重难点03+圆相关解答题（5大题型+高分技法+限时提升练）（解析版）_2025中考数学题型解题分类专题合集_2025年中考数学热点•重点•难点专练[完整版]www.jiaoyupan.vip

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重难点03 圆相关解答题
从2021 年至2024 年，北京中考数学的圆综合题逐渐趋于复杂化和多样化。例如，2021 年的圆综合题注重
基础知识点的应用，而2024 年的题目则更加注重创新和综合性。未来，考生需关注新定义题型和几何压轴
题的变化趋势，提前做好针对性准备。北京中考数学2021 年至2024 年的圆解答题特点主要体现在难度提
升、知识点综合性和解题技巧的多样化上。考生需在备考中注重基础知识的巩固、解题技巧的灵活运用以
及综合能力的培养，以应对逐年增加的考试难度和复杂性。
【题型1  垂径定理】 
考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，
勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三
角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
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1．（2024 年北京市北京师范大学附属实验中学分校中考二模）如图，AB 为
O
e
的直径，弦CD
AB
^
于点
H，
O
e
的切线CE 与BA 的延长线交于点E，AF
CE
∥
，AF 与
O
e
的交点为F．
(1)求证：AF
CD
=
；
(2)若
O
e
的半径为6，
2
AH
OH
=
，求AE 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) AE 的长为12．
【详解】（1）解：连接AC
OC
BC
、
、
，则OC
OA
=
，
∵CE 与
O
e
相切于点C，
∴CE
OC
^
，
∵AB 为
O
e
的直径，
∴
90
OCE
ACB
Ð
= Ð
=
° ，
∴
90
90
ACE
OCA
B
OAC
Ð
+ Ð
=
°
Ð + Ð
=
°
，
，
∵
OCA
OAC
Ð
= Ð
，
∴
ACE
B
Ð
= Ð
，
∵AF
CE
∥
，
∴
CAF
ACE
B
Ð
= Ð
= Ð ，
∴

CF
AC
=
，
∵CD
AB
^
，
∴

AD
AC
=
，
∴

CF
AD
=
，
∴





AF
CF
AC
AD
AC
CD
=
+
=
+
=
，
∴AF
CD
=
．
（2）解：∵
O
e
的半径为6，
2
AH
OH
=
，
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∴
2
6
OC
OA
OH
OH
=
=
+
=
，
∴
2
OH =
，
∵
90
OHC
OCE
Ð
= Ð
=
° ，
∴
cos
OH
OC
COE
OC
OE
=
=
Ð
，
∴
2
2
6
18
2
OC
OE
OH
=
=
=
，
∴
18 6 12
AE
OE OA
=
-
=
- =
，
∴AE 的长为12．
2．（北京市人民大学附属中学2023-2024 学年九年级上学期月考）如图，AB 是
O
e
的直径，点E 是OB 的
中点，过点E 作弦CD
AB
^
，连接AC ，AD ．
(1)求证：ACD
V
是等边三角形；
(2)若点F 是
AC 的中点，过点C 作CG
AF
^
，垂足为点G．若
O
e
的半径为2，求CG 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
3 ．
【详解】（1）证明：如图，连接OC ，
AB
Q
是
O
e
的直径，且CD
AB
^
，
CE
DE
\
=
，

BC
BD
=
，
BAC
BAD
Ð
Ð
\
=
，
AB
\
是CD 的垂直平分线，
AC
AD
\
=
，
OC
OB
=
Q
，点E 是OB 的中点，
\点C 在线段OB 的垂直平分线上，
1
1
2
2
OE
BE
OB
OC
=
=
=
，
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Rt COE
\
V
中，
1
cos
2
OE
COE
OC
Ð
=
=
，
即
60
COE
Ð
=
° ，
Q 

BC
BD
=
，
1
30
2
BAD
BAC
COE
\Ð
= Ð
=
Ð
=
° ，
即
60
CAD
BAC
BAD
Ð
= Ð
+ Ð
=
°
ACD
V
\
是等边三角形．
（2）解：由（1）得，ACD
V
是等边三角形，
60
ADC
\Ð
=
° ，
F
Q
是
AC 的中点，
\ 

1
2
CF
AC
=
，
1
30
2
FAC
ADC
BAC
\Ð
=
Ð
=
° = Ð
，
CD
AB
^
Q
，CG
AF
^
，
90
AEC
AGC
\Ð
= Ð
=
° ，
在
AEC
△
和AGC
V
中，
AEC
AGC
GAC
EAC
AC
AC
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
(AAS)
AEC
AGC
\V
V
≌
，
CG
CE
\
=
，
O
Qe
半径为2，且点E 是OB 中点，
2
OC
OB
\
=
=
，
1
OE = ，
Rt COE
\
V
中，
2
2
2
2
2
1
3
CE
OC
OE
=
-
=
-
=
，
3
CG
CE
\
=
=
．
3．（北京市海淀区十一学校2024-2025 学年九年级上学期开学）如图，AB 是
O
e
的直径，CD 是
O
e
的弦，
CD
AB
^
于点E ，点F 在
O
e
上且 

CF
CA
=
，连接AF ．
(1)求证：AF
CD
=
；
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(2)连接BF
BD
，
．若
2
6
AE
BF
=
=
，
，求BD 的长．
【答案】(1)详见解析
(2) 4 5
【详解】（1）证明：∵AB 是
O
e
的直径，CD
AB
^
，
∴

AD
AC
=
．
又∵

CF
AC
=
，
∴


CF
AC
AD
=
=
．
∴

AF
CD
=
．
∴AF
CD
=
．
（2）解：如图，连接OC ，连接OF ，
设
O
e
的半径为x ，
∵AB 是
O
e
的直径，
∴
90
AFB
Ð
=
°，
∵

CF
CA
=
，
∴OC
AF
^
，
∴OC
BF
∥
， 
∴
1
2
Ð = Ð ，
又∵
90
CEO
AFB
Ð
= Ð
=
° ，
∴
CEO
AFB
△
△
∽
，
∴CO
OE
AB
BF
=
，即2
6
2
x
x
x
=
-
．
解得
5
x =
，
∴
3
OE
OA
AE
=
-
=
，
8
BE
AB
AE
=
-
= ，
由勾股定理得，
2
2
4
CE
OC
OE
=
-
=
，
∵AB 是
O
e
的直径，CD
AB
^
，
∴
4
DE
CE
=
=
，
由勾股定理得，
2
2
4 5
BD
DE
BE
=
+
=
，
∴BD 的长为4 5 ．
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4．（2024·北京通州·一模）如图，AB 为
O
e
的直径，过点A 作
O
e
的切线AM ，C 是半圆AB 上一点（不
与点A、B 重合），连结AC ，过点C 作CD
AB
^
于点E，连接BD 并延长交AM 于点F．
(1)求证：Ð
= Ð
CAB
AFB ；
(2)若
O
e
的半径为5，
8
AC =
，求DF 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
32
3
DF =
【详解】（1）证明：
AM
Q
是
O
e
的切线，
90
BAM
\Ð
=
o ，
CD
AB
^
Q
于点E ，
90
CEA
\Ð
=
o，
CD
AF
\
∥
，
\Ð
= Ð
CDB
AFB ，
CDB
CAB
Ð
= Ð
Q
，
\Ð
= Ð
CAB
AFB ．
（2）解：连结AD ，
CD
AB
^
Q
于点E ，AB 是
O
e
的直径，
CE
DE
\
=
，
AB
\
是CD 的垂直平分线，
8
AC
AD
\
=
= ，
O
Qe
的半径为5，
10
AB
\
=
，
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6
BD =
∴
，
AB
Q
是
O
e
的直径，
90
BDA =
\Ð
o ，
BAD
AFB
\Ð
= Ð
，
tan
tan
\
Ð
=
Ð
BAD
AFB ，
\
=
AD
BD
DF
AD ，
2
AD
DF BD
\
=
×
，
32
3
\
=
DF
．
5．（北京市首都师范大学第二附属中学2022-2023 学年九年级数学上学期期中）如图，AB 为
O
e
的直径，CD
为弦，CD
AB
^
于点E，连接DO 并延长交
O
e
于点F，连接AF 交CD 于点G，CG
AG
=
，连接AC ．
  
