干万册畅销书作者最新力作
在广阔文化背景下同步培优
圄
管
你
统
观
级
专
皂
廷
队
黄
东
坡
智
慧
大
讲
堂
黄东坡。著
亨搬山站在
黄东坡
智慧大讲堂
带你统观.Jt学￡豆、
宏大的叙事，细致的分析，
把理性思维与人文情怀、诗意表达结合L
在广阔文化背景下叙述，展现数学方法之美、思维之姜、应用之美，
与学习同步，与发展同步，
回西且且田
巅覆人们对数学、数学教育、数学学习的认识!
黄东坡，国家骨干教师，数学教育学硕士，中
国数学会会员，
中国数学奥林匹克高级教练。多年
来，关注数学和数学教育的进展，致力于中考数学
和奥林匹克数学的研究，在《数学通报》、《数学
教师》等教育类核心期刊上发表文章三十余篇，出
版专著二十余部。(( 新方法》、
《新思维》、
《大
视野》等代表作畅销15年，因其独特视角和使用
价值，受干万读者赞誉，成为全国近200所重点中
学首选或必备书目，
多本被评为湖北省"最有影响
的十本书"、全国优秀畅销书!
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定价:
58 . 00元
黄东坡智慧大讲堂
带你发现数学之美
八年级
黄东坡著
亨茹韭菜半百陆军
启迪与智慧，数学之美的激发
2013 年9 月，十多万网友参加新浪网的一项调查，有70 % 网友坦言"在求
学期间，曾经被数学伤害过。"
没有哪门学科如数学这样，能引发学习者爱与恨的火热情感。
抽象的符号，繁难的计算，枯燥的推理;浩瀚的题海，重复的训练，八股化的
考试，数学正日益被"妖魔化"，从而导致许多人对这门学科总体上的逃避。
简洁的语言，精巧的构造，严谨的结构;代数的优雅，几何的神韵，清澈的理
性，无数数学大师、科学巨匠因数学之美的牵引，而热爱数学、赞美数学。
著名物理学家狄拉克曾说"上帝创造世界时用了美的数学。"
哲学家、数学家罗素己言"批杀，如果正确地看，不但拥有具，而且具有至
高的美。"
数学之美突出地表现为:方法之美、思维之美、应用之美。
数学思想方法是数学知识的高度概括，对数学知识有巨大的凝聚作用，是
联系知识的纽带，是实现由知识到能力的桥梁。数学发展的历史始终贯穿着两
条主线:数学知识的发展和思想方法的创新。
思维，人类的最美智慧之花。
数学是思维的学科，是锻炼思维的体操。数学的存在与发展依据思维，而
精湛的思维艺术又常借助数学彰显力量，数学在训练人的思维深度、广度、完整
度方面无与伦比，数学能使人们的思维综合为一种科学系统。
数学具有广泛的应用性，数学正昂首阅步地挺进、渗透一切领域。
哥白尼的日心说、牛顿的万有引力定律、爱因斯坦的相对论、无线电波的发
2
黄东坡@ …敛时(八年级)
现、DNA 双螺旋结构的打开;图像压缩、信息加密、CT 扫描、谷歌大海捞针、人
工智能、云计算、大数据，人类历史上每一项重大事件的背后都看得见数学的
身影。
大美不言，大音无声。
著名画家吴冠中说"今天的中国文盲不多了，但美盲却很多。"
我们不缺少应试的技巧与高分，但缺乏以美启真的引领，缺少对"美是真理
的光辉"的感悟。
与学习同步，与知识能力的发展同步，本书力求在广阔的数学文化背景中，
展现数学之美，带你发现数学之美。
清风出袖，明月入怀。
如醉如痴，令人流连学习和探索的数学之路有别样的美景。
愿你在学习中能感受体悟到数学的和谐与秩序、美妙与美好、哲理与诗意。
愿数学之美能带给你启边与智慧。
黄东坡
2017 年元月于武汉
在多彩的世界深情地抒写
在这个春光灿烂和风吹拂的下午，我们十几个黄东坡的铁杆粉丝聚在黄东
坡的身边，一起翻阅他正在做校正的《带你发现数学之美》书稿，厚厚的书稿用
智慧铺底，字字凝聚着心血，笔笔渗透了对数学文化充满激情的热爱，大家在发
自内心的认同和敬佩中一起举杯庆祝黄东坡在著书立说、数学教学及羽毛球运
动中齐头并进取得的成就，气氛热烈而欢乐，黄东坡在大家的心里，不只是朋
友，已然变成一个偶像，伟岸地挺立着。
十几年来，目睹黄东坡前行的每一步，从"云中漫步"开始，到"绿杨芳草数
学路"，再写" 心行山川1 ，笔耕沃野"，我用文字描述我眼睛看见的黄东坡，但是现
在我发现，我的文字已经无法描述这住在中国的数学教育中占有重要地位的偶
像，虽然他每次见到我们仍然满满地铺张着他那乐吁吁的招牌式笑容，激情飞
扬地用最美的文字描述在他眼里万千色彩、瑰丽奇美的数学，总是"未出庭院三
五步，额头已到数学前"，每句话都在尽情表达他发自内心对数学的热爱，这种
热爱的深刻已经不是我的文字能描摹的了。
黄东坡在他的数学文化的传播中，把理想与现实，数学与跨学科，理论与课
堂结合得相得益彰，开创了一个数学传播的新时代，完美表达数学世界的人文
关怀。走进黄东坡的数学世界，就能感受到黄东坡在广阔的文化背景下，用肆
意挥洒的文字展现的是数学思维之美、方法之美、应用之美，他用这些"举手可
近月、前行若无山"的文字带领读者上通数学，下达课堂，把艰涩高冷的数学变
成了孩子们的热爱。他的生命因数学而变得有意义，因为数学，他的内心深处
始终春暖花开，始终豪情万丈，始终笑容满面;而数学也因为他成为更多孩子的
热爱，启迪了更多孩子的心灵。我发现，我和偶像之间，隔着一块厚重的带着密
码的门，即使给我钥匙，我也尚未找到开启的密码，但是这不影响我对偶像的敬
3
4
黄珊@ 带你发现数时(八年佩)
主和崇拜，我敬重梵高开启了用画笔表达奔放的感情的时代，我也敬重黄东坡
深情地抒写出更容易让孩子们热爱的数学文化。
莫愁前路无知己，天下谁人不识君!
