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专题05 一元函数的导数及其应用
一、知识速览
二、考点速览
知识点1 导数的概念
1
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1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝
x0，即f′(x0)＝lim＝lim．
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是
位移函数s(t)对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
知识点2 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0 且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(x>0，a>0 且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x (x>0)
f′(x)＝
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
知识点3 利用导数研究函数的单调性
1、导数与函数的单调性的关系
在某个区间
内，如果
，那么函数
在这个区间内单调递增；
如果
，那么函数
在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内
（
）是函数
在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数
在
上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有
（
）
且
在
上的任何子区间内都不恒为零．
2、导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数
f x 的定义域；
（2）求
f
x
（通分合并、因式分解）；
2
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（3）解不等式
0
f
x
，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式
0
f
x
，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
知识点4 导数与函数的极值、最值
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a 的函数值f(a)比它在点x＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝
0；而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝
f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b 的函数值f(b)比它在点x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝
0；而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝
f(x)的极大值．
2、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上
单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
一、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点
0
0
,
x
f x
处切线的斜率
0
(
)
f
x
第二步（写方程）：用点斜式
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为
0
0
,
Q x
f x
；
第二步：求出函数
( )
y
f x
在点
0x 处的导数
0
(
)
f
x
；
第三步：利用Q 在曲线上和
0
(
)
PQ
f
x
k
，解出
0x 及
0
(
)
f
x
；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为
0
0
0
(
)
(
)(
)
y
f x
f
x
x
x
．
【典例1】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数
，则曲线
在
点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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【答案】B
【解析】
，切点为
，
，
所以切线方程为
，即
故选：B
【典例2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线
是曲线
在点
处的切线方程，
则
【答案】e
【解析】由题设，
且
，则
，
所以，切线方程为
，即
，
所以
，故
.
【典例3】（2023·云南·校联考模拟预测）曲线
过坐标原点的切线方程为 .
【答案】
【解析】设切点为
，则
，
，切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
又切线过原点，所以
，即
，
解得
，所以切线方程为
【典例4】（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点
可作曲线
的三条切线，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设切点为
，
由函数
，可得
，则
所以在点
处的切线方程为
，
因为切线过点
，所以
，
4
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整理得
，
设
，所以
，
令
，解得
或
，令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
要使得过点
可作曲线
的三条切线，
则满足
，解得
，即
的取值范围是
．故选：C．
二、含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知函数
，求函数
的
单调区间．
【答案】答案见解析.
【解析】函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，由
，得
，由
，得
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，由
，得
或
，
当
或
时，
，当
时，
，
因此
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
恒成立，当且仅当
时取等号，因此
在
上单调递
增；
当
时，当
或
时，
，当
时，
，
因此
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
.
5
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【典例2】（2023·全国·高三专题练习）讨论函数
的单调性．
【答案】答案见解析
【解析】函数
的定义域为
，
求导得
，
令
，得
，其中
.
当
时，
，故
在
上单调递增；
当
时，
，则
，故
在
上单调递增；
当
时，
，由
得
，
，
所以
或
时，
；
时，
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，
在
上单调递减．
三、已知函数的单调性求参数
（1）函数
f x 在区间D 上单调增（单减）
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上恒成立；
（2）函数
f x 在区间D 上存在单调增（单减）区间
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上能成立；
（3）已知函数
f x 在区间D 内单调
)
(x
f
不存在变号零点
（4）已知函数
f x 在区间D 内不单调
)
(x
f
存在变号零点
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值
为（ ）．
A．
B．e C．
D．
【答案】C
【解析】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
6
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设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．故选：C．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在
上不单调，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意
，故
在
上有零点，
令
，令
，得
，
令
，则
，
由
，得
，
单调递增，又由
，得
，
故
，所以，
的取值范围
故选：A
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若函数
恰有三个单调区间，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得函数
的定义域为
，
，
要使函数
恰有三个单调区间，
则
有两个不相等的实数根，∴
，解得
且
，
故实数a 的取值范围为
，故选：C.
