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专题01 集合综合归类
目录
题型一：相等集合......................................................................................................................................................1
题型二：相等集合求参..............................................................................................................................................3
题型三：集合中的元素..............................................................................................................................................5
题型四：集合元素个数求参......................................................................................................................................9
题型五：子集与真子集关系....................................................................................................................................11
题型六：子集型求参................................................................................................................................................14
题型七：交集............................................................................................................................................................18
题型八：交集运算求参............................................................................................................................................20
题型九：并集............................................................................................................................................................23
题型十：并集运算求参............................................................................................................................................26
题型十一：补集与全集............................................................................................................................................28
题型十二：补集与全集运算求参............................................................................................................................30
题型十三：韦恩图应用............................................................................................................................................32
题型十四：交并补混合型运算................................................................................................................................34
题型十五：交并补综合运算求参............................................................................................................................38
题型十六：集合新定义型........................................................................................................................................40
题型一：相等集合
1．（2023·浙江·三模）设函数
的定义域与值域都是Ｒ，且单调递增，
，则( )
A．
B．
C．A=B
D．
【答案】C
【分析】先设
，由元素与集合的关系可得
,即
,
再设
，同理可得
，即
,即可得
.
【详解】解：设
，则
，则
，即
,即
,
设
，则
，不妨设
，则
，
当
时，因为函数
为单调递增函数，则
，即
，与已知矛盾，
当
时，因为函数
为单调递增函数，则
，即
，与已知矛盾，
当
时，因为函数
为单调递增函数，则
，即
，与已知相符，
综上可得
，即
，即
，即
,
集合的相关概念
（1）集合元素的三个特性：互异、无序、确定性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为
；不属于，记为
．
（3）集合的四种表示方法：列举法、描述法、韦恩图法、符号法．
1
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即
，
故选C.
【点睛】本题考查了集合的包含关系及元素与集合的关系，属中档题.
2．（21-22 高三上·浙江金华模拟）已知集合
，
则满足
且
的集合N 的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】分
、
、
三种情况，
分别构造函数，利用导数判断函数单调性和零点个数可得答案.
【详解】因为
，所以
成等差数列，
因为
，所以
中的三个元素成等差数列，
因为
，所以
，
当
时，
令
，由
得
，
时
，即
在
上无解，
此时
构不成集合N；
当
时，令
，
，
因为
，所以
，
在
单调递增，
且
，
，所以
在
有一个零点，
即
有一个解，此时
构成集合N；
当
时，令
，
，
因为
，所以
，
在
单调递减，
且
，
，所以
在
有一个零点，
即
有一个解，此时
构成集合N；
综上，集合
的个数为2 个.故选：C.
3．（23-24 高三上·广东深圳·阶段练习）已知集合
，
，
，则M，N，P 的关系为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先将集合
中元素化为统一形式，然后进行判断即可.
【详解】
，
,
，
故
,
故选：
4．（23-24 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将集合特征相关表达式变形，可得集合间关系，即可得答案.
【详解】
，
，故
；
当
时，
，当
时，
，则
.
故选：B．
5．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习）已知
，
，若集合
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】利用集合相等，求出
，再根据互异性求出
的取值情况并检验即可.
【详解】根据题意,
,故
，则
,
则
，由集合的互异性知
且
，
故
，则
， 即
或
（舍），
当
时，
，符合题意，
所以
.
故选：B.
题型二：相等集合求参
1．（22-23 高三 ·江苏苏州·阶段练习）设
､
､是两个两两不相等的正整数.若
，
，
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．1000
B．1297
C．1849
D．2020
1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。
2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。
3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无
关）
3
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【答案】B
【分析】不妨设
，则
，根据集合相等的定义可得
，分析可得
为偶数，从而可得可
得
为奇数，再分析计算即可得出答案.
【详解】解：不妨设
，则
，
因为
，
，
，
，
，
所以
，
因为
为偶数，
所以
，
，
必为两奇一偶，从而可得
为奇数，
又因为
，所以
为不小于3 的奇数，
若
，则
，
，
，
，
，
故
，且
，所以
，不符合要求，
若
，则
，
，
，
，
，故
，解得
，
此时，
，
所以
的最小值是1297.
故选：B.
【点睛】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设
，判断
，
，
三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力.
2．（2022·上海杨浦·预测）已知函数
，记集合
，集合
，若
，且都不是空集，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，代入集合
得到
，讨论
和
两种情况，得到
无解，计
算得到答案.
【详解】
都不是空集，设
，则
；
，则
.
当
时：方程的解为
此时
，满足；
当
时：
的解为
或
，则
或
，则
无解，
综上所述：
，
故选
【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】求出集合
，利用
，求出
的值即可.
【详解】结合题意：因为
，结合复合函数的单调性可知:
在
单调递增，
所以
，所以
，
4
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因为
，所以
.
故选:A.
4．（23-24 高三·江苏常州·模拟）已知函数
，若非空集合
，满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】不妨设
的解集为
，从而得
，进而得到
且
，又
，
为方程
的两个根，可得
，由此得到关于
的不等式组，解之即可得解.．
【详解】因为
，
不妨设
的解集为
，则由
得
，
所以
，
又
，
，所以
且
，
因为
的解集为
，所以
是
，即
的两个根，
故
，即
，
此时由
，得
，则
，
因为
，显然
，且
开口向上，对称轴为
，
所以
，则
，
又
，解得
，即
.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于假设
的解集为
，进而得到
且
，从
而得解.
5．（23-24 高三·北京·阶段练习）已知函数
，集合
，集合
，若
，且都不是空集，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】因为集合
都不是空集，设
，则
，
，则
，即可求出
的值，然后对
分类讨论即可求解.
【详解】因为集合
都不是空集，设
，则
，
，则
，
所以
，
，
当
时，方程的解为
，此时
，满足题意；
当
时，方程的解为
或
，
，则
或
，
由
，则
无解，
则
，解得
；
综上
，所以
，
故选:B.
5
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题型三：集合中的元素
1．（21-22 高三上·上海浦东新·阶段练习）已知
是等差数列，
，存在正整数
，使得
，
.若集合
中只含有4 个元素，则的可能取值有（ ）个
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】考虑
不符合题意，
时，列举出满足条件的集合，再考虑
时不成立，得到答案.
【详解】当
时，
，根据周期性知集合最多有3 个元素，不符合；
当
时，
，取
，此时
，满足条件；
当
时，
，即
，
，在单位圆的五等分点上不可能取到4 个不同
的正弦值，故不满足；
当
时，
，取
，此时
，满足条件；
当
时，
，取
，此时
，满足条件；
当
时，
，取
，此时
，满足条件；
故选：C
2．（23-24 高三·上海嘉定·）已知集合P，Q 中都至少有两个元素，并且满足下列条件：①集合P，Q 中的
元素都为正数；②对于任意
，都有
；③对于任意
，都有
；则下列
说法正确的是（ ）
A．若P 有2 个元素，则Q 有3 个元素
B．若P 有2 个元素，则
有4 个元素
C．若P 有2 个元素，则
有1 个元素
D．存在满足条件且有3 个元素的集合P
【答案】C
【分析】若集合
中有
个元素，设
，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断
出选项ABC；假若
有个元素，设
，再根据题设条件推导分析，可得到
中还有第四个元素，
推出矛盾，从而可判断出D 选项.