我们期待黄东坡老师赋予深情的更多更好的作品能够来到大家的面前。
魏红
2017 茸于北京
目录
1
因式分解;去…… ..……………………………………………. 1
2
g联网安全与整数分解-
3
僵等变形
4
见微知著
5
逆向思考…………… …………………………………… …
24
6
数也对称
7
常识的精微化·
8
题根…·…………………………………………… …… …….. 43
9
有理化......... . . .. ...………….. . ....……
10
函数般的表达….........
11
从图象到信息………………………………… ……………
65
12 构造函数… . . .....… . .
13
思维中的
"想"………. ...... .. . ... ..................… . ....... 81
14
分割三角形..
15
大自然的青睐.. .. . .. . ........
16 美丽的镶嵌
17 确定性思考
黄础@ 带…白美(八年级)
18
变式与探究
…·… ……………….... ....
. . .
. .........……..
119
19
不一样的拿破仑....... . .....…......... . .... . ......…........
126
20 费马点
21
结构…………………………………………………………
139
22 海伦三角形… ………………… …………………………
146
23
弦图
24
几何直观………………… ……………… ………………
162
25 对称变换…………………………………………………
169
26 证明与反驳……………………… ………… ……………
176
27 新定义四边形·
28 完美正方形………………………………………………
196
29
折纸中的数字发现…·…..... .. .... . ......…… . ............. 206
30
图形的拼台与分割
. .
31
中点四边形………………………………………………
226
32 面积法
33 格式塔
34 跨界的视野·
.2
因式分解法
0 1数学茹后巡视
离别容易相见难，
相乘容易分解难.
-… .
卡尔(Carl Pomerance) 是一位当代著名的计算数论专家，卡尔回忆中学时代曾
参加过一次数学竞赛，其中一道题是分解整数805 1 ，他没有运用因数检验法，试图
发现8051 的因数的简单算法，但在规定的时间内卡尔失败了，因而与获奖失之交
臂，事实上，存在较简单的分解方法:
8051 =8100-49=902 -72 =83 X 97
因式分解与因数分解类似，是整式来法的逆向运用，提取公因式法、公式法是
分解因式的基本方法，而一些特殊的因式分解问题常用到拆添项法、换元法、主元
法、待定系数法等.
俄罗斯著名作家托尔斯泰曾说"为灵魂建一块高池，才能俯视尘埃，从容自
信，不流世俗
"
为思维建构高地，才能冲破低处的波涌云诡，看到高处的静止明净.
卡尔
. 1 94 'l 年生于美国
，1972 年获得哈佛大学博士学位. 博士论文中证明了任
何奇完美数至少有7 个不同的质因数.发表近2 00 篇学术论文，获多项国际数学
大奖.
黄东坡@带…时(八年佩
数学智慧讲堂
例1
分解因式
(1) (x+ 1) (x+2) (x+3) (x+6) + X2;
(2) (x+ y) (x+ y+2xy) + (xy+ 1) (xy-1 ).
·
分析与解
对于(1) ，分组相乘，使得分组相乘后所得的项中有相同的部
分;对于(2) 式中x+y ，xy 多次出现，引入两个新字母，突出式子特点.
(1 )原式= Cx2 +7x+6) (x2 +5x十6) +X2 .
设工2+6=y ，
则原式= Cy+ 7 x) Cy+5x) + x2
=y2+12xy+36x 2
=Cy+6X)2
= Cx2 +6x+6)2.
(2) 设x+y=a ，xy=b.
2
则原式=α(α + 2b) + (b+ 1) (b- 1)
= a2 + 2ab+ b2- 1
=(a+b)2-1
=(α+ b+ 1)(α+ b一1)
=Cxy十x+y+ 1)Cxy+x+y-1)
= (x+ 1) (y+ 1) ( xy十x+ y- 1).
所谓换元法，即对结构较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，
用新字母代替( 即换元) t 则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项
数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用.
第二次世界大战极大地促进了密码学的发展，
英国数学家根据波兰提供的信息，破译了德国"恩尼
格码密码机"以及其他密码系统发出的密码，成功地
改变了这场战争的结果，也改变了历史.
..
因式分解法~.~
第才i井
分解因式:
(1月x2 -6x-/ +4y-3 ;
(2)x3 +6x2 + llx+6.
39IJ-t
分析与解
直接用分解因式的基本方法无法解本例，解决本例的突破口是
把多项式中的某项或几项拆成两项或多项，使得分解因式便于进行.
(1 )原式= (9x2 -6x+ 1) - (/-4y+ 4)
=(3x-1)2_(y-2)2
= (3x+y-3)(3x-y+ 1).
对于(2) ，给出不同的拆添法.
解法l
原式= (X3 + X2) + (5x2 +5x) + (6x+ 6)
=工2 (x+ 1) + 5x(x+ 1) + 6(工十1)
= (x+ 1) (x2 + 5x十6)
= (x+ 1) (x+2) (x+3) .
原式= (x3 +2X2) + (4x2 +8x) +C3x+6)
=x2 (x+ 2) +4x(x+2) +3(x十2)
= (x+ 2) (x2 + 4x+ 3)
= (x+ 1) (x+2) (x+3) .
