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专题05 九种函数与抽象函数模型归类
目录
题型一：三大补充函数：对勾函数.....................................................................................................................................1
题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数.....................................................................................................2
题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）.............................................................................................................3
题型四：一元三次函数.........................................................................................................................................................3
题型五：高斯取整函数.........................................................................................................................................................4
题型六：绝对值函数.............................................................................................................................................................5
题型七：对数绝对值型.........................................................................................................................................................7
题型八：对数无理型.............................................................................................................................................................8
题型九：对数反比例型.........................................................................................................................................................8
题型十：指数反比例型.........................................................................................................................................................9
题型十一：抽象函数模型：过原点直线型.......................................................................................................................10
题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型...................................................................................................................11
题型十三：抽象函数模型：正切型...................................................................................................................................11
题型十四：抽象函数模型：一元二次型...........................................................................................................................12
题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型...................................................................................................................13
题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型.......................................................................................................13
题型一：三大补充函数：对勾函数
1.（2022 秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的
，不等式
恒成立，
则
的最大值是 .
2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数
，关于x 的不等式
只有一
个整数解，则正数a 的取值范围是 ．
对勾函数：
图像特征
形如
称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程
（即第一象限均值不等式取等处）
1
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3.．（2023·高三单元测试）已知函数
，若存在
，使得
，则正整数
的最大值为 .
4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数
，若对任意的
，长为
的三条线段均可以构成三角形，则正实数
的取值范围是 .
题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数
1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数
为奇函数，
与
的图
像有8 个交点，分别为
，则
.
2.（2023·全国·高三对口高考）函数
的值域是
或
，则此函数的定义域为 .
3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，其中
且
，函数
，且
对任意
，都有
，则的值是 ．
4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数
，若函数
在
的最大值为2，
则实数的值为 .
题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用
穿线法求解
形如：
。对称中为P
，其中
①
；
②
③一、三或者二、四象限，通过
计算判断
2
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1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数
，则关于x 的不等式
的解集是
.
2.（2023 春·湖北·高二统考期末）已知奇函数
，有三个零点，则t 的取值范围为
.
3.（2023 春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数
若
，则
．
4...2023 春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数
，则不等式
的解集为 ．
题型四：一元三次函数
1.．给出定义：设
是函数
的导函数，
是函数
的导函数，若方程
有
实数解
，则称
为函数
的“拐点”．经研究发现所有的三次函
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称中心．若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
双刀函数
（两支各自增），或者
（两支各自减）
1.有“渐近线”：y=ax 与y=-ax
2.“零点”：解方程
（即方程等0 处）
一元三次函数：
所有的三次函数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
的图像的对称中心，
设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
3
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2.已知函数 f (x)=a x
3+3 x
2+1，若至少存在两个实数 m，使得 f (−m)，f (1)，f (m+2) 成等差数列，
则过坐标原点作曲线 y = f (x) 的切线可以作 ()
A. 3 条
B. 2 条
C. 1 条
D. 0 条
3.（多选）（全国名校大联考2022-2023 学年高三上学期第三次联考数学试卷）对于三次函数
，给出定义：设
是函数
的导数，
是函数
的导数，
若方程
有实数解
，则称
为函数
的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个
三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的极大值点为
B．
有且仅有3 个零点
C．点
是
的对称中心
D．
4. （多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023 学年高三上学期12 月抽测二数学试题）对于三次函数
,给出定义:设
是函数
的导数,
是
的导数,若方程
有实数解
,则称点
为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,
任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数
,则以下说法正确
的是（ ）
A．
B．当
时,
有三个零点
C．
D．当
有两个极值点
时,过
的直线必过点
题型五：高斯取整函数
4
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1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023 学年高三月考数学试题）符号
表示不超过
的最大整数，如
，
，
，定义函数
则下列说法正确的个数是（ ）
①函数
的定义域为R
②函数
的值域为
③函数
是增函数
④函数
是奇函数
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2.（广东省广州市第四中学2021-2022 学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学
家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的
数学成就很多，其中：设
，用
表示不超过
的最大整数，则
称为高斯函数，例如：
，
，已知函数
，
，设函数
的值域为集合
，则
中所有负整数元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3.（百师联盟2020-2021 学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷 I 理科数学试题）高斯
是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重
要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设
用
表示不超过
的
最大整数，则
称为高斯函数，例如：
已知函数
.设函
数
的值域为集合
，则
中所有正整数元素个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设
，用
表示不超过
的最大整数，
也被称为“高斯函数”，例如：
，
.已知函数
，
下列说法中正确的是（ ）
A．
是周期函数
B．
的值域是
C．
在
上是减函数
D．
，
取整函数
表示不超过
的最大整数，又叫做“高斯函数”，
5
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题型六：绝对值函数
1.（2023 春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）定义
为与
距离最近的整数，令函数
，如：
.
2.（2023·天津和平·统考三模）已知函数
，若关于
的方程
恰有三个不相等
的实数解，则实数
的取值集合为 .
3.（2022·浙江·高三模拟）已知函数
，有下列结论：
①
，等式
恒成立；
②
，方程
有两个不等实根；
③
，若
，则一定有
；
④存在无数多个实数k，使得方程
在
上有三个不同的实数根．
则其中正确结论序号为 ．
绝对值函数：
6
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4.（2023 春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知
若存在
，使得
成立的最大正整数
为6，则
的取值范围为
.