【详解】若
有2 个元素，设
，则
，
因为
至少有
个元素，所以
中除
外至少还有一个元素，
不妨设
，
，则
，
若
，则
且
，
集合中元素个数判断：
1.若集合是点集，则多是图像交点。
2.若集合是数集，多涉及到一元二次方程的根，以及不等式的解集。
6
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所以
，与假设矛盾，所以
，
所以
或
，
当
时，则
，所以
，
若
，则
，与
矛盾，所以
，同理可知
，
所以此时
，
；
当
时，则
，所以
，
若
，则
，与
矛盾，所以
，同理可知
，
此时
，
；
由上可知，当
有2 个元素，则
有
个元素，
有个元素，
有个元素，
故A 错误，B 错误，C 正确；
不妨假设
有个元素，设
，则
为互不相等的正数，
由③可知：
，
又因为
为互不相等的正数，所以
也为互不相等的正数，
由②可知：
都是集合
的元素，
因为
为互不相等的正数，所以
都是不等于的正数，所以
，
又因为
为互不相等的正数，所以
，
考虑到
和
，若
，则
为互不相等的正数，
又因为
，所以
，所以
是与
不相等正数，
因为
都是集合
的元素，所以集合
中至少有
个元素，这与假设矛盾，
因此考虑
的情况，所以
，同理可得
，所以
，
所以
，这与集合中元素的互异性矛盾，所以
有个元素不可能成立，故D 错误；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在
于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而达到确定集合中
元素个数的目的.
3．（2022·全国·模拟预测）若函数
满足对
都有
，且
为R 上
的奇函数，当
时，
，则集合
中的元素个数为
（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】C
【分析】根据已知可推出函数
周期性，单调性以及函数值情况，由此可作出函数的图象，将问题转化
为函数图象的交点问题解决.
【详解】由
为R 上的奇函数,
7
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①，
又
②，
由②－①
为周期为2 的周期函数,
而又
，
当
时
当
时,
．
又当
时，
单调递增，且
．
故可作出函数
的大致图象如图：
而集合A 中的元素个数为函数
与
图象交点的个数，
由以上分析结合函数
性质可知，3 为集合A 中的一个元素，
且y=f（x）与
在（1，3），（3，5），...，（23，25）中各有一个交点，
∴集合
中的元素个数为13．
故选：C．
4．（22-23 高三·北京·模拟）对于集合
，给出如下三个结论：①如果
，那么
；②如果
，那么
；③如果
，
，那么
.其中正确结论的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】①根据
，得出
，即
；
②根据
，证明
，即
；
③根据
，
，证明
．
【详解】解：集合
，
，
，
对于①，
，
，
则恒有
，
，即
，
，则
，①正确；
对于②，
，
，
若
，则存在
，
使得
，
，
又
和
同奇或同偶，
若
和
都是奇数，则
为奇数，而
是偶数；
若
和
都是偶数，则
能被4 整除，而
不能被4 整除，
，即
，②正确；
对于③，
，
，
8
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可设
，
，
、
；
则
那么
，③正确．
综上，正确的命题是①②③．
故选
．
【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．
5．（22-23 高三·山东青岛·阶段练习）对于正实数
，记
为满足下述条件的函数
构成的集合：
且
，有
.下列结论中正确的是
A．若
，则
B．若
且
，则
C．若
，则
D．若
且
，则
【答案】A
【详解】试题分析：对于
即有
，令k=
，有-α＜k＜α，不妨设
，即有-α1＜kf＜α1，-α2＜kg＜α2，因此有-α1-α2＜
kf+kg＜α1+α2，因此有
．故选A．
考点：本题考查了元素与集合关系的判断
点评：本题的难点进行简单的合情推理，在能力上主要考查对新信息的理解力及解决问题的能力
题型四：集合元素个数求参
1．（23-24 高三上·上海·模拟）设
且
，n 为正整数，集合
．有以下两个命题：
①对任意a，存在n，使得集合S 中至少有2 个元素；②若存在两个n，使得S 中只有1 个元素，则
，
那么（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是假命题
D．①、②都是真命题
【答案】A
【分析】
对于①命题，令函数
，分
和
两种情况，利用零点存在定理得即可判断；对于
②命题，通过举例说明.
【详解】对于①命题，设
，令函数
，
集合元素个数求参，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关
基础知识的积累和应用。
9
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因为
，
，
所以存在
有
，
当
时，
，
所以存在
有
，
对于
，因为
是偶函数，
所以
和
情况一样，故①是真命题；
对于②命题，通过①得出一下结论：
越小，集合元素数量越少，同理得出如果集合只能有一个元素，
只能是
的区间存在一个零点，
因此先讨论
的零点情况（如果
只有一个零点，
也只有一
个零点），
其图象如下图：
即
时，也满足
故②是假命题.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于零点存在定理的应用以及由①得出的结论.
2．（22-23 高三·北京·阶段练习）设集合
的最大元素为
，最小元素为
，记
的特征值为
，
若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知
，
，
，…，
是集合
的元素个数均不相同的非
空真子集，且
，则
的最大值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】B
【分析】根据题设描述只需保证各集合中
（
）尽量小，结合已知及集合的性质有
最大
时
，进而分析
的取值.
【详解】由题设
，
，
，…，
中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使
最大，则各集合中
（
）尽量小，
所以集合
，
，
，…，
的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
所以，不妨设
，有
，
当
时，
，
当
时，
，
只需在
时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5 即可，故
的最大值为11.
故选：B
【点睛】关键点点睛：注意
最大则各集合中
（
）尽量小，并求出该情况下特征值之和
关于n 的公式，再分析其最大取值.
10
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3．（22-23 高三江西南昌·阶段练习）各项互不相等的有限正项数列
，集合
，集合
,则集合
中的元素至多有个（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据各项互不相等的有限正项数列
，不妨假设数列是单调递增的，进而分类讨论，利用数列
的求和公式可求得答案
【详解】因为各项不相等的有限正项数列
，
所以不妨假设数列是单调递增的，
因为集合
，集合
，
所以
时，最多可取
，
时，最多可取
，
……，
时，最多可取
，
所以集合
中的元素至多有
，
故选：A.
4．（22-23 高三·上海杨浦·阶段练习）已知集合
，对于它的任一非空子集A，可以将A
中的每一个元素k 都乘以
再求和，例如
，则可求得和为
，对S
的所有非空子集，这些和的总和为
A．508
B．512
C．1020
D．1024
【答案】B
【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是
.
【详解】因为元素
在集合S 的所有非空子集中分别出现
次，则对S 的所有非空子集中元素
k 执行乘以
再求和操作,则这些和的总和是
.
故选B
【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.
