重难点23：破解圆锥曲线的向量：圆锥曲
线中向量类问题
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................2
题型一、利用向量条件判断轨迹或求方程....................................................2
题型二、利用向量垂直求定点问题................................................................3
题型三、利用向量平行/共线求参数...............................................................4
题型四、向量数量积的最值问题....................................................................5
题型五、向量数量积的取值范围问题............................................................6
题型六、向量与“中点弦”问题....................................................................7
题型七、向量与“焦点弦”问题....................................................................8
题型八、向量与“双共线/双参数”问题.....................................................10
题型九、向量与“三点共线”问题..............................................................11
题型精析・方法突破提能力..............................................................................12
知识点
1 ：利用向量条件求轨迹或求方程
1.设轨迹上动点为P(x,y)，根据向量关系（如相等、中点、数量积）建立x,y 的等式，
化简后结合圆锥曲线定义判断轨迹类型（圆、椭圆、双曲线、抛物线）。
2.根据圆、椭圆、双曲线、抛物线等定义将所给条件化简再排版。
知识点：利用向量垂直求定点问题
如图所示圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）向量垂直过定点问题。
知识网络・核心根基深扎牢
解题策略：设斜边所在的直线为y=kx+ b，联立圆锥曲线利用韦达定理得出根与系数
的关系，利用数量积为0，即可得出定点。
知识点：利用向量平行
/ 共线求参数
核心思路：向量共线转化为 “坐标交叉积为 0” 或 “斜率相等”，结合圆锥曲线方
程，通过韦达定理（设直线与曲线交点，联立方程）求解参数（如离心率e、直线斜率
k）。
向量平行（共线）：对于两个非零向量a和b，若存在一个实数
λ，使得a =λb，则称向量a与b平行（或共线），记作a∥b。
设向量a =(x1,y1)，b=(x2,y2)（平面向量），或a =(x1,y1,z1)，
b=(x2,y2,z2)（空间向量），则平行（共线）的判定可转化为坐标关系：
核心公式：a∥b⟺x1y2−x2y1=0。
推导：由a =λb得{
x1=λx2
y1=λy2
，消去λ即得x1y2=x2y1。
知识点：向量数量积的最值问题
设两个非零向量a和b，它们的夹角为θ（即两向量起点重合时所成的角，范围
0≤θ≤π），则它们的数量积定义为：a⋅b=|a| |
⋅b|⋅cosθ
若已知向量的坐标，可直接通过坐标运算求数量积，无需考虑夹角，是最常用的计算方
法。
设a =(x1,y1)，b=(x2,y2)，则：a⋅b=x1x2+y1y2
计算出数量积后利用基本不等式或函数单调性求最值。
【例题1】已知向量a
→
=(x +1,−y)，b
→
=(1, y)，x , y ∈R，当⃗a与⃗a−2⃗b垂直时，点
M (x , y)的轨迹为（ ）
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、利用向量条件判断轨迹或求方程
典例探究
举一反三
【1-1】已知A (2,0), P为圆O: x
2+ y
2=1上的动点，且动点Q满足：⃗OP =⃗OA +⃗OQ，记Q
点的轨迹为E，则（ ）
A．E为一条直线
B．E为椭圆
C．E为与圆O 相交的圆
D．E为与圆O 相切的圆
【1-2】已知F1(−3,0)，F2(3,0)，若点P(x , y)满足|⃑P F1|−|⃑P F2|=6，则P 点的轨迹
为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．双曲线的一支
D．一条射线
【1-3】在椭圆E: x
2
25 + y
2
9 =1上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D，点M
满足⃗DM = 5
3⃗DP，当点P在E上运动时，则点M的轨迹方程为（ ）
A．x
2+ y
2=25
B．x
2+ y
2=9
C．x
2
25 + 8 y
2
9 =1
D．y
2
25 + x
2
9 =1