原式=(工3 + 1) + (6x2 + 11x+5)
=(工+1) (x2 -x+ 1) 十(x十1) (6x+5)
= (x+ 1) (x2 +5x+6)
= (工+ 1) (x+2) (x+ 3).
当直接分解因式难以进行时，可适当地拆项(把代数式中的某项拆成两项
的和或差) 或添项( 把代数式添上符号相反的项) ，达到分组、提公因式的目的，
拆项与添项是一种技巧性较强的工作，只有认真观察多项式的结构特征和数量
关系，才能正确地进行拆项、添项，促使问题得到解决.
解法2
解法3
分解因式:
x3 + (2α十1 )x2 十(α2 +2α
1) x+(α2_ 1).
~IJ1
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
("希望杯"邀请赛题)
分析与解
因为α 的最高次数低于工的最高次数，故将原式整理成字母a
的二次三项式，用主元法分解.
原式=(工+ 1) α2 +(2x2 + 2x)a+ (X3 十x2 - x - 1)
= (x+ 1 ) α2 + 2x(x十1) a+(x十1) 2 (x一1)
3
时@ …敛挝美(八级)
= (x+ 1) (.(;2 + 2ax+a2 - 1)
=(工+1) [ (x+ α) 2 -lJ
=(x十1) (x+α十1) (x+α-1).
所谓主元法，即在解多变元问题时，关注次数较低的变元，视其他变元为常
量，将原式重新整理成关于这个字母的按降罪排列的多项式，从而降低多项式
的次数，简化问题的结构.
失利的卡尔并没有放弃对问题的深入思考，卡尔给自己提出一个挑战性的问
题: 是否一个能够分解的整数一定是两个整数的平方差?经过进一步的思考，卡尔
得到关于奇合数的一个定理:每个奇合数必定能用平方差的方式分解为两个大于l
的整数之积.
卡尔的故事给我们的启示是:数学发现是以坚强意志力为后盾，以探索兴趣为
支撑，以方法策略为引领，当受困于具体问题时，转换思考的视角，探索问题的一
般性
4
1. 分解因式:
这是因灵与数学家戈登
· 威尔士曼共同
发明的.. 炸弹机"成功破译了德军"恩尼格玛
密码中儿"产生的密码.
(1) (X2 - 1) (x+3) (x+ 5) + 12;
(2) ( X- 2) 3 一(y一2) 3 - (x- y) 3 ;
(3) x 4 - 7x2 十1 ;
(4)x3 +5x2 +3x-9;
(5)a2 (b- C) + b2 (c-a) +c2 (α -b).
2. 求证:每个奇合数必定能用平方差公式分解为两个大于1 的整数之积.
因式分解i去~.
第11并
也
参警笛案
1. (1)原式= (X2 +4x- 3) (x2 +4x十1);
(2)原式=3(工-2)(y-2)(x-y) .
设x- 2 = a ，y- 2 = b ，则x - y二α - b ，
原式=a3 -b3 一(α -b) 3
= (a-b) (a2 十ab十b2 ) -(α
b) ( α2 -2ab+b2)
=3ab(a-b)
=3( 工-2)(y-2)(x-y) ;
(3)原式= (x2 + 3工:+ 1) (x2 一3x+ 1) ;
(4)原式= (x3 -
x 2) + (6x2 - 6x) + (9x - 9)
=x2 (x- 1)+6x(x-l) + 9(x- 1)
=(x- 1) (x2 十6x+ 9)
= (x- l) (X+ 3)2;
(5)原式= (b- c)a2 十(c2 - b2 )a+ b2 c--c2 b
= (b- C) [α2 -
(c+ b) α十bcJ
= (b-c) (a-c) (α -b) .
2. 若c 是奇合数，则必存在大于1 的奇数m ，n 使得c=mn.
当m=n 时，c=旷一02 ，且m十O=m一O =m>l ，结论成立;
方
法
、
思
维
、
向
用
之
美
5
当时n B;f, /F妨设m>n ，ì9: x=中，y」尹，
':m ，n 均为奇数，
:. x ，y 均为整数，且Z十y=m>l ，x-y= η>l ，c=mn=(x十y)(x-y) ,
于是结论得证.
、‘---、，
、，
G l数学文也巡礼|
从一定程度上讲，因式分解也是一种由数字和符号组成的、带有游戏趣味的运
算，其原因是因式分解方法众多，加加减减、分分合合、拼拼凑凑;因式分解也是一
种有趣的智力探险，有简单的题目，也有难度较大的问题.
通过互联互通，互联网把偌大的地球变成地
球村，我们就是地球村里的数字原住民.
互联网改变了人们的交流方式，也改变了人
们的生活习惯.
互联网金融、王联网思维、"王联网十"成为
当下最热门的词汇.
互联网金融交易是否安全? 邮件发送内容
是否会泄密?保证互联网安全的工具恰恰是一些以前被人们认为是毫无实用价值
的数学知识.
分解因数是整数来法的逆运算，分解因式是整式来法的逆变形，而实现这种反
向任务有时却异常艰难.
互联网的安全正是建立在"分解出大整数的约数(通常是质数)是极其困难的
问题"这一基础上的.
《美国数学的现在与未来》一书中曾写道:
那些仅仅靠着整理自然界秩序的冲动而得以发展起来的深奥抽象的数学思想
系统，最后几乎总元例外地在科学中得到了应用.
6
亘联网安全与整数分解~."j
第2i井
数宅鲁雪慧讲堂
232 +1 是质数吗?
形如2 2" +l( n 为自然数)的数称为费马数，简记为F".1640 年，法国数学家费
马根据Fo = 3 ,Fj = 5 , F2 = 17 ，几= 257 ，瓦=6553 7 都是质数，作出猜想: 对于所有
的自然数n ，F" 均为质数.
直到1732 年，瑞士数学家欧拉指出几= 641 X 6700417 不是质数，从而否定了
费马的猜想.这一结果是怎样得到的?
