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重难专攻（二） 抽象函数的综合性质的应用
重难点题型1 求抽象函数的定义域
1．（2022·全国·模拟预测）设函数
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】抽象函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式、具体函数的定义域、复合函数的定义域
【分析】先求
的定义域，再利用复合函数求
的定义域.
【详解】由题意得，
，解得
函数
满足
，解得
，
即函数
的定义域为
.
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
求抽象函数的定义域
重难点题型2
求抽象函数的特征值及值域
重难点题型3
求抽象函数的解析式
重难点题型4
抽象函数的单调性问题
重难点题型5
抽象函数的奇偶性问题
重难点题型6
抽象函数的周期性问题
重难点题型7
抽象函数的对称性问题
重难点题型8
有关抽象函数的不等式问题
重难点题型9
利用抽象函数比较大小
故选:A
2．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数
的定义域为
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数
的定义域，对于函数
，可列出
关于
的不等式组，由此可得出函数
的定义域.
【详解】因为函数
的定义域为
，则
，可得
，
所以，函数
的定义域为
，
对于函数
，则有
，解得
，
因此，函数
的定义域为
.
故选：C.
3．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】抽象函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式
【分析】由题可知解
即可得答案.
【详解】解：因为函数
的定义域为
，
所以，
，即
，解得
，
所以，函数
的定义域为
故选：C
4．（2021·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
有定义，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】求出复合函数的定义域即可得．
【详解】解：由题意可得
，解得
．
因为
有定义，所以当
时，由
，得
；
当
时，由
，得
；
当
时，
，恒成立．
综上，实数
的取值范围是
．
故选：D．
5．（2024·吉林延边·模拟预测）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是
【答案】
【难度】0.85
【知识点】抽象函数的定义域
【分析】根据给定条件，利用抽象函数定义域列式求解即得.
【详解】由函数
的定义域是
，得
，则
，
由
，解得
，
所以
的定义域是
.
故答案为：
6．（24-25 高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域为 ．
【答案】
.
【难度】0.65
【知识点】抽象函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】由条件求出函数
解析式中
的范围，列出使得
有意义的不等式，
解不等式可得结论.
【详解】因为函数
的定义域是
，
所以
，故
，
因为
有意义，
所以
，所以
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
重难点题型2 求抽象函数的特征值及值域
以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽
象代数式的值，常用赋值法来解决．
常见的赋值情况：（1）第一层次赋值：常常令字母取
等；（2）第二层次赋值：若题中有
条件
，则再令字母取
；第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个
值对应的和或积（较多）或者差或商（较少）．
1．（24-25 高三上·河南·期中）已知函数
是定义在
上的图象连续不间断的奇函数，且
，若
，则
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】因为
，可知
，
又因为
为奇函数，且连续不断，则
，则
，且
，可知
，
由奇函数对称性可知：
时，
，且
，
，
所以
在定义域
的值域为
.故选：B.
2．（24-25 高三上·山西晋中·月考）已知函数
的定义域为
，若对于任意的
，
，都
有
，当
时，都有
，且
，则函数
在区间
上的最大值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】令
，则
，令
有
，
又
，所以
，令
，所以
，所以
，
设
，则
，所以
，所以
，
则
，故
在
上单调递增，
所以函数
在区间
上的最大值为
.故选：D.
3．（2023·山西·模拟预测）已知函数
都是定义在
上的函数，
是奇函数，
是偶函数，且
，则
（ ）
A．-4052
B．-4050
C．-1012
D．-1010
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用、函数对称性的应用、抽象函数的值域
【分析】根据函数的奇偶性对称性结合求出函数的周期，根据一个周期内的函数值计算求解即得.
【详解】因为
是偶函数，所以
,由
知，
，所以
，则f（x）为偶函数.
由
是奇函数可知，
，所以
，则
，则
，
所以
，所以
，则
，所以
，
则4 为f（x）的一个周期.
由
得，
，则
，所以
，
由
得，
，即
，所以
,
由
，得
，又
1，所以
；
在
中，令
，得
，所以
.
.
故选：A.
4．（20-21 高二下·上海宝山·期末）若函数
的值域是
，则函数
的
值域是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值、抽象函数的值域
【分析】由给定条件求出
的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.
