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专题06 切线、公切线与切线逼近型归类
目录
题型一：有切点切线方程.....................................................................................................................................................1
题型二：无切点型切线关系.................................................................................................................................................3
题型三：“在点”型切线求参.............................................................................................................................................5
题型四：“过点”型切线方程.............................................................................................................................................8
题型五：“过点”型切线条数判断...................................................................................................................................10
题型六：“过点”型切线条数求参...................................................................................................................................13
题型七：三角函数型切线综合应用...................................................................................................................................17
题型八：函数公切线...........................................................................................................................................................22
题型九：函数公切线求参数范围.......................................................................................................................................25
题型十：函数公切线条数判断...........................................................................................................................................30
题型十一：公切线综合.......................................................................................................................................................34
题型十二：切线逼近求零点...............................................................................................................................................39
题型十三：双切线存在性...................................................................................................................................................43
题型十四：切线逼近：不等式整数解求参.......................................................................................................................46
题型一：有切点切线方程
1.（2023·全国·三模）已知定义域为
的函数
的图像关于原点对称，且
，若曲线
在
处切线的斜率为4，则曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数
的图像关于原点对称，得出
，再由
得出函数
的最小
正周期为
，由原函数与导函数具有相同的周期性可得函数
的最小正周期为
，由此可得选项.
【详解】因为定义域为
的函数
的图像关于原点对称，所以
，
因为
，
，两式相减可得，
，故
，故
；
因为
，故所求切线方程为
，
故选：B．
若已知函数
与切点
，不知斜率
。此时
, 利用点斜式写出切线方程
1：求
，得切点
；
2：求导数
，得
；
3：写切线方程
.
1
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【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，以及导函数的周期性，求原函数的切线问题，属于较难题.
2．（21-22 高三下·福建莆田·阶段练习）函数
的图象在点
切的切线分别交
轴，
轴于
、
两点，
为坐标原点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求导得到
，计算切线方程为
，故
，
，
代入向量计算得到答案.
【详解】
，
，故
，
，
，
故切线方程为：
，故
，
.
，即
，解得
.
故选：
.
【点睛】本题考查了切线方程，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
3．（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知
是定义在
上的单调函数，满足
，则
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
是定义在
上的单调函数，满足
，可得
为一固定的数，可设
，则有
，可得函数的解析式，求解出切线斜率和切点，可得答案.
【详解】由题意可得
为一固定的数，设
，则有
.
由
可得
，当
时，有
，
解得
.
，
．
，又
．
∴曲线
在
处的切线方程为
，即
．
故选：A．
4．（2024·海南海口·二模）已知函数
的定义域为
，
是偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线斜率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】根据函数对称性求出
时的
解析式，利用导数的几何意义求解.
【详解】因为
是偶函数，所以函数
的图象关于
对称，则
，
当
时，
，
，
，则
，
2
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，即曲线
在点
处切线的斜率为2.
故选：C.
5．（23-24 高二下·山西运城·开学考试）定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【分析】明确函数的周期性，结合导数的几何意义求函数在某点出的切线方程.
【详解】因为
是
上的偶函数，且
，
所以
，
所以
，即
为周期函数，且周期为4.
设
，则
，由
；
设
，则
，由
.
当
时，
.
所以：
，
.
所以曲线
在点
处的切线方程为：
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：该问题的解决方法可以有两种思路：
（1）求出函数在区间
上的解析式，可得
和
，进而求出所求的切线方程；
（2）利用函数的对称性和周期性，先求
得到切点，再根据
的图象关于
点对称，则
关于
轴对称，所以
得切线斜率，可得所求切线方程.
题型二：无切点型切线关系
1．（2024·湖北·模拟预测）设
，其中
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
若已知函数
与斜率
，不知切点。此时设切点
，此时
解出
，再将
代入
解出
,此时利用点斜式写出切线方程
1：求导数
，令
，求解得
；
2：求
，得切点
；
3：写切线方程
.
3
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【答案】A
【分析】令
，
，则
可转化为曲线
上的点
与曲线
上的点
之间的距离与
到直线
的距离之和，据此利用导数和三角形不等式即可求
解.
【详解】令
，
，则点
在函数
图象上，
在函数
的图象上，
容易知道
图象是抛物线
图象的上半部分，
记抛物线焦点为
，过
作抛物线的准线
的垂线，垂足为
，如图所示：
则
，
当且仅当
在线段
上时，取最小值.
设这时
点坐标为
，又
，
所以有
，解得
，即该点为
，
所以
，因此
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，将
的值转化为点到点的距离与点到直线的距离之和的
问题.
2．（2020·北京·二模）点P 在函数y＝ex 的图象上．若满足到直线y＝x+a 的距离为
的点P 有且仅有3 个，
则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】C
【解析】要满足到直线y＝x+a 的距离为
的点P 有且仅有3 个，则需要直线与函数y＝ex 的图象相交，而
且点P 在函数y＝ex 的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为
，另外一侧两个点到直线距离为
．
于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．
【详解】过函数y＝ex 的图象上点P（x0，y0）作切线，使得此切线与直线y＝x+a 平行
y′＝ex，于是
，则x0＝0，y0＝1
∴P（0，1），
于是当点P 到直线y＝x+a 的距离为
时，则满足到直线y＝x+a 的距离为
的点P 有且仅有3 个，
∴
，解得a＝﹣1 或a＝3
又当a＝﹣1 时，函数y＝ex 的图象与直线y＝x
1
﹣相切，从而只有两个点到直线距离为
，所以不满足；
故a＝3．
故选：C．
【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大.
4
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3．（21-22 高三·重庆·阶段练习）已知函数
，若
在
和
处切线平行，
则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】求函数导数，进而利于导数的几何意义得切线斜率，列方程化简，结合基本不等式可得解.
【详解】由
，得
，
∴
，
整理得：
，则
，
∴
，则
，∴
，
∵
，∴
.∴
.
故选D．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及基本不等式，属于难题.
4．（2024 高三下·全国·专题练习）已知三次函数
有三个零点
，
，
，且在点
处切线
的斜率为
，则
.
【答案】0
【分析】令
，其中
，
，
，
互不相等，对
求导，由导数的
几何意义求解即可.
【详解】令
，其中
，
，
，
互不相等.
则
.
.
故答案为：0.
5．（23-24 高二下·北京·期中）已知函数
，设曲线
在点
处切线的斜率为
，若
，
，
均不相等，且
，则
.
【答案】
/
【分析】先求得函数
的导函数，分别得到
的值，代入整理即可求得
的值.