(1)求证：AC
DF
∥
；
(2)若
12
AB =
，求AC 和GD 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
6,
4 3
AC
GD
=
=
【详解】（1）证明：∵CG
AG
=
，
∴
CAG
ACG
Ð
= Ð
，
∵
AFD
ACD
Ð
= Ð
，
∴
AFD
CAG
Ð
= Ð
，
∴AC
DF
∥
；
（2）解：∵
12
AB =
，
∴
1
6
2
OD
OA
AB
=
=
=
，
12
DF =
，
∵CD
AB
^
，
∴CE
DE
=
，
∵AC
DF
∥
，
∴
ACE
ODE
Ð
= Ð
，
在
ACE
ODE
△
和△
中，
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90
ACE
ODE
CE
DE
AEC
OED
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
=
°
î
，
∴ACE
ODE
V
V
≌
（ASA），
∴
1
6,
3
2
AC
OD
AE
OE
OA
=
=
=
=
=
，
根据勾股定理可得：
2
2
3 3
CE
AC
AE
=
-
=
，
则
6 3
CD =
，
∵
,
ACG
GFD
CAG
GDF
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
∴ACG
DFG
V
V
∽
，
∴
6
1
12
2
AG
AC
DG
DF
=
=
=
，
∵CG
AG
=
，
∴
1
2
AG
CG
DG
DF
=
=
，即
2
DG
CG
=
，
∴
2
4 3
3
DG
DC
=
=
．
【题型2  切线的判定与性质】
考查切线的判定与性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角
形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，熟练掌握相
关知识的联系与性质是解答的关键．
6．（2022·北京海淀·模拟预测）如图，AD 是
O
e
的切线，切点为A，AB 是
O
e
的弦．过点B 作BC
AD
∥
，
交
O
e
于点C ，连接AC ，过点C 作CD
AB
∥
，交AD 于点D ．连接AO 并延长交BC 于点M ，交过点C 的
直线于点P ，且
BCP
ACD
Ð
= Ð
．
  
(1)判断直线PC 与
O
e
的位置关系，并说明理由；
(2)若
9
AB =
，
6
BC =
，求PC 的长．
【答案】(1)相切，理由见解析
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(2)
27
7
PC =
【详解】（1）解：相切；理由如下：
连接OC ，
∵AD 为切线，
∴AP
AD
^
∵BC
AD
∥
，
∴
^
AP
BC ，即AP 垂直平分BC ，
∴AP 平分
BAC
Ð
，即
2
BAC
OAC
Ð
= Ð
，
∵OA
OC
=
，
∴
OAC
OCA
Ð
= Ð
，
∴
2
POC
OAC
Ð
= Ð
，
∴
BAC
POC
Ð
= Ð
，
∵CD
AB
∥
， 
∴
BAC
ACD
Ð
= Ð
，
∵
BCP
ACD
Ð
= Ð
，
BAC
POC
Ð
= Ð
，
∴
BCP
POC
Ð
= Ð
， 
∵
90
POC
OCM
Ð
+ Ð
=
°，
∴
90
BCP
OCM
Ð
+ Ð
=
°，
即OC
PC
^
，
∴直线PC 与
O
e
相切；
（2）解：∵AP 垂直平分BC ，
∴
1
9
3
2
AC
AB
CM
BC
=
=
=
=
，
，
在Rt
AMC
△
中，由勾股定理得：
2
2
81 9
6 2
AM
AC
CM
=
-
=
-
=
；
设圆半径为r，则
6 2
OM
AM
OA
r
=
-
=
- ，
在Rt OMC
V
中，由勾股定理得：
2
2
2
(6 2
)
3
r
r
-
+
=
，
解得：
27 2
8
r =
，
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∴
21 2
6 2
8
OM
r
=
-
=
；
∵
90
OMC
OCP
MOC
COP
Ð
= Ð
=
°
Ð
= Ð
，
，
∴
OMC
OCP
△
∽△
，
∴OM
CM
OC
PC
=
，
∴
27
7
CM OC
PC
OM
×
=
=
．
7．（2022·北京海淀·模拟预测）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
Ð
=
° ，以AC 为直径的
O
e
交AB 于点D ，点Q
为CA 延长线上一点，延长QD 交BC 于点P ，连接OD ，
1
2
ADQ
DOQ
Ð
=
Ð
．
  
(1)求证：PD 是
O
e
的切线；
(2)若AQ
AC
=
，
6
AD =
时，求BP 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
3 6
BP =
【详解】（1）证明：连接DC ，
  
Q 

AD
AD
=
，
\
1
2
DCA
DOA
Ð
=
Ð
，
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Q
1
2
ADQ
DOQ
Ð
=
Ð
，
\
DCA
ADQ
Ð
= Ð
，
Q直径AC ，
\
90
ADC
Ð
=
° ，
\
90
DCA
DAC
Ð
+ Ð
=
° ，
Q
90
ADQ
DAC
Ð
+ Ð
=
°，Ð
= Ð
ADO
DAC ，
\
90
ADQ
ADO
Ð
+ Ð
=
° ，
\ DP 是
O
e
的切线；
（2）解：Q
90
C
Ð
=
° ，OC 为半径，
\ PC 是
O
e
的切线，
\ PD
PC
=
，
连接OP ，
  
\
DPO
CPO
Ð
= Ð
，
\ OP
CD
^
，
\ OP
AD
∥
，
Q
2
AQ
AC
OA
=
=
，
\
2
3
QA
AD
QO
OP
=
=
，
Q
6
AD =
，
\
9
OP =
，
Q OP 是
ACB
△
的中位线，
\
18
AB =
，
12
BD
AB
AD
=
-
=
，
,
90
CD
AB
C
^
Ð
=
°
Q
，
\
2
216
BC
BD AB
=
×
=
\
6 6
BC =
\
3 6
BP =
8．（2023 年北京二中教育集团中考模拟）如图，AB 为
O
e
的直径，BC 为弦，射线AM 与
O
e
相切于点A，
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过点O 作
∥
OD
BC 交AM 于点D，连接DC ．
  
(1)求证：DC 是
O
e
的切线；
(2)过点B 作BE
AB
^
交DC 的延长线于点E，连接AC 交OD 于点F．若
12
AB =
，
4
BE =
，求AF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)18 13
13
【详解】（1）解：连接OC ， 
∵射线AM 与
O
e
相切于点A，
∴
90
DAO
Ð
=
° ，
∵OC
OB
=
，
∴
OCB
OBC
Ð
= Ð
，
∵
∥
OD
BC ，
∴
AOD
OBC
Ð
= Ð
，
COD
OCB
Ð
= Ð
，
∴
AOD
COD
Ð
= Ð
，又OA
OC
=
，OD
OD
=
，
∴