【例题2】已知抛物线y
2=ax，直线l 交该抛物线于M，N 两点（直线l 不过原点），若⃗
OM ⋅⃗ON =0，则直线l 经过定点 ．
【2-1】已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
❑√3
2
，以椭圆C的四个顶点为
顶点的四边形的面积为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的右顶点为D，若直线l与椭圆C交于A ,B两点，满足
题型二、利用向量垂直求定点问题
典例探究
举一反三
|⃗DA +⃗DB)=|⃗DA −⃗DB)，证明：直线l过定点．
【2-2】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点A(2,1)，离心率为❑√3
2
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 交椭圆C 于M，N 两点（均异于点A），且⃗AM ⋅⃗AN =0，则直线l 是否
过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【2-3】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的左顶点为A，左、右焦点分别为F1
，F2
，离
心率为1
2
，P 为椭圆上任一点，且△F1 P F2的面积的最大值为❑√3．
(1)求C 的方程；
(2)若直线l 与C 有两个不同的交点M，N（均不与点A 重合），且⃗AM ⋅⃗AN =0，判
断直线l 是否恒过一个定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；
【例题3】椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，⃗MA =2⃗BM，点P为
椭圆C上一点且⃗OP = λ⃗OM (λ>0)，则λ的值为（ ）
A．3 ❑√5
5
B．4 ❑√5
5
C．3
2
D．2
题型三、利用向量平行/共线求参数
典例探究
【3-1】已知A(2,0)，B(0,1)是椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1的两个顶点，直线y =kx(k >0)与直线AB
相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若⃑ED =6⃑DF，则斜率k的值为（ ）
A．3
8
B．2
3
C．3
8
或2
3
D．3
4
【3-2】椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2, P为椭圆上第一象限内的一
点，且P F1⊥P F2, P F1与y轴相交于点Q，离心率e =
❑√6
3
，若⃗PQ = λ⃗Q F1，则λ =
（ ）
A．
❑√3
3
B．❑√3
C．2❑√3
3
D．
❑√3
2
【3-3】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点A (−4,0)，离心率为❑√3
2
，过点T (2,0)的直线
l 与椭圆C交于不同的两点M , N．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若△AMN的面积为48
5
，且⃗TM = λ⃗TN，求实数λ的值．
举一反三
题型四、向量数量积的最值问题
【例题4】设F1、F2分别是椭圆x
2
4 + y
2=1的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则⃗
Q F1⋅⃗Q F2
的最大值和最小值分别为（ ）
A．1与−2
B．2与−2
C．1与−1
D．2与−1
【4-1】已知F为椭圆C : x
2
4 + y
2=1的右焦点，P ,Q为椭圆C上两个动点，且满足
FP⊥FQ，则⃗FP⋅⃗QP的最小值为（ ）
A．❑√3
B．2
C．7−4 ❑√3
D．2−❑√3
【4-2】已知M (x0, y0)为双曲线x
2−y
2= 4上的动点，x0>0，y0≥0，直线l1
：
x0 x−y0 y = 4与双曲线的两条渐近线交于P，Q两点（点P在第一象限），R与Q在同一条
渐近线上，则⃗RP⋅⃗RQ的最小值为（ ）
A．−8
B．−4
C．0
D．−2
【4-3】已知双曲线一条渐近线方程为❑√5 x−2 y =0，且点(−2❑√2,❑√5)在双曲线上．
(1)求双曲线标准方程；
(2)若双曲线的左顶点为A1
，右焦点为F2, P为双曲线右支上任意一点，求⃗P A1⋅⃗P F2
的最小值．
典例探究
举一反三
【例题5】已知椭圆M : x
2
4 + y
2=1的上、下顶点为A ,B，过点P(0,2)的直线l与椭圆M相
交于两个不同的点C , D（C在线段PD之间），则⃗OC ⋅⃗OD的取值范围为（ ）
A．(−1,16) B．[−1,16)
C．(−1, 13
4 )
D．[−1, 13
4 )
【5-1】已知F1
、F2
分别为椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点，A为右顶点，B为
上顶点，若在线段AB上（不含端点）存在不同的两点Pi(i=1,2)，使得⃑Pi F1⋅⃑Pi F2=−c
