抛物线中的阿基米德三角形
【知识拓展】
设抛物线方程为y2＝2px(p>0),直线l 与抛物线交于A,B 两点,过A,B 两点分别作抛物线切线,切线
相交于点C.由抛物线的弦AB,与过弦AB 的端点的两条切线围成的△ABC 称为阿基米德三角形(线
段AB 常称为阿基米德三角形的底边,C 称为顶点).阿基米德三角形的常见性质如下:
(1)阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的对称轴.
(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线内定点P(x0,y0),则另一顶点C 的轨迹为直线y0y＝p(x
＋x0).
(3)若阿基米德三角形的底边过焦点,则顶点C 的轨迹为准线,且CA⊥CB,CF⊥AB(F 为抛物线的焦
点),阿基米德三角形的面积的最小值为p2.
(4)若直线l 与抛物线没有公共点,以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.
(5)底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为a
3
8 p.
(6)点C 的坐标为(
y1 y2
2 p , y1＋y2
2 )(推论:阿基米德三角形的顶点C 的纵坐标与弦AB 的中点M 的纵
坐标相同,顶点C 的横坐标和弦AB 与x 轴交点D 的横坐标互为相反数).
【类型突破】
类型一 定点问题
例1 (2025·西安模拟改编)已知曲线C:y＝x
2
2 ,D 为直线y＝－1
2上的动点,过D 作C 的两条切线,切
点分别为A,B.证明:直线AB 过定点.
证明 设D(t ,−1
2),A(x1,y1),则x1
2＝2y1.
由于y'＝x,所以切线DA 的斜率为x1,
故
y1＋1
2
x1−t
＝x1,
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2,y2),同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB 的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB 过定点(0, 1
2).
规律方法 1.抛物线的切线方程可用解析法(Δ＝0)求解,但用导数更方便.
2.阿基米德三角形的顶点C 与底边AB 所在直线是极点极线.
训练1 记曲线C 的方程为x2＝4y.设D 为直线y＝－2 上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别是
E,F.证明:直线EF 过定点.
证明 设D(t,－2),E(x1,y1),F(x2,y2),
由y＝1
4x2,得y'＝x
2,
则kDE＝x1
2 ,
则直线DE 的方程为y－y1＝x1
2 (x－x1),
即y－y1＝x1
2 x－x1
2
2 ,
将x1
2＝4y1代入上式,
得x1x－2y1－2y＝0,
所以直线DE 的方程为x1x－2y1－2y＝0,
同理可得直线DF 的方程为x2x－2y2－2y＝0.
因为D(t,－2)在直线DE 上,
所以tx1－2y1＋4＝0,
又D(t,－2)在直线DF 上,
所以tx2－2y2＋4＝0,
则点E,F 的坐标都满足tx－2y＋4＝0,
所以直线EF 的方程为tx－2y＋4＝0,
故直线EF 过定点(0,2).
类型二 轨迹问题
例2 如图,抛物线E:y2＝2px(p>0)与圆O:x2＋y2＝8 相交于A,B 两点,且点A 的横坐标为2.过劣弧
AB 上的动点P(x0,y0)作圆O 的切线交抛物线E 于C,D 两点,分别以C,D 为切点作抛物线E 的切线
l1,l2,l1与l2相交于点M.
(1)求p 的值;
(2)求动点M 的轨迹方程.
解 (1)由点A 的横坐标为2,可得点A 的坐标为(2,2),代入y2＝2px,解得p＝1.
(2)设C(
y1
2
2 , y1),D(
y2
2
2 , y2),y1≠0,y2≠0.
切线l1:y－y1＝k(x−y1
2
2 ).
代入y2＝2x 得ky2－2y＋2y1－ky1
2＝0,
由Δ＝0 解得k＝1
y1,
∴l1方程为y＝1
y1x＋y1
2 ,
同理l2方程为y＝1
y2x＋y2
2 ,
联立{
y ＝1
y1
x＋y1
2 ,
y ＝1
y2
x＋y2
2 ,
解得{
x＝y1 y2
2
,
y ＝y1＋y2
2
.