SAS
AOD
COD
V
V
≌
，
∴
90
Ð
= Ð
=
°
DCO
DAO
，又OC 为
O
e
的半径，
∴DC 是
O
e
的切线；
  
（2）解：如图，过E 作EH
AD
^
于H，则
90
EHA
HAB
ABE
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
∴四边形ABEH 是矩形，
∴
12
EH
AB
=
=
，
4
AH
BE
=
=
，
设AD
x
=
，则
4
DH
x
=
-
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∵BE
AB
^
，
∴BE 与
O
e
相切，又射线AM 与
O
e
相切于点A，DC 是
O
e
的切线，
∴CD
AD
x
=
=
，
4
CE
BE
=
=
，
∴
4
DE
x
=
+
，
在Rt
DHE
△
中，由勾股定理得



2
2
2
4
12
4
x
x
-
+
=
+
，
解得
9
x =
，即
9
AD =
，
在Rt AOD
V
，由勾股定理得
2
2
2
2
9
6
3 13
OD
AD
OA
=
+
=
+
=
，
∵
90
ACB
Ð
=
°，
∥
OD
BC ，
∴
90
AFO
ACB
OAD
Ð
= Ð
= Ð
=
° ，又
AOF
DOA
Ð
= Ð
，
∴AOF
DOA
V
V
∽
，
∴AF
OA
AD
OD
=
，即
6
9
3 13
AF =
，
解得
18 13
13
AF =
．
9．（2022·北京海淀·三模）如图，
ABC
V
中AB
AC
=
，AD 平分
BAC
Ð
交BC 于D ，以AD 为直径的
O
e
交
AB 于点E ，交AC 于点F ．
(1)求证：BD 是
O
e
切线；
(2)连接EF 交OD 与G 、连接BO 交EF 于P ，连接PC ，若
O
e
的半径为5 ，
3
OG = ，求GE 和PC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)4，2 17
【详解】（1）证明：
AB
AC
=
Q
，AD 平分
BAC
Ð
交BC 于D ，
AD
BC
\
^
，
AD
Q
是
O
e
的直径，
BD
\
是
O
e
切线；
（2）解：连接OE 、DE 、DF ，过P 作PH
BD
^
于H ，如下图，
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AD
Q
是
O
e
的直径，
90
AED
AFD
\Ð
= Ð
=
° ，
AD
Q
平分
BAC
Ð
，
EAD
FAD
\Ð
= Ð
，
DE
DF
\
=
，
AD
AD
=
Q
，
Rt ADE
\
V
≌


Rt
HL
ADF
V
，
AE
AF
\
=
，
AD
EF
\
^
，
O
Qe
的半径为5 ，
3
OG = ，
2
2
5
3
4
EG
\
=
-
=
，
AD
BC
^
Q
，
∴EF
BC
∥
，
\VAEG ∽
ABD
△
，
EG
AG
BD
AD
\
=
，即4
5
3
10
BD
+
=
， 
5
BD
\
=
，
2
10
BC
BD
\
=
=
，
90
PGD
HDG
DHP
Ð
= Ð
= Ð
=
°
Q
，
\四边形PGDH 是矩形，
5
3
2
PH
DG
\
=
=
-
=
，PH
GD
∥
，
BPH
BOD
\Ð
= Ð
，
5
OD
BD
=
=
Q
，
45
BOD
OBD
\Ð
= Ð
=
° ，
45
BPH
OBD
\Ð
= Ð
=
° ，
2
BH
PH
\
=
=
，
8
CH
BC
BH
\
=
-
=
，
在Rt PHC
V
中，由勾股定理得
2
2
2 17
PC
CH
PH
=
+
=
．
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10．（2022·北京石景山·一模）如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，
BD = 
AD ，连接AC，BC，
AD，BD，过点D 作DE//AB 交CB 的延长线于点E．
(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；
(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)AD=5
2 ，BE= 25
4 ．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AB 为⊙O 的直径，点D 是半圆AB 的中点，
∴∠AOD= 1
2 ∠AOB=90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE 是⊙O 的切线；
（2）解：连接CD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵
BD = 
AD ，
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∴DB=AD，
∴△ABD 是等腰直角三角形，
∵AB=10，
∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×
2
2
=5
2 ，
∵AB=10，BC=6，
∴AC=
2
2
10
6
-
=8，
∵四边形ACBD 是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD=180°，
∵∠DBE+∠CBD=180°，
∴∠CAD=∠DBE，
由（1）知∠AOD=90°，∠OBD=45°，
∴∠ACD=45°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠OBD=45°，
∴∠ACD=∠BDE，
∴△ACD∽△BDE，
∴AC
AD
BD
BE
=
，
∴
8
5 2
5 2
BE
=
，
解得：BE= 25
4 ．
【题型3  圆的内接四边形】
考查圆内接四边形性质，同弧所对圆周角性质，垂径定理，弧弦圆周角关系，弦等弦心距相等，三角形
全等判定与性质，三角形相似判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，线段和差，本题难
度大，涉及知识多，图形复杂，利用辅助线画出准确图形，以及将条件转移是解题关键．
11．（北京市清华大学附属中学2023-2024 学年九年级下学期月考）已知，四边形ABCD 为
O
e
的内接四边
形，BD、AC 相交于点E，AB
AC
=
．
（1）如图1，求证：2
180
ADB
CDB
Ð
+ Ð
=
° ；
（2）如图2，过点C 作CF
AB
^
于点F，交BD 于点G，当
45
DBC
Ð
=
°时，求证：CE
CG
=
；
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（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO 并延长交BD 于点H，当AE
CE
=
，
3
HG =
时，求OH 的长．
【答案】
（1）证明见详解；（2）见详解;（3）OH= 
2 ．
【详解】（1）证明：∵AB
AC
=
，
∴∠ACB=∠ABC，
∵四边形ABCD 为圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠ADC=∠CDB+∠ADB，
∴∠ADC+∠ABC=∠CDB+∠ADB+∠ADB=∠CDB+2∠ADB=180°，
∴2
180
ADB
CDB
Ð
+ Ð
=
° ；
（2）证明：过点C 作CN⊥DB，交BD 于N，交
O
e
于M，
∵
45
DBC
Ð
=
°
∴∠MCB=180°-∠CNB-∠DBC=45°，
∴∠MCB=∠DBC=45°，
∴

MB
DC
=
∵AB=AC，
∴

AB
AC
=
∴

AD
AM
=
∴∠ACM=∠DBA
∵∠CNG=∠GFB，∠NGC=∠FGB，
∴∠NCG=180°-∠CNG-∠NGC=180°-∠GFB-∠FGB=∠GBF=∠ECN，
在△CEN 和△CGN 中
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ENC
GNC
CN
CN
ECN
GCN
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
∴△CEN≌△CGN（ASA），
∴CE=CG;
（3）解：过C 作CP//AH 交BD 于P，连结AP，连结OE，连结CH，延长AO 交BC 于Q，过O 作OM⊥AB
于M，
∵E 为AC 中点，OE 为弦心距，
∴OE⊥AC，
∵AB=AC，
∴OE=OM，
∴AQ 平分∠CAB，
∴AQ⊥BC，
∵CQ=BQ，点H 在AQ 上，
∴CH=BH，
∵∠DBC=45°，
∴∠HCB=∠DBC=45°，
∴∠CHB=180°-∠HCB-∠DBC=90°，
∴CH⊥BD，
∵CE=CG，
∴EH=GH=3，
∵CP//AH，
∴∠PCE=∠HAE，
在△PCE 和△HAE 中，
PCE
HAE
PEC
HEA
CE
AE
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴△PCE≌△HAE（AAS），
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∴PE=HE=3，
∵PE=HE，CE=AE，
∴四边形PAHC 为平行四边形，
∴AP=CH，∠APH=∠CHP=90°，
∵∠HBQ=45°，∠HQB=90°，
∴∠QHB=180°-∠HBQ-∠HQB=180°-90°-45°=45°，
∴∠PHA=∠QHB=45°，
∵∠APH=90°，
∴∠PAH=90°-∠PHA=90°-45°=45°，
∴∠PAH=∠PHA=45°，
∴△APH 为等腰直角三角形，
∵PH=PE+EH=6，
∴AP=PH=6，
在Rt△PAH 中，AH=
2
2
2
2
+
6 + 6
6 2
AP
PH
=
=
∵HB=CH=6，∠CHB=90°，BC=
2
2
2
2
+
6 + 6
6 2
CH
BH
=
=
，
∴CQ=BQ=3 2 ，
在Rt△EHC 中EC=
2
2
2
2
+
6 +3
3 5
CH
EH
=
=
，
∴AC=2CE= 6 5 ，AE=CE=3 5 ，
在Rt△ACQ 中AQ=