2
3
，
则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．(0,
❑√2
2 )
B．(
❑√2
2 ,1)
C．(0,
❑√15
5 )
D．(
❑√2
2 ,
❑√15
5 )
【5-2】已知椭圆C : x
2
4 + y
2
3 =1，O 为坐标原点，E(
❑√3,
❑√3
2 )
，AB 是椭圆C 的一条弦，若
弦AB 的中点在线段OE（不含端点O，E）上，则⃑OA ⋅⃑OB的取值范围是（ ）
A．(−13
4 , 15
4 )
B．[−13
4 ,+∞)
C．[−13
4 , 15
4 )
D．(0, 15
4 )
题型五、向量数量积的取值范围问题
典例探究
举一反三
【5-3】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上右顶点到左焦点的距离为2+ ❑√2，上顶点的坐标
为(0,❑√2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P(4,0)，A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C
于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
(3)在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求⃗OM ⋅⃗ON的取值范
围.
【例题6】设椭圆方程为x
2+ y
2
4 =1，过点M (0,1)的直线l交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，
点P 满足⃗OP = 1
2 (⃗OA +⃗OB)，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．
【6-1】若直线2 x−y +m=0与椭圆x
2
5 + y
2
2 =1交于A ,B两点，且⃗AM =⃗MB，则点M的坐
标可能是（ ）
A．(
1
2 ,−1
10)
B．(5,−1)
题型六、向量与“中点弦”问题
典例探究
举一反三
C．(
1
2 , 1
10)
D．(5,1)
【6-2】过点M (1,1)的直线l交椭圆：x
2
5 + y
2
4 =1于A ,B两点，若⃗AM =⃗MB，则直线l的斜
率为（ ）
A．−5
4
B．−4
5
C．4
5
D．5
4
【6-3】设动点M是圆x
2+ y
2= 4上任意一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若点P在线段
MN上，且满足⃑ON +⃑OM =2⃑OP.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)过点Q(❑√3,0)的直线l与C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值，并求出此时
直线l的方程.
【例题7】设F为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点，过点F且斜率为−1的直线l
与双曲线C的两条渐近线分别交于点A ,B，若⃗AB =−3⃗AF，则双曲线C的离心率e =
（ ）
A．
❑√10
3
B．
❑√5
2
C．❑√5
D．
❑√34
3
题型七、向量与“焦点弦”问题
典例探究
【7-1】过双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点F1
作斜率为2 的直线l交C于M , N两
点．若⃗M F1=3⃗F1 N，则双曲线的离心率为（ ）
A．3
B．2
C．❑√2
D．
❑√5
2
【7-2】已知抛物线C：y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，且C 的准线与x 轴的交点为M．若直
线l 与C 交于D，E 两点，且⃗DF =−4⃗EF，|DE)= 25
2
，则△DEM的面积为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【7-3】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1
、F2
，上顶点为P，长轴
长为4，若△P F1 F2为正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F1，斜率为❑√3的直线与椭圆相交M，N两点，求MN的长；
(3)过点F1
的直线与椭圆相交于A，B两点，⃗A F1=2⃗F1B，直线AB的方程．
举一反三
题型八、向量与“双共线/双参数”问题
【例题8】已知椭圆G: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为2，以椭圆G的四个顶点为顶点的四
边形面积为4 ❑√3.
(1)求椭圆G的方程；
(2)设A，B 为椭圆G的左右顶点，过右焦点F的直线l交椭圆G于M，N 两点，直线
AM，BN 交于点P.
（i）求证点P在定直线上；
（ii）设⃗AP =t1⃗AM ,⃗BP =t2⃗BN，求3
t1
+ 1
t2
的最大值.