5．（2023 高三·全国·阶段练习）已知函数
，
，
，
，
集合
只含有一个元素，则实数的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解出不等式
后，结合集合交集的定义计算即可得.
【详解】
，即
或
，
对
，即
，
解得
，
对
，即
，解得
，
即
，
由
只含有一个元素，且
，
11
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故有
，即
.
故选：D.
题型五：子集与真子集关系
1．（20-21 高三·江苏扬州·阶段练习）已知集合
，若A，B 是P 的两个非空子集，则所有满足
A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A,B)的个数为（ ）
A．49
B．48
C．47
D．46
【答案】A
【分析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4 时确定A 的集合数量，并得到对应
的集合
个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.
【详解】集合
知：
1、若A 中的最大数为1 时，B 中只要不含1 即可：
的集合为
，
而
有
种集合，集合对(A,B)的个数为15；
2、若A 中的最大数为2 时，B 中只要不含1、2 即可：
的集合为
，而B 有
种，
集合对(A,B)的个数为
；
3、若A 中的最大数为3 时，B 中只要不含1、2、3 即可：
的集合为
，而B 有
种，
集合对(A,B)的个数为
；
4、若A 中的最大数为4 时，B 中只要不含1、2、3、4 即可：
的集合为
，
而B 有
种，集合对(A,B)的个数为
；
∴一共有
个，
故选：A
【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属
于难题.
2．（22-23 高三·湖北武汉·强基 ）设A 是集合
的子集，只含有3 个元素，且不含相邻的
整数，则这种子集A 的个数为（ ）
A．32
B．56
C．72
D．84
【答案】B
【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.
【详解】若1,3 在集合A 内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10 中的一个；
若1,4 在集合A 内，则还有一个元素为6,7,8,9,10 中的一个；
元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的
思想进行列举
公式法求有限集合的子集个数
(1)含n 个元素的集合有2n 个子集．
(2)含n 个元素的集合有(2n－1)个真子集．
(3)含n 个元素的集合有(2n－1)个非空子集．
(4)含n 个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．
12
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若1,8 在集合A 内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21 个.
若2,4 在集合A 内，则还有一个元素为6,7,8,9,10 中的一个；
若2,5 在集合A 内，则还有一个元素为7,8,9,10 中的一个；
若2,8 在集合A 内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15 个.
若3,5 在集合A 内，则还有一个元素为7,8,9,10 中的一个；
若3,6 在集合A 内，则还有一个元素为8,9,10 中的一个；
若3,8 在集合A 内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10 个.
若4,6 在集合A 内，则还有一个元素为8,9,10 中的一个；
若4,7 在集合A 内，则还有一个元素为9,10 中的一个；
若4,8 在集合A 内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6 个.
若5,7 在集合A 内，则还有一个元素为9,10 中的一个；
若5,8 在集合A 内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3 个.
若6,8,10 在集合A 内，只有1 个.
总共有21+15+10+6+3+1=56 个
故选：B.
3．（22-23 高三·湖南常德·阶段练习）设集合
,对
的任意非空子集A，定义
为集合A 中的最大元素，当A 取遍
的所有非空子集时，对应的
的和为
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意，
的任意非空子集A 共有
个，在所有非空子集中每个元素出现
次，可知含有n
的子集有
个，不含n 含
有
个，不含
，含
的有
个以此类推有
个子集不含
n,n-1,n-2,…k-1,而含有k.利用错位相减法求出其和.
【详解】由题意，
的任意非空子集A 共有
个，在所有非空子集中每个元素出现
次，可知含有n
的子集有
个，不含n 含
有
个，不含
，含
的有
个以此类推有
个子集不含
n,n-1,n-2,…k-1,而含有k,因为
为集合A 中的最大元素
所以
，错位相减可得
，所以
=
，故选
A.
【点睛】解决此类问题的关键是读懂并弄通题意，找出规律是关键，然后结合数列求和，采用错位相减法
即可求出.
4．（21-22 高三·福建福州·）给定全集
，非空集合
满足
，
，且集合
中的最大元
素小于集合
中的最小元素，则称
为
的一个有序子集对，若
，则
的有序
子集对的个数为
A．48
B．49
C．50
D．51
【答案】B
【详解】
时，
的个数是
时，
的个数是
时，
的个数是
，
时，
的个数是1
时，
的个数是
，
13
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时，
的个数是
时，
的个数是1，
时，
的个数是
时，
的个数是1
时，
的个数是1
时，
的个数是
时，
的个数是1、
时，
的个数是1
时，
的个数是1
时，
的个数是1
的有序子集对的个数为49 个，
5．（2022 高三上·河北衡水·专题练习）对于任意两个正整数
，定义某种运算
，法则如下：当
都是正奇数时，
；当
不全为正奇数时，
，则在此定义下，集合
的真子集的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意，当
都是正奇数时，
；当
不全为正奇数时，
；
若
都是正奇数，则由
，可得
，此时符合条件的数对为（
满足条件的共8 个；
若
不全为正奇数时，
，由
，可得
，则符合条件的数对分别为
共5 个；
故集合
中的元素个数是13，
所以集合
的真子集的个数是
故选C．
【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想
进行列举，
题型六：子集型求参
1．（2023·广东深圳·模拟预测）已知
且
，若集合
，
，
且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有
，则要讨论集合B 是否是空
集。
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【分析】求出集合B，再由给定条件，对a 分类讨论，利用数形结合及构造函数的方法，利用导数探讨函
数最小值求解作答.
【详解】依题意，
，
，且
，
当
时，作出函数
与
的大致图象，
则
，即
，
所以
，即
；
当
时，设
，
若
，
，则
恒成立，
，满足
，
于是当
时，
，当且仅当
，即不等式
对
成立，
，由
得
，当
时，
，当
时，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
于是得
，即
，变形得
，解得
，
从而得当
时，
恒成立，
，满足
；
综上，实数a 的取值范围是
或
.
故选：B.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决
问题.
2．（22-23 高三·江苏常州·模拟）对于集合A，B，我们把集合
且
叫做集合A 与B 的差集，
记作
．若集合
，集合
，且
，则实数a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先结合差集的定义，由
得
，再利用基本不等式化简集合
，分类讨论
的取值得
到集合
，从而利用集合的包含关系求得a 的取值范围.
【详解】根据差集的定义，由
可得
，
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因为
，
，
又因为
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
，即
，故
，
由
得
，
令
，得
或
，
当
，即
时，上述不等式解得
，即
，显然此时集合
没有任何包
含关系，不满足题意；
当
，即
时，上述不等式化为
，显然无解，即
，显然
不成立，不满足题
意；
当
，即
时，上述不等式解得
，
因为
，所以由数轴法可得
，故
；
综上：
，即
.
故选：A.
3．（2022·广东广州·二模）已知
且
，若集合
，且
﹐则
实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合M，再由给定条件，对集合N 分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答.
【详解】依题意，
，
，令
，
当
时，函数
在
上单调递增，而
，则
，使得
，
当
时，
，当
时，
，此时
，因此，
，
当
时，若
，
，则
恒成立，
，满足
，
于是当
时，
，当且仅当
，即不等式
对
成立，
，由
得
，当
时，
，当
时，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，于是得
，
即
，变形得
，解得
，从而得当
时，
恒成立，
，满足
，
16
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所以实数a 的取值范围是
或
.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决
问题.
