文档文本内容
第 12 讲 利用二阶导函数解决函数问题（高阶拓
展）（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1会导数的基本运算
2能理解导函数与原函数关系
3能进行函数转化求原函数导函数的导函数，并得到原函数导函数关系，进而求解原函数单
调性及其他综合问题
【命题预测】在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，利用导数求解函数的
单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运
算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一
般思想的渗透和综合运用，难度较大.
知识讲解
一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函
数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、
最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问
题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
1. 二阶导的定义
定义 1 : 若函数 的导函数 在点 处可导, 则称 在点 的导数为 在点的二阶导数, 记作 , 同时称 在点 为二阶可导.
2: 若 在区间 上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在 上的二阶可导函数, 记作
定义
2. 函数极值的第二判定定理
若 在 附近有连续的导函数 , 且
（1）若 , 则 在点 处取极大值;
（2）若 , 则 在点 处取极小值
3. 曲线的凹凸性
设函数 y=f (x) 在区间 (a,b) 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在
(a,b) 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 (a,b) 内是凸的。从图象上
来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在
内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间
上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有
则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。4. 曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点
不一定都是拐点。
5. 解决这类题的常规解题步骤为:
(1) 求函数的定义域;
(2) 求函数的导数 , 无法判断导函数正负;
(3) 构造求 , 求 ;
(4) 列出 的变化关系表;
(5) 根据列表解答问题。
考点一、 二阶导与函数单调性
1．（2023·江苏·统考二模）已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 有且只有2个不同的零点，求 的取值范围.
2．（2021春·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的单调性．
1．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）已知函数 .(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)求证： 有唯一极值点 ，且 .
2．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，其中
(1)当 时，讨论 单调性；
(2)证明： 有唯一极值点 ，且 .
考点二、 二阶导与函数极值、最值
1．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的极值点个数；
(2)当 ，方程 有两个不同的实根 时，且 恒成立，求正数 的取值范
围.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 是自然对数的底数．
(1)若 ， 是函数 的极值点，证明： ；
(2)设函数 ，若函数 与函数 的单调区间相同，求 的取值范围．
1．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知函数
(1)若 ，求f(x)在（ ，0）上的极值；
(2)若 在 上恒成立，求实数a的取值范围
2．（2022秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)若 有两个相异的实根 ，证明： .考点三、 二阶导与不等式证明
1．（2023春·湖北·高三十堰一中校联考期中）已知函数 ， .
(1)证明：当 时， ；
(2)若 ，求a的取值范围；
(3)证明： .
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)证明： ；
(2)设函数 ， ，其中 ，若函数 存在非负的极小
值，求a的取值范围．
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)当 时，求证： ．
(2)令 ，若 的两个极值点分别为m，n（m<n）．
①当 时，求曲线 在 ， 处的切线方程（ 为 的导函数）；
②求证： ．
考点四、 二阶导与函数零点或方程的根
1．（2023春·湖南长沙·高三长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）已知 ， .
(1)求方程 的根的个数；
(2)证明： .1．（2022秋·辽宁大连·高三统考期末）已知函数 ，
(1)若 时，求证：函数 ）只有一个零点；
(2)对 时，总有 恒成立，求k的取值范围．
2．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)证明： 存在唯一零点；
(2)设 ，若存在 ，使得 ，证明： ．
考点五、 二阶导与参数综合问题
1．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知函数 ， 的导函数为
．
(1)若 存在极值点，求 的取值范围；
(2)设 的最小值为 ， 的最小值为 ，证明： ．
2．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若 有三个零点 ，其中 .
(i)求实数 的取值范围；
(ii)求证： .
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 为自然对数的底数， 为常数，函数 .
(1)求函数 的极值；(2)若在 轴的右侧函数 的图象总在函数 的图象上方，求实数 的取值范围.
2．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
3．（2022秋·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2)若函数 在 内存在极值，求 的取值范围；
(3)若对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 的最小值为 ，求a的值；
(2)若 ，证明：函数 存在两个零点 ， ，且 ．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023春·湖北武汉·高三武汉市吴家山中学校联考期中）已知函数 ，下列说法中错误的
是（ ）
A．函数 在原点 处的切线方程是
B． 是函数 的极大值点
C．函数 在 上有 个极值点
D．函数 在 上有 个零点
二、多选题
2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 单调递增 B． 在 处取得极小值
C． 在 恒成立 D． 在 处的切线斜率为
三、填空题3．（2023春·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考期中）设函数 ，若 为
上的单调函数，则实数 的取值范围为 .
4．（2023·云南·校联考二模）函数 的单调递增区间为 ．
四、解答题
5．（2022秋·陕西延安·高三校考阶段练习）已知函数 ， .
(1)若 是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)当 时，求 在 上的最小值.
6．（2023春·广东佛山·高三顺德一中校考阶段练习）已知函数 ．
(1)若存在 使得 成立，求a的取值范围；
(2)设函数 有两个极值点 ，且 ，求证： ．
7．（2021·陕西西安·统考二模）已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)判断 在定义域内是否为单调函数，并说明理由.
8．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）已知函数 ，
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 时取得极小值，求 的值；
(3)若存在实数 ，使对任意的 ，都有 ，求 的取值范围.
9．（2023春·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）已知函数 ， 为
的导函数且 .
(1)求实数a的值，并判断 是否为函数 的极值点；
(2)确定函数 在区间 内的极值点个数，并说明理由.
10．（2022·江苏·高三期末）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 在区间 上的最大值为12，求实数 的值；
(3)若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围．【能力提升】
1．（2022秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知函数 ．
(1)若 在 处的切线l与直线 平行，求切线l的方程；
(2)证明：当 时，对任意的 恒成立．
2．（2022秋·浙江·高三校联考阶段练习）设函数 ，其中 是自然对数的底数.
(1)若 单调递增，求 的取值范围；
(2)设曲线 在 处的切线与曲线 交于另一点 ，若 恒成立，求 的取
值范围.
3．（2022秋·福建三明·高三三明一中校考期中）已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求整数 的最大值．
4．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知 ，函数 ．
(1)证明 存在唯一极大值点；
(2)若存在 ，使得 对任意 成立，求 的取值范围．
5．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知函数 在 处取到极值．
(1)求 的值以及函数 的单调递减区间；
(2)若 ，且 ，试比较 与0的大小关系，并说明理由．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （其中e为自然对数的底数），且曲
线 在 处的切线方程为 .
(1)求实数m，n的值；
(2)证明：对任意的 ，有 .
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)若函数 的图象在 处的切线方程为 ，求b的值；
(2)若 ， 且 ， ，求证： ．
8．（2023·湖北·统考二模）已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；(2)若 ，求 的取值范围.
9．（2022秋·云南玉溪·高三云南省通海县第一中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 有两个不同的零点 （ ），
（ⅰ）求证； （ 为自然对数的底数）；
（ⅱ）若 满足 ，求a的最大值.
10．（2022·安徽六安·安徽省舒城中学校考三模）已知函数 ．
(1)求证：函数 在定义域上单调递增；
(2)设区间 （其中 ），证明：存在实数 ，使得函数 在区
间I上总存在极值点．