【8-1】设P为椭圆C : x
2
6 + y
2
2 =1上任一点，过焦点F1, F2的弦分别为PA , PB．设⃗
P F1= λ1⃗F1 A ,⃗P F2= λ2⃗F2B，求λ1+ λ2的值．
【8-2】已知点F (❑√3,0)，以线段FG为直径的圆内切于圆O: x
2+ y
2= 4
．
(1)求点G的轨迹C的方程；
(2)当过点P(2,1)的动直线l与轨迹C相交于两点A ,B（可以相同）时，⃗PA = λ⃗PB，⃗
AD = λ⃗DB．求动点D的轨迹长度．
典例探究
举一反三
【8-3】已知椭圆Γ：x
2
5 + y
2
1 =1，过点P(−2,0)的直线l：y =m( x +2)与椭圆Γ交于A、
B两点（A点在B点的上方），与y轴交于点C．
(1)当m= 1
2
时，求|AB)的长；
(2)设⃗CA = λ⃗AP，⃗CB = μ⃗BP，求证：λ+ μ为定值，并求出该值；
(3)点P和点Q关于坐标原点对称，若△ABQ的内切圆面积等于4π
25
，求直线l的方程．
【例题9】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的右焦点为F，且点F到长轴两个端点的距
离分别为❑√5+2和❑√5−2，O为坐标原点.
(1)求C的方程.
(2)过点F且不与x轴重合的直线l与C交于A ,B两点.
（ⅰ）若△OAB的面积为
❑√10
3
，求l的方程；
（ⅱ）若线段AB的中点为D，在点A ,B处分别作C的切线，两切线相交于点E，求
证：O，D，E三点共线.
【9-1】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，A 为C 上一点，|AF )的最小
题型九、向量与“三点共线”问题
典例探究
举一反三
值为1.
(1)求C 的方程；
(2)设点M (4,0)，斜率不为0 的直线AM与C 交于另一点B.
（i）若弦AB中点的纵坐标为−36
31
，求直线AB的斜率；
（ii）若D 为C 上一点，且点D 与点A 关于x 轴对称，证明：B , D , F三点共线.
【9-2】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的一个焦点为F (1,0)，点(−1,
❑√2
2 )
在椭圆C上，
过点F作一直线交椭圆于P、Q两点，且坐标原点O关于点F的对称点记为T.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△PQT面积的最大值；
(3)设点P
′为点P关于x轴的对称点，求证：Q、P
′、T三点共线.
【9-3】若椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上的两个不同的点M (xM , y M), N (xN , y N)满足
xM xN
a
2
+ y M y N
b
2
=0，则称M , N为该椭圆的一组“相伴点对”，记作(M ∣N ).已知椭圆
C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为4 ❑√2，离心率为
❑√6
3
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若M (❑√6,❑√2)，证明椭圆C上存在两个点N满足“相伴点对”(M ∣N )，并求点N
的坐标；
(3)设（2）中的两个点N分别是N 1, N 2，若直线N 1 N 2与直线l的斜率之积为−
❑√3
3
，
直线l与椭圆C交于A ,B两点，点T (−4,0), H(−7
2 , 1
2)
，连接TA交椭圆C于另一点P，连
接TB交椭圆C于另一点Q，证明：H , P ,Q三点共线.
