重难点06 导数必考压轴解答题全归类【十一大题型】
【新高考专用】
【题型1 函数的切线问题】......................................................................................................................................3
【题型2 （含参）函数的单调性问题】..................................................................................................................4
【题型3 函数的极值、最值问题】..........................................................................................................................5
【题型4 函数零点（方程根）问题】......................................................................................................................6
【题型5 不等式的证明】..........................................................................................................................................7
【题型6 利用导数研究不等式恒成立问题】........................................................................................................9
【题型7 利用导数研究能成立问题】....................................................................................................................10
【题型8 双变量问题】............................................................................................................................................11
【题型9 导数中的极值点偏移问题】....................................................................................................................12
【题型10 导数与三角函数结合问题】..................................................................................................................13
【题型11 导数与数列不等式的综合问题】..........................................................................................................14
导数是高中数学的重要考查内容，是高考必考的热点内容.从近几年的高考情况来看，在解答题中试
题的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、
不等式恒成立与存在性问题以及不等式的证明等内容，考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问题，
解题时要灵活求解．
其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压
轴题的热点方向．
【知识点1 切线方程的求法】
1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：
①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0).
2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：
①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)；
②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；
③将已知条件代入②中的切线方程求解.
【知识点2 导数中函数单调性问题的解题策略】
1.含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因
式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
2.根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x (
∈a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间
上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
【知识点3 函数的极值与最值问题的解题思路】
1.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0 的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2.根据函数极值求参数的一般思路：
已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0 和极值这两个条件列方
程组，利用待定系数法求解.
3.利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性
和
极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【知识点4 导数的综合应用】
1．导数中的函数零点（方程根）问题
利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：
(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x 轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量，即由f(x)=0 分离参变量，得a=g(x)，研究y=a 与y= g (x)图象的交点问题.
2．导数中的不等式证明
(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点
处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)
在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
3．导数中的恒成立、存在性问题
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另
一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分
类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
4．导数中的双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
5．极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
称性．
极值点偏移的定义：对于函数y=f ( x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0 ，方程f ( x)的解分别为
x1、x2，且a<x1<x2<b .
(1)若
x1+x2
2
≠x0 ，则称函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0偏移；
(2)若
x1+x2
2
>x0 ，则函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 左偏，简称极值点x0 左偏；
(3)若
x1+x2
2
<x0 ，则函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 右偏，简称极值点x0 右偏．
【题型1 函数的切线问题】
【例1】（2023·河南·统考模拟预测）已知函数f (x)=a(e
x -1)-ln x.
(1)当a=1时，求f (x)的图象在点(1,f (1))处的切线方程;
(2)当a≥1时，证明：f (x)>sin x.
【变式1-1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f ( x)=ae
x+bx +c在x = ln 2时有极小值.曲线y = f ( x)
在点(0,f (0))处的切线方程为x + y =0.
(1)求a,b,c的值；
(2)若对任意实数x ,f ( x)≥(e-2)x +m恒成立，求实数m的取值范围.
【变式1-2】（2023·广东·东莞市校联考一模）函数f ( x)= 2
x + ln x在x = 4处的切线方程为y =h( x).
(1)求h( x)；
(2)已知1
3 <a<1，过(a,b)可作f ( x)的三条切线，证明：h(a)<b<f (a).
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=a ln x -(
1
2 a-1)x
2-2 x + 1
2 a+1.
(1)当a= 4时，求f (x)的极值及曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若函数f (x)有两个零点，求实数a 的取值范围.
【题型2 （含参）函数的单调性问题】
【例2】（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数f (x)= xln x -a x
2.
(1)当a=1时，讨论函数f (x)的单调性；
(2)若不等式f (x)>ae
x+(1-a) x
2- x恒成立，求实数a的取值范围.
【变式2-1】（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知函数f (x)= xe
x, x∈R．
(1)求函数f (x)= xe
x单调区间；
(2)若过点P(1,t )(t ∈R)可以作曲线y = f (x)的3 条切线，求实数t的取值范围．
【变式2-2】（2023·四川成都·统考一模）已知函数f (x)=2e
x-ax ,a∈R．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)当a=e时，求证：f (x)>e(1-cos x)．
【变式2-3】（2023·河北邢台·宁晋中学校考模拟预测）已知函数f ( x)=a(e
x+e
- x)-1（a 是非零常数，e
为自然对数的底数）
(1)讨论函数f ( x)的单调性；
(2)当a>0时，若f ( x)-1≥x
2在R上恒成立，求实数a 的取值范围．
【题型3 函数的极值、最值问题】
【例3】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)= x ln x +(t -1)(x -t )(t ∈R)．
(1)当t =0时，讨论函数f (x)的极值；
(2)若F (x)= f (x)-e
x
e
t 有两个不同的极值点，求t 的取值范围．
【变式3-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知奇函数f (x)=a x
3+b x
2+cx在x =1处取得极大值2.