4．（20-21 高三上·湖北模拟）已知集合
，集合
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，由
单调性和
可求得集合
，将问题转化为
在
上恒成立，化简不等式得
，构造函数
，由
导数可确定其单调性；分别在
、
和
三种情况下，根据不等式恒成立求得取值范围.
【详解】令
，则
，
在
上单调递增，
又
，
的解集为
，
，
为
的解集的子集，
即当
时，
恒成立；
由
得：
，
即
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增；
①当
时，
，
，
，即
在
上恒成立，
当
时，
，则
；
当
时，
，令
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
；
综上所述：
；
②当
时，
，
，又
，
，
，
满足题意；
③当
时，
若
恒成立，则
在
上恒成立，
令
，则
，
在
上单调递减，
，即
，又
，
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，
令
，则
，
又
，则
，
即
在
上不恒成立，
不合题意；
综上所述：实数
的取值范围为
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题以集合为载体，考查了利用导数求解不等式恒成立问题，解题关键是能够根据
集合的包含关系将问题转化为不等式恒成立，通过同构的思想将问题进一步转化为函数的函数值之间的比
较问题，通过构造函数，结合函数的单调性来进行求解.
5．（22-23 高三·上海普陀·模拟）设
.若对任意
，都存在
，使得
，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可知，
，若对任意
，都存在
，使得
成立，得
，只需
，
即可，进而
将选项中的角，依次代入验证，即可求解.
【详解】因为对任意
，都存在
，使得
成立，
所以
，即
，
因为
，
，所以
，
若对任意
，都存在
，使得
成立，
得
，只需
，
即可，
因为
，则
，
对于A：当
时，
，则
，因为
，
所以
的取值不符合条件，故A 错误；
对于B：当
时，
，则
，因为
，
的取值符合条件，故B 正确；
对于C：当
时，
，则
，
因为
，
的取值不符合条件，故C 错误；
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对于D：当
时，
，则
，
因为
，
的取值不符合条件，故D 错误；
故选：B
题型七：交集
1．（23-24 高三·上海·模拟）已知函数
，
为高斯函数，表示不超过实数
的最大整数，
例如
，
.记
，
，则集合
，
的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意分别求出集合
，然后利用集合的交集运算从而求解.
【详解】由题意得
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
，
当
时，
，
，此时
，
当
时，
，
，此时
，
当
时，
，此时
，
综上：
，所以
，故C 正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据高斯函数对
分情况讨论具体的取值求出集合
，
从而求解.
2．（22-23 高三·上海浦东新·模拟）若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满
交集：
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足：①
，
；②对于X 的任意子集A，B，当
且
时，有
；③对于X 的
任意子集A，B，当
且
时，有
，则称M 是集合X 的一个“M-集合类”.例如：
是集合
得一个“M—集合类”.若
，则所有含
的“M—集合
类”的个数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】D
【分析】确定M 中一定含有
，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答
案.
【详解】
的子集有
，
由题意知M 中一定含有
，
则M 中可以含有的其他元素从剩余的
5 个集合中选取；
当剩余的5 个集合都不选时，
，共1 个；
当只取1 个时，
或
，
或
，满足题意，此时M 有3 个；
当取2 个时，
或
，
或
，满足题意，此时M 有3 个；
当取3 个时，
或
，
或
或
，满足题意，此时M 有4 个；
当取4 个时，没有符合题意的情况；
当5 个全选时，
，共1 个，
故所有含
的“M—集合类”的个数为
，
故选：D
3．（20-21 高三·四川眉山·阶段练习）设
，
与
是
的子集，若
，则称
为
一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定
与
是两个不同的“理想配集”）的
个数是（ ）
A．16
B．9
C．8
D．4
【答案】B
【分析】根据题意，子集
和
不可以互换，从子集
分类讨论，结合计数原理，即可求解.
【详解】由题意，对子集
分类讨论：
当集合
，集合
可以是
，共4 种结果；
当集合
，集合
可以是
，共2 种结果；
当集合
，集合
可以是
，共2 种结果；
当集合
，集合
可以是
，共1 种结果，
根据计数原理，可得共有
种结果.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理
进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
4．（22-23 高二上·上海黄浦·阶段练习）已知集合
，则集合
中元素的个数是（ ）
A．0
B．2
C．4
D．8
【答案】A
【分析】根据对称性画出图像，计算圆心
到直线
的距离
得到答案.
【详解】根据对称性画出图像，如图所示：
20
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考虑第一象限，圆心
到直线
的距离为
，相离
根据对称性得到集合
中元素的个数是
故选
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，集合的交集，意在考查学生的综合应用能力.
5．（21-22 高三·上海模拟）设
，则所有
的交集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用对勾函数的性质逐一考查所给函数的值域，结合交集的定义整理计算即可求得最终结果.
【详解】利用对勾函数的性质可得：
函数
在区间
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数的最小值为2，最大值为
，结合k 的值可得所有的
的交集为
.
【点睛】该题考查的是有关集合的交集的求解问题，在解题的过程中，需要明确对勾函数的性质，在哪个
区间上单调增，在哪个区间上单调减，从而求得相应函数的值域，再结合交集的特征求得结果.
6.（2024 年高考1 卷）已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合
，由交集
概念即可得解.
【详解】因为
，且注意到
，
从而
.故选：A.
题型八：交集运算求参
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1．（2023·上海普陀·一模）设
、
、
、
、
是均含有
个元素的集合，且
，
，记
，则
中元素个数的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
、
、
、
是集合
互不相同的元素，分析可知
，然后对
的取值由小到大
进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设
、
、
、
是集合
互不相同的元素，若
，则
，不合乎题意.
①假设集合
中含有
个元素，可设
，则
，
，这与
矛盾；
②假设集合
中含有个元素，可设
，
，
，
，
，满足题意.
综上所述，集合
中元素个数最少为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大
进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.
2．（22-23 高三·江苏·模拟）设集合
，
（
）.
当
有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】依题画出满足题意的图形，因为
有且只有一个元素，所以圆N 和圆M 只有一个交点，所
以圆N 的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解.
【详解】
，
，即圆M：
的上半部分，如图：
交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质：
①A∩B
_A；
②A∩B
B；
③A∩A＝A；
④A∩＝
；
⑤A∩B=B∩A.
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圆M 的圆心坐标为
，半径为2，圆N 的圆心坐标为
，半径为r，
因为
有且只有一个元素，所以圆N 和圆M 只有一个交点，
所以圆N 的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，
①外切：
，d 为圆心距，
，此时
，
②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径
，
圆（3）处的半径
，
所以
，
综上，正数的所有取值为
或
.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键是由因为
有且只有一个元素，所以圆N 和圆M 只有一个交点，
进而分析计算.
