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专题03 五大类立体几何题型-2024 年高考数学大题
秒杀技巧及专项训练（解析版）
【题型1 线面平行问题（刻度尺平移大法）】
【题型2 线面垂直问题（勾股定理妙解）】
【题型3 点面距离（体积求算）问题】
【题型4 线面夹角问题（两大法）】
【题型5 面面夹角问题（两大法）】
基础工具：法向量的求算
待定系数法：步骤如下：
①设出平面的法向量为⃗n=(x, y ,z)．
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量⃗a=(a1,b1,c1)，⃗b=(a2,b2,c2)．
③根据法向量的定义建立关于x , y , z 的方程组{⃗
n⋅⃗a=0⃗
n⋅⃗b=0
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．
注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组{⃗
n⋅⃗a=0⃗
n⋅⃗b=0 有无数多个解，只需给
x , y , z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的
法向量就不同，但它们是共线向量．
秒杀大法：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃（求外用外减，求内用内减）
向量
，
是平面
内的两个不共线向量，则向量⃗
n=( y1 z2−y2 z1, x2 z1−x1 z2, x1 y2−x2 y1)是平面
的一个法向量.
特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.
1
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：线面平行问题
线面平行：关键点
①必须将刻度尺与所证线重合，然后平移落在所证平面且留下痕迹②
眼神法：观察采用哪一种技巧（五种方法）（记住六大图像）
：中位线型
如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥
中，点
是
的中点.求证：
平
面
.
分析：
：构造平行四边形
如图⑵, 平行四边形
和梯形
所在平面相交，
//
，求证：
//平面
.
分析：过点
作
//
交
于
，
就是平面
与平面
的交线，那么只要证明
//
即可。
：作辅助面使两个平面是平行
如图⑶，在四棱锥
中，底面
为菱形，
为
的中点，
为
的
中点，证明：直线
2
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分析：：取
中点
，连接
，只需证平面
∥平面
。
：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P，Q 分别是对角线
AE，BD 上的点，且AP＝DQ（如图）．求证：PQ∥平面CBE．
如图⑸，已知三棱锥
，
是
,
,
的重心.(1)求
证：
∥面
；
（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标
系（或找空间一组基底）及平面的法向量。
如图⑹，在四棱锥
中，底面
为正方形，侧棱
底面
分别为
的中点．证明
平面
；
分析：因为侧棱
底面
，底面
是正方形，所以很容易建立空间直
角坐标系及相应的点的坐标。
3
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证明：如图，建立空间直角坐标系
．
设
，则
，
．
因为
轴垂直与平面
，故可设平面的法向量为
=（0，1，0）
则：
=0 因此
，所以
平面
．
如图，三棱柱
中，
为底面
的重心，
．
(1)求证：
∥平面
；
(2)若
底面
，且三棱柱
的各棱长均为6，设直线
与平面
所
成的角为
，求
的值．
4
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如图，平行六面体
中，
分别为
的中点，
在
上.
(1)求证：
平面
；
(2)若
平面
，求平面
与平
面
的夹角的余弦值.
如图，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为2 和4 的正方形，平面
⊥平面ABCD，
，点P 是棱
的中点，点Q 在棱BC 上．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若二面角
的正弦值为
，求BQ 的长．
5
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1．如图，在直三棱柱
中，
，
，M，N，P 分别为
，AC，BC 的中点．
求证：
平面
；
2．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
为棱
的中点．
求证：
//平面
；
P
ABCD
PA
,
/ /
ABCD
AB
AD AD
BC
，
1
2
BC
AD
2
PA
AB
E
，
PD
EC
PAB
6
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3．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面
与平面
所成锐
二面角的大小．
条件①：
；
条件②：
平面
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
4．如图，为圆锥顶点，
是圆锥底面圆的圆心，
，
是长度为
的底面圆的两条直
径，
，且
，
为母线
上一点．
求证：当
为
中点时，
平面
；
P
ABCD
PA
ABCD
2
PA
AD
CD
3
BC
2 3
PC
CD
PAD
PBC
PAD
5
AB
/ /
BC
PAD
S
O
AB
CD
2
AB
CD
O
3
SO
P
SB
P
SB
SA∥
PCD
7
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5．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，点
在棱
上，
，点
，
是棱
上的三等分点，点
是棱
的中点.
，
.
证明：
平面
，且
；
6．如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
，平面
平面
，
，
是
的中点，作
交
于
．
求证：
平面
；
7．在四棱锥
中，底面ABCD 为平行四边形，
，
.