【详解】
.由
，则
，
即
，又
，
，
5
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由于
，
，
均不相等，则
故答案为：
题型三：“在点”型切线求参
1．（22-23 高二下·广东广州·期末）已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【分析】求出曲线
在点
处的切线方程，由题意将切线与曲线
只有
一个公共点，转化为
有且只有一正解，从而构造函数
，利用导数知识求解即可.
【详解】由题意
得
，则
，
故曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
而切线
与曲线
只有一个公共点，
即
有且只有一正解，
即
有且只有一正解，
令
，则
，
由于
，故
，
当
时，
，
在
上单调递增，
且
，
，
即
在
上存在唯一零点，即
有且只有一正解；
当
时，
，
在
上单调递增，
由于
的最小值为
，故当
趋向于0 时，
可取到负值，
且
，故
在
上存在唯一零点，
即
有且只有一正解；
若已知函数
与平面上一点
，不知切点与斜率
。设切点
，此时
,由切点
与斜率
写出切线方程
，再将点
代入，解出切点.
1：设切点
；
2：求导数
，得
；
3：写切线方程
；
4：将
代入步骤3，解得
；
5：将
代入步骤3，得切线方程.
6
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当
时，当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
故
，
令
，则
在
上单调递增，且
，
此时要使
有且只有一正解，故需
，
综合以上可知
或
，
故选：B
【点睛】难点点睛：根据导数的几何意义求出曲线
的切线方程，要保证切线与曲线
只有一个公共点，关键就是转化为
有且只有一正解，从而
构造函数，分类讨论，结合导数解决问题.
2．（2022·山西晋城·一模）已知函数
，
的图像在点
处的切线与
轴交于点
，过点
与
轴垂直的直线
与
轴交于点
，则线段
中点
的纵坐标的最大值是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设点
，∵
，∴
，∴
，
∴切线的方程为
，令
，得
，故
，
又点
，∴线段
中点
的纵坐标
，
设
，则
，
故当
时，
单调递增；当
时，
单调递减．
∴
．选D．
3．（2022·湖北·一模）已知函数
在点
处的切线为，若直线在
轴上的截距恒小于，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据答案分析此题可用特殊值法：取a=-1,根据题意可得函数的切线方程为：
，故在y 轴的截距为：
，所以
恒成立（m>1）,故令
恒成立，
，显然当a
取-1 时，
，故
在
单调递增，
，故
恒成立，故a 取-1 成立，
所以排除ACD，选B
点睛：对于12 题这种压轴选择题，我们掌握一些做题技巧，巧借答案可根据备选答案去分析通过排除法轻
而易举得出结论
4．（21-22 高二上·河南商丘）设直线
分别是函数
图象上点
、
处的切线，与
垂直
相交于点
，则点
横坐标的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
7
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【分析】当
时，
；当
时，
，讨论点
、
的位置，可得
，进
而有
，然后利用导数的几何意义求出两切线方程，联立切线方程求出交点P 的横坐标，从而由对勾
函数的单调性即可求解.
【详解】解：设
，
，
，当
时，
，
；当
时，
，
，若
，则
，不合题意；
若
，则
，不合题意；
∴
，的斜率
，
的斜率
，∵与
垂直，
∴
，即
，∵直线：
，
：
，
∴联立两直线和
方程可得交点P 的横坐标为
，∴
，
∵函数
在
上为减函数，且
，∴
，则
，
∴
．∴点
横坐标的取值范围为
．故选：A．
5．（2022 全国·二模）设点P 在曲线
上，点Q 在直线y=2x 上，则PQ 的最小值为
A．2
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线
平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得
的最小值.
【详解】先求曲线上切线斜率为
的点的横坐标：令
，解得
，代入曲线方程求得
，
故切点为
，斜率为
的直线方程为
，将两条平行直线的方程化为一般式得
，故两平行直线的距离为
.故选D.
【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲
线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离
的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.
题型四：“过点”型切线方程
8
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1．（22-23 高二下·湖北咸宁·开学考试）过原点的直线
与分别与曲线
，
相切，则直
线
斜率的乘积为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】设
的切点分别为
，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据切线
过原点解出
即可求解.
【详解】设
的切点分别为
，
由题意可得
，
，
所以
在
处的切线为
，
在
处的切线为
，
又因为两条切线过原点，所以
，解得
，
所以直线
斜率的乘积为
，
故选：B
2．（22-23 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）过点
可以作曲线
的两条切线，切点的横坐标分别
为m，n，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】D
【分析】切点为坐标
，结合切线斜率列出方程得
，结合韦达定理求解即可.
【详解】
，设切点为坐标
，
则
，
即
，则
，
由题意知
有两解，分别为m，n，
故
，
故选：D.
9
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3．（2022·河南·模拟预测）已知
，过原点作曲线
的切线，则切点的横坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点坐标为
，根据导数几何意义可得切线方程，代入坐标原点可构造方程求得
.
【详解】由
得：
；
设切点坐标为
，
，
则切线方程为：
，
切线过原点，
，解得：
，
即切点横坐标为
.
故选：C.
4．（2022·四川南充·三模）已知函数
，过点
作函数
图象的两条切线，切点分
别为M，N．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线MN 的方程为
C．
D．
的面积为
【答案】C
【分析】设切点坐标为
，利用
，
，可求出切点坐标，
计算
可判断A；求出
，直线MN 的方程可判断B；求出
可判断C；
求出
到直线MN 的距离
，计算出
可判断D.
【详解】因为
，所以
没有在函数的图象上，
，设切点坐标为
，
当
时，
，
不与
相切，
所以
，
， 又因为
，
解得
，即
，
，
所以
，故A 错误；
，所以直线MN 的方程为
，即
，故B 错误；
，故C 正确；
10
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到直线MN 的距离为
，
所以
的面积为
，故D 错误.
故选：C.
5．（2022·河南商丘·三模）已知曲线
的一条切线在
轴上的截距为2，则这条切线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出切点坐标
，根据导数的几何意义写出切线方程，将点
代入求出
的值，
进而得切线方程.
【详解】函数
的定义域为
，设切点坐标为
，
因为
，则切线斜率为
，
所以切线方程为
，
将点
代入切线方程并整理得
，解得
，或
（舍去），
所以这条切线的方程为
，即
．
故选：D．
题型五：“过点”型切线条数判断
1．（2022·全国·模拟预测）过点
作曲线
的切线，当
时，切线的条数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设切点
，由导数几何意义可表示出切线方程，代入
可将问题转化为方程
的解的个数的求解；令
，利用导数可得
图象，根据
与
图象交点个
数可确定方程解的个数，进而得到切线条数.
