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专题08 解三角形（考点练+模拟练）
一、填空题
1．（23-24 高三下·上海·期中）在
中，角
的对边分别为
，若
，则
.
2．（23-24 高三上·上海闵行·期中）在
中，
，
，
，则
边上的高为 ．
3．（23-24 高三上·上海普陀·期中）在
中，
，则
.
4．（2024·上海·模拟预测）
的内角
、
、
所对边长分别为
，面积为，且
，则角
.
5．（2024 高三·上海·专题练习）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.若
，
，
，则
的面积为 ．
6．（2024·上海崇明·二模）已知A、B、C 是半径为1 的圆上的三个不同的点，且
，则
的
最小值是 ．
7．（23-24 高三上·上海奉贤·阶段练习）
中，角
所对的边分别为
则
.
8．（23-24 高三上·上海黄浦·期中）已知
中，
，且
，则
面积的最大值为 .
9．（2024 高三·上海·专题练习）在
中，内角
所对的边分别为
，已知
，且
为
1
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钝角，则
；
的取值范围是
10．（23-24 高三上·上海黄浦·期中）在
中，三个内角
的对边分别为
，若
，则
的值为 ．
11．（23-24 高三上·上海徐汇·期中）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个
出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD；已知某人从C 沿CD 走到D 用了10
分钟，从D 沿DA 走到A 用了6 分钟；若此人步行的速度为每分钟50 米，则该扇形的半径OA 的长为
（精确到1 米）
12．（2024 高三·上海·专题练习）已知
的面积为3，
，
为
所在平面内异于点
的两个不
同的点，若
且
，其中
，则
的面积为 .
13．（23-24 高三上·上海·期中）已知
的三边长之比为5 6 9
∶∶，记
的三个内角的正切值所组成的
集合为M，则集合M 中的最大元素为 ．
14．（22-23 高三上·上海浦东新·期中）
中，
，若
，
，其中
，则
的最小值为 .
15．（2022·上海宝山·模拟预测）已知向量
，其中
且
．设
与
的夹角为
，若对于任意
，总有
，则
的最
小值为 ．
16．（21-22 高二上·上海普陀·阶段练习）已知平面内不同的三点
，满足
，若
，
2
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的最小值为
，则
.
二、单选题
17．（23-24 高三下·上海·开学考试）
中，以下与“
”不等价的是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（23-24 高一下·上海·阶段练习）已知
内角
的对边分别是
，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）在
中，已知
，
，若
有唯一值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2024 高三·上海·专题练习）正三角形
的边长为3，点
在边
上，且
，三角形
的外接圆的一条弦
过点
，点
为边
上的动点，当弦
的长度最短时，
的取值范
围是（ ）
A．
B．
3
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C．
D．
三、解答题
21．（23-24 高三下·上海·阶段练习）在
中，
，
，分别是角
，
，
所对的边，
，
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
22．（2024 高三·上海·专题练习）记
的内角
的对边分别为
，已知
(1)试判断
的形状；
(2)若
，求
周长的最大值.
23．（23-24 高三上·上海虹口·期末）设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
为锐角三角形，求
的值域．
24．（23-24 高三上·上海浦东新·期中）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意图，在
四个点分别建造了供老年人活动的器械.
四个点所围成的四边形即为老年人的活动区域.为了便于
老年人在草坪上行走，小区建造了
，
，
，
，
，
六条步行道，其中
，
，
，
.设
，
，为四边形
的面积.
4
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(1)若
，求的值:
(2)求的最大值，并求取到最大值时
的值.
25．（23-24 高三下·上海松江·阶段练习）设
的内角A、B、C 所对边分别为a、b、c，若
.
(1)求证：a、b、c 成等差数列；
(2)若
均为整数，且存在唯一的钝角
满足条件，求角C 的大小.