例1
·
分析与解
应用埃拉托色尼的筛选法是困难的，可以用字母表示数，把因
数问题转化为因式分解问题.
设α=2 8 ，6=154 ，则a2 -6= 65382 = 641 X 102 ,
扩+1=23717=641 X 37.
则F5 =22' +1 =232+ 1=(28 )4+1
=α4+1
= (a4 - 62 )+(62 + 1)
=(α2+ 6)(α2 -6) + (62 十1)
= (641 X 102) (a2 + 6) 十641 X 37
=641 X [102(a2 + 6) +37].
.: Fs 可以被641 整除，:.Fs =2 32 + 1 不是质数.
该书作者在序言中写道:
整数分解古难题，
表面看来很容易.
公钥密码始于此，
全球竞争浪潮急.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
7
瑞典数学家波尔林
(1905- 1986) ，瑞典的民
族英雄. 密码战历史上最
神私、的高手，2 0 世纪50 年
代坐镇普林斯顿高等研
究所.
黄东坡@带…挝美(八年级)
iI)]) (1)求方程6xy+何一句一7 = 0 的整数解;
(2)求方程2x2 +5xy十2i =2006 的所有正整数解.
( 上海市竞赛题)
(太原市竞赛题)
·
分析与解
(1)由( 2x-3)(2十3y)= 1，得2x-3= 1 ，2十3y= 1 或2x-3=
- 1，2十3y=- 1，解得工=2 ，y=
i(舍去)或工=l，y=- l.
3
(2) (2x+y) (x+2y) =2 X 17 X 59 ，设z二三y二三1，得2x + y二三z十2y>x + y> 1，
只有三种情况:
( 2h=~(2内=肌
( 2h=1毗
(z=28 ，
或1
解得l
z十2y=34 ，-" lx+2y=17 , -" lx+ 2y=2 ,
..,,, ly=3.
391) :D
设n 为任意奇正整数，求证:
1596 " + 1000"-270 " -320 " 能被2006 整除.
(青少年国际城市邀请赛试题)
·
分析与解
因为2006=2 X 17 X 59 ，所以，为证结论成立，只需证:
n 为奇
正整数时，1596" + 1000" - 270" -
320" 能被2 ，17 ，59 整除.
显然，表达式能被2 整除. 应用公式，n 为奇数时，
a" 十b"=(α +b)( α11-1 一α ，，- 2 b+ … 十bn一1 ) ,
α"-bn = (a-b) (a n- 1 +α"-2 b十… +bn- 1 ) .
8
由于1596+1000=59 X 44 ,270+320=59 X 10 ,
故1596 n + 1000" - 270n -
320" 能被59 整除.
又1596 - 270 = 13 26 = 17 X 78 ,1000- 320=680=17 X 40,
故1596" + 1000" - 270" -
320" 能被17 整除.
因此，结论成立.
艺术诠释了数学的内涵，使数学变得通俗易懂;数学开拓了艺术的蕴涵，使
艺术变得意味深长.
计算机是一种工具，它把枯燥的数学公式翻译成能看得见的模式.
E联网安全与整数分解C}
第2 讲
;但U)
美丽错误一-x ll 一l 的因式特征猜想.
数学家契巴塔廖夫曾有下面的因式分解:
工一1 =x - 1，
x' - 1 = C x一1) Cx十1)，
工3 - 1= Cx- l) Cx2 +
x + 1) ,
x 4 - 1= Cx - 1) Cx十1) Cx 2 + 1),
工5 - 1= ( x- 1) Cx4 + X 3 +
X 2 +工十1)，
x 6 - 1= Cx- 1) (x + 1) Cx2 -
x十1) ( x 2 + x + 1) ,
·
分析与解
提出猜想
" 把x" - 1 分解为不可再分解的具有整系数的因式
以后，各系数的绝对值都不超过
1 "
否定这个猜想不太容易
，它需要有很大的耐心. 最小一个与猜想不符的
η 是
1 05 ，是被数学家伊万诺夫找到的.在X I 05 - 1 的分解中有一个因式
:
工48+ X 47 + X 46 -
X 43 -
X 42 -
2X41 -
x 40 -
X39 十X36 + X 35 + X 34 + X 33 + X32
工3 1_X28
工26
工24 _ X 22 _ x 20 +X17 + X l6 + X l5 十X l 4 + X l3 + X l2 -
x 9 -
x 8 -
2 X 7 -
x 6 -
x 5 + x 2
+x+1.
X41 和工7 的系数都是一2 ，它们的绝对值超过了
1.
人非圣贤，孰能无过;我非天才，岂能无惑?数学研究和学者都会遇到困
难、挫折和失败.
美国数学家哈尔莫斯曾说"实际应用、好奇心和历史都是革新的主要源
泉，此外还有两个是值得一提的，一个是失败，另一个是错误"
RSA 石马
1 9 77 年由三位美国学者提出的RSA 码是当今世界最著名、在网络与信息中应
用最广泛的密码体制，这个名称是由三位发明者姓氏的头一个字母组成的.
如图，要破译
1 29 位数字密码，需分解钥匙藏于该数字中的两个质数因子.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
9
分析与解
RSA 算法基于一个十分简单的数论事
实: 将两大素数相乘十分容易
，但是想要对其乘积进行因数
分解却极其困难.因此可以将乘积公开作为加密密钥. 他们
曾预言破译需要23000 年，但全世界2 0 多个国家的6 00 多位
因数分解迷自发联合起来，利用计算机网络，同时进行分解
活动，并不断地交流信息，汇总计算结果，不到
1 8 年，这个密
码被破译，意思是"谜一般的词是令人毛骨悚然的秃鹰
"
黄东坡@ 叫敏时(八年银)
从数据压缩和误差压缩，到信息传递的方法和安全设计都需要丰富的数学
知识. 加密和破译，如同一场猫和老鼠的游戏.