3．（22-23 高三·湖北荆门模拟）设函数f（x）＝sin（ωx+φ），
，
，若存在实数φ，使得集合A∩B 中恰好有7 个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意求出﹣4≤x≤4，结合正弦函数的性质可得
，从而可求出ω 的取值范围.
【详解】解：∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是f（x）的最大值或最小值，
又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1 上，
∴y＝±1 代入
得，
，解得﹣4≤x≤4，
又存在实数φ，使得集合A∩B 中恰好有7 个元素，∴
，且ω＞0，
解得
，∴ω 的取值范围是
．
故选：B．
23
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【点睛】关键点睛：
本题的关键是求出
的取值范围，再结合三角函数的性质列关于ω 的不等式.
4．（2020·山西晋中·一模）函数
，若存在正实数
，其中
且
，使得
，则
的最大值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】求出函数
的值域为
，由此得出
，则由不等式的性质可知
，
.由
可将本题转化为
，据此可得关于
的不等式组，从而求出
的取值范围，
进而求出
的最大值.
【详解】
，
当
时，
，
，
，
，
即
，所以
，
，
由
知，
集合
，
因为
且
，所以
，
，
所以
，即
，又
，
所以
的最大值为8.
故选：C．
【点睛】本题考查了函数值域的求解，不等式的性质，考查了转化的思想，计算能力，难度较大.
5．（2020 高二·浙江·专题练习）已知集合
，
，若
，且
中恰好有两个整数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
中不等式的解集确定出
,求出
集合对应的一元二次方程的根,表示出B 集合,由
的范围
判断出两整数解为
和,从而得到关于
的不等式.
【详解】
，
令
，
由题意，
，
又
，所以
，
设
，
24
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又
.
所以要使
中恰好有两个整数解，
则只能是
和，
所以应满足
,
解得
.
故选A
【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出
中的两个整数解为4 和5 和结合一元二
次函数图象得出关于a 的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题.
题型九：并集
1．（22-23 高三·辽宁·阶段练习）已知
，
，且
，其中
，若
，
，且
的所有元素之和为56，求
（ ）
A．8
B．6
C．7
D．4
【答案】A
【分析】根据
可得
，可得
，再根据
可得
，
分
和
两种情况来讨论即可得解.
【详解】由
得
，所以
，
，所以
，
（1）若
，由
，所以
，
所以
，
，
所以
，即
，从而
，所以
，所以
，
即
或，与
矛盾；
（2）若
，则
，从而
，所以
，即
，
从而
，所以
，
，所以
或
，又
，
并集：
25
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所以
，
，又
，所以
，
由
代入可得：
，所以
或
（舍），
所以
，故选：A
2．（22-23 高三北京·阶段练习）设全集
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先弄清
的含义，再求
，最后再求补集即可得答案.
【详解】由
，可得
，所以集合
表示的是直线
去掉点
后的所有点的集
合，集合
表示的是坐标系内不在直线
上的点的集合，所以
.
故选：B.
3．（22-23 高三上·北京海淀·模拟）已知非空集合
满足以下两个条件：
（ⅰ）
，
；
（ⅱ）
的元素个数不是
中的元素，
的元素个数不是
中的元素，
则有序集合对
的个数为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件：A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，分别讨论集合A、B 中
元素的个数，列举所有可能，即可得到结果．
【详解】根据条件：A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素
1、当集合A 只有一个元素时，集合B 中有5 个元素，
且
，此时仅有一种结果
，
；
2、当集合A 有两个元素时，集合B 中有4 个元素，
且
，此时集合A 中必有一个元素为4，集合
B 中必有一个元素为2，故有如下可能结果：
（1）
，
；（2）
，
；（3）
，
；（4）
，
．共计4 种可能．
3、可以推测集合A 中不可能有3 个元素；
4、当集合A 中的4 个元素时，集合B 中的2 个元素，此情况与2 情况相同，只需A、B 互换即可．共计4
种可能．
5、当集合A 中的5 个元素时，集合B 中的1 个元素，此情况与1 情况相同，只需A、B 互换即可．共1 种
可能．
综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10．答案选A．
【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．
4．（2022 山东威海·模拟）若
，
，定义
，
则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意
，
26
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，
所以
,
所以
考点：新定义及集合的基本运算．
【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两
集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求
，即是集合A 或B 的元素，
但不是集合A,集合B 共有的元素,一般要在数轴上表示出来，形象直观，一定要注意端点值，看是否包括，
是易错点．
5．（2022·全国·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
解一元二次不等式得集合A，求函数值域得集合B，然后利用并集运算求解即可.
【详解】
集合
，
又
，所以
，
则
.故选：A
题型十：并集运算求参
1．（22-23 高三·湖南长沙·模拟）已知
表示不超过
的最大整数，例如
，
，方程
的解集为
，集合
，且
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
集合并集运算的一些基本性质：
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并
注意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
A∪B＝B⇔A⊆B；
27
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C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可知
，解绝对值不等式求出集合A，分类讨论
的取值范围，求出集合B，
由
，列出满足条件
的不等式组，解不等式即可求解.
【详解】由题意可得
，解得
或
，
所以
或
，
所以
，
当
时，
，由
，
则
，解得
；
当
时，
，此时
不成立，故
不取；
当
时，
，
则
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：D
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、含参数的一元二次不等式的解法以及根据集合的运算结果求参
数的取值范围，属于中档题.
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由不等式的解法和集合的运算，求得
或
，结合
，列出不等
式组，即可求解.
【详解】由集合
，且
，
所以
或
，
因为
，可得
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：D．
3．（22-23 高三·北京海淀模拟）已知集合
，
，为使得
，则实数
a 可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．e
【答案】A
【分析】先化简集合
，再根据已知得到
，解不等式即得解.
【详解】由题得
，
，
因为
，所以
.
28
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所以
.
故选：A
4．（22-23 高三·全国·课后作业）设集合
，
，若
，则实数a 的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】集合
分别表示圆及其内部所有点组成的集合，由题意可知两个圆内含或内切，列式求解即
可.
【详解】集合
表示以
为圆心，半径
的圆及其内部所有点组成的集合，
集合
表示以
为圆心，半径
的圆及其内部所有点组成的集合，
因为
，所以两个圆内含或内切，
从而
，即
，解得
.
故选：D．
5．（22-23 高三上海浦东新·模拟）已知集合
，集合
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将集合
化简，根据条件可得
，然后分
，
，
讨论，化简集合
，列出不
等式求解，即可得到结果.
【详解】因为
或
，解得
或
。即
，
因为
，所以
当
时，
，满足要求.
当
时，则
，由
，可得
，即
当
时，则
，由
，可得
，即
综上所述，
故选:B.
题型十一：补集与全集
29
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1．（2021·浙江杭州·模拟预测）定义集合
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，
，则由
围成的三角形一定是正三角形，且所有正三角形面积
一定相等
D．满足
且
的点
构成区域的面积为
【答案】C
【分析】首先确定集合
和
所表示的区域，再数形结合判断选项是否正确即可.