【详解】因函数
的值域是
，从而得函数
值域为
，
函数
变为
，
，由对勾函数的性质知
在
上递减，在
上递增，
时，
，而
时，
，
时，
，即
，
所以原函数值域是
.
故答案为：
重难点题型3 求抽象函数的解析式
1．（2024·广西·二模）（多选题）已知函数
的定义域与值域均为
，且
，则（ ）
A．
B．函数
的周期为4
C．
D．
【答案】ACD
【难度】0.15
【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、判断证明抽象函数的周期性
【分析】根据抽象函数的性质，巧妙利用赋值法解决.
【详解】令
得
，即
①，
令
，得
②，
联立①②
，故A 正确；
令
，得
③，
由①，
，
，
将它们代入③整理可得
，所以由
，故D 对；
当
为正整数时，由
可得
，
累加可得
，
也符合该式，
故
，其中
为正整数;
对任意正有理数
，
若
，取
，则
，
故
，
若
，则总存在正整数
，使得
,
此时
,
,
,
综上，C 成立，B 错误，
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：求两个变量的抽象函数解析式要巧妙用赋值法.
2．（22-23 高三下·湖南·阶段练习）存在函数
，对任意
都有
，则函数
不可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】求抽象函数的解析式
【分析】AC 选项利用特殊值的思路判断，BD 选项根据题目的要求判断即可.
【详解】对于
选项，
是奇函数，
是偶函数，则
，矛盾，
不
满足条件；
对于B 选项，
，所以
，故
满足条件；
对于C 选项，取
和
，可得
，
，矛盾，C 不满足条件；
对于D 选项，
，则
，
单调递增，
且
，即
为奇函数，图象如下所示，
所以值域为
，D 满足条件.
故选：AC.
3．（2024·陕西铜川·三模）已知函数
是定义域为
的偶函数，且
为奇函数，写出函数
的一个解析式为
.
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.65
【知识点】求抽象函数的解析式、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、cosx（型）函数对称性的其他
应用
【分析】由
为奇函数可得
的图象关于点
中心对称，结合偶函数的性质可构造
符合题意.
【详解】由
为偶函数，知
的图象关于
轴对称；
由
为奇函数，知
的图象关于点
中心对称，
据此构造函数
，则
是偶函数；
为奇函数，符合题意.
故答案为：
（答案不唯一）.
4．（2023·云南大理·模拟预测）已知函数
满足
，则
的解析式可以是
（写出满足条件的一个解析式即可）．
【答案】
（答案不唯一）
【难度】0.94
【知识点】求抽象函数的解析式
【分析】利用待定系数法求解即可，若设
，然后代入化简求出
即可.
【详解】若设
，则由
，
得
，解得：
，
所以
，
故答案为：
（答案不唯一）.
重难点题型4 抽象函数的单调性问题
判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论．
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试．
** 错误的表达式 **若给出的是“和型”抽象函数
y
x
f
，判断符号时要变形为：
1
1
1
2
1
2
)
(
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
2
1
2
1
2
)
(
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
;
** 错误的表达式 **若给出的是“积型”抽象函数
xy
f
，判断符号时要变形为：
1
1
2
1
1
2
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
或
2
1
2
2
1
2
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
．
1．（23-24 高三下·湖南常德·三模）已知奇函数
是定义域为R 的连续函数，且在区间
上单
调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
在R 上单调递增
B．函数
在
上单调递增
C．函数
在R 上单调递增
D．函数
在
上单调递增
【答案】C
【解析】因为
是奇函数，且在区间
上单调递增，
所以
在
上也为单调递增函数，
对于A：不妨令
，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，故A 错误；
对于B：不妨令
，
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，故B 错误；
对于C：
，其定义域为
，
又
，所以
是奇函数，
取
，则
，
，故
所以
，则函数
在
为递增函数；
所以函数
在
也为递增函数，且当
时，
，
所以
在R 上单调递增，故C 正确；
对于D：不妨令
，
，
由反比例函数的单调性可知
在
和
上单调递减，故D 错误；故选：C.
2．（2023·江西九江·三模）已知定义在R 上的函数
在
上单调递增，
是奇函数，
的
图像关于直线
对称，则
（ ）
A．在
上单调递减
B．在
上单调递增
C．在
上单调递减
D．在
上单调递增
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求函数的单调区间、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】根据
是奇函数，得到
的图象关于点
对称，由
图像关于直线
对称可
知
为偶函数，结合函数
在
上单调递增，得到
在
上单调递减，再求出函数的周期性
得到答案.