发明该RSA 密码体制的三位麻省理工学院的计算机科学家于2003 年获得
享有计算机科学诺贝尔奖之誉的"图灵奖"
向数学之美探寻
1. 巴拿赫病故于1945 年8 月
31 日，他的出生年份数恰好是他在世时某年岁数
的平方与该岁数的差.问:他是明1年出生的?
(微软招聘面试题)
2. 对方程a2 b2 + a2 + b2 = 2004 ，求出至少两组整数解.
3 . 证明: 对任何整数工和y ,X5 + 3X4 y-5x3 y2 - 15x2 y3 十4xy4+ 12y5 的值都不
会等于33.
( 莫斯科市竞赛题)
-'. 设α=109 +383 -2 ，求证:a 是37 的倍数.
("希望杯"邀请赛试题)
10
E联同安全与整数分解!.J..:
第2i芥
g
1.设巴拿赫在世时某年的岁数为工，他的出生年份数是x2 -
X=X(X- 1).
当工=45 时，x (x-1) =45 X 44= 1980 ，这显然不可能;当x=44 时，x(x-1) =
44 X 43=1892 ，得其在世年龄为1945-1892=53( 岁) ;当工=43 时，x(x - 1)=
43 X 42=1806 ，得其在世年龄为1945 - 1806=139C 岁) ;若z 再取小，其在世年
龄更大，显然不妥. 故x=44 ，即巴拿赫出生于1892 年，终年53 岁.
2. Ca2 + 1) W + 1) =2005=5 X 401 =1 X 2005 ,
有( d +同或( d + 叩1，.
._ r a=2乙，
(C巳口
α俨
ι=
斗20
解得{
或
b2+ 1=401,-/' W+1=5.
..,.. lb=20 ,-/' lb=2.
3. 原式= (x5 +3x4 y) - (5x3l + 15x2 y3) + (4x/ + 121 )
=x4 (x+3y)-5x2l
(x十3y) +4y4 Cx+ 3y)
=(x+3y) (x4 -5x 2l + 4/)
=(x+3y)C 工2 -l)(x2 -4/)
=(x十3y) Cx- y) (x+y) Cx-2y) (x+2y) .
当y=O 时，原式=x5 手33; 当y手0 时，x+ 句，x- y ,x + y ,x- 2y,x + 2y
互不相同，而33 不可能分解为四个以上不同因数的积，所以当工，y 取任意整
数，原式手33.
4. 因为α= 109 +383 -2= (109 -1) 十(38 3 -1) = 999999999 十37 X (3 8 2 十
38+ 1) ,
而999999999 = 9 X 111111111 = 9 X 3 X 37037037 = 27 X 37 X 1001001 =
方
法
、
思
维
、
庇
用
之
美
11
37 X (27 X 1001001) ,
所以37
1 999999999 ，且37
1 37 X (382 +38 + 1)，因此37
1 α .
(\:j t国等变形
埃舍尔是荷兰版画家，他把自己称为一个"图形艺术家"
将点、线、面、体等不同形态的基本图形加以组合，使构
成一个新的图形.基本图形有规律地、渐渐地演变，又构成新
的图形.埃舍尔创作的《天与水》运用异形渐变的构成方法，
使天上的飞鸟和水中的游鱼有机结合在一起.
在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等
的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函
数的基础
(( 天与水))
因式分解是代数式恒等变形的有力工具，在后续的学习
•
中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础;现阶段，因式分解在数值计
算、代数式的化简求值、不定方程、代数等式的证明等方面有广泛的应用.
(74 + 64) (154 +64) (234 +64) (31 4. 十64) (394 +64)
例1
计算·; (3 4 +64) (1 1 4 十64) (1 94 +64) (274 + 64) (354 +64)'
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
分析与解
直接计算，显然较繁，观察发现每个因式都是形如a4 +64 的结
构，故从分解变形a4 + 64 入手.
γ
α4+ 64 = (α4+ 16α2+ 64) - 16α2
= (a2 + 8)2 - (4a) 2
= (a2 + 4a + 8)( α2 一句+8 )
，
(3 X 7+ 8) (7 X 11 + 8) (11 X 15+ 8) (15 X 19+ 8)…(35 X 39+ 8) (39 X 43+ 8)
.
原式= (-1 X3+8) (3 X 7+ 8) (7 X 11 + 8) (11 X 15+ 8)…(31 X 35+8) (35 X 39+ 8)
12
39 X 43 + 8
=一一一一一一=337.
1X 3+ 8
恒等变形E;
第3 讲
已知两个不等实数m ，n 满足m 2 -2m= a ,n2 -2n=a ,m2 + n2 = 5 ，求实数α
190
的值.
("希望杯"邀请赛试题)
m ，n 的值可求吗?联立两个等式，通过因式分解探寻m ，n 的
由已知即[ ~2__Zm=α
(
l n' -Zn=a
ω ，
由①一②得(m - n)(m + n-2)=0 ，
.: m- n手0
，
'. m+ η=2.
由①+②得2a=m2 + n2 -2(m+ n) = 1,
..
α- 2'
分析与解
关系.
埃合尔(]898
1972) 的作品形象化地反
映了数学的原理和思想，对称、旋转、平移、有
限与无限、低维与高维、静止与运动
. 在他的
绘画中得到最完美的表现.
L
刀
法
、
思
维
、
应
用
之
美
已知η 是正整数，且n4 -16n2 + 100 是质数，求η 的值.
分析与解
质数只能分解成
1 和它本身的乘积，故对原式进行恰当的分解
变形，是解本例最自然的思路.
. n4 -16n2 + 100 =n4 + 20n 2 十100-36n2
=(η2 +10) 2 一(6η) 2
= (n2 + 6n+ 10) (η2 -6n+10)
，
.· d 十6η + 10手1 ，而n4 -16n2 + 100 为质数，
故η2 -6η + 10= 1，即(n - 3) 2= 0 ，得η=3.