四、构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
[
( )]
( )
( )
xf x
xf
x
f x
7
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（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
[
( )]
[
( )
( )]
x
x
e f x
e
f
x
f x
（4）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
'
1
1
'
[
( )]
( )
( )
[
( )
( )]
n
n
n
n
x f x
x f
x
nx
f x
x
xf
x
nf x
（注意x 的符号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
x
x
x
x
关系式为“减”型构造：
（6）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
2
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（7）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
2
( )
( )
( )
[
]
f x
xf
x
f x
x
x
（8）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
'
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
x
x
x
x
x
f x
f
x e
f x e
f
x
f x
e
e
e
（9）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
1
'
'
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
n
n
n
n
n
f x
x f
x
nx
f x
xf
x
nf x
x
x
x
（注意x 的符号）
（10）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
x
x
x
x
x
e
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
])
(
[
2
【典例1】（2023 春·重庆·高二校联考期中）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
，
因为
，所以
，所以
在
单调递增，
因为
，所以
，
由
，且
得
，则
，
所以
，又
在
单调递增，所以
，故选：A．
【典例2】（2023 春·江西南昌·高二校联考阶段练习）若定义域为
的函数
满足
，则不等式
的解集为 .
8
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【答案】
【解析】由
时，函数
满足
，可得
，
设
，则
，故
在
上单调递增，
由
，即
，即
，
所以
，解得
，所以
的解集为
.
【典例3】（2023 春·四川宜宾·高二校考期中）已知
是定义在
上的函数，导函数
满足
对于
恒成立，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】设函数
，由
，可得
，
所以
在R 上单调递减，
则
，得
，即
，
则
，得
，即
.故选：D
五、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、
x
D ，
min
m
f x
m
f x
2、
x
D ，
max
m
f x
m
f x
3、
x
D ，
max
m
f x
m
f x
4、
x
D ，
min
m
f x
m
f x
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若对于
，不等式
恒成立，则参数a 的取值范
围为 ．
9
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【答案】
【解析】令
，可得
，
若
时，
，
单调递减，
又由
，所以当
时，可得
，不符合题意，舍去；
若
时，令
，可得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
又由
，所以存在
，使得
，不符合题意，舍去；
若
时，令
，可得
，
当
时，
，
单调递增，且
，
所以当
时，
恒成立，符合题意，
所以实数
的取值范围为
．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若对任意的
，
恒成
立，求实数
的取值范围．
【答案】
【解析】解法一，由
在
上恒成立，得
在
上恒成立，
即
在
上恒成立
令
，
，则
．
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
因为
，
，所以
，
10
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所以
，即实数
的取值范围为
．
解法二，由
在
上恒成立，得
在
上恒成立．
令
，
，则
满足
即可
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
．
因为
，
，所以
，
所以
，即实数
的取值范围为
．
六、双变量不等式与等式
一般地，已知函数
,
,
y
f x
x
a b
，
,
,
y
g x
x
c d
1、不等关系
（1）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，总有
1
2
f x
g x
成立，故
max
min
f x
g x
；
（2）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
max
max
f x
g x
；
（3）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
min
f x
g x
；
（4）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
min
max
f x
g x
．
2、相等关系
记
,
,
y
f x
x
a b
的值域为A,
,
,
y
g x
x
c d
的值域为B,
（1）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
=
f x
g x
成立，则有A
B
；
（2）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
=
f x
g x
成立，则有A
B
；
（3）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
=
f x
g x
成立，故A
B
；
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、
x
D ，
min
m
f x
m
f x
2、
x
D ，
max
m
f x
m
f x
3、
x
D ，
max
m
f x
m
f x
4、
x
D ，
min
m
f x
m
f x
11
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【典例1】（2023 春·四川宜宾·高二校考期中）已知函数
，
，对任
意的
，都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，则
，
令
，解得
或
；令
， 解得
，
，故
在
单调递减，在
单调递增，在
单调递减，
且
，故
，
任意的
，都有
成立，则
，
因为
，则
，
当
时，
在
单调递增，
所以
，
故
，即
(舍去)；
当
时，令
，解得
；令
， 解得
，
故
在
上单调递减， 在
上单调递增，
所以
，
所以
，即
， 解得
，
综上所述，实数
的取值范围为
.故选：A
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，函数
，若对任意的
12
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，存在
，使得
，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意得
．
因为
，
当
时，
，故
在
上单调递增，
．
因为
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
．
由
，即
，解得
．
易错点1 复合函数求导错误
点拨：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即
。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1)
； (2)
； (3)
(4)
；
【答案】(1)
；(2)
；(3)
；(4)
【解析】（1）因为
，所以
.