26．（2024 高三·上海·专题练习）如图1，某景区是一个以C 为圆心，半径为3km 的圆形区域，道路，
成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB，点A，B 分别在和
上，修建
的木栈道AB 与道路，
围成三角地块OAB．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．
(1)当
为正三角形时求修建的木栈道AB 与道路，
围成的三角地块OAB 面积；
(2)若
的面积
，求木栈道AB 长；
(3)如图2，设
，
①将木栈道AB 的长度表示为
的函数，并指定定义域；
②求木栈道AB 的最小值．
一、填空题
5
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1．（2024·上海黄浦·二模）在
中，
，
，
，则
.
2．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为
，，
，则这个三角形外接圆的直径为
.
3．（2024·福建莆田·二模）已知
的内角
的对边分别为
，若
，则
．
4．（2023·上海奉贤·一模）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点
和
．某日两个观测点的林场
人员都观测到
处出现火情．在
处观测到火情发生在北偏西
方向，而在
处观测到火情在北偏西
方向．已知
在
的正东方向
处（如图所示），则
. （精确到
）
5．（2023·上海嘉定·一模）在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，
的面积为
，
，
，则
.
6．（2021·上海·一模）某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：
m），且该区域的租金为每天4 元/m2．若租用上述区域5 天，则仅场地的租用费约需________元．（结果
保留整数）
7．（2022·上海虹口·一模）已知角
，
，
是
的三个内角，若
，则该三
角形的最大内角等于 （用反三角函数值表示）.
8．（2022·上海金山·二模）已知平面向量
满足
，若关于
的方程
有实
数解，则
面积的最大值为 .
6
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9．（2024·上海·三模）空间中
两点间的距离为，设
的面积为，令
，若
，则的取值范围为 ．
10．（2022·上海宝山·一模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
，若
，则
的最大值为 .
11．（2023·上海虹口·一模）在
中，
，
，
，
是
的外心，若
，其中
，
，则动点
的轨迹所覆盖图形的面积为 ．
12．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知
满足
，
为
所在平面内一点.
定义点集
.若存在点
，使得对任意
，满足
恒成
立，则
的最大值为 .
二、单选题
13．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点
为
的外心，且
，则
为
（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
14．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太
阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面
所成的二面角为120°，墙的高度均为3 米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴
影宽度分别为1 米、1.5 米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，
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则时刻最可能为（ ）
太阳高度角
时间
太阳高度角
时间
43.13°
08:30
68.53°
10:30
49.53°
09:00
74.49°
11:00
55.93°
09:30
79.60°
11:30
62.29°
10:00
82.00°
12:00
A．
B．
C．
D．
三、解答题
15．（2024·上海奉贤·三模）已知三角形
的三个角对应的边分别为
、
、
(1)求证：存在以
为三边的三角形；
(2)若以
为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形
的最小角．
16．（2023·上海·三模）已知在
中，角
所对的边分别为
，且满足
．
(1)若
，求
的面积；
(2)求
的最大值，并求其取得最大值时
的值．
17．（2024·上海宝山·二模）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积为
，求
的最小值，并判断此时
的形状.
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18．（2024·上海普陀·二模）设函数
，
，
，它的最小正周期为
.
(1)若函数
是偶函数，求
的值；
(2)在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
，
，
，求
的值.
19．（2023·上海杨浦·一模）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面
与
全等且所在平面平行，
与
各边表示挡雨棚支架，支架
、
、
垂直于平面
.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为
（即
），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形
（
、
分别在
、
延长线上）.
(1)挡雨板（曲面
）的面积可以视为曲线段
与线段
长的乘积．已知
米，
米，
米，小组成员对曲线段
有两种假设，分别为：①其为直线段且
；②其为以
为圆心
的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1 平方米）；
(2)小组拟自制
部分的支架用于测试（图3），其中
米，
，
，其中
，求有效遮挡区域高
的最大值.
20．（2023·上海浦东新·一模）在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD 所示.为考虑露
营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD 区域中，将三角形ABD 区域设立成花卉观赏区，三角形BCD 区
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域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA 修建观赏步道，边BD 修建隔离防护栏，其中
米，
米，
.
(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600 平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1
米）？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD 区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉
观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
10