2
2
2
2
6 5
3 2
9 2
AC
CQ
-
=
-
=
，
∵∠EAO=∠QAC，∠AEO=∠AQC=90°
∴△AEO∽△AQC，
∴AE
AO
AQ
AC
=
，即3 5
9 2
6 5
AO
=
，
解得AO=5 2 ，
OH=AH-AO= 6 2 -5 2
2
=
．
12．（北京市第八中学2020-2021 学年九年级上学期期中）已知四边形ABCD 内接于
O
e
，
90
DAB
Ð
=
° ．
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(1)如图1，连接BD ，若
O
e
的半径为6，AD
AB
=
，求AB 的长；
(2)如图2，连接AC ，若
5
AD = ，
3
AB = ，对角线AC 平分
DAB
Ð
，求AC 的长．
【答案】(1) 6 2
(2)AC
4 2
=
【详解】（1）解：
90
DAB
Ð
=
°
Q
，
BD
\
是直径，
∵
O
e
的半径为6，
12
BD
\
=
．
在Rt
ABD
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
AD
AB
BD
+
=
，
∵AD
AB
=
∴
2
2
144
AB
=
，
6 2
AB
\
=
；
（2）解：如图2，连接BD ，作BH
AC
^
于H，
90
DAB
Ð
=
°
Q
，
5
AD = ，
3
AB = ，
2
2
34
BD
AD
AB
\
=
+
=
．
AC
Q
平分
DAB
Ð
，
45
DAC
CAB
\Ð
= Ð
=
°，
\ 

DC
BC
=
，
DC
CB
\
=
．
Q四边形ABCD 内接于
O
e
，
90
DAB
Ð
=
° ，
90
DCB
\Ð
=
° ，
在Rt
DBC
△
中，由根据勾股定理，得
2
2
2
CD
BC
BD
+
=
，
∴
2
2
34
BC =
，
∴
17
BC =
． 
45
CAB
Ð
=
°
Q
，
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∴AHB
V
是等腰直角三角形，
同理可得
3
2
2
AH
BH
=
=
．
在Rt
BCH
△
中，
2
2
5
2
2
CH
BC
BH
=
-
=
，
4 2
AC
AH
CH
\
=
+
=
．
13．（北京市燕山区2023-2024 学年九年级上学期期末）已知四边形ABCD 内接于以BC 为直径的
O
e
，A
为弧BD 中点，延长CB ， DA 交于点P．
(1)连接OA，求证：OA
CD
∥
；
(2)求证：PA PD
PB PC
×
=
×
；
(3)过点C 作PD 的垂线交PD 的延长线于点E，当PB
BO
=
，
18
CD =
时，求DE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 9 2
2
【详解】（1）证明：连接BD ，交OA于点F．
BC
Q
是
O
e
的直径，
90
BDC
\Ð
=
°，即CD
BD
^
，
QA 为弧BD 中点，，
\ 

AB
AD
=
，
OA
BD
\
^
，
OA
CD
\
∥
；
（2）证明：Q四边形ABCD 内接于以BC 为直径的
O
e
，
\
180
ABC
PDC
Ð
+ Ð
=
° ，
Q
180
ABC
ABP
Ð
+ Ð
=
° ，
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ABP
PDC
\Ð
= Ð
，
Q
P
P
Ð
= Ð ，
ABP
CDP
\
∽
V
V
，
\ PA
PB
PC
PD
=
，
PA PD
PB PC
\
×
=
×
；
（3）解：
OF
CD
∥
Q
，
BOF
BCD
\△
∽△
，
\
1
2
OF
BO
CD
BC
=
=
，
9
OF
\
=
，
Q OA
CD
∥
\
APO
DPC
∽
V
V
，
Q PB
BO
OC
=
=
，
\
2
3
OA
OP
CD
CP
=
=
，
12
OA
\
=
，
\
3
AF
OA OF
=
-
= ；
Q
2
24
BC
OA
=
=
，
\
2
2
BD
BC
DC
=
-
= 6 7 ，
1
3 7
2
DF
BD
\
=
=
，
\
2
2
6 2
AD
DF
AF
=
+
=
；
90
AFD
DEC
Ð
= Ð
=
°
Q
，
OA
DC
Q
P
，
FAD
CDE
\Ð
= Ð
，
AFD
DEC
\
∽
V
V
，
\ DE
AF
DC
AD
=
，即
3
18
6 2
DE =
；
\
9 2
2
DE =
．
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14．（北京市十一学校2023~2024 学年九年级下学期月考）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC
BD
，
交
于点E，BD 平分
ABC
Ð
，
BAC
ADB
Ð
= Ð
．
  
(1)求证：DB 平分
ADC
Ð
，并求
BAD
Ð
的大小；
(2)过点A 作AF
D
C
∥
交CB 的延长线于点F， 若AC
AD
=
，
3
BF =
，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，90°
(2)6
【详解】（1）证明：∵
BAC
ADB
Ð
= Ð
，
∴

AB
BC
=
，
∴
ADB
CDB
Ð
= Ð
，即DB 平分
ADC
Ð
．
∵BD 平分
ABC
Ð
，
∴
ABD
CBD
Ð
= Ð
，
∴
,
ABD
CBD
Ð
Ð
所对弧对的圆心角相等，
则有

AD
CD
=
，
∴



AB
AD
BC
CD
+
=
+
，即

BAD
BCD
=
，
∴BD 是圆的直径，
∴
90
BAD
Ð
=
° ．
（2）解：∵
90
BAD
Ð
=
° ，AF
CD
∥
，
∴
180
F
BCD
Ð
+ Ð
=
° ，
∵BD 是圆的直径，
∴
90
BCD
Ð
=
°
∴
90
F
Ð
=
° ．
∵