【详解】设切点为
，
，
切线斜率
，
切线方程为：
；
又切线过
，
；
设
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
“过点型”切线条数判断：
1. 有几个切点横坐标，就有几条切线。
2. 切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
11
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又
，
，
恒成立，可得
图象如下图所示，
则当
时，
与
有三个不同的交点，
即当
时，方程
有三个不同的解，
切线的条数为条.
故选：D.
2．（2024·北京海淀·一模）已知
，函数
的零点个数为
，过点
与曲线
相切的直线的条数为
，则
的值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】借助分段函数性质计算可得
，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得
.
【详解】令
，即
时，
，解得
，
时，
，无解，故
，
设过点
与曲线
相切的直线的切点为
，
当
时，
，则有
，
有
，整理可得
，即
，
即当
时，有一条切线，
当
时，
，则有
，
有
，整理可得
，
令
，
则
，
令
，可得
，
故当
时，
，即
在
上单调递增，
当
时，
，即
在
上单调递减，
由
，
，故
在
上没有零点，
又
，
故
在
上必有唯一零点，
即当
时，亦可有一条切线符合要求，
12
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故
.
故选：B.
3．（23-24 高三上·湖北·期中）函数
为
上的奇函数，过点
作曲线
的切线，可作切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【答案】A
【分析】根据奇函数确定
，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算
，计
算切线得到答案.
【详解】
，故
，
，
，
，
设切点为
，则
，且
，
整理得到
，解得
，
，
故切线方程为
，
故选：A
4．（2023·吉林通化·模拟预测）若过点
可作曲线
的两条切线，则点
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点坐标为
，利用导数写出切线方程，将点
的坐标代入切线方程，可得出关于
的二次方程有两个不等的实根，可得出
，可得出
，然后逐项检验可得出合适的选项.
【详解】设切点坐标为
，对函数
求导可得
，
所以，切线斜率为
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，
将点
的坐标代入切线方程可得
，即
，
因为过点
可作曲线
的两条切线，则关于的方程
有两个不等的实数解，
所以，
，即
，即
，
对于点
，
，A 不满足；
对于点
，
，B 不满足；
对于点
，
，C 满足；
对于点
，
，D 不满足.
故选：C.
5．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线
的切线，则切线共有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】A
【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.
【详解】设切点为
，
由
可得
，
13
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则过坐标原点的切线的斜率
，
故
，即
，
解得
，故过坐标原点的切线共有1 条．
故选：A．
题型六：“过点”型切线条数求参
1．（23-24 高二下·河北保定·期中）已知函数
，若过
可做两条直线与函数
的图象
相切，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据导数几何意义求出切线方程，依题意，过点
的直线与函数
的图象相切的
切线条数即为直线
与曲线
的图象的公共点的个数，根据导数研究函数
的图象可得
结果.
【详解】设过点
的直线与函数
的图象相切时的切点为
，则
，
因为
，
所以切线方程为
，又
在切线上，
所以
，整理得
，
则过点
的直线与函数
的图象相切的切线条数即为直线
与
曲线
的图象的公共点的个数，
因为
，令
，得
，
所以，当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；当
时，
单调递减，
因为
，当
时
，所以，函数
的图象大致如图：
若已知函数
过平面上一点
，且
或点
其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，
可参考考向四，设切点
，此时
, 由切点
与斜率
写出切线方程
，再将点
代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围.
14
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所以当
时，图像有两个交点，切线有两条.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：依题意求出切线方程，本题关键是将过点
的直线与函数
的图象
相切的切线条数转化为直线
与曲线
的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数
的图象.
2．（2023·全国·模拟预测）若过点
可作函数
图象的两条切线，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点为
，
，求导，根据导数的几何意义可得
有两个正根，
利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.
【详解】设切点为
，
，
又
，所以切线斜率
，
所以切线方程为
，
又切线过点
，
则
，
，
即
，
由过点
可作两条切线，
所以
有两个正根，
即
，整理可得
，
故选：C.
3．（2023·江西九江·一模）已知函数
（
），点
位于曲线
的
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下方，且过点
可以作3 条直线与曲线
相切，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设出切点，利用导数几何意义求切线斜率，可得切线方程，将
代入切线方程可得有三个不
同的实数解，构造函数，利用导数求解即可.
【详解】解：
，设切点为
，则切线斜率为
，
切线方程为
，由于切线过点
，
，整理得
.
构造函数
，
有三个不同的零点，
，
易知
，
，即
，
即
，
又因为点
在曲线下方，
，即
，
解得
，
故选：D.
4．（22-23 高二下·山西晋中·阶段练习）已知过点
作曲线
的切线有且仅有两条，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设切点为
，利用导数求出切线的斜率，结合斜率公式可得出
，可知关于
的方
程
有两个不等的实根，令
，利用导数分析函数
的单调性与极值，数形结合可
得出实数
的取值范围.
【详解】设切点为
，对函数
求导得
，
所以，切线斜率为
，整理得
，
关于
的方程
有两个不等的实根.
令函数
，由题意可得
，解得
且
，
所以，函数
的定义域为
，且
，
当
时，
，
；当
时，
，
；
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当
时，
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递减，在
上单调递增.
.
作出函数
与函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与
轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由
分离变量得出
，将问题等价转化为直线
与函数
的
图象的交点问题.
5．（22-23 高三·四川南充·期中）已知函数
，过点
作曲线
的切线，当
时，可
作两条切线，则
的取值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】设切点坐标为
，利用导数求出切线方程为
，由题可得
，
设
，利用导数研究函数的性质，利用数形结合即得.
【详解】由
，可得
，
设切点坐标为
，所以
，
则切线的斜率为
，切线方程为
，
当
时，由切线方程为
得
，则
，设
，
则
，
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因为
，所以当
时
，
单调递增，
所以当
时
，
单调递减，所以当
时
，
单调递减，
时，
有极小值为
，
时，
有极大值为
，
可画出函数
的大致图象，
结合图象若作两条切线，则
的取值为
或
.故选：A.
题型七：三角函数型切线综合应用
1．（23-24 高三上·浙江温州·）已知
，函数
在点
处的切线
均经过坐标原点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义求出曲线
在点
处的切线方程，进而
即可判断AB；画出函数
与
图象，由
可得
，
化简计算即可判断CD.
【详解】由题意知，
，则
，
所以曲线
在点
处的切线方程分别为
，
因为切线均过原点，所以
，
即
，得
，故AB 错误；
由
，得
，画出函数
与
图象，如图，
三角函数型切线，要注意三角函数的周期性与正余弦函数的有界性。
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设
，如上图易知：
，
由正切函数图象性质
，得
，即
，
又
，所以
，
即
，解得
，故C 正确，D 错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：证明选项CD 的关键是根据
构造新函数
，通过转化的思想和
数形结合思想分析是解题的关键.