(1)求f (x)的解析式；
(2)求f (x)在[- 4,3]上的最值.
【变式3-2】（2023·宁夏固原·宁夏回族自治区西吉中学校考模拟预测）已知实数a>0，函数
f (x)= x ln a-aln x +(x -e)
2，e是自然对数的底数.
(1)当a=e时，求函数f (x)的单调区间；
(2)求证：f (x)存在极值点x0，并求x0的最小值.
【变式3-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考二模）已知函数f (x)=mxe
- x+ x -ln x (m∈R).
(1)讨论函数f (x)的极值点个数；
(2)若m>0，f (x)的最小值是1+lnm，求实数m的取值范围.
【题型4 函数零点（方程根）问题】
【例4】（2023·全国·模拟预测）已知函数f ( x)=2 x + a ln x
x
2
+a．
(1)当a=1时，求曲线f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程．
(2)若f ( x)有两个零点，求实数a的取值范围．
【变式4-1】（2023·广东广州·广东广雅中学校考二模）已知函数f (x)=ln x + 1
x -1.
(1)求函数f (x)的最小值；
(2)若g(x)= x
2[f (x)+1-a]- x +a，求函数g(x)的零点个数.
【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)= x +1-a ln x．
(1)判断函数f (x)的单调性．
(2)若f (x)=1有两个不相等的实根x1, x2，且x1< x2，求证：x1+ x2>a．
【变式4-3】（2023·广西·模拟预测）已知函数f (x)=2ln(x +1)+ 1
2 x
2-2 x +m有三个零点，m∈R.
(1)求m的取值范围；
(2)记三个零点为x1, x2, x3，且x1< x2< x3，证明：x3- x1<2.
【题型5 不等式的证明】
【例5】（2023·四川成都·统考一模）已知函数f (x)=2e
x-e x.
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)求证：f (x)>e(ln x +cos x).
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)= x -mln x (m∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若存在不相等的实数x1
，x2
，使得f (x1)= f (x2)，证明：0<m< x1+ x2
．
【变式5-2】（2023·四川成都·统考二模）已知函数f (x)=e
x -asin x (a>0)，曲线y = f (x)在(0,f (0))处的
切线也与曲线y =2 x - x
2相切.
(1)求实数a的值；
(2)若x1是f (x)的最大的极小值点，x2是f (x)的最大的极大值点，求证：2<f (x1)+ f (x2)< 3+√3
2
.
【变式5-3】（2023·河南新乡·统考一模）已知函数f (x)= xln x -m x
2-1．
(1)当m≥1
2
时，讨论f (x)在(0,+ ∞)上的单调性；
(2)已知x1, x2
是f (x)的两个零点，证明：x1 x2>√6e
2．
【题型6 利用导数研究不等式恒成立问题】
【例6】（2023·四川内江·统考一模）已知函数f ( x)= 1
2 a x
2- ln x．
(1)当a=1时，求f ( x)的极值；
(2)若不等式f ( x)≥x恒成立，求实数a的取值范围．
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）已知f (x)=ae
x+ ln (x +1)，a为任意实数．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)令a=2，对∀x ≥0，均有f (x)≥kx +2恒成立，求k的取值范围．
【变式6-2】（2023·云南红河·统考一模）已知函数f ( x)=mx - ln x -1(m∈R)．
(1)讨论函数f ( x)的单调性；
(2)若关于x的不等式e
x -1+a ln x -(a+1)x +a≥0恒成立，求实数a 的取值范围．
【变式6-3】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数f (x)=ae
x -e
- x，（a∈R）.
(1)若f (x)为偶函数，求此时f (x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)设函数g( x)= f ( x)-(a+1)x，且存在x1, x2分别为g( x)的极大值点和极小值点.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若a∈(0,1)，且g(x1)+ kg(x2)>0，求实数k的取值范围.
【题型7 利用导数研究能成立问题】
【例7】（2023·宁夏银川·校考模拟预测）已知函数f ( x)=kx -ln(1+ x)(k >0).