AD
CD
=
，
∴AD
DC
=
．
∵AC
AD
=
，
∴AC
AD
CD
=
=
，
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∴
ADC
△
是等边三角形，
∴
60
ADC
Ð
=
° ．
∵DB 平分
ADC
Ð
，
∴
1
30
2
CDB
ADC
Ð
=
Ð
=
° ．
∵BD 是圆的直径，
∴
1
2
BC
BD
=
．
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴
180
ADC
ABC
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
120
ABC
Ð
=
° ，
∴
60
FBA
Ð
=
° ，
∴
90
60
30
FAB
Ð
=
° -
° =
°，
∴
1
2
FB
AC
=
．
∵
3
BF =
，
∴
6
AB =
，
∴
2
2
12
BD
BC
AB
=
=
=
．
∵BD 是圆的直径，
∴半径的长为1
6
2 BD =
．
15．（北京二中教育集团2022 一2023 学年九年级上学期期中）如图，四边形ABCD 内接于
O
e
，
2
C
A
Ð
= Ð ，DE 是
O
e
的直径，连接BD ．
(1)求
A
Ð
的度数；
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(2)若
O
e
直径为4，求BD 的长．
【答案】(1)
60
A
Ð
=
°
(2)2 3
【详解】（1）∵四边形ABCD 内接于
O
e
，
∴
180
C
A
Ð
+ Ð
=
° ，
∵
2
C
A
Ð
= Ð ，
∴
60
A
Ð
=
°；
（2）连接BE ，
由圆周角定理得：
60
BED
A
Ð
= Ð
=
° ，
∵DE 是
O
e
的直径，
∴
90
EBD
Ð
=
° ，
∴
90
60
30
BDE
Ð
=
°-
° =
°，
∴
1
1
4
2
2
2
BE
DE
=
=
´
=
∴
2
2
2 3
BD
DE
BE
=
-
=
．
【题型4 圆与三角形函数综合】
考查了圆周角定理，垂径定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是正确的
作出辅助线；部分题目除需掌握三角函数定义外还需掌握特殊三角函数值。
16．（北京首都师范大学附属中学2024—2025 学年下学期九年级开学）如图，AB 是
O
e
的直径，点C 在
O
e
上，
BAC
Ð
的平分线交
O
e
于点D，交BC 于点H，过点D 的直线EF
BC
∥
，分别交AB
AC
，
的延长线于
点E，F．
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(1)求证：直线EF 是
O
e
的切线；
(2)若
3
sin
5
ABC
Ð
=
，
10
3
BE =
，求BC 和AH 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
8
BC = ，
3 5
AH =
【详解】（1）证明：如图，连接OD ，
∵OA
OD
=
，
∴
OAD
ODA
Ð
= Ð
．
∵AD 平分
BAC
Ð
，
∴OAD
DAC
Ð
= Ð
，
∴
ODA
DAC
Ð
= Ð
，
∴AC
OD
∥
，
∴
ODE
F
Ð
= Ð
．
∵AB 是
O
e
的直径，
∴
90
ACB
Ð
=
°．
∵EF
BC
∥
，
∴
90
F
ACB
ODE
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
即OD
EF
^
，
∴直线EF 是
O
e
的切线；
（2）解：∵
10
3
BE =
，
设
O
e
的半径为r，则
10
3
OE
r
=
+
．
∵EF
BC
∥
，
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∴
ABC
E
Ð
= Ð
．
∵
3
sin
5
ABC
Ð
=
，
在Rt OED
V
中，
3
sin
5
OD
E
OE
Ð
=
=
，
即
3
10
5
3
r
r
=
+
，
解得
= 5
r
，
∴
25
5,
,
10
3
OD
OE
AB
=
=
=
，
∴
40
3
AE =
，根据勾股定理，得
2
2
20
3
DE
OE
OD
=
-
=
．
∵
3
sin
5
AC
AF
ABC
AB
AE
Ð
=
=
=
，
∴
6,
8
AC
AF
=
=
.
根据勾股定理，得
2
2
2
2
32
8,
3
BC
AB
AC
EF
AE
AF
=
-
=
=
-
=
．
∴
4
DF
EF
DE
=
-
=
，
根据勾股定理，得
2
2
4 5
AD
AF
DF
=
+
=
．
∵CH
DF
P
，
∴AH
AC
AD
AF
=
，
即
6
8
4 5
AH =
，
解得
3 5
AH =
．
17．（2024 年北京市燕山地区中考二模）如图，
O
e
为四边形ABCD 的外接圆，BD 平分
ABC
Ð
，OC
BD
^
于点E．
  
(1)求证：AD
BC
=
；
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(2)延长CO 交
O
e
于点F，连接AF ，若
5
AD = ，
3
sin
5
CBD
Ð
=
，求AF 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 7
3
【详解】（1）证明：∵BD 平分
ABC
Ð
，
∴
ABD
CBD
Ð
= Ð
，
∴

AD
CD
=
， 
∵OC
BD
^
，


BC
CD
\
=
，
∴

BC
AD
=
， 
∴AD
BC
=
；
（2）解：如图，连接AC ，BF ，
  
∵CF 是
O
e
的直径，
∴
90
CBF
CAF
Ð
= Ð
=
° ，
∵OC
BD
^
，
∴
2
BD
BE
=
，
90
BEC
Ð
=
°，
在Rt BEC
V
中，
5,
BC
AD
=
=
3
sin
5
CE
CBE
BC
Ð
=
=
，
3
CE
\
=
， 
2
2
4
BE
BC
CE
\
=
-
=
， 
2
8
BD
BE
\
=
=
，


BC
AD
=
Q
，


AC
BD
\
=
，
8
AC
BD
\
=
=
，
∵
90
BEC
FBC
Ð
= Ð
=
° ，
ECB
FCB
Ð
= Ð
，
∴BEC
FBC
∽
V
V
，
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∴CE
BC ＝BC
CF ，
2
25
3
BC
CF
CE
\
=
=
，
在Rt
CAF
△
中，
25
90 ,
,
8
3
CAF
CF
AC
Ð
=
°
=
= ，
2
2
7
3
AF
CF
AC
\
=
-
=
；
18．（24-25 九年级上·北京平谷·期末）如图，已知
ABC
V
中，AB
BC
=
，点D 是BC 边上一点，连接AD ，
以AD 为直径画
O
e
，与AB 边交于点E，与AC 边交于点F，EF
AF
=
，连接DE ．
(1)求证：BC 是
O
e
的切线；
(2)若
10
BC =
，
3
cos
5
AFE
Ð
=
，求AC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
4 5
AC =
【详解】（1）证明：∵AD 为
O
e
的直径，
∴
90
AED
Ð
=
°
∵BA
BC
=
∴
BAC
BCA
Ð
= Ð
∵EF
AF
=
∴
BAC
FEA
Ð
= Ð
∴
BCA
FEA
Ð
= Ð
∵
DEF
DAC
Ð
= Ð
∴
90
DAC
BCA
DEA
AEF
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°
∴AD
BC
^
∴BC 为
O
e
的切线
（2）∵BC 为
O
e
的切线
∴
90
ADE
BDE
Ð
+ Ð
=
°
∴
90
B
BDE
Ð + Ð
=
°
∴
B
ADE
Ð
= Ð
 
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∵
3
cos
5
AFE
Ð
=
∴
3
cos
5
B
Ð
=
∴
3
5
BD
AB =
 
∴
3
10
5
BD =
∴
6
BD =
由勾股定理得，
8
AD =
∵
10
BC =
 
∴
10
6
4
DC =
-
=
由勾股定理得，
4 5
AC =
19．（24-25 九年级上·北京石景山·期末）如图，P 为
O
e
外一点，过点P 作
O
e
的切线，切点为A，连接OP
交
O
e
于点B，C 为
O
e
上一点，CA
OP
P
．
  