2．（2023·湖北武汉·二模）已知直线
与函数
的图象恰有两个切点，设
满足条件的
所有可能取值中最大的两个值分别为
和
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据结论恒成立可只考虑
的情况，假设切点坐标，则只需考虑
，
，
其中
的情况，可将
表示为
；构造函数
，
，利用导数可求得
的单调性，从而对
进行放缩即可求得所求范围.
【详解】
对于任意
，
，
，
的范围恒定，
只需考虑
的情况，
设
对应的切点为
，
，
，
设
对应的切点为
，
，
，
，
，
，
只需考虑
，
，其中
的情况，
则
，
，其中
，
；
又
，
，
，
；
19
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令
，则
，
在
上单调递增，
，
设
，
，又
，
，
；
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
即
，
在
上单调递减，
，
，
；
综上所述：
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数与三角函数综合应用问题，解题关键是能够采用特殊值的方式，考虑
不含变量的函数
的情况，采用构造函数的方式对所求式子进行放缩，从而求得
的范围.
3．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）将函数
的图象绕着原点沿逆时针方向旋转
角
得到曲线
，已知曲线
始终保持为函数图象，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【分析】应用导数几何意义求
在原点处的切线，根据题意
，结合诱导公式求
的
范围，即可得答案.
【详解】由题设
，在原点处的切线斜率
，
所以切线方程为
，设切线倾斜角为
，则
，
当
绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，
则
，故
，显然
为锐角，
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所以
，故
的最大值为
．
故选：B
4．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数
图象上有一最低点
，将此
函数的图象向左平移
个单位长度得
的图象，若函数
的图象在
处的切线
与
的图象恰好有三个公共点，则
的值是 .
【答案】
【分析】由辅助角公式化一，再根据正弦函数的最值求出函数
的解析式，进而可求出
的解析式，
再结合正弦函数图象特征，利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】
，
因为函数
图象上有一最低点
，
所以
，且
，
所以
，所以
，
所以
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度得
的图象，，
则
，
如图，结合
的图象及对称性可知，
在
处的切线经过点
，设切点为
，
则
，所以
，
整理得
，所以
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键点是找到切线与
的图象有个交点时，该切线过点
，再
利用导数处理即可.
5．（23-24 高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数
（
且
），其中
的最
小正周期
，且
，函数
的图象在
处的切线与
的图象恰
好有3 个公共点，则
.
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【答案】
【分析】根据已知条件，求得函数解析式；再结合正弦函数图象特征，利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】因为
，则
的图象关于
对称，
或者
；
若
：
因为
的最小正周期
，所以
，即
，
解得
，即
，
此时
，
又
，则
，
所以
，与
矛盾，不合题意；
所以
的一条对称轴为
，
即
，所以
，
；
因为
，所以
，即
，所以
，
又因为
，所以
，则
，
因为
，则
，又
，
所以
，
又
，则
①
又因为
②，
联立①②解得
，
，所以
.
如图，结合
的图象及对称性可知，
在
处的切线经过点
，切点为
，
则
，所以
，
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整理得
，所以
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键点是找到切线与
的图象有个交点时，该切线过点
，
再利用导数处理即可.
题型八：函数公切线
对函数
，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
)和
再令
，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即
可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
1．（23-24 高二下·广东佛山·期中）经过曲线
与
的公共点，且与曲线
和
的公切线垂直的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先联立
与
得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设
与
和
分别相切于
，
，利用导数的几何意义得到方程，求出
，即
可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.
【详解】由
，消去
整理得
，
令
，则
，所以
在
上单调递增，
又
，
所以方程组
的解为
，
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即曲线
与
的公共点的坐标为
，
设与
和
分别相切于
，
，
而
，
，
，
，
，解得
，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为
，
所以所求直线方程为
，整理得
．
故选：B．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数
，若直线是曲线
与曲线
的
公切线，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
与
相切于点
，与
相切于点
，利用导数的几何意义，
得到
和
，再由
，求得
，得到
，令
，利用导数求得函数的单调性与最值，求得
，即可求解.
【详解】设
与曲线
相切于点
，与
相切于点
，
由
，可得的斜率
，所以
①，
又由
，可得
，所以
，即
②，
又因为
③，
将②③代入①中，可得
，由③易知，
,则
④，
将④代入③，可得
，则
，
令
，则
，当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．所以
，当且仅当
时取等号，
故
，可得
，所以
，
所以的方程为
，即
．
故选：B．
【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
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4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
3．（22-23 高二下·辽宁阜新·阶段练习）已知两条不同的直线与曲线
都相切，则这两
直线在y 轴上的截距之和为（ ）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
【答案】A
【分析】设曲线
上切点为
，曲线
上切点为
，由切线斜率得
，
消去
得
，设
，利用导数证明其有两解，并且两解的积为
1，从而得出曲线
上两个切点的横坐标积为1，写出切线方程得出纵截距并求和即得．
【详解】设曲线
上切点为
，曲线
上切点为
，
，
，
因此有
，消去
得
，
设
，
，易知
在
上是增函数，
，
，
因此
在
也即在
上有唯一解
，
时，
，
递减，
时，
，
递增，
，
，
，而
，
，
因此
在
和
上各有一解．
设
的解分别为
，
即
，又
，
所以
也是
的解，即
，
，
所以方程
有两解
且
，
于是切线方程为
，在
轴上截距为
，同理另一条切线在
轴上截距是
，
两截距和为
．
故选：A．
【点睛】未知切点时求函数
图象切线的方法：设切点为为
，求出导函数
，由导数的
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几何意义得出切线方程
，然后代入已知条件求出切点坐标后即可得切线方程．
4．（2021 高二·江苏·专题练习）已知函数
，
，若函数
的图象与函数
的图象在交点处存在公切线，则函数
在点
处的切线在y 轴上的截距为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设交点为
，分别求出
，
的导数，由题意得切线的斜率相等且切点重合，得到
m，a 的方程，消去a，可得
，令
，运用求得，判断单调区间，即可得到
，进而得到a 的值，再求
的导数和在
处的切线斜率和切点，求得切线方程，令
，
即可得到所求截距.
【详解】设交点为
，且
的导数为
，
的导数为
，
由题意，
且
，消去a 得：
，
令
，
，
当
时
，
递增；当
时
，
递减.
∴
处
取得极小值，也为最小值为0，则
，解得
，
代入
，可得
，即有
，
∴
，则在
处的切线斜率为
，切点为
∴在
处的切线方程为
，令
，可得
.
故选：C.