侣。3
13
通过因式分解的训练和应用，我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑
思维能力、探究能力得以提高. 因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一.
时@ 带你发现数学技(八年银)
理j)
证明! 1999 X 2000 X 2001 X 2003 X 2004 X 200 5 十3 6 是一个完全平方数.
(俄罗斯萨温市竞赛题)
·
分析与解
证明目标明确
: 即把原式分解变形为d 的形式，证明的关键
是字母示数，将求值计算问题转化为式的分解变形. 设η=2002 ，
则原式=(n-3)(n一2)(η- 1) (η十1) (n+ 2) (n+3) + 36
=(η2 一切+ 6) (n2 +5n+ 6) (n2 - 1) 十36
=[(η 2 +6) 2 一(5n) 2J (η2- 1) + 36
=(η4 -13n2 + 36) (n2 - 1) 十36
=n2 ( η4 -13η2 + 36) 一(n4 -13n2 十36) + 36
=(η3- 7的2
，
必为完全平方数.
波利亚在《怎样解题》一书中曾指出:对于一个数学问题，改变它的形式、变换
它的结构、更换它的叙述方式，知道并发现有价值的东西，这是解题的一个重要
原则.
因式分解是整式乘法的逆向变形，其实质是和差化积，改变视角，因式分解变
形既体现了一种"化归"的思想，又是解决后续内容一一分式的化简、解高次方程等
问题时普遍使用的恒等变形的基础.
14
因式分解是变形求解的有力工具.
《怎样解题》一书，虽然讨论的是数学发现以及
发明的方法和规律.但是对其他领域中怎样进行正
确忠维都有明显的指导作用.
第3 ì:井
恒等变形王J
向数学之美探寻
20043 -2 X 20042 -2002
1. 计算:
2 已知实如，y 满足扑J3y=4 ，卢布时，功，求代数式?寸的值
( 上海市竞赛题)
3 . 设A ，n 都是自然数，且A=n2 + 1 5 n十2 6 是一个完全平方数，求n 的值.
4 . 求证: 20152 + 20152 X 20162 + 2016 2 是一个完全平方数.
15
方
法
思
维
、
应
用
之
荒
黄东坡@…数时(八年饭)
也
16
G 3 -2a2 -Cα2)
Ca-2)Ca2-1)
a-2
l.设
2004 =α ，则原式-
~12 /
11'\
/1
1 '\/
少
1 、=
2002
2005'
2. 将条件两等式相减得Cx-y) CX+y-J3) =0,
二x+y=J言，将条件两等式相加得x2 +i 十J3Cx+y)=8 ，
.·.t+j=5 ，zy=÷ 〔(x+y川x2 +川=- 1 ，
二立+王=豆土i_= 一5 .
x
y
xy
3 . 当n= 1，2 ，3 时，A 都不为完全平方数，
当n二三4 时，Cη十6)2<η2 +15n+ 26<C n+8)2 ，
所以n2 + 15n+26= Cη+ 7) 2 ，解得n= 23 .
α十1
4. 设201 5= 工，则原式= x2 + X 2 X CX+ 1)2 + CX+ 1)2 = CX2 +工+1) 2 为完
全平方数.
;\) 见微知著
心? 数学文化巡礼
英国诗人W . 布莱克在一首诗中写道:
一沙一世界，一花一天堂.
掌中握无限，霎那ì!F 永恒.
•
数学学习中，从一个简单的典型问题出友，从特殊到一般，由简单到复杂，知识
与方法上的类比推广是探索发现的重要途径.
特殊
一般
特殊，人类的认识在循环往复中进行，而每一次的往复使人
类的认识不断深化. 拿到一道数学题，该怎样入手?
美国当代著名数学家波利亚说
过"我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，它们是获得发现的伟大
源泉"
推广意即推衍扩大，从部分到整体，从低维到高维，从具体到抽象.提出猜想、
拓展问题、推广结论，是打开思想闸门，发现新问题、新结论的重妥方法.
为了训练思维的灵活性，为了更深入本质地认识问题，解题思路的探寻与解后
反思常经历下面两个途径:
(1)清晰地展示问题的特殊性;
(2) 深刻地呈现问题的一般性.
数学曹慧讲堂
1
1
IJ1)
已知ab= l，求证: ~ +~= 1.
ò l + a ' l +b
分析与解
问题叙述简单、结构优美，通分或代入减元即可得证.
(1 十的十(1十a)
2+ a+ b
2 + α +b
证明一: 原式
一一一一= 1.
(1 十a) (1 十的
l +ab + α + b 2+a+b
ab
,
1
b
,
1
证明二:
("1" 的代换)原式=一一一+一一=~+~ =1.
ab 十α1 + b
1 + b ' 1 十b
17
黄东坡@ 带你发跚学之川)
1
,
1
b
,
1
证明三: (字母代换〉原式= 一一一+一一= 一一十一一= 1
1 ' 1 + b b+l ' 1 十b
1 十b
【追问】
波利亚在《怎样解题》中指出"当你找到第一个蘑菇或作出第一个发
现后，再四处看看，它们总是成群生长的"
类似的问题，是否有更多的式子值为1 ?
已知ab=l ，求下列各式的值:
(l)-L+-L .
1+α
l + b'
1
1
(2) 一一τ 十一一寸·
i • a2
' 1 + b2
1
1
(3) 一一一+
1 +矿
l + b'"
【推广】
对于三个数α ，b ，c 能有类似性质吗?四个数呢?
n 个数呢?
思
Ii擎的错富
I:..'_"凰
'" …~ .
.... .... .......
是什么让一架巨型喷气式飞机飞行在空中? 是
什么让足球比赛出现在电视荧屏上?数学让那些看
不见的变得可见，唯有借助数学. 才能显现万物背后
隐藏的真理.