【详解】
是奇函数，
，即
的图象关于点
对称，
又
在
上单调递增，
在
上单调递增，即
在
上单调递增.
由
，可得
，
由
图像关于直线
对称可知
为偶函数，
∴
在
上单调递减，
，
，
是周期函数，最小正周期为4，
∵
，
，
∴
在
上的单调性和在
上的单调性相同，
在
上单调递减.
故选：C.
3．（2022·辽宁·模拟预测）（多选题）已知定义在R 上的偶函数
的图像是连续的，
，
在区间
上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
的一个周期为6
B．
在区间
上单调递减
C．
的图像关于直线
对称
D．
在区间
上共有100 个零点
【答案】BC
【难度】0.65
【知识点】求函数的单调区间、判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性、求函数零点或方
程根的个数
【分析】由条件结合周期函数的定义证明函数
为周期函数，再根据奇偶性，周期性，单调性判断B，
C，并由零点的定义判断D.
【详解】因为
，取
，得
，故
，又
是偶函
数，所以
，所以
，
故
，即
的一个周期为12，故A 项错误；
又
在区间
上是增函数，所以
在区间
上为减函数，由周期性可知，
在区间
上单调递减，故B 项正确；
因为
是偶函数，所以
的图像关于y 轴对称，由周期性可知
的图像关于直线
对称，故
C 项正确；
因为
在区间
上是增函数，所以
在区间
上为减函数，
，由周期性可
知，在区间
上，
，而区间
上有168 个周期，故
在区间
上有
336 个零点，又
，所以
在区间
上有337 个零点，由
为偶函数，可知
在区间
上有674 个零点，故D 项错误．
故选：BC 项．
4．（24-25 高三上·全国·专题练习）定义在R上的函数
满足对任意实数
都有
，若
时，
，则
（ ）
A．先单调通减后单调递增
B．在R上单调递增
C．在R上单调通减
D．单调性不确定
【答案】B
【解析】任取
，令
，
则
，
因为
，所以
，所以
，
所以
在R上单调递增.故选：B.
重难点题型5 抽象函数的奇偶性问题
判断抽象函数奇偶性的关键是得到
和
的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只
保留
和
的关系．
【注意】证明抽象函数奇偶性的实质是赋值，分析出赋值的规律．
（1）可赋值，得到一些特殊点的函数值，如
，
等；
（2）尝试适当的换元字母，构造出
和
，如
可令
，
可令
等；
（3）通过各类抽象函数的式子来积累一定的赋值技巧．
1．（2025·山西·二模）已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的奇偶性
【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解.
【详解】因为
是奇函数，所以
为偶函数，
所以
，即
，故
的图象关于直线
对称，
由
的图象关于直线
对称得
，
即
，
即
，所以
关于
对称，
所以
，所以
，
故
是奇函数，所以B 选项正确；
因为
，又
，所以
，
即
，所以
，故C 选项错误；
不能得到
的奇偶性与
的值，故A，D 选项错误.
故选：B
2．（2024·河北·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
，则
一定正确的是（ ）
A．
的周期为2
B．
图象关于直线
对称
C．
为偶函数
D．
为奇函数
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数对称性的应用、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的奇偶性
【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.
【详解】
为奇函数，得
，
即
，则
为奇函数，故C 错误；
且
图象关于点
中心对称，故B 错误；
可知，函数
周期为4，故A 错误；
，又
图象关于点
中心对称，知
，
所以
，得
关于点
对称，
则
关于点
对称，所以
为奇函数，故D 正确.
故选：D.
3．（2024·安徽·模拟预测）已知函数
的定义域均为
，若
为偶函数，
为奇函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
为奇函数D．
为奇函数
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的奇偶性、函数奇偶性的定
义与判断
【分析】方法一：利用抽象函数的奇偶性和相关条件推导出函数的周期性、对称性等基本性质，逐一对选
项进行分析判断；方法二：依题意构造函数法.依题意，可设
，则
，一一对选项
进行计算、验证即得.
