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重难专攻（十八）轨迹方程的求法
重难点题型1 定义法求曲线的轨迹方程
定义法：
如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先
设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
1、设圆
与
:
外切并与
:
内切，则
的圆心轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
2、（24-25 高三下·云南玉溪·期末）已知圆
：
和圆
：
，动圆
同时与
圆
及圆
相外切，则动圆的圆心
的轨迹方程为（ ）
目录●重难点题型分布
A．
B．
C．
D．
3、已知动圆P 与圆M：
，圆N：
均外切，记圆心P 的运动轨迹为曲线C，
则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4、（24-25 高三下·江苏南京·月考）已知动圆
与圆
，圆
均相切，则动
圆圆心
的轨迹方程是 ．
5、（2024 上·湖北孝感·高三上期末）如图，已知圆
，点
，
为圆
上的动点，
线段
的垂直平分线与线段
相交于点
.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)设（1）中曲线为
，直线
与曲线
交于
两点，求线段
的中点坐标和弦长
.
6、（24-25 高三上·广东肇庆·期中）设圆
的圆心为
，直线过点
且与
轴不重合，
交圆
于
、
两点，过
作
的平行线交
于点
．
(1)证明：
为定值，并求出点
的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以
为中点的弦所在的直线方程．
重难点题型2 直接法求曲线的轨迹方程
直接法：
如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于
建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，
即可得到轨迹方程。
1、(2024·江苏省盐城市模拟)(多选) 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A (−5,0)，
B (5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为−4
9 ，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条
件“斜率之积为−4
9 ”拓展为“斜率之积为常数k (k ≠0)”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：( )
A. k <0时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)
B. −1<k <0时，点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
C. k <−1时，点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点)
D. k >0时，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点)
2、（2024·浙江温州·统考一模）动点
到定点
的距离与
到定直线：
的距离的比
等于
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、（2025·江西南昌·江西师大附中校考一模）设过点
的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交
于A，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若
且
，则点P 的轨迹方程
是（ ）
A．
B．
C．
D．
4、在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若
，则点C 的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
5、在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距离，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
6、如图，设P 是圆
上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为
上一点，且
.
(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
(2)求过点
且斜率为
的直线被C 所截线段的长度.
重难点题型3 参数法求曲线的轨迹方程
参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t，以此量作为参变
数，分别建立P 点坐标x，y 与该参数t 的函数关系x＝f（t），
y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。
1、已知实数m，n 满足
.令
，
，记动点
的轨迹为E.
(1)求E 的方程，并说明E 是什么曲线；
(2)过点
作相互垂直的两条直线和
，和
与E 分别交于A、B 和C、D，证明：
.
2、（2024·贵州铜仁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知过动点
作x 轴垂线，分别与
和
交于P，Q 点，且
，
，若实数
使得
成立（其中O 为坐标原
点）．
(1)求M 点的轨迹方程，并求出当
为何值时M 点的轨迹为椭圆；
(2)当
时，经过点
的直线l 与轨迹M 交于y 轴右侧C，D 两点，证明：直线
，
的斜率
之比为定值．
3、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离
之比值为常数
的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P 到
的距离是
点P 到
的距离的2 倍．
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)若点P 与点Q 关于点B 对称，点
，求
的最大值；
(3)若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E，F 两点，试问在x 轴上是否存在点
，使
恒为
定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
4、（2024·浙江·模拟预测）如图，已知抛物线
，直线
交抛物线于
，
两点，
是抛物线
外一点，连接
，
分别交抛物线于点
，
，且
.
（1）若
，求点
的轨迹方程；
（2）若
，求
面积的最小值.
重难点题型4 相关点法求曲线的轨迹方程
代入法（相关点法）：
如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已
知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲
线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
1、（24-25 高三上·福建莆田·期末）在圆
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段
，D 为垂足，
M 是线段
上的点，且
，当点P 在圆上运动时，则点M 的轨迹方程是（ ）
A．
+
=1(y
)
B．
+
=1(y
)
C．
+
=1(y
)
D．
+
=1(y
)
2、（24-25 高三上·海南·月考）已知椭圆
的短轴的两个端点分别为
、
，
为椭圆上一动点，
则
的重心
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、（2024 上·甘肃陇南·高二校考期末）已知在平面直角坐标系
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦
点为
，上顶点为
，设点
.
(1)若
是椭圆上的动点，求线段
中点
的轨迹方程；
(2)过原点
的直线交椭圆于点
、
，若
的面积为
，求直线
的斜率
.
4、( 2025·浙江省杭州市联考) 已知点P为圆C：x
2+ y
2=1上的动点，点A的坐标为(3,0)，若
AB⃗= λ AP⃗(0< λ<1).
(1)当λ = 2
3时，求B的轨迹方程；
(2)讨论B的轨迹与C的位置关系．
5、(2023·山东省东营市模拟) 如图，已知椭圆x
2
3 + y
2
2 =1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上任意一点，过
F2作∠F1 P F2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，若线段QN的中点为
M，则点M的轨迹方程为 ．
重难点题型5 交轨法求曲线的轨迹方程
交轨法：
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点
（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数
得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
1、（24-25 高三上·江苏南通·月考）在平面直角坐标系
中，
，动点
和
分别位于
正半轴和负半轴上，若
，则
和
的交点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2、设
是椭圆
与x 轴的两个交点，
是椭圆上垂直于
的弦的端点，则直线
与
交点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3、已知
是椭圆
中垂直于长轴的动弦，
是椭圆长轴的两个端点，则直线
和
的交点
的轨迹方程为 ．
4、（2024 上·北京·高二校考期中）在平面直角坐标系
中，已知点
，过动点
向
轴作垂
线，垂足为
，
.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)若直线
的倾斜角为
，求直线
的方程；
5、如图，过抛物线
外一定点
的直线交抛物线于
两点，过
两点分别作切线
，
且
的交点为
．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)过点
且平行于抛物线对称轴的直线交弦
于点
，求证：
为弦
的中点；
(3)设过定点
且平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点
，求点
处的切线方程；
(4)求证：点
处的切线与点
的轨迹所在直线平行．
重难点题型6 其它方法求曲线的轨迹方程
1．（2025·湖南·三模）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为6 的正方形，
平面
，
点
是平面
内的动点，且满足线段
的长度是点
到
的距离的2 倍，则点
的轨迹的长度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西·二模）已知正方体
的棱长为1，点
在正方体内（包含表面）运动，若
，则动点
的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·江西上饶·一模）如图，长方体
中，
，点
为平面
上一动点，若
，则
点的轨迹为（ ）
A．抛物线
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．圆
4．（2023·全国·模拟预测）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧妙的方法，
它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将
由仿射变换得：
，
，则椭圆
变为
，直线的斜率与原斜率的关系为
，然后联立圆的方程与
直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆
的离心率为
，过右焦点
且垂直于
轴的直线与
相交于
、
两点且
，过椭圆外一点
作椭圆
的两条切线、
且
，切点分别为
、
．
(1)求证：点
的轨迹方程为
；
(2)若原点
到、
的距离分别为
、
，延长表示距离
、
的两条直线，与椭圆
交于
、
两点，
试求：原点
在
边上的射影
所形成的轨迹与
所形成的轨迹的面积之差是否为定值，若是，求出此
定值；若不是，请求出变化函数．