(1)当k =1时，求曲线y = f ( x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)如果存在x0∈(0,+ ∞)，使得当x∈(0, x0)时，恒有f ( x)< x
2成立，求k的取值范围.
【变式7-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数f (x)=(e-a)e
x+ x (a∈R).
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若存在实数a，使得关于x的不等式f (x)≤λa恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式7-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知f (x)=(x -a-1)e
x- 1
2 a x
2+a
2 x -1．（a∈R）
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若a=-1，且存在x∈(0,+ ∞)，使得f (x)≤ln x + 1
2 x
2+(b+1) x，求b的取值范围．
【变式7-3】（2023·北京海淀·统考一模）已知函数f ( x)=e
ax - x．
(1)当a=1时，求曲线y = f ( x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)求f ( x)的单调区间；
(3)若存在x1, x2∈[-1,1]，使得f (x1)⋅f (x2)≥9，求a 的取值范围．
【题型8 双变量问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）已知函数f (x)=(x +t )ln (x +t )+(t -1) x (t ∈R)．
(1)当t =0时，讨论函数f (x)的极值；
(2)已知F (x)= f (x)-e
x，函数F (x)存在两个极值点x1，x2，证明：x1+ x2<0．
【变式8-1】（2023·四川自贡·统考二模）已知函数f (x)=ae
x- x
2有两个极值点x1、x2.
(1)求a的取值范围；
(2)若x2≥3 x1时，不等式x1+ λ x2≥2 x1 x2恒成立，求λ的最小值.
【变式8-2】（2023·河南·校联考二模）已知函数f (x)= 1
2 m x
2+(m-1) x - ln x (m∈R)，
g(x)= x
2- 1
2e
x +1.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当m>0时，若对于任意的x1∈(0,+ ∞)，总存在x2∈[1,+∞)，使得f (x1)≥g(x2)，求m的取值范围.
【变式8-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数f (x)= x
e
ax +ln x -ax，其中e为自然对数的底数.
(1)当a=1时，求f (x)的单调区间；
(2)若函数g(x)= f (x)- x
e
ax 有两个零点x1, x2(x1< x2)，证明：x1⋅x2>e
2.
【题型9 导数中的极值点偏移问题】
【例9】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数f (x)=(2 x +a)ln x -3(x -a),a>0.
(1)当x ≥1时，f (x)≥0，求a的取值范围.
(2)若函数f (x)有两个极值点x1, x2，证明：x1+ x2>2e
- 1
2.
【变式9-1】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数f (x)= x ln x - a
2 x
2- x +a(a∈R)在其定义域内有
两个不同的极值点.
(1)求a的取值范围；
(2)记两个极值点为x1, x2
，且x1< x2
. 若λ≥1，证明：e
1+ λ< x1⋅x2
λ.
【变式9-2】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数f (x)= (x +1)(a+ ln x)
x
(1)若函数f (x)在定义域上单调递增，求a的最大值；
(2)若函数f (x)在定义域上有两个极值点x1和x2，若x2> x1，λ =e(e-2)，求λ x1+ x2的最小值．
【变式9-3】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数f (x)= x
2(ln x - 3
2 a)，a 为实数．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若函数f (x)在x =e处取得极值，f
' (x)是函数f (x)的导函数，且f
'(x1)= f
'(x2)，x1< x2
，证明：
2< x1+ x2<e
【题型10 导数与三角函数结合问题】
【例10】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f (x)=a x
3+2sin x - xcos x.
(1)若a=0，判断f (x)在(- π
2 , π
2)上的单调性，并说明理由；
(2)当a>0，探究f (x)在(0,π )上的极值点个数.
【变式10-1】（2023·四川成都·成都七中校考一模）设函数F (x)=(1- λ)cos x + λcosa- sin x -sin a
x -a
，其
中a∈(0,π
2 ).
(1)若λ =1，讨论F (x)在(a,π
2 )上的单调性；
(2)当x∈(a,π
2 )时，不等式F (x)<0恒成立，求实数λ的取值范围.