题型九：函数公切线求参数范围
1．（2023·广东深圳·一模）已知函数
，
，若总存在两条不同的直线与函数
求函数
和
的公切线.
1：设函数
的切点为
，设函数
的切点为
；
2：求导数
与
，得函数
的斜率
，函数
的斜率
；
3：函数
的切线
，函数
的切线
；
4：化简得
，
；
5：对比得
，联立解方程得公切线.
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，
图象均相切，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设函数
，
的切点坐标分别为
，
，根据导数几何意义可得
，
，即该方程有两个不同的实根，则设
，求导确定其单调性与取
值情况，即可得实数a 的取值范围.
【详解】解：设函数
上的切点坐标为
，且
，函数
上的切点坐标
为
，且
，
又
，则公切线的斜率
，则
，所以
，
则公切线方程为
，即
，
代入
得：
，则
，整理得
，
若总存在两条不同的直线与函数
，
图象均相切，则方程
有两个不同的实根，
设
，则
，令
得
，
当
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
又
可得
，则
时，
；
时，
，则函数
的大致图象如下：
所以
，解得
，故实数a 的取值范围为
.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是，根据公切
线的几何意义，设切点坐标分别为
，且
，
，且
，可得
，即
有
，得公切线方程为
，代入切点
将双变量方程
转化为单变量方程
，根据含参方程进行“参变分离”得
，转化为一
曲一直问题，即可得实数a 的取值范围.
2．（22-23 高二下·浙江杭州·期中）已知函数
，若存在两条不同的直线与函数
和
图像均相切，则实数
的取值范围为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】相同切线的位置上，设
的切点坐标为
，
的切点坐标为
，由导数
求切点处切线的斜率，有
，由切点
求出切线方程，代入切点坐标
，得
，方程要有两个不同的实数根，设
，利用导数研究单调性，找最值，可
得
的取值范围，即可得实数
的取值范围.
【详解】
时，
，
，不合题意，故
，
，函数定义域为
，
，
，
，
相同切线的位置上，设
的切点坐标为
，
的切点坐标为
，
则有
，即
，
公切线方程为
代入
，得
，即
，整理得
，
若存在两条不同的直线与函数
和
图像均相切，则方程
有两个不同的实数
根，
设
，则
，
，解得
；
，解得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时函数
有最大值
，所以
，
当
时，符合条件；
当
时，有
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：C
【点睛】方法点睛：证明两曲线恰有两条公切线，一般涉及到曲线的切线都是利用切点来引入，通过假设
切点，求出其中一条曲线的切线方程，利用切线方程与另一条曲线也相切可以得到切点满足的条件（方
程），从而把曲线的切线问题转化为方程根的分布问题进而变成函数的零点问题，这就是转化与化归思想。
3．（2023·河北·模拟预测）若曲线
与曲线
存在公切线，则实数
的
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最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，设公切线与
切于点
，与曲线
切于点
，
，即可得到
，则
或
，从而得到
，在令
，
，利用导数求出函数的最小值，即可得解；
【详解】因为
，
，
所以
，
，
设公切线与
切于点
，与曲线
切于点
，
，
所以
，
所以
，所以
，所以
或
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
令
，
，
则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以实数
的最小值为
.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及公切线问题一般先设切点，在根据斜率相等得到方程，即可找到参数之间的关系，
最后构造函数，利用导数求出函数的最值.
4．（2023·云南保山·二模）若函数
与函数
的图象存在公切线，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求得公切线方程为
，联立方程组，结合
，得到
，令
，求得
，令
，求得
和
，得到函
数
的单调性和最小值
，进而得到
，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
29
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因为
，设切点为
，则
，
则公切线方程为
，即
，
与
联立可得
，
所以
，整理可得
，
又由
，可得
，解得
，
令
，其中
，可得
，
令
，可得
，函数
在
上单调递增，且
，
当
时，
，即
，此时函数
单调递减，
当
时，
，即
，此时函数
单调递增，
所以
，且当
时，
，所以函数
的值域为
，所以
且
，
解得
，即实数
的取值范围为
.
故选：A.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
5．（23-24 高三上·福建漳州·开学考试）已知直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则k 的最大值是（ ）
A．
B．
C．2e
D．4e
【答案】B
【分析】设切点分别为
和
，则
，根据题意转化为
有解，设
，求得
，得出函数的单调性和极小值
，结合
，即可求解.
【详解】因为
是
和
的公切线，
设切点分别为
和
，则
，
由
，可得
，则
又由
，可得
，且
，则
，
30
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所以
，可得
，
即
，显然
同号，不妨设
，
设
，（其中
），
可得
，令
，可得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
要使得
有解，则需要
，即
即
，解得
，所以
，即
的最大值为
.
故选：B.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
6.（21-22 高三上·四川成都·期中）如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线
和曲线
有且仅有两条公切线，那么常数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把曲线
和曲线
有且仅有两条公切线，转化为
有且仅有两解.
记
，利用导数研究单调性和极值，建立不等式
，即可解得.
【详解】曲线
上一点
，
，切线方程为：
.
曲线
上一点
，
，切线方程为：
.
若直线与两条曲线都相切，则有
，消去
得：
.
因为曲线
和曲线
有且仅有两条公切线，
所以
有且仅有两解.
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记
，则
.
令
，得
，所以
在
上单增；
，得
，所以
在
上单增.
所以
.
又有
，解得：
（舍）或
.
当
，则
；当
，则
；
而
，所以要使
有且仅有两解，
只需
，解得：
.
故选：B
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
题型十：函数公切线条数判断
1．（21-22 高二下·山东菏泽·阶段练习）若直线与曲线
和
都相切，则直线的条数有（ ）
A．
B．
C．
D．无数条
【答案】C
【分析】先设出所求直线l，再通过设出的直线斜率得到切点，运用切点和斜率构造方程，再通过构造新
的函数求解方程解的情况
【详解】设直线
因为直线与曲线
和
都相切
所以对于曲线
，
，
，切点
对于曲线
，
，
，切点
因为公切线过A、B 两点
所以
进而可得
令
因为
，
均为增函数，又因为
，
所以存在
使得
即
所以
在
时单调递减，在
单调递增，
又因为
所以
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当
时，
因为
，所以
所以在
内存在
使得直线与曲线
和
都相切
当
时，
因为
，所以
所以在
内存在
使得直线与曲线
和
都相切
所以综上所述，存在两条斜率分别为
的两条直线与曲线
和
都相切
故选：C
【点睛】①本题运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来
②通过构造新的函数求解所得到的跟直线斜率有关的方程
③通过零点存在性定理最后得到函数是否存在零点，即方程解的情况
2．（2018·江西南昌·一模）已知函数
，则
和
的公切线的条数为
A．三条
B．二条
C．一条
D．0 条
【答案】A
【分析】分别设出两条曲线的切点坐标，根据斜率相等得到方程
，构造函数
，研究方程的根的个数，即可得到切线的条数.