【详解】方法一 :（函数性质判断法）由
为偶函数，得
①．
由
为奇函数，得
．
又
，则
②．
则由①，
（*），
由②，
，
故得
． 把
取成
，得
③，
于是，
，即函数
的周期为2，故B 错误；
又因
为
上的奇函数，则
，
的周期为2，则
，故A 错误；
由③得，
，即
，
故
．因
为奇函数，故
为奇函数，故C 正确；
由（*），
，得
，即
为偶函数，
又
，所以
为偶函数，故D 错误.
方法二：（构造函数法）依题意，可设
，则
为偶函数，
由
为奇函数，且函数
的定义域均为
，
对于A，
，排除A；
对于B，显然
的最小正周期是2，排除B；
对于C，
是奇函数，故C 正确；
对于D，
，显然是偶函数，排除D.
故选：C.
4．（2025·湖南湘潭·三模）（多选题）定义域为R 的函数
满足：①
，②
的图象过点
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
的图象关于点
中心对称
D．
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性、判断或证明函数的对称性
【分析】令
，
，即可判断A；令
，结合A 即可判断B；令
，即可判断C；由上述结
论得出
即可判断D．
【详解】由①，
，
对于A，令
，
，则
，
由②可知
，所以
，解得
，故A 正确；
对于B，令
，则
，即
，
故
为奇函数，故B 错误；
对于C，令
，则
，
即
的图象关于点
中心对称，故C 正确；
对于D，由于
且
，
则有
，即
，
所以
，
，…，
，故D 错误，
故选：AC．
5．（2025·山东菏泽·一模）（多选题）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是增函数
D．
【答案】ABD
【难度】0.85
【知识点】抽象函数的奇偶性
【分析】对于选项A 和选项B：利用奇函数的定义以及奇函数在原点有定义就有
即可判断；
对于C：举反例即可判断；对于D：分别令
和
即可判断.
【详解】对于B：令
，由题设可知
，故
是奇函数.故B 正确；
对于A：又
的定义域为R，所以
，故A 正确.
对于C：不妨取
，则满足
，且
，故C 错误.
对于D：令
，则
；令
，则
，
故
，故D 正确.
故选:ABD
6．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知定义域为
的函数
，对任意
，都有
，且
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】函数周期性的应用、抽象函数的奇偶性、求函数值
【分析】利用赋值法计算可得
，即A 错误；令
可得
满足偶函数定义，即B
正确；取
可得
，可得
为奇函数，即C 正确；利用奇函数性质可得
，可得D 正确.
【详解】令
，得
，又
，所以
，故A 错误；
令
得，
，所以
，故
为偶函数，故B 正
确；
令
，得
，所以
，
又
，所以
，
而
的定义域是全体实数，所以
为奇函数，故C 正确；
由C 可得
，也即
，所以
，所以
，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：在求解抽象函数问题时，经常利用赋值法求出函数值，再根据函数的奇偶性进行周期、
对称性等性质的判断.
重难点题型6 抽象函数的周期性问题
函数周期性的常用结论（
是不为0 的常数）
（1）若
，则
； （2）若
，则
；
（3）若
，则
； （4）若
，则
；
（5）若
，则
； （6）若
，则
（
）．
1．（2025·贵州毕节·一模）已知定义域为
的奇函数
满足
，且
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】推导出
，进而可推导出
是周期为
的周期函数，进而求出
的值，以及
的值，再结合函数周期性可求得
的值.
【详解】因为定义域为
的奇函数
满足
，则
，
即
，所以，
，
所以，函数
是周期为
的周期函数，
则
，
，
，则
，
当
时，
，
因为
，故
.
故选：D.
2．（2025·河北保定·一模）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、函数奇偶性的应用、函数奇偶性
的定义与判断
【分析】根据给定条件，利用赋值法可得
，且
为奇函数，再结合已知的偶函数求得8 为
的一个周期，借助性质求出目标值.
【详解】函数
的定义域为
，且有
，
令
，得
，解得
；
令
，得
，则
，
而
，即
不恒为0，因此
，函数
为奇函数，
由
为偶函数，得
，则
，
于是
，
，8 为
的一个周期，
由
，得
，即
，因此
，所以
.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
3．（2024·四川·模拟预测）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性
【分析】依据题意先赋值
代入等量关系式求出
，再赋值
得
，进而依据此计算规则逐步求出
，即求出
是周期为6 的周期
函数，再依据此计算规则结合
和
求出
，进而结合周期即可求解
.