∵CD 的方程为x0x＋y0y＝8,其中x0,y0满足x0
2＋y0
2＝8,x0∈[2,2√2],
联立{
y
2＝2 x ,
x0 x＋y0 y ＝8,得x0y2＋2y0y－16＝0,
则{
y1＋y2＝−2 y0
x0
,
y1 y2＝−16
x0
,
代入{
x＝y1 y2
2
,
y ＝y1＋y2
2
,
可知M(x,y)满足{
x＝−8
x0
,
y ＝−y0
x0
,
代入x0
2＋y0
2＝8 得x
2
8 －y2＝1,
考虑到x0∈[2,2√2],知x∈[－4,－2√2].
∴动点M 的轨迹方程为x
2
8 －y2＝1,x∈[－4,－2√2].
规律方法 1.切点弦变化引起切线交点的变化是常见的轨迹问题.
2.寻找切点弦运动的因素与切线交点之间的关系后,常用代入法.
训练2 (2025·温州调研)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C:x2＝2y 上的不同两点,过A,B 分别作抛
物线C 的切线,两条切线交于点P(x0,y0).
(1)求证:x0是x1与x2的等差中项;
(2)若直线AB 过定点M(0,1),求证:原点O 是△PAB 的垂心;
(3)在(2)的条件下,求△PAB 的重心G 的轨迹方程.
(1)证明 对x2＝2y 求导得y'＝x,
∴直线PA:y＝x1(x－x1)＋y1,
即y＝x1x－x1
2
2 .
同理,直线PB:y＝x2x－x2
2
2 ,
解得{
x0＝x1＋x2
2
,
y0＝x1 x2
2
,
∴x0是x1与x2的等差中项.
(2)证明 设直线AB:y＝kx＋1,代入x2＝2y 整理得x2－2kx－2＝0.
∴{
x1＋x2＝2k ,
x1 x2＝−2, 得{
x0＝k ,
y0＝−1,
∴kOP＝
y0
x0
＝－1
k ,即AB⊥OP;
kAP＝x1,kOB＝
y2
x2
＝1
2x2,
∴kAPkOB＝1
2x1x2＝－1,
∴AP⊥OB,同理BP⊥OA,
∴原点O 是△PAB 的垂心.
(3)解 设△PAB 的重心G(x,y),
则x＝1
3(x1＋x2＋x0)＝k,
y＝1
3(y1＋y2＋y0)＝1
6(x1
2＋x2
2)－1
3
＝1
6(x1＋x2)2－x1 x2＋1
3
＝2
3k2＋1
3.
∵k∈R,∴点G 的轨迹方程为y＝2
3x2＋1
3.
类型三 面积问题
例3 已知点A(－4,4),B(4,4),直线AM 与BM 相交于点M,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之
差为－2,点M 的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C 的轨迹方程;
(2)Q 为直线y＝－1 上的动点,过Q 作曲线C 的切线,切点分别为D,E,求△QDE 面积S 的最小值.
解 (1)设M(x,y),由题意可得y −4
x＋4 －y −4
x−4 ＝－2,化为x2＝4y.
∴曲线C 的轨迹方程为x2＝4y 且(x≠±4).
(2)设Q(m,－1),切线方程为y＋1＝k(x－m),
联立{
y ＋1＝k( x−m),
x
2＝4 y ,
化为x2－4kx＋4(km＋1)＝0,
由于直线与抛物线相切可得Δ＝0,
即k2－km－1＝0.
∴x2－4kx＋4k2＝0,解得x＝2k.
可得切点(2k,k2),由k2－km－1＝0.
∴k1＋k2＝m,k1·k2＝－1,∴切线QD⊥QE.
∴△QDE 为直角三角形,S＝1
2|QD|·|QE|.