P
ABCD
PC
ABCD
//
AB CD
E
PB
2
PE
EB
F
H
PA
G
PD
2
2
3
PC
CB
CD
AB
13
AC
//
HD
CFG
//
EC FG
P
ABCD
ABCD
PD
AD
PAD
ABCD
2
PD
AD
E
PC
EF
PB
PB
F
//
PA
BDE
P
ABCD
PA
PC
PB
AC
8
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(1)证明：四边形ABCD 为菱形；
(2)E 为棱PB 上一点（不与P，B 重合），证明：AE 不可能与平面PCD 平行.
8 ．如图，在平行六面体
中，
，
，
，
，点
为
中点．
证明：
平面
；
线面垂直问题（勾股定理妙解）
1
1
1
1
ABCD
A B C D
1
1
AB
AD
AA
90
DAB
1
2
cos
,
2
AA AB
1
1
cos<
,
2
AA AD
M
BD
1
/ /
B M
1
1
AC D
9
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必记结论：①特殊的平行四边形⇒边长之比1:2，夹角为600
，则对角线与边垂直
②特殊的直角梯形⇒边长之比1:1:2,对角线与腰垂直
③等腰三角形三线合一，三线与底垂直
④直径所对的圆周角为直角 ⑤菱形和正方形：对角线互相垂直
⑥特殊的矩形：边长之比1:2 或1：√2 有明显的直角关系
要证线面垂直，只需让线垂直于平面内两条相交直线即可
如：要证
平面
；
第一步：表示
,表示（
）中的两个
第二步：
如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，
，
．
求证：
平面
．
10
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如图，在三棱柱
中，
平面
，
.
求证：
平面
；
三棱柱
中，侧棱与底面垂直，
，
，
，
分别是
，
的中点．
求证：
平面
．
1．在长方体
中，
是
上的点,，且
的长成等比数列，又
是
所在的直线上的动点.
11
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求证：
平面
2．如图，在三棱柱
中，
平面
，
是
的中点，
是边长
为
的等边三角形．
证明：
．
3．如图，在三棱台
中，平面
平面
.
证明：
平面
；
12
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4．如图，在四棱锥
中，
平面
，
，点
在棱
上，
，点
，
是棱
上的三等分点，点
是棱
的中点．
，
．
(1)证明：
∥平面
，且
，
，
，
四点共面；
(2)证明：平面
平面
；
5．如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，侧面
侧面
，
为
中点，
是
上的点，
，
．
求证：平面
平面
；
6 ．如图，四棱锥
，平面
平面
为
中点．
P
ABCD
ABCD
PAD
PAB
F
BD
E
PA
2
PA
PD
PA
PD
PAD
ABCD
π
,
2
2,
,
2
A
BCDE AB
BC
AC
CD
BE
BE
CD
BCD
∥
ABC
,
BCDE F
BC
13
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证明：平面
平面
；
7．如图几何体中，底面
是边长为2 的正三角形，
平面
，若
，
，
，
．
求证：平面
平面
；
8．如图，在直四棱柱
中，底面为矩形，
，高为，O，
E 分别为底面的中心和
的中点．
求证：平面
平面
；
AEC
AFD
ABC
AE
ABC
/ /
/ /
AE
CD
BF
5
AE
4
CD
3
BF
DEF
AEFB
1
1
1
1
ABCD
A B C D
3
3
AB
AD
a
h
CD
1AOE
1
1
CDD C
14
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点面距离问题
结论1：《点线距离》
d=√
|⃗PP 1|2−(⃗
PP 1⋅⃗a
|⃗a| )
2
⇒《异面直线求距离问题》
结论2：《点面距离》
d=⃗
PP 1⋅⃗n
|⃗n|
结论3：《线面距离》
d=⃗
PP 1⋅⃗n
|⃗n|
结论4：《面面距离》
d=⃗
PP 1⋅⃗n
|⃗n|
结论5：《点点距离》d=√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2+(z1−z2)
2
在棱长为1 的正方体
中，
为
的中点，则点
到直线
的距离
为
在棱长为的正方体
中，则平面
与平面
之间的距离为( )
15
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已知正方形
的边长为1，
平面
，且
，
，
分别为
，
的中点.（1）求点
到平面
的距离；（2）求直线
到平面
的距离.
1．如图，在平行六面体
中，E 在线段
上，且
F，
G 分别为线段
，
的中点，且底面
为正方形.
(1)求证:平面
平面
(2)若
与底面
不垂直，直线
与平面
所成角为
且
求点
A 到平面
的距离.
16
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2．如图，四边形
是圆柱
的轴截面，点
在底面圆
上，圆
的半径为1，
，点
是线段
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若直线
与圆柱底面所成角为
，求点
到平面
的距离.