例2
18
已知αbc= l，求证·一
1 一一+一
1 一十一
1一= 1
; 1+α十ab ' 1 十b+bc'
1 十c+ca
• 分析与解
.: abc= l ,
巧妙用"1" 的代换，将异分母转化为同分母.
l
c- ab'
原式= 一
1 一一+
_
1
1 + α十αb
'
.
"
，，，，
l
, 1
,
,, 1
l + b+ bX --=;-
1 十一十aX 一
ab
~
'ab
'
~ ， , ab
_.
见微知著心?
第4 讲
1
a
ab
一二二十二
l 十α +ab
'
1 十α+αb ' 1 十a+ αb
l 十α +ab
1 +α十ab
=1.
香农(1 916- 2001) . 美国数学家，被誉为"信息
论之父"，香农于194 8 年发表具有里程碑性质的论
文《通信的数学理论)) ，该文用数学勾画出信息技术
的构架.
(α + b- c)Z
,
(b+c
α) 2
求证:对任意两两不等的三个数α ，b ，c ，都有
(α - c)( b- c) , (b- a)(c-a)
f~
数
山
{
吊
是
2
70
的
二
二
ω
α
一
、
j
l
F
l
一
'
h
u
r--
/
t
‘
、
-
f
a
w
十
( 北京市竞赛题)
常数能确定吗?确定常数，证明就有目标，怎样确定常数?对
分析与解
a ，b ，c 取特殊值.
令α =0 ，b=1 ，c=2 ，代入得原式=4 ，即证明原式的值为4 ，
(1
1
、
l
注意到
= ( 一一一一一
) x 一一
(α -c)(b- c)
飞α - c
b-cJ " b- a'
(α+ b- c) 2
(
1
1 \ " (a+ b- c)2
则
= ( 一一
一一
) x 一一一一一
(a - c) (b- c)
飞a - c
b-cJ "
b-a
(α + b- c)Z
(α + b- C) 2
(b-a) (α -c) (b-a) (b-c)'
(a+b-d
,
( b十c- a)2
(α+ b-C) 2
,
(c+α -b) 2
. 原式
/ ~Lt. 1:-'/ l- /
" +
一
(b一α)(α -c) ' (b- a)(c-a)
(b- a)(b- c) ' ( c- b)(α - b)
•
解法1
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
19
4b(a- c)
4α (c- b )
4b
4α
a
十
一一一一一
(b- a ) ( α - c ) , Cb- a) Cb- C)
b - a
b-a
上面的证法中进行了繁杂的计算推演，有没有更一般、更简单的证法?
解法2
考察一般性，从函数的角度认识问题.
(X- C)2
(x一α ) 2
(X- b)2
设f( x) = (α- c)(b- c) + (b-a)(c- a) 十(c- b) (a - b)'
时@…脚之类( 八阜级
.' fCa)=fCb)=fCc) = l,
(x-c) 2
( x-a) 2
( x-b) 2
-1
• (a-c)(b-c) , (b-a)(c-a) , (c-b)( α -b)
牛，
对于任意实数z 都恒成立.
f-b-l
当工=-y-i时，代人上式得:
(a+b-c) 2
( b+ c-a) 2
( c+a-b) 2
-A
(a- C) (b-c) , (b-a) (c-a) , (c-b) (a-b)
•
【拓展问题】
对于任意两两不等的三个数a ，b ，c ，
(α +b-2c) 2
,
(b+ c-2α) 2
,
(c + α -2bl
求证~
\.u. I
U
/' .l...Il-/ " + /~V I
l-" l' l...Iu,/
" +
是常数.
• (α -c) (b- C) , (b - a) (c-a) , (c - b) (α -b)
世界是放学的体现，还是人类心
智的构建?数学是发现的.还是发
明的?
一般与特殊是对立统一的矛盾关系，两者相互依存、相互转化，从特殊到一
般和从一般到特殊是人类认识世界的一般规律.
例3 中的论证法，把一个分式化简问题上升为一个函数问题，用更一般的观
点视角本质地认识问题，又将问题回归到特殊情况.
差异分析
通过寻找目标差，不断缩小目标差而实现解题的思考方法，我们称为差异分
析法.
:ø'J 4
已知兰工+__Q一+-L=0 ，求证·一立一+一主一+
_c一=0.
-b
V'~J'.'.lL; (b-C) 2 ' (c-a)2 ' (a-b) 2
分析与解
容易想到对条件关系式进行平方运算，但此时分子中字母却多
了平方，这是目标中不应出现的，需另辟蹊径消除目标差.
1
1
1
对条件等式?一+一一十一乙丁=0 的两边，分别乘7一，一一，一一丁得.
。- c
c 一- a
a -
0
O-C c-a a-o
a
b
c
~
(b- C) 2 ' (b- c) (c - a) , (a - b) Cb-c)
V
山
20
第4i井
见撒切著!J':
α
+一一ιτ+ ，
,c,
" =0
(
,
(b-c) (c-a) , (c-a) 2 ' (c-a) (α - b)
田，
a
b
c
点
(α -b) (b- c)
I (c-a) (a- b)
I
(α -b) 2
v
"->v
由①十②+③，移项得:
一a
τ + ，_b 寸+ _
，
c一-τ
(b- c)' ' (c-a )' ' (a-b) '
b
c
a
c
(b-c) (c-a)
(a- b) (b-c)
(b- c) (c-a)
(c-a) ( α - b)
a
b
(α - b)(b- c)
( c- a)( α一的'
通过化简得一」一寸+，_b τ+一
c 寸=0.
Cb-
C)" ' (c- a)" ' (a - b)"
从何处入手?向哪里迈进?这是差异分析法解决问题的两个基本切入点，目
标意识、减少差异、消除差异，成功实现代数恒等变形中的有序推理.