令切点(2k,k2)到Q 的距离为d,则d2＝(2k－m)2＋(k2＋1)2＝4(k2－km)＋m2＋(km＋2)2＝4(k2－km)＋
m2＋k2m2＋4km＋4
＝(4＋m2)(k2＋1),
∴|QD|＝√(4＋m
2)(k1
2＋1),
|QE|＝√(4＋m
2)(k2
2＋1),
∴S＝1
2(4＋m2)√(k1＋k2)
2−2k1k2＋2
＝1
2(4＋m2)√4＋m
2≥4,
当m＝0 时,即Q(0,－1)时,△QDE 的面积S 取得最小值4.
规律方法 关于阿基米德三角形面积的性质在选择题、填空题中可直接运用,在解答题中不能直接
使用,但能帮助预先得出结果.
训练3 (2025·济南质检)已知抛物线C:x2＝4y,过抛物线外一点N 作抛物线C 的两条切线,A,B 是切
点.
(1)若点N 的纵坐标为－2,求证:直线AB 恒过定点;
(2)若|AB|＝m(m>0),求△ABN 面积的最大值(结果用m 表示).
(1)证明 设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),
由y＝1
4x2得y'＝1
2x,
则直线NA 的方程为y－y1＝x1
2 (x－x1),
即2(y－y1)＝x1x－4y1,
即x1x＝2(y＋y1),
同理,直线NB 的方程为x2x＝2(y＋y2).
又直线NA 与直线NB 都过N(x0,y0),
则x1x0＝2(y0＋y1),
x2x0＝2(y0＋y2),
从而A(x1,y1),B(x2,y2)均在直线x0x＝2(y0＋y)上,故直线AB 的方程为x0x＝2(y0＋y).
又y0＝－2,
故直线AB 的方程为2(y－2)＝x0(x－0),
故直线AB 过定点(0,2).
(2)解 联立{
x0 x＝2( y0＋y),
x
2＝4 y ,
得x2－2x0x＋4y0＝0,
Δ＝4x0
2－16y0>0,
则x1＋x2＝2x0,x1x2＝4y0,
则|AB|＝√1＋x0
2
4
|x1－x2|＝√1＋x0
2
4
·√( x1＋x2)
2−4 x1 x2＝√( x0
2＋4)( x0
2−4 y0)＝m,
于是,x0
2－4y0＝
m
2
x0
2＋4,
又点N 到直线AB 的距离d＝
| x0
2−2 y0−2 y0|
√x0
2＋4
＝x0
2−4 y0
√x0
2＋4 ,
所以S△ABN＝1
2·d·|AB|＝1
2·
x0
2−4 y0
√x0
2＋4 ·m＝1
2·
m
3
( x0
2＋4)
3
2 ≤m
3
16 (当x0＝0 时取等号).
则△ABN 面积的最大值为m
3
16 .
【精准强化练】
一、单选题
1.已知点M(1,0),从抛物线x2＝4y 的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线PA,PB,且A,B 为切点,则
点M 到直线AB 的距离的最大值是( )
A.√2
B.√3
C.2
D.3
答案 A
解析 抛物线x2＝4y 的准线为y＝－1,
则切线弦AB 恒过定点(0,1),
所以点M 到直线AB 的距离的最大值
d＝√(1−0)
2＋(0−1)
2＝√2.
2.已知抛物线C:y2＝2x 和点P(−1
2 ,1),过C 的焦点F 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,
若⃗PA·⃗PB＝0,则k＝( )
A.1
B.√3
C.√2
D.－√2
答案 A
解析 由题意,F(
1
2 ,0),点P 在抛物线的准线上,且PA⊥PB,
所以△PAB 是阿基米德三角形,从而PF⊥AB,直线PF 的斜率kPF＝
1−0
−1
2 −1
2
＝－1,
故直线AB 的斜率为1.