【详解】设公切线与
和
分别相切于点
，
，解得
，代入化简得
，构造函数
，原函数在
，极大值
故函数和x 轴有交3 个点，方程
有三解，故切线有3 条.
故选A.
【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已
知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.考查了函数零点
个数问题，即转化为函数图像和x 轴的交点问题.
3（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线
与
有三条公切线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数几何意义，分别设出两条曲线的切线方程，将问题转化为一条直线与一条曲线交点个数
问题，即可求出
的取值范围.
【详解】设公切线为
是与
的切点，由
，得
，
设
是与
的切点，由
，得
，
所以的方程为
，
因为
，整理得
，
同理
，
因为
，整理得
，
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依题意两条直线重合，可得
，
消去
，得
，
由题意此方程有三个不等实根，设
，
即直线
与曲线
有三个不同的交点，
因为
，令
，则
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
有极小值为
，
有极大值为
，
因为
，
，
，所以
，
当
趋近于
时，
趋近于0；当
趋近于
时，
趋近于
，
故
的图象简单表示为下图:
所以当
，即
时，直线
与曲线
有三个交点.
故选：A.
4．（2018·山东·一模）已知曲线
与
恰好存在两条公切线，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
的导数
的导数为
，设与曲线
相切的切点为
相切
的切点为
，则有公共切线斜率为
，又
，即有
，即为
，即有
，则有
，即为
，恰好存在两条公切线，
即有两解，
令
，则
，当
时，
递减，当
时，
递增，即有
处
取得极大值，也为最大值，且为
，由恰好存在两条公切线
可得
与
有两个交点，结合函数的图象与单调性可得
的范围是
，故选D.
【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及转化与划归思
想，数形结合思想的应用，属于难题.解答方程根的问题最常见的方法是转化为函数交点后，利用数形结合
解答：一是转化为两个函数
的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个
数就是函数零点的个数，二是转化为
的交点个数的图象的交点个数问题.
5．（17-18 高二下·云南保山·期末）已知曲线
与
恰好存在两条公切线，则实数
的取值范
围为
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【分析】设切点分别为
和(s，t)，再由导数求得斜率相等，得到
构造函数由导数求得参数
的范围．
【详解】
的导数为
的导数为
设与曲线
相切的切点为
与曲线
相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为
又
，
即有
，即为
，即有
则有
即为
令
则
，
当
时，
递减，当
时，
递增，即有
处
取得极大值，
也为最大值，且为
由恰好存在两条公切线，即s 有两解，可得a 的取值范围是
，
故选B．
【点睛】可导函数y=f(x)在
处的导数就是曲线y=f(x)在
处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在
利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在
处的切线是
,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点
,把(m,n)
代入
,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方
程，再两直线方程系数成比例．
6．（2022·江西南昌·一模）已知函数
，若
和
图象有三条
公切线，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设公切线与
分别相切于点
,对
，
，根据题意可得
，即
，化简得
，再利用导
数法求解.
【详解】设公切线与
分别相切于点
,
，
，
，
即
，
解得
，
代入化简得
，
令函数
，则
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以
在区间
递增，在区间
递减，在区间
递增，
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且
，
，可知a 无上界，即
时，
方程
有三解，即
和
图象有三条公切线.
故选：A.
题型十一：公切线综合
1．（2022·辽宁沈阳·二模）若直线
与直线
是曲线
的两条切线，也是
曲线
的两条切线，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．-1
D．
【答案】C
【分析】利用
和
互为反函数推得两条公切线
和
也互为反函数，结合导
数的几何意义表示出
，
，进而化简可得
，代入
化简可得答案.
【详解】由
和
互为反函数可知，
两条公切线
和
也互为反函数，
即
满足
，
，即
，
，
设直线
与
和
分别切于点
和
，
可得切线方程为
和
，
整理得：
和
，则
，
，
由
，得
，且
，
则
，所以
，
所以
,
故选：C
【点睛】本题考查了反函数的相关知识以及导数的几何意义的应用，解答时要注意利用导数的几何意义写
出切线方程并进行系数的比较，从而得出参数之间的关系式.
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.
主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，
通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
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2．（20-21 高二下·湖北武汉·期中）若曲线
上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线
的自公切线，则下列方程对应的曲线中存在自公切线的为
①
； ②
； ③
； ④
.
A．②③
B．①②
C．①②④
D．①②③
【答案】B
【分析】①画出其图像，有两个相同的最小值点，所以有自公切线；
②周期函数，其图像有无数个最值点相同，所以有自公切线；
③对勾函数，图像不存在相同的最值点，只有平行的公切线；
④是由两个半径相同的圆弧构成的封闭曲线，没有自公切线.
【详解】①
，其图像如所示，
在
和
处的切线都是
，故有自公切线；
②
，此函数是周期函数，过图像的最高点的切线都重合，
故此函数有自公切线；
③
为对勾函数，分别位于一三象限，图像关于原点对称，且导数为
，在
递增，
递减，其图像如图，
存在平行的切线，不存在自公切线；
④由于
，即
，
当
时
，当
时
，其图像如图所示，
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结合图像可得，此曲线没有自公切线.
故选：B.
3．（21-22 高三上·河北唐山·期末）已知直线与曲线
和
分别相切于点
，
.有以下命题：（1）
(
为原点)；（2）
；（3）当
时，
.则真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】先利用导数求斜率得到直线的方程，可得出
，分类讨论
的符号，计算化
简
并判断其符号即得命题①正确；由
结合指数与对数的互化，得
到
，即得
的范围，得命题②错误；构造函数
，研究其零点
，
再构造函数
并研究其范围，即得到
，得到命题③正确.
【详解】
，
，所以直线的斜率
，直线的方程为
，即
，同理根据
可知，直线的方程为
，故
，得
.
命题①中，若
，由
可得
，此时等式
不成立，矛盾；
时，
，因此，
若
，则
，有
，此时
；
若
，则
，有
，此时
.
所以根据数量积定义知，
，即
，故①正确；
命题②中，由
得
，得
或
，故②错误；
命题③中，因为
，由②知，
，
或
，
38
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故当
时，即
，设
，则
，故
在
是增函数，而
，
，故
的根
，因为
，故构造函数
，
，则
，故
在
上单调递减，所以
，
故
，故③正确.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用导数几何意义求曲线的切线，考查了利用函数的单调性研究函数的零点问题，属
于函数的综合应用题，属于难题.