1．在平面内，A ,B是两个定点，C是动点，若|⃗CA +⃗CB)=|⃗AB)，则点C的轨迹为
（ ）
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
2．若M 、N为两个定点且| MN |=6，动点P满足⃗PM ⋅⃗PN =0，则P点的轨迹是
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
3．在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若⃗AC ·⃗BC=2，则点C 的轨迹为（ ）
A．椭圆
B．射线
C．圆
D．直线
4．在平面直角坐标系xOy中，已知向量⃗OA与⃗OB关于y轴对称，若向量⃗a=(1,0)满
足⃗OA
2+⃗a⋅⃗AB =0，记A的轨迹为E，则（ ）
A．E是一条垂直于x轴的直线
B．E是两条平行直线
C．E是一个半径为1 的圆
D．E是椭圆
5．在平面内，M , N是两个定点，P是动点，若⃗MP⋅⃗NP = 4，则点P的轨迹为
（ ）
A．椭圆
B．抛物线
C．直线
D．圆
6．已知Q为圆M：x
2+ y
2= 4
上的动点，点P满足⃗QP =(2,−1)，记P的轨迹为E，则
E的方程为（ ）
题型精析・方法突破提能力
A．(x −2)
2+( y +1)
2=20
B．(x +2)
2+( y −1)
2=20
C．(x −2)
2+( y +1)
2= 4
D．(x +2)
2+( y −1)
2= 4
7．已知F1、F2是椭圆C : x
2
9 + y
2
4 =1的两焦点，点M在椭圆C上，则⃗M F1⋅⃗M F2的
最小值是（ ）
A．−1
B．1
C．3
D．4
8．已知抛物线y = 1
16 x
2与双曲线y
2
a
2 −x
2=1(a>0)有共同的焦点F，O为坐标原点，
P在x轴上方且在双曲线上，则⃑OP⋅⃑FP的最小值为（ ）
A．4 ❑√15−16
B．16−4 ❑√15
C．15−4 ❑√15
D．4 ❑√15−15
9．已知A ,B是双曲线x
2−y
2=2右支上的两点，O为坐标原点，则⃑OA ⋅⃑OB的最小值
为（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
10．已知点O(0,0), A (−1,1)，若F为双曲线x
2−y
2=1的右焦点，P是该双曲线上且
在第一象限的动点，则⃑OA ⋅⃑FP的取值范围为（ ）
A．(❑√2−1,1)
B．(1,❑√2)
C．(❑√2−1,❑√2)
D．(❑√2,+∞)
11．已知F1, F2
为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且|F1 F2)= 4，
∠F1 P F2= 2π
3 ，则P F
→
1⋅P F
→
2的取值范围为（ ）
A．(−
❑√3
3 ,0)
B．(−4 ❑√3
3
,−2❑√3
3 )
C．(−4 ❑√3
3
,0)
D．(−8
3 ,0)
12．直线过椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点F 和上顶点A，与圆心在原点的圆
交于P，Q 两点，若⃗PF =3⃗FQ ,∠POQ =120° ,则C 的离心率为（ ）
A．2❑√3
7
B．
❑√15
7
C．3 ❑√2
7
D．
❑√21
7
13．已知椭圆C : x
2
100 + y
2
36 =1的右焦点为F，过F的直线l(kl>0)与椭圆C交于M , N，
若⃗MF = 4⃗FN，则直线l的斜率为（ ）
A．
❑√2
3
B．
❑√3
3
C．
❑√5
3
D．
❑√7
3
14．如图，已知抛物线C : y
2= x
，圆E:( x −2)
2+ y
2= 4，A，B为抛物线上的两点，⃗
OA ⋅⃗OB =0，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为 ．
15．已知F是抛物线C : y
2= 4 x的焦点，直线l与抛物线C交于不同的两点A ,B，且⃗
OA ⋅⃗OB =−4，过F作FD⊥AB于D，则|FD)的最大值等于 ．
16．已知O为坐标原点，点A ,B在抛物线E: x
2= 4 y上，且⃗
OA ⋅⃗OB =0,⃗OD =⃗OA +⃗OB.记点D的轨迹为曲线G，若直线l与曲线G交于M , N两点，且
线段MN中点的横坐标为1，则直线MN的斜率为 .
17．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为❑√3
2
，点A (0,1)在C上，直线l与C交
于不同于A的两点M，N.
(1)求C的方程；
(2)若⃗AM ⋅⃗AN =0.
（i）证明：l 恒过定点；
（ii）求△AMN面积的最大值.