【详解】对于集合
，
原点到直线
的距离为
，
所以集合M 表示圆
上所有点的切线上的点，
对于集合
，
当
时，
表示图中三角形AOD 区域;
当
时，
表示图中三角形AOB 区域;
当
时，
表示图中三角形BOC 区域;
当
时，
表示图中三角形COD 区域;
所以集合
表示图中ABCD 区域，
全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
补集
自然语言
对于一个集合A，由全集U 中不属于集合
A 的所有元素组成的集合称
为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{ x | x ∈
U ，且
x ∉ A }
图形语言
30
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对于A 选项，由图可知
，不是空集，故A 错；
对于B 选项，
表示图中圆内部挖去ABCD 区域剩下的部分，不是空集，故B 错；
对于C 选项，
表示在点
处的切线，
表示在点
处的切线，
表示在点
处的切线，三切点均在圆上，易
知三切点构成正三角形，由对称性可知C 正确；
对于D 选项，由B 选项知，
且
则P 点在圆内部挖去ABCD 区域剩下的区域内，面积为
，
故D 错；
故选C.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系问题，在解题的过程中，要善于数形结合，代数几何化之后，
可以辅助我们解题，达到事半功倍的效果.
2．（23-24 高三·湖北·阶段练习）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出集合
后可求
.
【详解】
，而
，
故
，故
，
故选：D.
3．（23-24 高三上·湖北·模拟）已知M，N 均为
的子集，若存在
使得
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可知存在
，从而可知答案.
【详解】因为
，所以
，又因为
，所以
，故
，故A 正确；
由于题目条件是存在
，所以不能确定集合M，N 之间的包含关系，故BCD 错误；
故选：A.
4．（22-23 高三·北京·模拟）设全集
，集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简集合A，B，根据集合的交集、补集运算.
【详解】全集
，集合
，
或
，
31
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所以
，
则
．
故选：B．
5．（22-23 高三·福建福州·模拟）已知不等式
解集为
，若不等式
解集为B，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由不等式
解集为
可得
，从而求出
，再利用集合
补集的定义求解即可.
【详解】因为不等式
解集为
，
所以
，
所以
可化为
，则
，
所以
，解得：
，
所以
，
故选：B.
6.（2024 年全国甲卷理）集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合
的定义求出
，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
故选：D
题型十二：补集与全集运算求参
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1．（23-24 高三·安徽·阶段练习）已知集合
，
，若
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合的补集运算得到
，把
转化为
，最后利用包含关系得到答案.
【详解】因为
，
，
因为
，所以
，
所以
，
故选：A.
2．（22-23 高三上·河北唐山·阶段练习）设集合
或
，
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求得
，再结合集合
及
，运算即可得解.
【详解】由集合
或
，则
，
又集合
且
，则
，
故选：B.
3．（20-21 高三·江苏南京·模拟）已知集合
，
．若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【解析】首先根据题意，求得
或
，由
可以得到
，根据子
集的定义求得参数所满足的条件，得到结果.
【详解】
，
∵
．
全集与补集运算的性质：
33
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∴
或
，
∵
即
，∴
或
．
即
或
，即实数
的取值范围是
或
．
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的补集，根据子集求参数的取值范围，属
于简单题目.
4．（22-23 高三·全国·课后作业）设集合
，全集
,若
,则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解不等式
得到
，再求出
，利用数轴法即可得到
.
【详解】由
，解得
，故
因为
，
，所以
，
又因为
，由数轴法得
.
故选：C.
5．（22-23 高三·河北邢台·阶段练习）已知全集
，集合
，
若
的元素的个数为4，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据集合补集的结果个数，即可容易求得参数范围.
【详解】若
的元素的个数为4，则
故选：A.
【点睛】本题考查由集合的补集元素个数求参数范围，属基础题.
题型十三：韦恩图应用
1．（20-21 高三·上海浦东新·阶段练习）定义
，设
、
、
是某集合的三个子集，
且满足
，则
是
的（ ）
A．充要条件
B．充分非必要条件
C．必要非充分条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【分析】作出示意图，由
可知两个阴影部分均为
，根据新定义结合集合并集的运
算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】如图，由于
，
故两个阴影部分均为
，
于是
，
韦恩图：
（1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
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（1）若
，则
，
，
而
，
成立；
（2）反之，若
，
则由于
，
，
，
，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想
的应用，属于较难题.
2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合
，
，则图中阴影部分表示的集
合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】化简集合A，根据集合的运算求解.
【详解】
，
，
图中阴影部分表示的集合是
,
．
故选：B．
3．（2022·河北·模拟预测）已知集合
，
，图中阴影部分为集合M，则M
中的元素个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
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【分析】由Venn 图得到
求解.
【详解】如图所示
，
，
，解得
且
，
又
，
，
，
，所以M 中元素的个数为3
故选：C
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知全集
，集合
，
满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意作出Venn 图，再由集合的运算逐一判断即可.
【详解】全集
，集合
，
满足
，绘制Venn 图，如下：
对于A：
，A 错误；对于B：
，B 错误；
对于C：
，C 正确；对于D：
； D 错误；
故选：C.
5．（2023·四川南充·一模）已知全集
，集合
，
，则能表示
A，B，U 关系的图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】计算出集合
、
后结合集合的关系即可得.
【详解】由
，得
，解得
，即
，
由
，得
，即
，
则
，又
，
，故选项C 正确.
故选：C.
题型十四：交并补混合型运算
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1．（22-23 高三上·河北衡水模拟）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出集合
，然后再逐个分析判断即可.
【详解】由
，得
，解得
或
，所以
或
，因为
，所以
，
对于A，因为
，所以
，所以A 错误，
对于B，因为
或
，
，
所以
，所以B 正确，
对于C，因为
，所以C 错误，
对于D，因为
或
，所以
，
因为
，所以
，所以D 错误，
故选：B
2．（21-22 高三上·河北保定模拟）设集合A、B、C 均为非空集合，下列命题中为真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC，根据集合的交、并运算，子集的概念可判断D.
【详解】对于A，
，当
时，结论不成立，则A 错误；
集合的并、交、补运算：
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
，或
，且
若全集为U，则集合A 的补集
记为
，且
Venn 图表
示(阴影部
分)
意义
由所有属于集合
或属于集合
的元素组成的集合
由所有属于集合
且属于集
合
的元素组成的集合
由全集
中不属于集合
的
所有元素组成的集合
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对于B,
，当
时，结论不成立，则B 错误；
对于C，
，当
时，结论不成立，则C 错误；
对于D，因为
，
，所以
，又
，所以
，则
，则
D 正确.
故选：D
3．（2023·湖北·模拟预测）从集合
的非空子集中随机取出两个不同的集合A，
，则在
的条件下，
恰有个元素的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】按照要求分类讨论计算即可.
【详解】由题意可分以下四种情况讨论：
①若A 中有一个元素，则B 中至少有三个元素，此时满足
的情况有
种，而满足
恰有
个元素的有
种；
②若A 中有两个元素，则B 中至少有两个元素，此时满足
的情况有
种，而满足
恰有个元素的有
种；
③若A 中有三个元素，则B 中至少有一个元素，此时满足
的情况有
种，而满
足
恰有个元素的有
种；
④若A 中有四个元素，则B 中至少有一个元素，此时满足
的情况
有
种，而满足
恰有个元素的有
种；
故满足题意的概率为：
，
故选：B
【点睛】本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不遗漏，需要较高
的逻辑思维.
