重难点03+圆相关解答题（5大题型+高分技法+限时提升练）（原卷版）_2025中考数学题型解题分类专题合集_2025年中考数学热点•重点•难点专练[完整版]www.jiaoyupan.vip

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重难点03 圆相关解答题
从2021 年至2024 年，北京中考数学的圆综合题逐渐趋于复杂化和多样化。例如，2021 年的圆综合题注重
基础知识点的应用，而2024 年的题目则更加注重创新和综合性。未来，考生需关注新定义题型和几何压轴
题的变化趋势，提前做好针对性准备。北京中考数学2021 年至2024 年的圆解答题特点主要体现在难度提
升、知识点综合性和解题技巧的多样化上。考生需在备考中注重基础知识的巩固、解题技巧的灵活运用以
及综合能力的培养，以应对逐年增加的考试难度和复杂性。
【题型1  垂径定理】 
考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，
勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三
角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
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1．（2024 年北京市北京师范大学附属实验中学分校中考二模）如图，AB 为
O
e
的直径，弦CD
AB
^
于点
H，
O
e
的切线CE 与BA 的延长线交于点E，AF
CE
∥
，AF 与
O
e
的交点为F．
(1)求证：AF
CD
=
；
(2)若
O
e
的半径为6，
2
AH
OH
=
，求AE 的长．
2．（北京市人民大学附属中学2023-2024 学年九年级上学期月考）如图，AB 是
O
e
的直径，点E 是OB 的
中点，过点E 作弦CD
AB
^
，连接AC ，AD ．
(1)求证：ACD
V
是等边三角形；
(2)若点F 是
AC 的中点，过点C 作CG
AF
^
，垂足为点G．若
O
e
的半径为2，求CG 的长．
3．（北京市海淀区十一学校2024-2025 学年九年级上学期开学）如图，AB 是
O
e
的直径，CD 是
O
e
的弦，
CD
AB
^
于点E ，点F 在
O
e
上且 

CF
CA
=
，连接AF ．
(1)求证：AF
CD
=
；
(2)连接BF
BD
，
．若
2
6
AE
BF
=
=
，
，求BD 的长．
4．（2024·北京通州·一模）如图，AB 为
O
e
的直径，过点A 作
O
e
的切线AM ，C 是半圆AB 上一点（不
与点A、B 重合），连结AC ，过点C 作CD
AB
^
于点E，连接BD 并延长交AM 于点F．
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(1)求证：Ð
= Ð
CAB
AFB ；
(2)若
O
e
的半径为5，
8
AC =
，求DF 的长．
5．（北京市首都师范大学第二附属中学2022-2023 学年九年级数学上学期期中）如图，AB 为
O
e
的直径，CD
为弦，CD
AB
^
于点E，连接DO 并延长交
O
e
于点F，连接AF 交CD 于点G，CG
AG
=
，连接AC ．
  
(1)求证：AC
DF
∥
；
(2)若
12
AB =
，求AC 和GD 的长．
【题型2  切线的判定与性质】
考查切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角
形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，熟练掌握相
关知识的联系与性质是解答的关键．
6．（2022·北京海淀·模拟预测）如图，AD 是
O
e
的切线，切点为A，AB 是
O
e
的弦．过点B 作BC
AD
∥
，
交
O
e
于点C ，连接AC ，过点C 作CD
AB
∥
，交AD 于点D ．连接AO 并延长交BC 于点M ，交过点C 的
直线于点P ，且
BCP
ACD
Ð
= Ð
．
  
(1)判断直线PC 与
O
e
的位置关系，并说明理由；
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(2)若
9
AB =
，
6
BC =
，求PC 的长．
7．（2022·北京海淀·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
Ð
=
° ，以AC 为直径的
O
e
交AB 于点D ，点Q
为CA 延长线上一点，延长QD 交BC 于点P ，连接OD ，
1
2
ADQ
DOQ
Ð
=
Ð
．
  
(1)求证：PD 是
O
e
的切线；
(2)若AQ
AC
=
，
6
AD =
时，求BP 的长．
8．（2023 年北京二中教育集团中考模拟）如图，AB 为
O
e
的直径，BC 为弦，射线AM 与
O
e
相切于点A，
过点O 作
∥
OD
BC 交AM 于点D，连接DC ．
  