18．已知抛物线y
2= x上一点P(1,1), A ,B是抛物线上另两点，且⃗
PA ⋅⃗PB =0,⃗PQ =⃗PA +⃗PB．
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)问：直线AB是否过定点？
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A ,B（异于点O）在抛物线Γ: y = x
2
上，且满足⃗OA ⋅⃗OB =0.
(1)证明：直线AB过定点C；
(2)若⃗OD =3⃗OC，分别以OC ,CD为直径作⊙M与⊙N，过点C的直线与
⊙M ,⊙N分别交于点E ,G，求S△EOG的最大值；
(3)在（2）的条件下，设H , I ,J是抛物线Γ上的三个点，直线HI , HJ均与⊙N相切，
判断直线IJ与⊙N的位置关系，并说明理由.
20．已知抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点F 到双曲线x
2
3 −y
2=1的渐近线的距离为1.
(1)求抛物线C 的方程;
(2)若不过原点O 的直线m 与抛物线C 交于A，B 两点，且OA ⊥OB，求证：直线m
过定点.
21．已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线的斜率之积为−3.
(1)求C的离心率.
(2)若过点D (0,5)且斜率为1 的直线与C交于A ,B两点（A在左支上，B在右支上），
且⃗AD = 2
7⃗DB.
①求C的方程；
②已知不经过点P(2,3)的直线l与C交于E , F两点，直线l的斜率存在且直线PE与PF
的斜率之积为1，证明：直线l过定点.
22．焦点在x 轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为
❑√2
2
，直线过点
P(−❑√5,0)与双曲线的左、右支分别交于点A、B
(1)求双曲线E 的方程；
(2)若4⃗PA =⃗PB，求直线AB 的斜率；
(3)若点B 关于原点的对称点C 在第三象限，且S△AOB>2S△APC，求直线AB 斜率的取
值范围．
23．已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0)的离心率为1
2
，C 的左焦点到右顶点的距离为
3．
(1)求C 的方程；
(2)过点P(0,1)的直线l 与x 轴交于点Q，与C 交于A、B 两点，且⃗PA =⃗BQ，求直线l
的方程．
24．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1
，F2
，离心率为1
2
，且
椭圆上一点M 到F1的距离的最大值为3，已知直线l 过F2且与椭圆交于A，B 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若⃗A F2=2⃗F2B，求直线l 的方程；
(3)设直线AB 与y 轴交于点D，过D 作直线l
′与椭圆C 交于P，Q 两点，且
|DP)=|DQ)，直线AP 与BQ 交于点N，探究：点N 是否在某条定直线上，若存在，求出
该直线方程；若不存在，请说明理由．
25．已知中心为坐标原点O，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为
❑√6
3
，且椭圆M 过点
(❑√3,1)．
(1)求椭圆M 的方程；
(2)若过点C (1,0)的直线l 与椭圆M 交于A，B 两点，⃗AC =2⃗CB，求直线l 的方程．
26．已知点P在圆O: x
2+ y
2= 4上，作PD垂直于y轴，垂足为D，点M为PD中点．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)直线l: y =kx +m与y轴交于点Q，与E交于A、B两个相异点，且⃗AQ =3⃗QB，求
m
2的取值范围．
27．已知直线l：kx−y −k =0分别与x 轴，直线x =−1交于点A，B，点P 是线段AB
的垂直平分线上的一点（P 不在x 轴负半轴上）且tan ∠ABP =|k ).
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)设l 与C 交于E，F 两点，点M 在C 上且满足⃗AE⋅⃗AM =0，延长MA 交C 于点
N，求EM
→
⋅NF⃗
的最小值.
28．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C 过点A(
1
2 ,
❑√15
4 )
与点B (2,0)，过点(1,0)的直
线l 与椭圆C 交于P，Q 两点，直线BP，BQ分别交直线x =3于E，F 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)⃗PE⋅⃗QF是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
29．已知椭圆E与椭圆x
2
9 + y
2
8 =1有共同的焦点，且椭圆E经过点A(1,−3
2)
.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设F为椭圆E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，O为坐标原点，求⃑OM ⋅⃑FM的
最小值.