【详解】取
代入
，
得
即
，由题解得
，
令
代入
得
，
故
，
所以
是周期为6 的周期函数，
又
，
，所以
，
所以
，
故选：D.
【点睛】思路点睛：依次赋值
和
代入
分别得到
和
，再依据所得条件推出
即函数周期为6 和
，进而根据
周期性和
即可求解
.
4．（23-24 高二下·黑龙江绥化·期末）若函数
的定义域为
，其图象关于点
成中心对称，且
是偶函数，则
（ ）
A．2023
B．
C．4048
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由函数对称性求函数值或参数、由抽象函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性
【分析】首先根据条件判断函数的周期，再根据函数的周期性和对称性求函数值，即可求和.
【详解】由
是偶函数知，
的图象关于直线
对称，
①,
又
的图象关于
中心对称，所以
②,
则
③,
由①②③可得，
,故函数
的周期为4，
则
，
，
，则
，
则
．
故选：C
5．（2024·湖北黄冈·二模）已知函数
的定义域为
，若函数
为奇函数，
为偶函数，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由抽象函数的周期性求函数值
【分析】根据函数奇偶性推出
的周期为4，最后再计算出一个周期内的各值即可.
【详解】因为函数
为奇函数，所以有
，
又因为
为偶函数，所以
，
于是有
，
所以函数
的周期为4，因为
，
所以
，
所以
，
于是
，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据奇偶性推导出周期性，再通过合理赋值求出周期内各整数值的和
即可.
6．（2024·全国·模拟预测）若定义在
上的函数
满足
，且
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
D．
是奇函数
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、判断证明抽象函数的周期性、抽象函数的
奇偶性
【分析】本题考查抽象函数的图象与性质内容，根据已有条件
和
，以及x 的任意性结合函数奇偶性和周期性概念、对称性的判定知识去进
行转化推理即可.
【详解】由
，所以
又
，所以
，且
，
所以
，故A 正确
由A 可得，
，所以
的图象关于直线
对称，故B 正确
由A 可得，
是周期为8 的函数，
，
又由
，得
，所以
，故C 错误
对于D，由
的图象关于点
对称，
所以
的图象关于原点对称，故D 正确，
故选：C.
7．（2025·江西宜春·二模）（多选题）已知函数
，对任意
，均有
，且
，
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、导数的运算法则、由抽象函数的周期性求函数
值
【分析】由题意，合理赋值判断函数
和
的奇偶性和周期性，结合选项计算即可求解.
【详解】
，
令
，得
，解得
；
令
，则
，又
，
所以
，得
，
对于任意的
都成立，所以
为奇函数，故B 错误；
令
，得
①，
把
换成
，得
②，
又
为奇函数，所以
，又
，
所以①
②得
，故D 正确；
令
，得
，
所以
，又
，
所以
，则
，
所以函数
的周期为4，得
，故A 正确；
，等式两边同时对
求导，
得
，
令
，得
，即
③，
由
，得
，所以
为偶函数，
由
，得
，
所以
，所以函数
的周期为4.
令
，由③得
，
同理可得
，
所以
，故C 正确.
故选：ACD
8．（2025·山西晋城·二模）（多选题）设
均是定义在
上的函数，且
，则下
列说法正确的是（ ）
A．若
是偶函数，则
的图象关于直线
对称
B．若
是最小正周期为1 的函数，则
是最小正周期为3 的函数
C．若
是偶函数，则
的图象关于直线
对称
D．若
是奇函数，则
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】由抽象函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用
【分析】对于A，由
是偶函数可得
，由此可判断A；对于B，由题干可知
是最小正周期为1 的函数，由此可判断B；对于C，类似于A，由
是偶函数可得
，由此可判断C；对于D，由
是奇函数可得
，因此
的图象关于点
对称，由此可判断D.
【详解】对于A，因为
是偶函数，所以
，
所以
，即
的图象关于直线
对称，故A 错误；
对于B，因为
是最小正周期为1 的函数，所以
是最小正周期为1 的函数，
设
的最小正周期为
，由
，得
，故B 正确；
对于C，由
，得
，
又
是偶函数，所以
，
所以
，则
的图象关于直线
对称，故C 正确；
对于D，由C 项可知，
，
因为
是奇函数，所以
，即
，
则
，所以
，
因此
的图象关于点
对称，且
，
所以
，故D 正确．
故选：BCD．
重难点题型7 抽象函数的对称性问题
1．（2025·四川·三模）已知函数
，则函数
的图象（ ）
A．关于点
对称
B．关于点
对称
C．关于直线
对称
D．关于直线
对称
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】由函数的奇偶性可得
为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.
