，则如图中
阴影部分表示的集合为（ ）
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A．{1}
B．{0，1，4}
C．{﹣1，1，4}
D．{﹣1，0，1，4}
11．（2024•凉山州模拟）已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，则∁AB
＝（ ）
A．{x|x＝4k+3}
B．{x|x＝4k+3，k∈Z}
C．{x|x＝2k+3，k∈Z}
D．∅
二．填空题（共4 小题）
12．（2024•邹城市校级三模）已知集合A＝{m+2，1，4}，B＝{m2，1}，若B⊆A，则实数
m＝ ．
13．（2024•泰安模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{y|y＝x2，x∈A}，C＝{y|y＝x+a，
x∈A}，若B∩C＝∅，则实数a 的取值范围是 ．
14．（2024•松江区校级模拟）已知集合A＝{（x，y）|2x+y＝5}，B＝{（x，y）|3x+2y＝
8}，则A∩B＝ ．
15．（2024•南通模拟）已知X 为包含v 个元素的集合（v∈N*，v≥3）．设A 为由X 的一些
三元子集（含有三个，元素的子集）组成的集合，使得X 中的任意两个不同的元素，都
恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称（X，A）组成一个v 阶的Steiner 三元系．
若（X，A）为一个7 阶的Steiner 三元系，则集合A 中元素的个数为 ．
三．解答题（共1 小题）
16．（2024•海淀区校级模拟）设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且A⊆N*．如果对
于A 中的任意两个不同的元素x，y，都有|x﹣y|≠k，则称A 具有性质P（k）．
（1）试判断集合B＝{1，2，3，4}和C＝{1，4，7，10}是否具有性质P（2）？并说明
理由；
（2）若集合A＝{a1，a2，
，
⋯
a12}⊆{1，2，
，
⋯
20}，求证：A 不可能具有性质P
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（3）；
（3）若集合A⊆{1，2，
，
⋯
2023}，且同时具有性质P（4）和P（7），求集合A 中元
素个数的最大值．
14