(1)求证：
2
AOB
BCO
Ð
= Ð
；
(2)若
2
AC =
，
1
cos
3
AOB
Ð
=
，求AP 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2) 6 2
【详解】（1）证明：∵点A，B，C 在
O
e
上，
∴
2
AOB
ACB
Ð
= Ð
．
∵CA
OP
P
，
∴
ACB
CBO
Ð
= Ð
．
∵OC
OB
=
，
∴
CBO
BCO
Ð
= Ð
．
∴
ACB
BCO
Ð
= Ð
．
∴
2
AOB
BCO
Ð
= Ð
．
（2）解：过点O 作OE
AC
^
于点E，
2
AC =
，
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∴
1
1
2
AE
AC
=
= ．
∵过点P 作
O
e
的切线，切点为A，
∴
90
OAP
Ð
=
° ．
∵CA
OP
P
，
∴
CAO
AOB
Ð
= Ð
．
∴
1
cos
cos
3
CAO
AOB
Ð
=
Ð
=
．
∴
1
3
EA
OA
OA
OP
=
=
．
∴
3
3
OA
EA
=
= ，
3
9
OP
OA
=
= ．
∴在Rt
AOP
△
中，
2
2
6 2
AP
OP
OA
=
-
=
．
20．（24-25 九年级上·北京顺义·期末）如图，点P 为
O
e
外一点，过点P 作
O
e
的切线PA 和PB ，切点分别
是点A 和点B ，连接AB ，直线PO 与
O
e
交于点C 和点E ，交AB 于点D ，连接AE ，BE ．
(1)求证：AEB
V
是等腰三角形；
(2)若
1
tan
2
AEP
Ð
=
，
5
BE =
，求CD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
1
2
CD =
【详解】（1）证明：
PA
Q
，PB 是
O
e
的切线，
PA
PB
\
=
，PO 平分
APB
Ð
，
APE
BPE
\Ð
= Ð
．
在
PAE
△
和
PBE
△
中，
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PA
PB
APE
BPE
PE
PE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
PAE
PBE
\
≌
△
△
，
AE
BE
\
=
，
AEB
\V
是等腰三角形．
（2）解：连接BC ，
EC
Q
是
O
e
的直径，
90
EBC
\Ð
=
°，
PAE
PBE
Q
≌
△
△
，
AEP
BEP
\Ð
= Ð
．
1
tan
tan
2
BC
AEP
BEP
BE
\
Ð
=
Ð
=
=
，
又
5
BE =
Q
，
5
2
BC
\
=
，
PA
PB
=
Q
，PO 平分
APB
Ð
，
PO
AB
\
^
．
90
CDB
\Ð
=
° ．
AEP
ABC
Ð
= Ð
Q
1
tan
tan
2
CD
AEP
ABC
BD
\
Ð
=
Ð
=
=
，
设CD
x
=
，则
2
BD
x
=
，有
2
2
2
CD
BD
BC
+
=
，
即


2
2
2
5
2
2
x
x
æ
ö
+
= ç
÷
ç
÷
è
ø
，
解得
1
2
x =
，即
1
2
CD =
．
【题型5 圆与相似综合】
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考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是
解题的关键．
21．（2025·北京·模拟预测）在
ABC
V
中，D 为AC 上一点，以CD 为直径的
O
e
与AB 相切于点E，与BC
相交于点F，连结DF ，EF ，DF
AB
P
．
(1)如图1，若
26
A
Ð
=
° ，求
B
Ð
和
DFE
Ð
的大小；
(2)如图2，过点D 作DG
EF
∥
交AB 于点G，若BF
CF
=
，且
6
AG =
，求
O
e
的半径．
【答案】(1)
90
B
Ð
=
°，
32
DFE
Ð
=
°
(2) 3 3
2
【详解】（1）解：连接OE
OF
，
，如图：
，
∵以CD 为直径的
O
e
与AB 相切于点E，
∴OE
AB
^
，
∵CD 为
O
e
的直径，
∴
90
DFC
Ð
=
° ，
∵DF
AB
P
，
∴
90
B
DFC
Ð
= Ð
=
°，
∵OE
AB
^
，
26
A
Ð
=
° ，
∴
90
64
AOE
A
Ð
=
°-Ð
=
°，
∵
DE
DE
=
，
∴
1
32
2
DFE
DOE
Ð
=
Ð
=
°；
（2）解：连接CH ，CE ，如图：
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，
∵DF
AB
P
，
∴
A
HDC
Ð
= Ð
，
∵DF
AB
P
，BF
CF
=
，
∴
1
CF
CD
BF
DA
=
=
∴AD
DC
=
，
∵DF
AB
P
，由（1）得OE
AB
^
，
∴OE
DF
^
，
∵OE 为半径，
∴DH
HF
=
，
∵OE
AB
^
，OE
DF
^
，
90
B
Ð
=
°，
∴四边形EHFB 为矩形，
∴HF
BE
=
，HE
BF
=
，HE
BC
∥
，
∴HE
FC
=
，HE
FC
∥
，
∴四边形EHCF 为平行四边形，
∴EF
CH
∥
，
∵DG
EF
∥
，
∴CH
DG
∥
，
∴HCD
GDA
Ð
= Ð
，
在GAD
V
和
HDC
△
中，
A
HDC
AD
DC
GDA
HCD
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
，
∴


ASA
GAD
HDC
V
V
≌
，
∴
6
AG
DH
=
=
，
∴
6
HF
BE
HD
=
=
=
，
2
2 6
DF
DH
=
=
．
∵OE
DF
^
，
∴

DE
EF
=
，
∴
EFD
ECB
Ð
= Ð
．
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∵DF
AB
P
，
∴
BEF
EFD
Ð
= Ð
，
∴BEF
ECB
Ð
= Ð
．
∵
B
B
Ð
= Ð ，
∴
BEF
BCE
△
∽△
，
∴BE
BC
BF
BE
=
，
∴
6
2
6
BF
BF =
，
∴
3
BF =
，负值舍去
∴
3
CF
BF
=
=
，
在Rt
CDF
△
中，
可得
2
2
27
3 3
CD
DF
CF
=
=
=
＋
，
∴
O
e
的半径
1
3 3
2
2
r
CD
=
=
．
22．（北京市第一六一中学2024-2025 学年下学期九年级开学）如图，AB 为
O
e
的直径，C 为BA 延长线上
一点，D 为
O
e
上一点，连接CD ，AD ，
ADC
AOF
OF
AD
Ð
= Ð
^
，
于点E，交CD 于点F．
(1)求证：CD 是
O
e
的切线；
(2)若
2
,
2
AC
OA EF
=
=
，求BD 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
8
BD =
【详解】（1）证明：如图，连接OD ．
OF
AD
^
Q
，
90
AEO
\Ð
=
°．
90
OAD
AOF
\Ð
+ Ð
=
° ．
OA
OD
=
Q
，
OAD
ODA
Ð
= Ð
∴
．
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ADC
AOF
Ð
= Ð
Q
，
90
ADC
ODA
\Ð
+ Ð
=
°，即
90
ODC
Ð
=
°．
OD
Q
是
O
e
的半径，
CD
\
是
O
e
的切线．
（2）解：设OD
OA
OB
r
=
=
=
，
2
AC
OA
=
Q
，
2
AC
r
\
=
，
3
OC
r
=
．
4
BC
OC
OB
r
\
=
+
=
．
AB
Q
为
O
e
的直径，
90
ADB
\Ð
=
°．
OF
AD
^
Q
，
90
AEO
\Ð
=
°．
AEO
ADB
\Ð
= Ð
．
AE
DE
\
=
，OE
BD
∥
．
OA
OB
=
Q
，
OE
\
是
ABD
△
的中位线．
\
1
2
OE
BD
=
．
2
BD
OE
\
=
．
Q OF
BD
∥
，
COF
CBD
\△
∽△
．
\
3
3
4
4
OF
OC
r
BD
BC
r
=
=
=
．
\
4
3
BD
OF
=
\