30．已知曲线C 到两个定点(−1,0)和(1,0)的距离和为定值4.
(1)求C 的方程；
(2)过点F (1,0)的直线l（斜率存在且不为0）与C 交于M，N 两点，N 关于x 轴的对称
点为P.已知Q (4,0).
（ⅰ）证明：P、M、Q 三点共线；
（ⅱ）求⃗MQ⋅⃗NQ的取值范围.
31．已知椭圆C: x
2
4 + y
2=1，其右焦点为F2(❑√3,0)，左焦点为F1，A 在椭圆上且满足
|A F1)·|A F2)=2.
(1)求∠F1 A F2的大小；
(2)若P是该椭圆上的一个动点，求⃗P F1⋅⃗P F2
的取值范围.
32．已知F1(−2,0)，F2(2,0)，点P满足||P F1)−|P F2))=2，记点P的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
(2)当∠F1 P F2= π
3
时，求△P F1 F2的面积.
(3)求⃗P F1⋅⃗P F2
的取值范围.
33．已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y =± ❑√3 x，右顶点为
(1,0).
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过E (0,2)的直线l 与双曲线C的一支交于M , N两点，求⃗EM ⋅⃗EN的取值范围．
34．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，且过点(−1, 3
2)
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点F作直线l交椭圆C于M , N两点（点M在x轴的上方），且⃗
MF = λ⃗FN , A为椭圆的左顶点，若△AMN的面积为9 ❑√5
8
，求λ的值.
35．已知圆F1:( x +1)
2+ y
2=1，圆F2:( x −1)
2+ y
2=9，若动圆P与圆F1
外切，且与
圆F2内切，记动圆圆心P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)过F2
的直线l与C交于A ,B两点，且⃗A F2=2⃗F2B，求直线l的方程.
36．在平面直角坐标系中，已知F1(−3,0)，F2(3,0)，动点P满足
||P F1)−|P F2))=2❑√6，若点P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)过点F1的直线l（斜率存在且不为0）与曲线C相交于M，N两点.
①若MN的中点为Q，设直线MN和OQ的斜率分别为k1，k2，求k1⋅k2的值；
②满足⃗M F1=2⃗F1 N，求直线l方程.
37．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−2,0), F2(2,0)，点E满足
|E F1)−|E F2)=2，记E的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)若过点F2
的直线l与C交于M ､N两点，且⃗M F2=2⃗F2 N，求直线l的方程.
38．已知双曲线M : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，抛物线y
2= 4 x的焦点F 是双曲线M 的
右顶点，且以F 为圆心，以b 为半径的圆与直线l: x−2❑√2 y +2=0相切．
(1)求双曲线M 的标准方程；
(2)已知直线y =2 x +m与双曲线M 交于A、B 两点，且双曲线M 是否存在上存在点P
满足⃗OP =⃗OA +⃗OB，若存在，求出m 的值，若不存在请说明理由．
39．已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点P(2,2)在C 上，点P 与C
的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为−1
2
．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)经过点A (0,1)的直线l1与双曲线C 交于E，F 两点(异于点P)，过点F 作平行于x 轴
的直线l2，直线PE 与l2交于点D，且⃗DF =2⃗BF求直线AB 的斜率．
40．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1, F2
，椭圆C的短轴长为
2❑√2，离心率为
❑√3
3 . 点P(x0, y0)为椭圆C上的一个动点，直线P F1与椭圆C的另一个交点
为A，直线P F2
与椭圆C的另一个交点为B，设⃗P F1= λ1⃗F1 A，⃗P F2= λ2⃗F2B.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：λ1+ λ2为定值；
(3)已知y0>0，用x0, y0表示△PAB的面积S△PAB，并求出S△PAB的最大值.