3.若经过抛物线y2＝4x 的焦点的一条弦为AB,“阿基米德三角形”为△PAB,且点P 的纵坐标为4,
则直线AB 的方程为( )
A.x－2y－1＝0
B.2x＋y－2＝0
C.x＋2y－1＝0
D.2x－y－2＝0
答案 A
解析 抛物线y2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0),
准线方程为x＝－1,
因为△PAB 为“阿基米德三角形”,
所以点P 必在抛物线的准线上,
所以点P(－1,4),
所以直线PF 的斜率为4−0
−1−1＝－2.
又因为PF⊥AB,
所以直线AB 的斜率为1
2,
所以直线AB 的方程为y－0＝1
2(x－1),
即x－2y－1＝0.
4.(2025·徐州调研)已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F,过点F 的直线与C 交于A,B 两点,C 在A
处的切线与C 的准线交于P 点,连接BP.若|PF|＝3,则
1
| AF |
2 ＋
4
|BF |
2 的最小值为( )
A.4
9
B.4
C.2
D.2
3
答案 A
解析 如图,则有PF⊥AB,PA⊥PB,得|PF|2＝|AF|·|BF|＝9,
所以
1
| AF |
2 ＋
4
|BF |
2
≥2√
1
| AF |
2 ·
4
|BF |
2
＝
4
| AF |·|BF | ＝4
9,
当且仅当|BF|＝2|AF|时取等号.
二、多选题
5.(2025·武汉调研)已知抛物线C:x2＝2py(p>0)的焦点F 到准线的距离为4,直线l 与C 交于P,Q 两点,
且⃗PQ＝2⃗PR,R(4,6),若过点P,Q 分别作C 的两条切线交于点A,则下列说法正确的是( )
A.|AF|＝4√2
B.|PQ|＝12
C.PQ⊥AF
D.以PQ 为直径的圆过点A
答案 ACD
解析 抛物线C 的焦点F 到准线的距离为p＝4,
所以抛物线C 的方程为x2＝8y,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
准线方程为y＝－2,
由题意知,△APQ 为“阿基米德三角形”,可得A 点必在抛物线的准线上,
又⃗PQ＝2⃗PR可知R 为PQ 的中点,
点A,R 所在直线平行于y 轴,
所以点A 的坐标为(4,－2).
易知抛物线C 的焦点为F(0,2),
所以|AF|＝√(4−0)
2＋(−2−2)
2＝4√2,A 正确;
因为直线PQ:y＝x＋2 过点F,
所以|PQ|＝y1＋y2＋4＝16,B 错误;
在阿基米德三角形APQ 中,PQ⊥AF,故C 正确;
因为|AR|＝8＝1
2|PQ|,且R 为PQ 的中点,
所以|AR|＝|PR|＝|QR|,
因此,以PQ 为直径的圆过点A,故D 正确.
6.(2025·合肥质检)过抛物线y2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点(A 在第一象限),M 为线段AB
的中点.M 在抛物线的准线l 上的射影为点N,则下列说法正确的是( )
A.|AB|的最小值为4
B.NF⊥AB
C.△NAB 面积的最小值为6
D.若直线AB 的斜率为√3,则⃗AF＝3⃗FB
答案 ABD
解析 当AB⊥x 轴时,|AB|的值最小为2p＝4,由抛物线中的阿基米德三角形的性质可得
NF⊥AB,△NAB 的面积的最小值为p2＝4,故A,B 正确,C 错误;
若直线AB 的斜率为√3,设直线AB 的倾斜角为α,则cos α＝1
2,
此时⃗AF＝λ⃗FB,
由焦点弦定理得|ecos α|＝|λ −1|
|λ ＋1|,
即1
2 ＝|λ −1|
|λ ＋1|,解得λ＝3 或λ＝1
3,
由于A 在第一象限,故λ＝3,故D 正确.
三、填空题
7.已知直线l:y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x 交于A,B 两点,若|AB|＝8,则抛物线的“阿基米德三角形”
△PAB 的顶点P 的坐标为 .