4．（22-23 高三上·河南·阶段练习）已知曲线
与
的两条公切线所成角的正切值为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用反函数的性质、倍角公式以及切线方程进行求解.
【详解】因为
与
互为反函数，故图像关于
对称，
设一条切线与两个函数图像分别切于
两点，且两条切线交点为
，
如图，
设
，则
，即
，解得
或-3（舍去），
故
，易求得曲线
的斜率为2 的切线方程为
，
故曲线
的斜率为2 的切线方程为
，
的斜率为2 的切线方程为
，故曲线
的斜率为2 的切线方程为
，
所以
，则
，则
.故A，B，D 错误.
故选：C.
5.（23-24 高二下·北京·期中）若曲线
上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线
的“自公切线”，则下列曲线
中，所有存在“自公切线”的序号为 ．
①
；
39
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②
；
③
；
④
．
【答案】①②④
【分析】对于①，考虑曲线在
和
处的切线即可；对于②，取
满足
，
，然
后考虑曲线在
和
处的切线即可；对于③，用反证法即可证明曲线不存在“自公切线”；对
于④，考虑曲线在
和
处的切线即可；
【详解】由于每个选项对应的曲线均具有形式
，故我们在每个选项的判断中令
为相应的函
数.
对于①，由于当
时
，当
时
，
故当
时
，当
时
，从而
，
.
所以曲线
在
和
处的切线均为
，故①符合条件；
对于②，由于
，故
，从而
和
显然都是具有周期
的
周期函数.
任取一个满足
，
的实数
，
则
，
.
所以曲线
在
和
处的切线均为
，故②符合条件；
对于③，假设曲线
在
和
处的切线均为直线，且
两两不等，
则
都等于直线的斜率，即
，其中
是直线
的斜率.
而
，故
，所以
. 结合
知
.
但
，矛盾.
这表明曲线
不存在“自公切线”，故③不符合条件.
对于④，由于当
时
，当
时
，故当
时
，
当
时
.
我们记
，则有
，
40
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，
，
.
即
，
，
.
设
，
，则
都在曲线
上，
且
，从而
.
设为经过点
且斜率为
的直线，则由
知也经过
.
而
都在曲线
上，且
，故和曲线
在点
处均相切.
所以
存在“自公切线”，故④符合条件.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于在曲线上找出合适的两个点，并证明曲线在它们处的切线相同.
题型十二：切线逼近求零点
1.（21-22 高二下·河南开封·期末）若函数
有3 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】函数
有3 个零点，等价于函数
与函数
的图象有3 个交点，利
用导数求得两函数相切时的a 值，再利用数形结合即可求得实数
的取值范围
【详解】令
，得
，
所以函数
有3 个零点，
等价于函数
与函数
的图象有3 个交点，
作出函数
的图象，函数
的图象恒过
点，
当
时，显然函数
与函数
的图象仅有2 个交点，不符合题意；
当
时，当直线
与曲线
相切时，
不妨设切点坐标为
，
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
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则曲线
在切点处的切线斜率
，
又因为切点也在直线
上，
所以
，解得
，则切点为
，此时
，
所以若函数
与函数
的图像仅有3 个交点，则
；
根据函数图象的对称性，
当
时，若函数
与函数
的图象仅有3 个交点，则
．
综上所述，实数
的取值范围是
．
故选：D．
2.（21-22 高三·湖南长沙·阶段练习）函数
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，当
时，
，若函数
恰有一个零点，则实数
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据条件判断函数周期为
，求出函数在一个周期内的解析式，将函数的零点转化为
与直线
只有一个交点，结合函数图像，即可求解.
【详解】函数
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，
，
，
即
，
的周期为
.
时，
，
，
，
，
周期为4，
，
当
，
当
，
做出函数
图像，如下图所示：
令
，
当
，
，
，两边平方得
，
42
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，
此时直线与
在
函数图像相切，与函数有两个交点，
同理
，直线与
在
函数图像相切，与函数有两个交点，
则要使函数
在
内与直线
只有一个交点，
则
满足
，
周期为4，
范围也表示为
，
所以所有
的取值范围是
.
故选:D.
【点睛】本题考查函数零点的应用，根据函数的性质求出函数的周期性和对称性，利用数形结合思想是解
决问题的关键，综合性较强，属于难题.
3.（2022 江西南昌·一模）定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，
若函数
有个零点，则实数
的取值范围为．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
,当
时，
,作出
图形，由图可知直线
过点
时有六个交点，过点
时有八个交点，过点
时有六个交点，
过点
时有八个交点，因此要使函数
有7 个零点，需
，选A.
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4.（20-21 高三上·河南·阶段练习）已知函数
，
在
上
有个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可知，函数
与
的图象在
上有三个交点，对实数
的取值进行分类讨
论，数形结合可得出关于实数
的不等式组，综合可解得实数
的取值范围.
【详解】因为函数
在
上有个不同的零点，
所以，关于
的方程
在
上有个不同的实数根，
作出函数
的图象如下图所示：
函数
的图象恒过点
，
当
时，函数
的图象与
轴的交点为
，
①当
时，即当
时，函数
与
的图象在
上仅有
个不同的交点，如下图所
示：
②当
时，即当
时，函数
与
的图象在
上有个交点，在
上有
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个交点，如下图所示：
③当
时，即当
时，函数
与
的图象在
上有个交点，在
上有个
交点，如下图所示：
④当
时，即当
时，函数
与
的图象在
上有
个交点，如下图所示：
⑤当
时，要使得函数
与
的图象在
上有个交点，
则
与
的图象在
上有个交点，
则
与函数
在
上的图象有两个交点，即方程
在
上有两个不
等的实根，设
，则
在
上有两个零点，
可得
，解得
，此时
.且
与
的图象在
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上有一个交点，则
，解得
.由上可知，
；
⑥当
时，
，如下图所示：
直线
与函数
在
上的图象有三个交点.综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：D.
题型十三：双切线存在性
1.（22-23 高三上·山东泰安·阶段练习）设曲线
（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为
，曲线
上任意一点处的切线为
，若对任意位置的总存在
，使得
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求得
的导数，设
，
为
上的任一点，可得切线的斜率
，求得
的导数，设
图象上一点
，
可得切线
的斜率为
，运用两直线垂直的条件：斜率之积为
，分别求
的值域
，
的值域
，由题意可得
，可得
的不等式，可得
的范围．
【详解】解：
的导数为
，设
，
为
上的任一点，
则过
，
处的切线的斜率为
，
的导数为
，
过
图象上一点
，
处的切线
的斜率为
．由
，可得
，
即
，任意的
，总存在
使等式成立．则有
的值域为
，
．
的值域为
，
有
，即
，
，
，即
，解得：
故选：
．
2.（2022·安徽合肥·二模）若对于函数
图象上任意一点处的切线，在函数
的图象上总存在一条切线
，使得
，则实数a 的取值范围为（ ）
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点.