(1)求证：DC 是
O
e
的切线；
(2)过点B 作BE
AB
^
交DC 的延长线于点E，连接AC 交OD 于点F．若
12
AB =
，
4
BE =
，求AF 的长．
9．（2022·北京海淀·三模）如图，
ABC
V
中AB
AC
=
，AD 平分
BAC
Ð
交BC 于D ，以AD 为直径的
O
e
交
AB 于点E ，交AC 于点F ．
(1)求证：BD 是
O
e
切线；
(2)连接EF 交OD 与G 、连接BO 交EF 于P ，连接PC ，若
O
e
的半径为5 ，
3
OG = ，求GE 和PC 的长．
10．（2022·北京石景山·一模）如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，
BD = 
AD ，连接AC，BC，
AD，BD，过点D 作DE//AB 交CB 的延长线于点E．
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(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；
(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE 的长．
【题型3  圆的内接四边形】
考查圆内接四边形性质，同弧所对圆周角性质，垂径定理，弧弦圆周角关系，弦等弦心距相等，三角形
全等判定与性质，三角形相似判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，线段和差，本题难
度大，涉及知识多，图形复杂，利用辅助线画出准确图形，以及将条件转移是解题关键．
11．（北京市清华大学附属中学2023-2024 学年九年级下学期月考）已知，四边形ABCD 为
O
e
的内接四边
形，BD、AC 相交于点E，AB
AC
=
．
（1）如图1，求证：2
180
ADB
CDB
Ð
Ð
=
° ；
（2）如图2，过点C 作CF
AB
^
于点F，交BD 于点G，当
45
DBC
Ð
=
°时，求证：CE
CG
=
；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO 并延长交BD 于点H，当AE
CE
=
，
3
HG =
时，求OH 的长．
12．（北京市第八中学2020-2021 学年九年级上学期期中）已知四边形ABCD 内接于
O
e
，
90
DAB
Ð
=
° ．
(1)如图1，连接BD ，若
O
e
的半径为6，AD
AB
=
，求AB 的长；
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(2)如图2，连接AC ，若
5
AD = ，
3
AB = ，对角线AC 平分
DAB
Ð
，求AC 的长．
13．（北京市燕山区2023-2024 学年九年级上学期期末）已知四边形ABCD 内接于以BC 为直径的
O
e
，A
为弧BD 中点，延长CB ， DA 交于点P．
(1)连接OA，求证：OA
CD
∥
；
(2)求证：PA PD
PB PC
×
=
×
；
(3)过点C 作PD 的垂线交PD 的延长线于点E，当PB
BO
=
，
18
CD =
时，求DE 的长．
14．（北京市十一学校2023~2024 学年九年级下学期月考）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC
BD
，
交
于点E，BD 平分
ABC
Ð
，
BAC
ADB
Ð
= Ð
．
  
(1)求证：DB 平分
ADC
Ð
，并求
BAD
Ð
的大小；
(2)过点A 作AF
D
C
∥
交CB 的延长线于点F， 若AC
AD
=
，
3
BF =
，求此圆半径的长．
15．（北京二中教育集团2022 一2023 学年九年级上学期期中）如图，四边形ABCD 内接于
O
e
，
2
C
A
Ð
= Ð ，DE 是
O
e
的直径，连接BD ．
(1)求
A
Ð
的度数；
(2)若
O
e
直径为4，求BD 的长．
【题型4 圆与三角形函数综合】
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考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确的
作出辅助线；部分题目除需掌握三角函数定义外还需掌握特殊三角函数值。
16．（北京首都师范大学附属中学2024—2025 学年下学期九年级开学）如图，AB 是
O
e
的直径，点C 在
O
e
上，
BAC
Ð
的平分线交
O
e
于点D，交BC 于点H，过点D 的直线EF
BC
∥
，分别交AB
AC
，
的延长线于
点E，F．
(1)求证：直线EF 是
O
e
的切线；
(2)若
3
sin
5
ABC
Ð
=
，
10
3
BE =
，求BC 和AH 的长．
17．（2024 年北京市燕山地区中考二模）如图，
O
e
为四边形ABCD 的外接圆，BD 平分
ABC
Ð
，OC
BD
^
于点E．
  
(1)求证：AD
BC
=
；
(2)延长CO 交
O
e
于点F，连接AF ，若
5
AD = ，
3
sin
5
CBD
Ð
=
，求AF 的长．
  
18．（24-25 九年级上·北京平谷·期末）如图，已知
ABC
V
中，AB
BC
=
，点D 是BC 边上一点，连接AD ，
以AD 为直径画
O
e
，与AB 边交于点E，与AC 边交于点F，EF
AF
=
，连接DE ．
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(1)求证：BC 是
O
e
的切线；
(2)若
10
BC =
，
3
cos
5
AFE
Ð
=
，求AC 的长．
19．（24-25 九年级上·北京石景山·期末）如图，P 为
O
e
外一点，过点P 作
O
e
的切线，切点为A，连接OP
交
O
e
于点B，C 为
O
e
上一点，CA
OP
P
．
  