3．如图，在直三棱柱形木料
中，
为上底面
上一点．
(1)经过点
在上底面
上画一条直线与
垂直，应该如何画线，请说明理由；
(2)若
，
，
，
为
的中点，求点
到平面
的距离．
ABCD
OE
F
O
O
3
AF
G
BF
//
EG
DAF
DF
45
G
DEF
1
1
1
ABC
A B C
-
D
ABC
D
ABC
l
1
B D
1
1
BC
BB
2
AB
1
1
1
π
2
A B C
E
1
1
A B
B
1
AC E
17
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4．如图，在直四棱柱
中，底面ABCD 为菱形，
，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求点B 到平面
的距离．
5．图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是正方形，点E 在棱
上，
，
.
(1)证明：
；
(2)求点C 到平面
的距离.
6．设四边形
为矩形，点
为平面
外一点，且
平面
，若
1
1
1
1
ABCD
A B C D
60
BAD
2
AB
1
4 2
AA
1
DD
/ /
BD
1
AC E
1
AC E
P
ABCD
PA
ABCD
ABCD
PD
2
AD
AP
AE
CE
AE
PD
BAE
ABCD
P
ABCD
PA
ABCD
18
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(1)求
与平面
所成角的正切值；
(2)在
边上是否存在一点
，使得点
到平面
的距离为
，若存在，求出
的
值，若不存在，请说明理由；
7．如图，在四棱锥
中，
，
，平面
平面
．
(1)证明：
平面
；
(2)已知
，且
，求点D 到平面
的距离．
8．如图，在三棱柱
中，
，
，
，点E，F 分别
为BC，
的中点．
1,
2.
PA
AB
BC
PC
PAD
BC
G
D
PAG
2
BG
P
ABCD
/ /
AD
BC
AD
PD
PAD
PCD
BC
PCD
1
2
2
AD
PD
DC
BC
30
DPC
PAB
1
1
1
ABC
A B C
-
1
60
CAA
AB
BC
1
AC
CC
1
1
AC
19
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(1)求证：
平面
；
(2)若底面
是边长为2 的正三角形，且平面
平面
，求点
到平面
的距离．
线面夹角问题（两大法）
结论1：异面直线所成角
cosθ= |⃗a⋅⃗b|
|⃗a|⋅|⃗b|(θ∈(0, π
2))
①能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解
②不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式
cos⟨⃗a,⃗b⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a|⋅|⃗b|求出
关键是求出⃗a⋅⃗b 及|⃗a|与|⃗b|
结论2：线面角
cosα=sinθ=⃗AB⋅⃗n
|⃗AB|⋅|⃗n|(θ∈(0，π
2))
/ /
EF
1
1
ABB A
ABC
1
1
ACC A
ABC
1
C
1
1
ABB A
20
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结论：
{
点面距离（
往往用等体积法计算），
线自身长度}
如图，在四棱锥
中，四边形
是菱形，
，
为正三
角形，
.
求直线
与平面
所成角的大小；
四棱锥
中，
平面
，四边形
为菱形，
，
，
为
的中点．
求
与平面
所成的角的正切值；
如图，在直三棱柱
中，
，
，
是
的中
点，
是
的中点.
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求直线
与平面
所成的角的大小.
在长方体
中，
，
，则
与平面
所成角
的正弦值为______________．
1．如图，在几何体
中，
为等腰梯形，
为矩形，
，
，
，
，
，平面
平面
.
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值.
2
DE
1
EF
ADEF
ABCD
BF
CF
AF
CEF
22
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2．如图，三棱柱
中，四边形
均为正方形，
分别是棱
的中点，
为
上一点.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
3．如图，在四棱锥
中，四边形
为直角梯形，
，
，平面
平面
，
，点
是
的中点.
(1)证明：
.
(2)点
是
的中点，
，当直线
与平面
所成角的正弦值为
时，求四棱锥
的体积.
1
1
1
ABC
A B C
-
1
1
1
1
,
ACC A BCC B
,
D E
1
1
,
AB A B
N
1
C E
BN / /
1A DC
1
1
,
3
AB
AC C E
C N
DN
1A DC
Q
ABCD
ABCD
//
CD AB
BC
AB
QAD
ABCD
QA
QD
M
AD
QM
BD
N
CQ
2
2
AD
AB
CD
MN
QBC
42
7
Q
ABCD
23
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4．如图，四边形
是圆柱
的轴截面，点
在底面圆
上，圆
的半径为1，
，点
是线段
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)若直线
与圆柱底面所成角为
，求点
到平面
的距离.
5．如图，在三棱柱
中，
在底面ABC 上的射影为线段BC 的中点，M 为线段
的中点，且
，
.
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求MC 与平面
所成角的正弦值.