4
4
4
2
2
3
3
3
OE
OF
EF
OE
OE
=
=
+
=
+
，
解得
4
OE =
．
8
BD
\
=
．
23．（24-25 九年级下·北京海淀·开学考试）如图，
ABC
V
中，
90
C
Ð
=
° ，
45
BAC
Ð
<
° ，
O
e
是
ABC
V
的外
接圆，D 在
AC 上，满足BD
AC
=
，BD 与AC 交于点E，过点A 作
O
e
的切线，交BD 的延长线于点F．
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(1)求证：AE
EF
=
；
(2)若
4
BC =
，
2 5
AF =
，求BE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【详解】（1）证明：在
O
e
中，
∵
90
C
Ð
=
° ，
∴AB 是
O
e
的直径．
∵AF 是
O
e
的切线，
∴AF
OA
^
．
∴
90
OAF
Ð
=
° ．
∴
90
OAC
CAF
Ð
+ Ð
=
°，
90
EBA
F
Ð
+ Ð
=
°．
∵AC
BD
=
，
∴

AC
BD
=
．
∴



AC
CD
BD
CD
-
=
-
．
∴

AD
BC
=
．
∴
OAC
EBA
Ð
= Ð
．
∴
EAF
F
Ð
= Ð
．
∴EA
EF
=
．
（2）解：连接AD ．
  
∵AB 是
O
e
的直径，
∴
90
ADB
Ð
=
° ．
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∴
90
ADF
Ð
=
° ，
∵由（1）得AD
BC
=
，
4
BC =
，
∴
4
AD
BC
=
=
．
∵
2 5
AF =
，
∴
2
2
2
DF
AF
AD
=
-
=
．
∵
90
BAF
ADF
Ð
= Ð
=
° ，
F
F
Ð
= Ð
，
∴ADF
BAF
V
V
∽
．
∴AF
DF
BF
AF
=
．
∴
10
BF =
．
∵
OAC
EBA
Ð
= Ð
，
∴BE
AE
=
．
∵AE
EF
=
，
∴EF
BE
=
．
∴E 为BF 的中点．
∴
5
BE =
．
24．（24-25 九年级上·北京大兴·期末）如图，等腰
ABC
V
内接于
O
e
，AB
BC
=
，AD 为
O
e
直径，连接BD
交AC 于点E，延长DB 至点P，使得AP
AE
=
，连接AP ．
(1)求证：PA 是
O
e
的切线；
(2)若
4
AB =
，
6
PE =
，求DE 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 7
3
【详解】（1）证明：
AB
BC
=
Q
，
C
BAC
\Ð
= Ð
，
AD
Q
是直径，
90
ABD
\Ð
=
o ，
AP
AE
=
Q
，
PAB
BAC
\Ð
= Ð
，
C
D
Ð
= Ð
Q
，
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PAB
BAC
C
D
\Ð
= Ð
= Ð
= Ð
，
90
D
BAD
Ð
+ Ð
=
o
Q
，
90
PAB
BAD
\Ð
+ Ð
=
o ，
PA
AD
\
^
，
又
AD
Q
是直径，
PA
\
是
O
e
的切线；
（2）解：
AP
AE
=
Q
，
90
ABD
Ð
=
o ，
1
3
2
PB
BE
PE
\
=
=
=
，
PAB
D
Ð
= Ð
Q
，
90
ABP
ABD
Ð
= Ð
=
o，
PAB
\V
∽ADB
V
，
PB
AB
AB
BD
\
=
，
3
4
4
BD
\
=
，
16
3
BD
\
=
，
16
7
3
3
3
DE
BD
BE
\
=
-
=
-
=
．
25．（北京市首都师范大学附属中学2024-2025 学年上学期九年级12 月）如图，四边形ABCD 内接于
O
e
，
BD 为直径，过点A 作AE 垂直CD 交其延长线于点E ，DA 平分
BDE
Ð
．
(1)求证：AE 是
O
e
的切线；
(2)若
2 5
AD =
，
8
BC = ，求AB 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)
4 5
AB =
．
【详解】（1）证明：连接OA，
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OA
OD
=
Q
，
OAD
ODA
\Ð
= Ð
，
DA
Q
平分
BDE
Ð
，
ODA
EDA
\Ð
= Ð
，
OAD
EDA
\Ð
= Ð
，
\ EC
OA
∥
，
AE
CD
^
Q
，
OA
AE
\
^
，
OA
Q
是
O
e
的半径，
AE
\
是
O
e
的切线；
（2）解：过点O 作OF
CD
^
于F ，
90
OAE
AEF
OFE
Ð
= Ð
= Ð
=
°，
\四边形OAEF 是矩形，
AE
OF
\
=
，
BD
Q
是
O
e
的直径，
90
BCD
OFE
\Ð
=
° = Ð
，
\ BC
OF
∥
，
ODF
BDC
\V
V
∽
，
\
1
2
OF
OD
BC
BD
=
=
，
又
8
BC =
Q
，
4
OF
\
=
，
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4
AE
OF
\
=
=
，
在Rt ADE
V
中，
2
2
2
DE
AD
AE
=
-
=
，
BD
Q
是
O
e
的直径，
90
BAD
AED
\Ð
=
° = Ð
，
又
ADE
ADB
Ð
= Ð
Q
，
ABD
EAD
\V
V
∽
，
\ AE
DE
AB
AD
=
，即4
2
2 5
AB =
，
\
4 5
AB =
．
（建议用时：30 分钟）
1．如图，四边形ABCD ，
90
B
C
Ð
= Ð
=
°，点E 是边BC 上一点，且DE 平分
AEC
Ð
，作ABE
V
的外接圆
O
e
，点D 在
O
e
上．
(1)求证：DC 是
O
e
的切线．
(2)若
O
e
的半径为6 ，
2
CE =
，求DE 的长．
【答案】(1)证明见详解
(2) 2 6
【分析】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到OD
DC
⊥
，根据切线的判定定理证明结论．
（2）过点O 作BC 的垂线，垂足于点F ，根据勾股定理求出EF ，进而求出EC ，根据勾股定理计算，得到
答案．
【详解】（1）证明：
OD
OE
=
Q
，
ODE
OED
\Ð
= Ð
，
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DE
Q
平分
AEC
Ð
，
.
DEC
OED
\Ð
= Ð
，
ODE
DEC
\Ð
= Ð
，
90
C
Ð
=
°
Q
，
90
CDE
CED
\Ð
+ Ð
=
°，
90
CDE
ODE
°
\Ð
+ Ð
=
，
OD
DC
\
^
，
OD
Q
是
O
e
的半径，
DC
\
是
O
e
的切线；
（2）解：过点O 作BC 的垂线，垂足于点F ，如图：
90
ODC
C
OFC
Ð
= Ð
= Ð
=
°
Q
，
则四边形OFCD 为矩形，
O
Qe
的半径为6 ，
2
CE =
，
.
6
CF
OD
\
=
=
，
6
2
4
EF
FC
EC
\
=
-
=
-
=
，
由勾股定理得，
2
2
2
2
6
4
2 5
OF
OE
EF
=
-
=
-
=
，
2 5
CD
OF
\
=
=
，