答案 (－1,2)或(－1,－2)
解析 抛物线y2＝4x 的焦点F(1,0),准线方程为x＝－1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由{
y
2＝4 x ,
y ＝k( x−1),得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0,
由Δ＝(4＋2k2)2－4k2·k2＝16k2＋16>0,
所以x1＋x2＝4＋2k
2
k
2
,x1x2＝1,
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋2k
2
k
2
＋2＝8,
解得k＝1 或k＝－1,
当k＝1 时,因为PF⊥AB,所以kPF＝－1,
所以直线PF 的方程为y＝－(x－1),
因为P 点必在抛物线的准线x＝－1 上,
所以xP＝－1,
所以yP＝－(xP－1)＝－(－1－1)＝2,
所以P(－1,2),
当k＝－1 时,因为PF⊥AB,所以kPF＝1.
所以直线PF 的方程为y＝x－1,
因为P 点必在抛物线的准线x＝－1 上,
所以xP＝－1,
所以yP＝xP－1＝－1－1＝－2,所以P(－1,－2),
综上,△PAB 的顶点P 的坐标为(－1,2)或(－1,－2).
8.已知抛物线C:x2＝4y,过点P(1,－1)作抛物线C 的两条切线,切点分别为A 和B,则经过P,A,B 三
点的圆的方程为 .
答案 (x－1)2＋( y −3
2)
2
＝25
4
解析 由题意,点P 在抛物线C 的准线上,
则PA⊥PB,PF⊥AB,且直线AB 过焦点F(0,1),
所以经过P,A,B 三点的圆就是以AB 为直径的圆,直线PF 的斜率为−1−1
1−0 ＝－2,
所以直线AB 的斜率为1
2,
其方程为y＝1
2x＋1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立{
y ＝1
2 x＋1,
x
2＝4 y ,
消去y 整理得x2－2x－4＝0,
故x1＋x2＝2,y1＋y2＝1
2(x1＋x2)＋2＝3,
从而AB 中点为(1, 3
2),
|AB|＝y1＋y2＋2＝5,
所以经过P,A,B 三点的圆的方程为(x－1)2＋( y −3
2)
2
＝25
4 .
四、解答题
9.如图,抛物线C1:x2＝4y,C2:x2＝－2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M 作C1的切线,切点为
A,B(M 为原点O 时,A,B 重合于O).当x0＝1－√2时,切线MA 的斜率为－1
2.
(1)求p 的值;
(2)当M 在C2上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹方程(A,B 重合于O 时,中点为O).
解 (1)因为抛物线C1:x2＝4y 上任意一点(x,y)的切线斜率为y'＝x
2,且切线MA 的斜率为－1
2,所以
A 点坐标为(−1, 1
4),
故切线MA 的方程为y＝－1
2(x＋1)＋1
4.
因为点M(1－√2,y0)在切线MA 及抛物线C2上,于是y0＝－1
2(2－√2)＋1
4＝－3−2√2
4
,①
y0＝－(1−√2)
2
2 p
＝－3−2√2
2 p
.②
由①②得p＝2.
(2)设N(x,y),A(x1, x1
2
4 ),B(x2, x2
2
4 ),x1≠x2,
由N 为线段AB 中点,知x＝x1＋x2
2
,③
y＝x1
2＋x2
2
8
.④
切线MA,MB 的方程为y＝x1
2 (x－x1)＋x1
2
4 ,⑤
y＝x2
2 (x－x2)＋x2
2
4 ,⑥
由⑤⑥得MA,MB 的交点M(x0,y0)的坐标为x0＝x1＋x2
2
,y0＝x1 x2
4 .
因为点M(x0,y0)在C2上,
即x0
2＝－4y0,
所以x1x2＝－x1
2＋x2
2
6
,⑦
由③④⑦得x2＝4
3 y,x≠0.
当x1＝x2时,A,B 重合于原点O,AB 的中点N(0,0)满足x2＝4
3 y,
因此AB 中点N 的轨迹方程为x2＝4
3 y