（2）因为
，所以
.
13
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（3）因为
，所以
（4）因为
，所以
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）求
的导函数.
【答案】
【解析】因为
，
所以
.
故答案为：
易错点2 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0 的点，而没有对这些点左右两
侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0 的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导
数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0 只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条
件是
两侧异号。
【典例1】（2022 秋·辽宁鞍山·高三校联考期中）已知定义域为
的函数
的导函数为
，且函
数
的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
有极小值
，极大值
B．
有极小值
，极大值
C．
有极小值
，极大值
和
D．
有极小值
，极大值
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【答案】D
【解析】观察图象知，当
时，
或
且
，
当
时，
或
，
而当
时，
，当
时，
，
因此当
或
时，
，
当
时，
，当且仅当
时取等号，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
有极小值
，极大值
，A，B，C 不正确；D 正确.故选：D
【典例2】（2022 秋·北京·高三北京铁路二中校考阶段练习）设函数
的定义域为
，
是
的极大值点，以下四个结论中正确的命题序号是 .
①
，
； ②
是
的极大值点；
③
是
的极小值点； ④
是
的极小值点
【答案】②④
【解析】对于①：
是
的极大值点，并不一定是最大值点，即①错误；
对于②：因为
与
的图象关于
轴对称，
且
是
的极大值点，
所以
应是
的极大值点，即②正确；
对于③：因为
与
的图象关于
轴对称，
且
是
的极大值点，
所以
应是
的极小值点，
且无法判定
是
的极小值点，即③错误；
对于④：因为
与
的图象关于
对称，
且
是
的极大值点，
所以
应是
的极小值点，即④正确；故答案为：②④.
【典例3】（2023·全国·高三对口高考）如果函数
在
处有极值
，则
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的值为 ．
【答案】2
【解析】因为函数
在
处有极值
，
所以
，
.
由于
，
所以
，
，
解得：
或
.
当
时，
，
，所以
单调递减，无极值.
所以
.故答案为：2
易错点3 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
点拨：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于
0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0 仅为该函数在此
区间上单调增（减）的充分条件。
【典例1】（2023·陕西西安·统考三模）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在区间
上单调递增，
所以
在区间
上恒成立，即
在区间
上恒成立，
令
，则
，
所以
在
上递增，又
，所以
.
所以
的取值范围是
.故选：B
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【典例2】（2022 秋·山东济宁·高三校考阶段练习）已知函数
，若
在
内
为减函数，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
，
∵
在
内为减函数，
∴
在
内恒成立，
∴
，即
，解得
．
所以实数a 的取值范围是
．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的单调递减区间为
，则
的值
为（ ）
A．3 B．
C．6 D．
【答案】D
【解析】由
，所以
，
单调递减区间是
，
的解集为
，
即
的解集为
，
，
，经检验符合题意.故选：D.
易错点4 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
点拨：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函
数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。
【典例1】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数
的导函数
的图象，若
，
则
的图象大致为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
的图象可知，当
时，
，
则在区间
上，函数
上各点处切线的斜率在区间
内，
对于A，在区间
上，函数
上各点处切线的斜率均小于0，故A 不正确；
对于B，在区间
上，函数
上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B 不正确；
对于C，在区间
上，函数
上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C 不正确；
对于D，由
的图象可知，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
上各点处切线的斜率在区间
内，在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
而函数
的图象均符合这些性质，故D 正确.故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知定义在
上的函数
，其导函数
的大致图
像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】由题意得，当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，C 选项正确.
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，
因为，所以，D 选项正确.故选：CD
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