【变式10-2】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f (x)=a x
3+2sin x - x cos x（其中a为实数）．
(1)若a=- 1
2 , x∈(0,π
2 )，证明：f (x)≥0；
(2)探究f (x)在(-π,π)上的极值点个数．
【变式10-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数f ( x)=e
x(cos x +√2)-( x +1)sin x，其中e是自然对数的
底数．
(1)求函数f ( x)的图象在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)若x>-1，求证：f ( x)>0．
【题型11 导数与数列不等式的综合问题】
【例11】（2023·山东济南·校考模拟预测）设函数f ( x)= e
mx
x +1 ( x>-1)，已知f ( x) ≥1恒成立．
(1)求实数m的值；
(2)若数列{ an }满足an+1= ln f ( an )，且a1=1- ln 2，证明：|e
an-1|<( 1
2 )
n
.
【变式11-1】（2023·海南·海口校联考模拟预测）已知函数f ( x)
x +1 = ln x - a( x -1)
x +1
．
(1)若函数f ( x)在[1,+ ∞)上只有一个零点，求a的取值范围；
(2)若an=¿，记数列{an}的前n项和为Sn
，证明：2Sn<ln(n
2+3n+2)．
【变式11-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知函数f (x)=e
x -1
x
．
(1)证明：当x<0时，f (x)<1；当x>0时，f (x)>1．
(2)正项数列{xn}满足：e
xn+1= f (xn)，x1=1，证明：
（i）数列{xn}递减；
（ii）∑
i=1
n
xi≥2- 1
2
n-1
．
【变式11-3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设函数f n(x)=-1+ x + x
2
2
2 + x
3
3
2 +⋯+ x
n
n
2
.
(1)求函数f 3(x)在点(1,f 3(1))处的切线方程;
(2)证明:对每个n∈N
*，存在唯一的xn∈[
2
3 ,1]，满足f n(xn)=0；
(3)证明:对于任意p∈N
*，由（2）中xn构成的数列{xn}满足0< xn- xn+ p< 1
n
.
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=(
1
x +a)ln(1+ x)．
(1)当a=-1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (x))处的切线方程．
(2)若函数f (x)在(0,+ ∞)单调递增，求a的取值范围．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=ax -sin x
cos
2 x
, x∈(0,π
2 )．
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)+sin x<0，求a的取值范围．
3．（2023·北京·统考高考真题）设函数f ( x)= x - x
3e
ax +b，曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程为
y =- x +1．
(1)求a,b的值；
(2)设函数g( x)= f
'( x)，求g( x)的单调区间；
(3)求f ( x)的极值点个数．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f ( x)=(
1
x +a)ln(1+ x).
(1)当a=-1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y = f(
1
x)关于直线x =b对称，若存在，求a，b 的值，若不存在，说明理由.
(3)若f (x)在(0,+ ∞)存在极值，求a 的取值范围.
5．（2023·天津·统考高考真题）已知函数f (x)=(
1
x + 1
2)ln (x +1)．
(1)求曲线y = f (x)在x =2处切线的斜率；
(2)当x>0时，证明：f (x)>1；
(3)证明：5
6 <ln (n!)-(n+ 1
2)ln (n)+n≤1．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f (x)=a(e
x+a)- x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f (x)>2lna+ 3
2
．
7．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当0< x<1时，x - x
2<sin x< x；
（2）已知函数f (x)=cosax - ln(1- x
2)，若x =0是f (x)的极大值点，求a 的取值范围．
8．（2022·天津·统考高考真题）已知a，b∈R，函数f (x)=e
x-asin x , g(x)=b√x
(1)求函数y = f (x)在(0,f (0))处的切线方程；
(2)若y = f (x)和y = g(x)有公共点，
（i）当a=0时，求b的取值范围；
（ii）求证：a
2+b
2>e．
9．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f ( x)=ax - 1
x -(a+1)ln x．
(1)当a=0时，求f ( x)的最大值；
(2)若f ( x)恰有一个零点，求a 的取值范围．
10．（2022·北京·统考高考真题）已知函数f ( x)=e
x ln(1+ x)．
(1)求曲线y = f ( x)在点(0,f (0))处的切线方程；
(2)设g( x)= f
'( x)，讨论函数g( x)在[0,+∞)上的单调性；
(3)证明：对任意的s,t ∈(0,+ ∞)，有f (s+t )>f (s)+ f (t )．
11．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f (x)= e
x
x - ln x + x -a．
(1)若f (x)≥0，求a 的取值范围；
(2)证明：若f (x)有两个零点x1, x2，则x1 x2<1．
12．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f ( x)=e
x -ax和g( x)=ax - ln x有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线y =b，其与两条曲线y = f ( x)和y = g( x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