2
2
2
2
2 5
2
2 6
DE
CD
EC
\
=
+
=
+
=
；
2．如图，AB ，AC 分别与
O
e
相切于B ，C 两点，BO 的延长线交弦CD 于点E ，CE
DE
=
，连接OD ．
(1)求证：
A
DOE
Ð
= Ð
；
(2)若OD
AC
∥
，
O
e
的半径为2 ，求AB 的长．
【答案】(1)见解析
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(2) 2
2 2
+
【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性
质是解题的关键．
（1）连接OC ，根据垂径定理得到OE
CE
^
，求得
DOE
COE
Ð
= Ð
，根据切线的性质得到
90
ABO
ACO
Ð
= Ð
=
°，推出
COE
A
Ð
= Ð ，等量代换得到
DOE
A
Ð
= Ð ；
（2）过C 作CH
AB
^
于H ，则四边形BECH 是矩形，根据矩形的性质得到BH
CE
=
，CH
BE
=
，
90
CHA
BHC
Ð
= Ð
=
° ，根据平行线的性质得到
90
DOC
ACO
Ð
= Ð
=
°，推出
45
A
Ð
=
° ，根据等腰直角三角形
的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC ，如图，
BO
Q
的延长线交弦CD 于点E ，CE
DE
=
，
OE
CE
\
^
，
OC
OD
=
Q
，
DOE
COE
\Ð
= Ð
，
AB
Q
，AC 分别与
O
e
相切于B ，C 两点，
90
ABO
ACO
\Ð
= Ð
=
° ，
180
A
BOC
\Ð + Ð
=
°，
180
BOC
COE
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
COE
A
\Ð
= Ð ，
DOE
A
\Ð
= Ð ；
（2）解：过C 作CH
AB
^
于H ，如图，
则四边形BECH 是矩形，
BH
CE
\
=
，CH
BE
=
，
90
CHA
BHC
Ð
= Ð
=
° ，
Q OD
AC
∥
，
90
DOC
ACO
\Ð
= Ð
=
°，
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2
OC
OD
=
=
Q
，
45
DOE
COE
Ð
= Ð
=
°，
\由（1）可得
45
A
DOE
Ð
= Ð
=
° ，
\
2
2 2
CD
OC
=
=
，
2
CE
DE
OE
\
=
=
=
，
2
2
BE
OB
OE
\
=
+
=
+
，
2
2
AH
CH
BE
\
=
=
=
+
，
\
2
2
2
2
2
2
AB
AH
BH
=
+
=
=
+
+
+
．
3．如图，已知Rt
ABC
△
，
90
BAC
Ð
=
°，点D 是BC 中点，AD
AC
=
，
4 3
BC=
，过A，D 两点作
O
e
，交
AB 于点E．
(1)求证：BC
OD
^
；
(2)如图1，当圆心O 在AB 上且点M 是
O
e
上一动点，连接DM 交AB 于点N，求当ON 等于多少时，三点
D、E、M 组成的三角形是等腰三角形？
(3)如图2，当圆心O 不在AB 上且动圆
O
e
与DB 相交于点Q 时，过D 作DH
AB
^
（垂足为H）并交
O
e
于
点P，问：当
O
e
变动时，DP
DQ
-
的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)1 或3
1
-
(3)不变，
2 3
DP
DQ
-
=
【分析】（1）由直角三角形的性质可得AD
CD
BD
=
=
，可证
ACO
DCO
△
≌△
，可得
90
CDO
CAO
Ð
= Ð
=
° ，可得结论；
（2）连接DE 、ME ，易得当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，根据垂径定理得推论得OE
DM
^
，易
得到
ADC
△
为等边三角形，得
60
CAD
Ð
=
° ，则
30
DAO
Ð
=
° ，
60
DON
Ð
=
° ，然后根据含30°的直角三角形
三边的关系得
1
3
2
DN
AD
=
=
，
3
1
3
ON
DN
=
= ，当MD
ME
=
，DE 为底边，作DH
AE
^
，由于
2 3
AD =
，
30
DAE
Ð
=
°，得到
3
DH =
，
60
DEA
Ð
=
°，
2
DE =
，于是
2
OE
DE
=
=
，
1
OH = ，又
30
M
DAE
Ð
= Ð
=
°，MD
MD
=
，得到
75
MDE
Ð
=
° ，则
90
75
15
ADM
Ð
=
°-
° =
°，可得到
45
DNO
Ð
=
°，根据
等腰直角三角形的性质得到
3
NH
DH
=
=
，于是得到结论；
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（3）连接AP 、AQ ，因为DP
AB
^
，得AC
DP
∥
，则
60
PDB
C
Ð
Ð
°
=
=
，再根据圆周角定理得
PAQ
PDB
Ð
Ð
=
，
AQC
P
Ð
Ð
=
，则
60
PAQ
Ð
=
° ，
CAQ
PAD
Ð
= Ð
，易证得AQC
APD
V
V
≌
，得到DP
CQ
=
，则
DP
DQ
CQ
DQ
CD
-
=
-
=
，而
ADC
△
为等边三角形，
2 3
CD AD
=
=
，即可得到DP
DQ
-
的值．
【详解】（1）证明：如图1，连接CO ，
Q在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
Ð
=
°， 点D 是BC 中点，
2 3
AD
CD
BD
=
=
=
∴
．
AD
AC
=
Q
，
AC
CD
\
=
．
AO
DO
=
Q
，CO
CO
=
，


SSS
ACO
DCO
\V
V
≌
90
CDO
CAO
\Ð
= Ð
=
°．
BC
OD
\
^
．
（2）解：连接DE 、ME ，如图3，
DM
DE
>
∵
，
当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，
OE
DM
^
∴
．
AD
AC
=
Q
，
ADC
\V
为等边三角形，
60
CAD
\Ð
=
°．
30
DAO
\Ð
=
°．
60
DON
\Ð
=
°．
在Rt
ADN
△
中，
1
3
2
DN
AD
=
=
．
在Rt ODN
V
中，
3
1
3
ON
DN
=
= ．
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∴当ON 等于1 时，三点D、E、M 组成的三角形是等腰三角形；
当MD
ME
=
，DE 为底边，如图4，作DH
AE
^
，
2 3
AD =
Q
，
30
DAE
Ð
=
°，
3
DH
\
=
，
60
DEA
Ð
=
°，
2
DE =
．
ODE
\V
为等边三角形，
2
OE
DE
\
=
=
，
1
OH = ．
30
M
DAE
Ð
= Ð
=
°
∵
，MD
ME
=
，
75
MDE
Ð
=
°
∴
．
90
75
15
ADM
Ð
=
°-
° =
°
∴
．
45
DNO
Ð
=
°
∴
．
NDH
\V
为等腰直角三角形．
3
NH
DH
=
=
∴
．
3
1
ON =
-
∴
．
综上所述，当三点D、E、M 组成的三角形是等腰三角形时，ON 等于1 或3
1
- ；
（3）解：当
O
e
变动时DP
DQ
-
的值不变，
2 3
DP
DQ
-
=
，
理由如下：连接AP 、AQ ，如图2，
Q
90
BAC
Ð
=
°，DP
AB
^
，
\ AC
DP
∥
．
60
C
CAD
Ð
= Ð
=
°
∵
，
60
PDB
C
Ð
= Ð
=
°
∴
．
PAQ
PDB
Ð
= Ð
∵
，
60
PAQ
\Ð
=
°．
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CAQ
PAD
Ð
= Ð
∴
．
AC
AD
=
Q
，
AQC
P
Ð
Ð
=
，


AAS
AQC
APD
\V
V
≌
，
DP
CQ
\
=
．
2 3
DP
DQ
CQ
DQ
CD
\
-
=
-
=
=
．