4．（2017·四川成都·一模）设集合
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得集合A，B 表示以
为圆心，半径为
和
的同心圆，集合C 在
时，表示
以
为中心，四条边的斜率为±2 的菱形，画出图形，利用图形可知
，是菱形与A 或B
有交点，从而可求出实数
的取值范围.
【详解】集合A 表示以
为圆心，半径为
的圆，集合B 表示以(3,4)为圆心，半径为
的圆，
集合C 在
时，表示以
为中心，四条边的斜率为±2 的菱形，当
时，集合C 为空集，不合题意，
当
时，
，不合题意，
如图所示，若
，则菱形与A 或B 表示的圆有交点，
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对于
，当
，得
，当
，得
，由
，得
，得菱形的一个顶点为
，同理可得其它3 个顶点为
，
，
所以可知菱形的2 个顶点在直线
上，2 个顶点在直线
上，
因为小圆的圆心为
，半径为
，所以当
时，菱形在小圆的内部，与两圆均无交点，不满足
题意，
当菱形与小圆相切时，则圆心到菱形
任一边的距离等于
，
当
时，菱形一边的方程可化为
，则
，得
，
所以当
时，菱形在圆环的内部，与两圆均无交点，不满足题意；
当菱形与大圆相切时，则圆心到菱形
任一边的距离等于
，
当
时，菱形一边的方程可化为
，则
，得
，
所以当
，两圆均在菱形内部，与菱形无交点，不满足题意，
综上可得：实数λ 的取值范围是
.
故选：A.
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5．（23-24 高三·福建厦门·阶段练习）已知全集
，集合
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意画出韦恩图，根据韦恩图即可判断每个选项.
【详解】根据题意
是非负偶数的集合，而
是4 的非负整数倍组成的集合，
易得
为
的真子集，根据题意，画出韦恩图，
对于A，
，故不正确；
对于B，
，故正确；
对于C，
，故不正确；
对于D，
，故不正确；
故选：B.
5．（多选）（22-23 高一上·浙江杭州·模拟）已知集合A 中含有6 个元素，全集
中共有12 个元素，
中有m 个元素，已知
，则集合B 中元素个数可能为（ ）
A．2
B．6
C．8
D．12
【答案】BC
【分析】根据
中有m 个元素，
中有
个元素，设集合B 中元素个数为
x，再根据集合A 中含有6 个元素，
中共有12 个元素，由
求解.
【详解】解：因为
中有m 个元素，
所以
中有
个元素，设集合B 中元素个数为x，又集合A 中含有6 个元素，
则
，即
，因为
，所以
，又
中共有12 个元素，
所以
，则
，故选：BC
题型十五：交并补综合运算求参
1．（23-24 高三·北京东城·模拟）全集
，
，定义函数
，
．设全集为
，
，
，则下列说法中正确的是（ ）．
①若
，都有
，则
；
常用的数集及其记法
（1）全体非负整数 组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作
或
；
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R．
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②若
，都有
，则
；
③若
，则
，都有
；
④若
，则
．
A．①②
B．①③
C．①②④
D．③④
【答案】A
【分析】根据特征函数的定义，结合集合的运算以及特殊值，即可判断和选择.
【详解】若
，则
，若
，则
，
若
，则
，若
，则
.
对①，
，都有
，则不能存在
的情形，所以得
，①正确；
对②若
，都有
，当
时，
，则
，
，
故其不能含有
，即
，②正确；
对③若
，则
，当
时，若
，则
，③错误；
对④，设
，
，则
，但
，④错误.
故选：A
2．（22-23 高三·陕西西安·阶段练习）已知集合
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据集合
与集合
的交集和并集运算结果，确定集合
与集合
中元素，再根据元素与集
合的关系求解参数即可.
【详解】
，
，
得
，解得
.
故
.
又因为
，所以得
.
代入得
，解得：
，
综上可得：
.
故选：C.
3．（21-22 高三·湖北襄阳·阶段练习）设全集
，集合
，若
，则
的值为（ ）
A．4
B．2
C．2 或4
D．1 或2
【答案】B
【分析】由
可知
，由此即可解出
，则可求出
，再由
可
知
，
由此即可求出答案.
【详解】因为
所以
所以
解得：
，
或
所以
，
所以
，
41
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所以
解得：
或
，
且
解得：
且
所以
.
故选：B
4．（2022·云南·模拟预测）设集合
，
，
，若点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
列不等式组，由此化简求得
的最小值.
【详解】
、
，
由于
，
所以
，
，
所以
，即
的最小值为
.
故选：C
题型十六：集合新定义型
1．（22-23 高三·上海宝山·阶段练习）若集合
且
，则称
构成
的一个二次划分.任
意给定一个正整数
，可以给出整数集
的一个
次划分
，其中
表示
除以
余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合
，称作模
的剩余类
集.模
的剩余类集可定义加减乘三种运算，如
，（其中
为
除以
的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过
定义倒数就可以了，但不是所有
中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构
成素域.那么下面说法错误的是（ ）
A．
能构成素域当且仅当
是素数B．
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解
决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看
本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变
才是制胜法宝.
新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性”
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C．
是最小的素域（元素个数最少）
D．
【答案】D
【分析】先证明出A 选项正确，从而说明C 选项正确，BD 选项根据定义求解即可.
【详解】
能构成素域当且仅当
是素数，理由如下：
当
为素数时，除0 外，
均与
互素，此数记作
，
对于
，考虑
，
若
，则
为
的倍数，
而
为素数，故
，故
为
的倍数，即
，
故存在，使得
即可定义除法.
当
能构成素域，若
是不素数，则
，
故对于
，存在
，使得
，故
为
的倍数，
故存在整数
，使得
，故
，
但
，且
为非零的整数，故
不成立，故
是素数.
综上：
能构成素域当且仅当
是素数，A 正确；
因为
，所以
，B 正确；
根据A 选项，由于2 为最小的素数，
有2 个元素，元素个数最少，所以
是最小的
素域（元素个数最少），C 正确；
因为
，所以
，D 错误；
故选：D.
【点睛】集合新定义，需要先读懂题干信息，正确理解，再此基础上举一反三，进行求解，本题中A 选项
的证明是解题的关键.
2．（2021 高三·全国·专题练习）用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B＝
若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a 的所有可
能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【分析】根据题意可得
或
，进而讨论a 的范围，确定出
，最后得到答案.
【详解】因为
，
，所以
或
，
由
，得
，
关于x 的方程
，
当
时，即
时，易知
，符合题意；
当
时，即
或
时，易知0， -a 不是方程
的根，故
，不符合题意；
当
时，即
时，方程
无实根，
若a=0，则B={0}，
，符合题意，
若
或
，则
，不符合题意.
所以
，故
.