41．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过A(1,0)，B (0,b)两点.O为坐标原点，且
△AOB的面积为
❑√2
4 ，过点P(0,1)且斜率为k(k >0)的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，
N.且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若以MN为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程；
(3)设⃗PS = λ⃗PO，⃗PT = μ⃗PO，求λ+ μ的取值范围.
42．已知等轴双曲线C1,C2的对称中心均为坐标原点O，焦点分别在x轴和y轴上，且
焦距均为4．设A ,B两点分别在C1,C2上，满足直线OA ,OB的斜率之积为1，点P为C1上
异于A的另一点，过P分别作平行于OA ,OB的直线，交OB ,OA于N , M两点．
(1)求双曲线C1,C2的方程；
(2)证明：|OA)=|OB)；
(3)设⃗OM = λ⃗OA，⃗ON = μ⃗OB，证明：λ
2−μ
2为定值．
43．已知双曲线C：2 x
2−2 y
2=1的左、右焦点分别为F1、F2，点M是C上不与顶
点重合的一动点，直线M F1、M F2分别交C于另一点A、B.
(1)设⃗MF1= λ⃗F1 A ,⃗M F2= μ⃗F2B，
①当λ<0时，求直线AM斜率的取值范围；
②求证：λ+ μ=−6；
(2)O为坐标原点，问：直线OM与直线AB的斜率之积是否为定值，如果是定值，求
出该定值；如果不是定值，说明理由.
44．已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，点P(1,1)到C的两条渐近线距离之比为
1:3，过点P的直线l与C交于A ,B两点，且当l的斜率为0 时，AB = ❑√5.
(1)求C的方程；
(2)若点A ,B都在C的右支上，且l与x轴交于点Q，设⃗PA =m⃗AQ ,⃗PB =n⃗BQ，求
m+n的取值范围.
45．已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1
，A2
，右焦点F的坐标
为(1,0)，过点F作直线交C于P，Q两点（异于A1，A2），当PQ垂直于x轴时，|PQ)=3.
(1)求C的标准方程；
(2)直线Q A2交直线x = 4于点M，证明：A1，P，M三点共线.
46．已知双曲线 C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A 与 B，点
D(3,❑√2) 在 C上，且直线 AD 与 BD的斜率之和为❑√2 .
(1)求双曲线 C的方程;
(2)过点P(3,0)的直线与 C 交于 M , N 两点(均异于点A ,B )，直线 MA 与直线
x =1 交于点Q，求证: B , N ,Q 三点共线.
47．已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，一条渐近线方程为
x−❑√3 y =0．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A 、B，过F的直线l交C的右支于M , N两点，连结
MB交直线x = 3
2于点Q，求证：A 、Q、N三点共线．
48．已知双曲线Q: x
2
a
2 −y
2=1的离心率为❑√5
2
，经过坐标原点O 的直线l 与双曲线Q
交于A，B 两点，点A(x1, y1)位于第一象限，C (x2, y2)是双曲线Q 右支上一点，
AB⊥AC，设D(x1,−3 y1
2 )
(1)求双曲线Q 的标准方程；
(2)求证：C，D，B 三点共线；
(3)若△ABC面积为48
7
，求直线l 的方程．
49．在平面直角坐标系xOy中，点P( x0, y0)( y0≠0)在椭圆C : x
2
2 + y
2=1上，过点P
的直线l的方程为x0 x
2 + y0 y =1．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，点Q与点F1关于直线l对称，求证：点
Q , P , F2三点共线．
50．已知点N(1，2)，过点N 的直线交双曲线x
2−y
2
2 =1于A，B 两点，且⃗
ON = 1
2 (⃗OA +⃗OB)．
(1)求直线AB 的方程；
(2)若过点N 的直线交双曲线于C，D 两点，且⃗CD⋅⃗AB =0，那么A，B，C，D 四点
是否共圆？为什么？