题型七：对数绝对值型
1.（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知函数
，若方程
有4 个不同
的根
，
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2023 春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）设函数
，若关于x 的方
程
有四个实根
（
），则
的最小值为（ ）
A．
B．16
C．
D．17
3.（2020 秋·陕西延安·高三校考模拟）已知
，则函数
的零点个数是
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
对数绝对值型函数
对于
，
若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
7
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4.（2023 春·安徽安庆·高三统考模拟）设函数
，若
（其中
），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型八：对数无理型
1.（2023 春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知函数
，若任意的正数
，
均满足
，则
的最小值为 ．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若
，则
的取值
范围是 .
3.（2023 秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数
的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．
4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若正实数
满足
，
则
的最小值为 .
题型九：对数反比例型
1.（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数
，若函数
的图象关于点
对称，
则
（ ）
A．-3
B．-2
C．
D．
对数与无理式复合是奇函数：
，如
8
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2.（21-22 高三上·云南曲靖·阶段练习）设定义在区间
上的函数
是奇函数，且
.若
表示不超过
的最大整数，
是函数
的零点，则
A．
B．或
C．
D．
3.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数
是定义在区间
上的奇函数，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（23-24 高三上·浙江宁波·模拟）已知
是奇函数，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
题型十：指数反比例型
1.（23-24 高三上·河南·模拟）已知函数
是定义在
上的奇函数，且对任意
，不等式
恒成立，则实数
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最小值
D．最大值
2.（23-24 高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数
，若实数
满足
，
变化
9
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则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（21-22 高三上·辽宁锦州·模拟）已知函数
的图像与过点
的直线有3 个不同的交点
，
，
，则
（ ）
A．8
B．10
C．13
D．18
4.（2024·河北衡水·模拟预测）设
，若函数
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
题型十一：抽象函数模型：过原点直线型
1.（23-24 高三上·山东泰安·模拟）已知函数
对于任意的
，都有
成立，
则（ 多选 ）
A．
B．
是
上的偶函数
C．若
，则
D．当
时，
，则
在
上单调递增
2.（23-24 高三上·江苏·阶段练习）已知函数
，
，对于任意
，
，
，
且当
时，均有
，则（ 多选 ）
A．
B．
C．
D．若
，则
--过原点直线型f（x）=kx
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3.（23-24 高二下·广东深圳·阶段练习）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则函数
满足（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
在
上有最小值
D．
的解集为
4.（2023·广西玉林·三模）函数
对任意x，
总有
，当
时，
，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是R 上的减函数
C．
在
上的最小值为
D．若
，则实数x 的取值范围为
题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型
1. （多选）（23-24 高三上·四川成都·阶段练习）设函数
满足：对任意实数
、
都有,
且当
时，
.设
.则下列命题正确的是（ ）
A．
B．函数
有对称中心
C．函数
为奇函数
D．函数
为减函数
2. （多选）（23-24 高三上·辽宁朝阳·模拟）若定义在R 上的函数
满足
，且
当
时，
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
在
上是减函数
D．若
，则不等式
的解集为
3.（23-24 高三上·湖南株洲·模拟）已知函数
对
，都有
，若
在
上存在最大值M 和最小值m，则
（ ）
A．8
B．4
C．2
D．0
4.（23-24 高三下·河南周口·开学考试）已知定义在
上的函数
满足
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，若函数
的最大值和最小值分别为
，则
．
题型十三：抽象函数模型：正切型
1.（20-21 高三上·浙江宁波·模拟）已知函数
的图象是连续不断的，其定义域为
，满足：当
时，
；任意的x，
，均有
.若
，
则x 的取值范围是（ ）（e 是自然对数的底数）
A．
B．
C．
D．
2.（山东·高考真题）给出下列三个等式：
，
，
．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3. （多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，则（ 多选 ）
A．
B．
为偶函数
C．
为周期函数，且4 为
的周期
D．
4.（20-21 高三上·浙江宁波·模拟）已知函数
的图象是连续不断的，其定义域为
，满足：当
时，
；任意的x，
，均有
.若
，
则x 的取值范围是（ ）（e 是自然对数的底数）
A．
B．
C．
D．
12
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题型十四：抽象函数模型：一元二次型
1.（23-24 高三上·上海普陀·模拟）已知对于任意的整数
、
、
，
，有
成立，且
，则
2.（23-24 高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数
的定义域为R，
，
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
是偶函数
3.（23-24 高三上·吉林长春·模拟）函数
满足：任意
，
.且
.则
的最小值是（ ）
A．1775
B．1850
C．1925
D．2000
4.（23-24 高三上·河北保定·模拟）已知函数
满足：
，
，
成立，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型
1. （多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在
上的函数
满足：
，
则（ ）
A．
是奇函数
B．若
，则
C．若
，则
为增函数
D．若
，则
为增函数
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2. （多选）（2024·贵州·三模）已知定义域为
的函数
满足
为
的导函数，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．设
，则
3. （多选）（2024·辽宁大连·一模）已知函数
是定义域为R 的可导函数，若
，且
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是减函数
C．
D．
是
的极小值点
题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型
1.（多选）（23-24 高三上·浙江湖州·模拟）已知函数
对任意实数
，
都满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
C．
D．
2. （多选）（23-24 高三上·河南许昌·模拟）已知函数
满足
，
且
，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
为周期函数
D．
，使得
成立
（2）模型二：双曲余弦函数
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3. （多选）（2024·河南·模拟预测）已知定义在
上的函数
，满足
，
且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．2 是函数
的一个周期
4. （多选）（23-24 高三下·重庆·阶段练习）函数
的定义域为R，且满足
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
的图象关于
对称
15