故选：B.
【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大
关联；另外当
时，容易遗漏a=0 时的情况，注意仔细分析题目.
3．（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，S
N*，T
N*，S，T 中至少有两个元素，且S，T 满足：
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①对于任意x，y
S，若x≠y，都有xy
T
②对于任意x，y
T，若x<y，则
S；
下列命题正确的是（ ）
A．若S 有4 个元素，则S∪T 有7 个元素
B．若S 有4 个元素，则S∪T 有6 个元素
C．若S 有3 个元素，则S∪T 有5 个元素
D．若S 有3 个元素，则S∪T 有4 个元素
【答案】A
【分析】分别给出具体的集合S 和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取
，则
，此时
，包含4 个元素，排除选项 C；
若取
，则
，此时
，包含5 个元素，排除选项D；
若取
，则
，此时
，包含7 个元素，排除选项
B；
下面来说明选项A 的正确性：
设集合
，且
，
，
则
，且
，则
，
同理
，
，
，
，
，
若
，则
，则
，故
即
，
又
，故
，所以
，
故
，此时
，故
，矛盾，舍.
若
，则
，故
即
，
又
，故
，所以
，
故
，此时
.
若
， 则
，故
，故
，
即
，故
，
此时
即
中有7 个元素.
故A 正确.
故选：A.
4．（23-24 高三·北京·模拟）对于平面上点
和曲线
，任取
上一点
，若线段
的长度存在最小值，
则称该值为点
到曲线
的距离，记作
．下列结论中正确的个数为（ ）
①若曲线
是一个点，则点集
所表示的图形的面积为
；
②若曲线
是一个半径为
的圆，则点集
所表示的图形的面积为
；
③若曲线
是一个长度为
的线段，则点集
所表示的图形的面积为
；
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④若曲线
是边长为的等边三角形，则点集
所表示的图形的面积为
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】根据题中定义分析出①②③④中点集构成的区域，计算出相应图形的面积，即可得出结论.
【详解】设点
，
对于①，若曲线
表示点
，则
，
化简可得
，
所以，点集
所表示的图形是以点
为圆心，半径为2 的圆及其内部，
所以，点集
所表示的图形的面积为
，①对；
对于②，若曲线
表示以点
为圆心，半径为2 的圆，
设
为曲线
上一点，当点
在曲线
内时，
，
当且仅当
三点共线时，等号成立，
所以
，可得
，此时
；
当点
在曲线
外时，
，
当且仅当
三点共线时，等号成立，
所以，
，可得
，此时
，
当点
在曲线
上时，线段
的长不存在最小值，
综上所述，
或
，即
或
，
所以，点集
所表示的图形是夹在圆
和圆
的区域
（但不包括圆
的圆周），
此时，点集
所表示的图形的面积为
，②错；
对于③，不妨设点曲线
为线段
，且
，
当点
与点
重合时，由①可知，则点集
表示的是以点
为圆心，半径为1 的圆，
当点
与点
重合时，则点集
表示的是以点
为圆心，半径为1 的圆，
故当点
在线段
上滑动时，点集
表示的区域是一个边长为2 的正方形
和两个半径为1 的半圆
所围成的区域，
此时，点集
的面积为
，③对；
对于④，若曲线
是边长为9 的等边三角形，设等边三角形为
，
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因为
，
，则
，
由③可知，点集
构成的区域由矩形
、
、
，
以及分别由点
为圆心，半径为1，圆心角为
的三段圆弧，
和夹在等边三角形
和等边三角形
中间的部分（包括边界），
因此
，
，则
，
所以，点集
所表示的图形的面积为
，④对.
综上所述：正确的序号为①③④，共3 个.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出点集
所表示的区域，并作出其图形，计算其面积即可.
5．（21-22 高三·上海普陀·模拟）已知集合
，
、
、
满足：①
；②每个集合都恰有5 个元素.集合
中最大元素与最小元素之和称为
的特征
数，记为
，则
的值不可能为（ ）
A．37
B．39
C．48
D．57
【答案】A
【分析】根据题意得到集合
的性质，再由特征数的性质推得最小数值的元素与最大数值的元素
必为特征数的组成部分，又利用要使
最大，需要废弃掉数值较小的元素，要使
最
小，需要废弃掉数值较大的元素，依次得到集合
中的元素，从而推得
的取值范围，由
此得解.
【详解】因为集合
，
又因为集合
中，每个集合恰有个元素，且
有
个元素，
所以集合
中没有重复元素，
因为是集合
中数值最小的元素，
是集合
中数值最大的元素，
所以在
的特征数构成中，必有和
，不妨设
，
要使
最大，则应该在集合
中首先放置数值较小的元素，即
，
所以与
是剩下元素中数值最小或最大的元素，
同理，不妨设
，接着在
中再次放置数值较小的元素，即
，
则
，
此时
有最大值为
，即
；
要使
最小，则在集合
中首先放置数值较大的元素，即
，
所以
与
是剩下元素中数值最小或最大的元素，
同理，不妨设
，接着在
中再次放置数值较大的元素，即
，
则
，
此时
有最小值为
，即
，
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综上：
，
显然，选项A 不满足
，故A 正确；
选项BCD 都满足
，故BCD 错误.
故选：A.
【点睛】关键点睛：
本题解题的关键在于理解特征数的组成中，一定含有最小数值的元素与最大数值的元素，从而推理得要使
取得最值时，
中的元素情况，由此得解.
6．（22-23 高三上·上海徐汇·模拟）对正整数
，记
．若
的子集
中任意两个元素之和不是整数的平方，则称
为“破晓集”．那么使
能分成两个不相交的破晓集的并集
时，
的最大值是（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】B
【分析】先证当
时，
不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当
时，
可以分成两个不
相交的破晓集的并集，设
和
为两个不相交的破晓集，推出
为破晓集相矛盾，再证
满足要求，当
时，
，可以分成2 个破晓集的并集去证明，当
时，去证明，最后它与
中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案.
【详解】先证当
时，
不能分成两个不相交的破晓集的并集，
假设当
时，
可以分成两个不相交的破晓集的并集，设
和
为两个不相交的破晓集，使
．不妨设
，则由于
，所以
，即
，
同理可得，
，
．又推出
，但
，这与
为破晓集相矛盾，
再证
满足要求，当
时，
，
可以分成2 个破晓集的并集，
事实上，只要取
，
，
则
和
都是破晓集，且
．当
时，集合
中，除整数外，
剩下的数组成集合
，可以分为下列2 个破晓集的并：
，
当
时，集合
中，除整数外，剩下的数组成集合
，
可以分为下列2 个破晓集的并：
，
最后，集合
中的数的分母都是无理数，
它与
中的任何其他数之和都不是整数，因此，令
，
，
则
和
是不相交的破晓集，且
．
综上，
的最大值为14.
故选：B．
【点睛】思路点睛：先证当
时，
不能分成两个不相交的破晓集的并集，利用反证法推出
为破晓
集相矛盾，再证
满足要求去证明，最后它与
中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问
题、解决问题的能力，属于难题..
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