【详解】因为
，则
为奇函数，
所以
的图象关于原点对称，
函数
的图象可由
的图象先向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位得到，
所以函数
的图象关于点
对称．
故选：A
2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，函数
的图象关于点
中心对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】由函数
的图象关于点
中心对称可知
具有对称轴
，再由
得
，再根据
为
上的偶函数且具有对称轴
可得答案.
【详解】由函数
的图象关于点
中心对称可知，
，即
，
可得
，因此函数
具有对称轴
，
由
，可得
，
由
为
上的偶函数且具有对称轴
，可得
．
故选：B．
3．（2025·全国·模拟预测）（多选题）已知函数
的定义域为
，对于
，都有
，则（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．函数
的图象关于直线
对称
D．
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、指数函数图像应用
【分析】令
求出
可判断A；利用
，可判断B；利用
，
可判断C；设
，又
， 得
，可判断
D．
【详解】对于A，令
，则
，可得
，
解得
，故A 正确；
对于B，由
，可得
，
所以函数
的图象关于点
中心对称，故B 错误；
对于C，由
可得
，
所以函数
的图象关于直线
对称，故C 正确；
对于D，设
①，
又
②，由①②可得
，
所以
，即
，
所以
，所以
，
，所以
，故D 正确．
故选：ACD．
4．（2025·广西南宁·模拟预测）（多选题）已知函数
，则（ ）
A．当
时，
B．函数
与
的图象关于
对称
C．函数
与
的图象关于点
对称D．
在
有2 个零点
【答案】AC
【难度】0.4
【知识点】函数对称性的应用、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】对函数
求导，令
，可解得单调递增区间； 令
，可解得单调递减区间，即
可判断选项A；根据图象的对称性判断
与
是否相等即可判断选项B；根据图象的对称性判断
是否成立即可判断选项C；令
，可整理变形为
，令
，求导研究
在
上的单调性，结合零点存在性定理可得
在
上存
在唯一零点；当
时，
，此时函数无零点，综上即可判断选项
D.
【详解】由题意得，
，令
，解得
，
令
，解得
； 令
，解得
，
所以
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
的最大值为
.故选项A 正确；
因为
，
.
又
，所以
，
故函数
与
的图象不关于
对称.故选项B 错误；
由B 可知
，所以函数
与
的图象关于点
对称.故选项C 正确；
令
，则
，整理得
，
令
，则
，
当
时，
，
，所以
在
上单调递减.
又
，
，
所以由零点存在性定理得，
在
上存在唯一零点，
当
时，
，此时函数无零点，
所以
在
上存在唯一零点，即函数
在
上的零点个数为1.故选项D 正确.
故选：AC.
重难点题型8 有关抽象函数的不等式问题
1．（2025·河北石家庄·三模）已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】构造函数
，其中
，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出
，然后将所求不等式转化为
、
，解之即可.
【详解】构造函数
，其中
，则
，
故函数
为偶函数，
当
、
且
时，都有
成立，
不妨设
，则
，即
，
故函数
在
上为增函数，即该函数在
上为减函数，
因为
，则
，
当
时，由
得
，即
，解得
；
当
时，由
得
，即
，解得
.
综上所述，不等式
的解集为
.
故选：B.
2．（22-23 高一上·上海徐汇·期末）已知函数
是R 上的奇函数，且是
上的严格减函数，若
，则满足不等式
的x 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】将
等价于
和
，根据奇函数以及单调性即可求解.
【详解】由
是R 上的奇函数，且是
上的严格减函数，若
可知：
且
在
也严格单调递减，故
当
和
时，
，当
和
时，
，
故
等价于
和
，解得
，
故选：B
3．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R 上的函数
在
上单调递增，若函数
为偶函数，
且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、判断或证明函数的对称性、由对称性研究单调性、由函数对称性求
函数值或参数
【分析】由已知，函数
关于
对称，作出函数的图象，数形结合可求解.