6．如图，已知三棱锥
平面
，点
是点
在平面
ABCD
OE
F
O
O
3
AF
G
BF
//
EG
DAF
DF
45
G
DEF
1
1
1
ABC
A B C
-
1A
1
1
B C
1
2
2
4
AA
AB
AC
90
BAC
1
M
A BC
1
MA B
,
P
ABC PB
,
,
PAC PA
PC PA
PB
PC
O
P
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内的射影，点
在棱
上，且满足
.
(1)求证：
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值.
7．如图，在三棱台
中，
平面
，
，
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求
与平面
所成角正弦值.
8．如图，在多面体
中，四边形
为平行四边形，且
平面
，且
.点
分别为线
段
上的动点，满足
.
ABC
Q
PA
3
AQ
PQ
BC
OQ
OQ
BCQ
1
1
1
ABC
A B C
-
1
AA
ABC
90
ABC
1
1
1
1
1
1
AA
A B
B C
2
AB
1
1
ABB A
1
1
BCC B
AC
1
1
BCC B
ABCDEF
ABCD
1
1,
.
2
BD
CD
BD
CD DE
ABCD
1
3,
2
DE
BF
DE
BF
,
H G
,
DC EF
(0
2)
DH
EG
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(1)证明：直线
平面
；
(2)是否存在
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？请说明理由.
面面夹角问题（两大法）
结论：二面角的平面角
提示：
是二面角的夹角，具体
取正取负完全用眼神法观察，若为锐角则
取正，若为钝角则取负.
结论：任意二面角的平面角
满足
如（
）
注意：
为原图上的点，而分子_则是
点在面
的投影点
GH
BCF
GH
AEF
42
14
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在如图所示的几何体中，四边形
是等腰梯形，
∥
，
平面
.
求二面角
的余弦值.
如图，在三棱柱
-中，
，
，
，
在底面
的射影为
的中点，
为
的中点.
求二面角
-BD-
的平面角的余弦值.
四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD 为菱形，∠ADC=60°，PA=AD=2，E
为AD 的中点.
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求二面角A-PD-C 的正弦值.
1．如图，三棱台
中，
是边长为2 的等边三角形，四边形
是等腰
梯形，且
为
的中点.
(1)证明：
；
(2)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求二面角
的大小.
2．如图，在三棱锥
中，
．
D
ABC
3 2,
7,
5
AB
AD
BD
AC
BC
CD
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(1)证明：平面
平面
；
(2)若
是线段
上的点，且
，求二面角
的正切值．
3．如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
平
面
为侧棱
的中点.
(1)求点
到平面
的距离；
(2)求二面角
的正切值.
4．如图，在正四面体
中，
是棱
的两个三等分点．
ACD
ABC
E
CD
4
CD
CE
E
AB
C
P
ABCD
ABCD
90 ,
ABC
BCD
PA
,
4,
3,
ABCD PA
AB
BC
CD
M
PC
D
PBC
M
AD
B
P
ABC
,
E F
PC
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(1)证明：
；
(2)求出二面角
的平面角中最大角的余弦值．
5．如图，已知
平面
与底面
所成角为
，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的大小．
6．如图，在四棱锥
中，四边形
为梯形，其中
，
，平面
平面
．
AB
PC
,
,
P
AB
E E
AB
F F
AB
C
PD
,
2
2
2,
//
,
,
ABCD CD
AB
AD
AB CD AD
CD PC
ABCD
6
tan
2
CB
PBD
P
BC
D
P
ABCD
ABCD
AB
CD
60
BCD
2
2
4
AB
BC
CD
PBD
ABCD
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(1)证明：
；
(2)若
，且
与平面
所成角的正切值为2，求平面
与平面
所成二
面角的正弦值．
7．如图，在三棱柱
中，
平面
是
线段
上的一个动点，
分别是线段
的中点，记平面
与平面
的交线
为.
(1)求证：
；
(2)当二面角
的大小为
时，求
.
8．如图，在梯形
中，
，
，
.将
沿对角
线
折到
的位置，点P 在平面
内的射影H 恰好落在直线
上.
AD
PD
AB
PD
PC
ABCD
PBC
PAD
1
1
1
ABC
A B C
-
1
AA
1
,
,
2,
4,
ABC AB
AC AB
AC
AA
D
1
BB
,
E F
,
BC AC
DEF
1
1
1
A B C
l
EF / / l
D
EF
C
120
BD
ABCD
//
AB CD
2
2
3
AB
BC
CD
π
3
ABC
ADC
△
AC
APC
△
ABC
AB
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(1)求二面角
的正切值；
(2)点F 为棱
上一点，满足
，在棱
上是否存在一点Q，使得直线
与平面
所成的角为
?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
P
AC
B
PC
2
PF
FC
BC
FQ
ABF
π
3
BQ
QC
32