不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，
则f′(x1)＝g′(x2)（平行），或者f′(x1)*g′(x2)=-1（垂直）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】转化条件得
，
，使得
成立，利用基本不等
式求得
的取值范围后即可得解.
【详解】函数
，
，函数
，
，要使过曲线
上任意一点的切线为，在函数
的图象上总存在一条切线
，
使得
，
则
即
，
，
，当且仅当
时等号成立，
，
，
使得等式成立，所以
，
解得：
或
.故选：A.
【点睛】本题考查了导数的几何意义和基本不等式的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.
3.（多选）（20-21 高二下·福建宁德·期中）若以函数
的图象上任意一点
为切点作切线
，
图象上总存在异于P 点的点
，使得以Q 为切点的切线
与平行，则称函数
为“和谐函数”，下面函数中是“和谐函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】求出导函数
，判断对函数定义域内任意
，是否都存在
，使得
．
【详解】A．
，
，当
时，
是最小值，不存在
满足题意；
B．
，定义域是
，
，它是偶函数，因此对任意的
，取
都
有
，满足题意，
C．
，
，它是周期函数，最小值正周期是
，因此对任意
，取
，
都有
，满足题意，
D．
，定义域是
，
，
令
，
，
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当
时，
，
递减，当
时，
，
递增，
是极小值也是最小值，取
，则不存在
使得
，不满足题意．
故选：BC．
【点睛】本题考查新定义，解题关键是理解新定义，并利用新定义进行转化．本题解题实质就是求出导函
数
，然后确定对函数定义域内任意的
，是否存在
，使得
，由此可确定导函数
的奇偶性与单调性、最值，从而得出结论．
4.（20-21 高三上·全国·阶段练习）设函数
图象上任意一点处的切线为，总存在函数图象
上一点处的切线
，使得
，则实数
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求出两个函数的图象上任意一点出切线的斜率的值域，再将题意转化为两个
值域的子集关系，根据子集关系列式可得结果.
【详解】设函数
在点
处的切线为，函数
在点
处的切线为
，
因为
，则
，
因为
，所以
，所以
，
而
，所以
，
依题意可知，对
，总
，使得
，所以
，
所以
且
，解得
所以实数
的最小值为
故答案为：
【点睛】结论点睛：若
，
，有
，则
的值域是
值域的子集.
题型十四：切线逼近：不等式整数解求参
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1.（2022 高三·全国·专题练习）已知关于
的不等式
有且仅有两个正整数解（其中
为自然对数的底数），则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】问题转化为
（
）有且仅有两个正整数解，讨论
、
并构造
、
，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.
【详解】当
时，由
，可得
（
），
显然当
时，不等式
在
恒成立，不合题意；
当
时，令
，则
在
上单调递增，
令
，则
，故
上
，
上
，
∴
在
上递增，在
上递减，
又
且
趋向正无穷时
趋向0，故
，
综上，
图象如下：
对于不等式含参型整数解，多转化为切线逼近求不等式整数解，。
转化目标：
1. 一侧是可求导画图的函数
2. 一侧是含参型动直线。
3. 通过动直线与函数图像的关系，代入整数值，寻找满足整数解的参数范围
4. 要注意的是，因为是满足的整数解，所以代入点时，要“跳跃型”代入。
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由图知：要使
有两个正整数解，则
，即
，解得
．
故选：D
【点睛】关键点点睛：问题转化为
（
）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调
性及正整数解个数列不等式组求范围.
2.（21-22 高三上·黑龙江大庆·期中）设函数
，其中
，若不等式
有
且只有三个整数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
变形为
，利用导数研究
的单调性，画出图像，通过图像，结
合不等式
有且只有三个整数解，列不等式组，解不等式组求得
的取值范围.
【详解】不等式
可化为
.令
，
，所以
在
上
递增，在
上递减，且当
时，
，
时，
，
时，
.由此画
出
的图像如下图所示.函数
过点
，依题意
有且只有三个整数解，即
在
图像下方的部分，有且只有三个整数
满足.由图可知，
.
，所以
，
，所以
.故选：B
【点睛】本小题主要考查根据不等式的整数解的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，
考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
3.（22-23 高二下·安徽安庆·期末）已知函数f（x）＝（mx
1
﹣）ex
x
﹣2，若不等式f（x）＜0 的解集中恰有
两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】C
【分析】令
，化简得
，构造函数
，画出两个函数图像，结合两
个函数图像以及不等式解的情况列不等式组，解不等式组求得
的的取值范围.
【详解】
有两个正整数解即
有两个不同的正整数解，
令
，
，故函数
在区间
和
上递减，在
上递增，画出
图像如下图所示，
要使
恰有两个不同的正整数解等价于
解得
故
，选C.
【点睛】本小题主要考查不等式解集问题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方
法，属于中档题.
4. （多选）（2021 高二·江苏·专题练习）已知函数
，下列选项正确的是 （ ）
A．函数f（x）在（－2，1）上单调递增
B．函数f（x）的值域为
C．若关于x 的方程
有3 个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
D．不等式
在
恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是
【答案】AC
【分析】A 选项，利用导函数求解单调性；B 选项，利用导函数研究函数单调性，极值情况，画出图象，
作出判断；C 选项，画出
的图象，数形结合将根的个数转化为图象交点个数，从而判断出a 的取
值范围是
；D 选项，画出
的图象，数形结合得到斜率的取值范围，进而求出a
的取值范围.
【详解】当
时，
，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
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当
时，
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
又当
时，
，
，
故数f（x）在（－2，1）上单调递增，A 正确；
由A 选项分析可知：
在
处取得极小值，
，
在
处取得极大值，
，
又
时，
恒成立，
时，
恒成立，
画出
，如图：
故f（x）的值域为
，B 错误；
由
得：
或
画出
的图象，如图所示：
从图象可以看出
有1 个根，为
，
要想方程
有3 个不相等的实数根，
需要
需要有2 个不相等的实数根，且不等于-1，
所以则实数a 的取值范围是
，C 正确；
不等式
在
恰有两个整数解，
即
在
恰有两个整数解，在同一坐标系下画出
的图象：当
介于直线
之间时，满足要求，
其中
，
，
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则实数a 的取值范围是
，D 错误.
故选：AC
【点睛】研究方程根的个数问题或根据根的个数求取值范围问题，当方程较复杂时，要转化为两个函数的
交点问题，数形结合进行求解.
53