【详解】由函数
为偶函数，知函数
关于
对称，
又函数
在
上单调递增，知函数
在
上单调递减，
由
，知
，作出函数的图象，如下：
由图可知，当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
当
时，
，则
；
所以不等式
的解集为：
或
，
故选：C
4．（2022·陕西安康·二模）函数
在
上单调递增，且为奇函数，若
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】函数基本性质的综合应用
【分析】根据函数的奇偶性调自变量的符号，根据函数的单调性脱掉函数记号“
”
【详解】
是奇函数，故
.又
是增函数，
，所以
，则
，解得
.
故选：B
5．（2024·全国·模拟预测）（多选题）定义在
上的函数
满足下列条件：（1）
；（2）当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
D．
在
上单调递减
【答案】AB
【难度】0.4
【知识点】函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A，取
可得；B，取
，再由条件当
时，
推理可得；对于C，虽能用基本不等式，但因
在
上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单
调性定义法推导得出相反结论，排除.
【详解】对于A 项，由
，取
，得，
，故A 项正确；
对于B 项，由
，取
，因
，故
，即
，
当
时，
，则
，故
，即
，故B 项正确；
对于C 项，由
，取
，可得，
，整理得，
，
因
，
，当且仅当
时取等号，但因
的符号不能确定，故不一定有
，
即
不一定成立，故C 项错误；
对于D 项，任取
，则
，依题意，
，而
，
则
，即
，即
在
上是增函数.于是，对于
，
任取
，因
，则
，即
，即函数
在
上单调
递增，故D 项错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质判断和应用，属于难题.
解决此类题的关键在于观察已知抽象函数式的特征，巧用赋值代入法，对称取值法和定义推导法进行推理
判断，即可得出正确结论.
重难点题型9 利用抽象函数比较大小
1．（2025·陕西商洛·三模）已知
是偶函数，且
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系
【分析】分析函数
在
上的单调性，比较
、
、
的大小关系，结合函数
的单调
性可得出结果.
【详解】因为函数
是偶函数，且
在
上单调递增，则该函数在
上为减函数，
因为
，
所以，
，且函数
在
上为增函数，
所以，
，
因为函数
在
上为减函数，则
，
故
，且
，
所以，
，
故选：D.
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，且
，
记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】函数基本性质的综合应用、比较函数值的大小关系
【分析】根据函数
满足的表达式以及
，利用赋值法即可计算出
的大小.
【详解】由
可得，
令
，代入可得
，即
，
令
，代入可得
，即
，
令
，代入可得
，即
；
由
可得
，
显然可得
.
故选：A
【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函
数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.
3．（2023·四川成都·模拟预测）已知
、
分别为
上的奇函数和偶函数，且
，
，
，
，则
、
、
大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、辅助角公式、比较对数式的
大小
【分析】利用函数奇偶性的定义求出函数
、
的解析式，利用导数分析函数
在
上的单
调性，并比较
、
、
的大小关系，结合函数
在
上的单调性可得出
、
、
的
大小关系.
【详解】因为
、
分别为
上的奇函数和偶函数，且
，
则
，
所以，
，所以，
，
当
时，
，令
，其中
，
则
，函数
在
上单调递增，
则
，因此函数
在
上为增函数，
因为
，
所以，
，
，
，
因为
，
所以，
，所以，
，
因为函数
为
上的偶函数，故
.
故选：C.
4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数
的导函数
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、比较指数幂的大小、基本初等函数的导数公式、比较对数式的大小
【分析】由题，写出原函数
，讨论其奇偶性、单调性，再结合
、
、
的范围即可比较大
小
【详解】
，则
，
为偶函数，且在
单调递增，
，
，即
，
，
所以
，∴
，
故选：A
5．（2022·湖南衡阳·三模）定义在
上的奇函数
满足
为偶函数，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】函数基本性质的综合应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、比较函数值的大小
关系
【分析】根据奇函数
满足
为偶函数可知
是一个周期函数，根据
可判断单
调性，利用周期性将自变量都转化到
上，再利用单调性即可得大小关系.
【详解】因为
为偶函数,所以满足
,又因为
是奇函数,所以
故
因此
即
是以4 为周期的周期函数.
，
当
时，
，
在
单调递增，
在
单调递减，故
在
单调递增.所以
故选：A