(1)求证：
2
AOB
BCO
Ð
= Ð
；
(2)若
2
AC =
，
1
cos
3
AOB
Ð
=
，求AP 的长．
20．（24-25 九年级上·北京顺义·期末）如图，点P 为
O
e
外一点，过点P 作
O
e
的切线PA 和PB ，切点分别
是点A 和点B ，连接AB ，直线PO 与
O
e
交于点C 和点E ，交AB 于点D ，连接AE ，BE ．
(1)求证：AEB
V
是等腰三角形；
(2)若
1
tan
2
AEP
Ð
=
，
5
BE =
，求CD 的长．
【题型5 圆与相似综合】
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考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是
解题的关键．
21．（2025·北京·模拟预测）在
ABC
V
中，D 为AC 上一点，以CD 为直径的
O
e
与AB 相切于点E，与BC
相交于点F，连结DF ，EF ，DF
AB
P
．
(1)如图1，若
26
A
Ð
=
° ，求
B
Ð
和
DFE
Ð
的大小；
(2)如图2，过点D 作DG
EF
∥
交AB 于点G，若BF
CF
=
，且
6
AG =
，求
O
e
的半径．
，，
22．（北京市第一六一中学2024-2025 学年下学期九年级开学）如图，AB 为
O
e
的直径，C 为BA 延长线上
一点，D 为
O
e
上一点，连接CD ，AD ，
ADC
AOF
OF
AD
Ð
= Ð
^
，
于点E，交CD 于点F．
(1)求证：CD 是
O
e
的切线；
(2)若
2
,
2
AC
OA EF
=
=
，求BD 的长．
23．（24-25 九年级下·北京海淀·开学考试）如图，
ABC
V
中，
90
C
Ð
=
° ，
45
BAC
Ð
<
° ，
O
e
是
ABC
V
的外
接圆，D 在
AC 上，满足BD
AC
=
，BD 与AC 交于点E，过点A 作
O
e
的切线，交BD 的延长线于点F．
    
(1)求证：AE
EF
=
；
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(2)若
4
BC =
，
2 5
AF =
，求BE 的长．
24．（24-25 九年级上·北京大兴·期末）如图，等腰
ABC
V
内接于
O
e
，AB
BC
=
，AD 为
O
e
直径，连接BD
交AC 于点E，延长DB 至点P，使得AP
AE
=
，连接AP ．
(1)求证：PA 是
O
e
的切线；
(2)若
4
AB =
，
6
PE =
，求DE 的长．
25．（北京市首都师范大学附属中学2024-2025 学年上学期九年级12 月）如图，四边形ABCD 内接于
O
e
，
BD 为直径，过点A 作AE 垂直CD 交其延长线于点E ，DA 平分
BDE
Ð
．
(1)求证：AE 是
O
e
的切线；
(2)若
2 5
AD =
，
8
BC = ，求AB 的长．
（建议用时：30 分钟）
1．如图，四边形ABCD ，
90
B
C
Ð
= Ð
=
°，点E 是边BC 上一点，且DE 平分
AEC
Ð
，作ABE
V
的外接圆
O
e
，点D 在
O
e
上．
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(1)求证：DC 是
O
e
的切线．
(2)若
O
e
的半径为6 ，
2
CE =
，求DE 的长．
2．如图，AB ，AC 分别与
O
e
相切于B ，C 两点，BO 的延长线交弦CD 于点E ，CE
DE
=
，连接OD ．
(1)求证：
A
DOE
Ð
= Ð
；
(2)若OD
AC
∥
，
O
e
的半径为2 ，求AB 的长．
3．如图，已知Rt
ABC
△
，
90
BAC
Ð
=
°，点D 是BC 中点，AD
AC
=
，
4 3
BC=
，过A，D 两点作
O
e
，交
AB 于点E．
(1)求证：BC
OD
^
；
(2)如图1，当圆心O 在AB 上且点M 是
O
e
上一动点，连接DM 交AB 于点N，求当ON 等于多少时，三点
D、E、M 组成的三角形是等腰三角形？
(3)如图2，当圆心O 不在AB 上且动圆
O
e
与DB 相交于点Q 时，过D 作DH
AB
^
（垂足为H）并交
O
e
于
点P，问：当
O
e
变动时，DP
DQ
-
的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．