这是荷兰著名画家埃合尔的作品《美洲愕>> . 美
洲持从书本上的平面二维形象逐渐演变成立体的三
维造型. 经过精装书爬到了正十二面体上.又从香烟
罐爬下来‘ 回到了平面的书本图画中，这就是有趣的
渐变循环.
"难则变，变则通，通则解"，这是解与代数恒等变形相关问题的关键.
通过一系列连续的变形化筒，化陌生为熟悉，变复杂为简单，而变形应具有
一定的目的性、指向性，进行有目的的变形，有利于生成有效的有序推理.
所谓解题就是由已知推向未知的过程，如果我们把问题的条件与结论之间
的差异称为目标差，那么解题的本质就是一个不断缩小目标差的过程.
解数学题，求出答案是最基本的要求，但不是终极目的. 若求出答案后不能揭
示问题隐含的实质，则思维只是在一个水平上重复.
求取解答并乘胜追击，追问问题的统一结构，寻找问题的不同解法，致力于问
题的一般性推广，这就是"数学思维"的方式.
)5
法
思
维
、
应
用
之
先
21
黄东坡@ 带…挝芙( 八年饭
，自.
问
22
1. 已知abc = 1 ，求证一一丘一一+一一生一一十一
c 一- = 1.
: 1 +α+αb ' l + b十bc
'
l +c+
α
2. 已知x ，_y ，z 满足
x
十一半一+_Z_
，- = 1 ，求代数飞x
2 十」L+ 一豆一的值.
J
y+z z+z z+y
i y+z z+z z+y
1
, 1
, 1
3. 已知x ，y ，z 为互不相等的实数，且x+ 一= y+一=z+ 一，求证: x 2i z? =1
y
z
第4 讲
见微知著C;
也
o
c
1.左边=一一一一一十
υ
+
1 + α十αb ' . , • , • •• 1
' abc + c+
α
1 + b+ b X -=;'
ao
a
ab
1
1 + α+αb ' 1 十ab+a
' 1 + ab + α
1 + α + ab
=一一一一一=1= 右边.
1 十α + ab
~=1--+-
一王一，得i二=z-iL-i乙
y+z
i
z+x x + y' ''1" y+z
....
z+x x+y'
同理」L=y-iL 一」L ，iL=-i三一」乙
z+x
.y
y 十z
x 十y
x十y
z y+z z+z'
原式=(工+ .y+ z) 一旦土E 一旦土E一旦土旦=0
.y
，
~/
z+x
X+y
y 十z
3 . 分析与解:条件中的每个字母都是"一次"，而结论中每个字母都是"二
次"的，应作乘法再降次;又x2 iz2 =(xYZ) 2 =(xy)
. (YZ) . (ZX) ，由条件出
发，可得工2
，y2 ，~ 或xyz 或xy
，yz ，zx . 解题的关键是将连等式变为多个等式
并组合.
l-y
l-z
一
一
y
z
有
l-z
+
vd
一
一
1-y
+
z
由
即x- .y= 主二z ，因为z手y ，故有yz= :t二主
( .
yz
x-y
同理，由x ，y ，z 互不相等又可得
xy= 王二J
②，zx= 至二王
z-x
y-z
( .
由①× ②× ③得工2yz t=fEj
· Ef - r=1
揭示本质:若结论也是"已知信息"，能否求出连等式的值?
1
, 1
, 1
设工+ 一=y + ...2... =z+ 一=走，则有xy+1=句，yz十1= 缸，zx+ 1= 缸.
y
z
x
两两相减得:
y(x- z) = k(y- z) ,z(y- x) = 走(z- x) ,x(y-z) = 走(y-x) ;
又因为x ，y ，z 互不相等，所以(x- y) (y- z) (z- x) 手0 ，相乘并约去
(x- y) (y- z) (z- x) 得xyz=
走3
1
, 1
, 1
但x2 iz2 = 1，得走=1 ，或企=-1 ，故x+~=y十一=z十丁=士1，这是问
y
z
ι
题的本质.
方
法
思
维
、
应
用
之
美
23
--.
心
在数学知识中，存在着大量的互逆关系，如多项式乘法与因式分解、合并与分
拆、原命题与逆命题等.
当奥斯特发现通电导线的周围存在磁场时，年轻的法拉第为此激动、鼓舞.他
想:既然也能够产生磁，那么逆向思考，磁也一定能够产生电.就因为这一坚定的追
求，他耗费了
10 年的时间0821- 183 1)去探索.在1831 年10 月
17 日，法拉第把一
根磁铁猛地插进线圈，电流计突然偏转了，他终于发现了"电磁感应定律"
法国微生物学家巴斯德通过研究和实验，证实了细菌可
以在高温下被杀死，食物可以在煮沸以后被保存.英国科学
家汤姆逊倒过来思考:细菌也可以在低温下被杀死或使其停
止活动，食物也可以通过冷却的方式加以保存，深入研究后，
他终于发明了冷藏新工艺.
逆向思考又称反向思考，是指从反面(或对立面)提出问
题和思索问题的思考过程，是一种以违背常规的思考方法来
解决问题的思考方式.
关于逆向思考，我们可以明确的是:
(1)逆向思考是一种提出问题的常用方法;
(2) 原问题成立，逆问题不一定成立;
(3) 原问题易证，而逆问题可能难证;
(4) 原问题与逆问题不一定等价.
法拉第(1 7 9 1- 1 8 67) ，英国著名物理学家，电磁感应的发现
和场的概念的提出是他最出色的工作，他的座右铭是:拼命去
争取成功，但不要期望一定会成功，一旦科学插上幻想的翅膀，
它就是赢得胜利的法宝.
24
~
EJ:;?
法拉第电磁感应
实验仪器
•••
逆向思考~.:
第5 i.井
藏学翻翻萤
若
X
十___)'_一+一王一=1 则i二+~二十二二=0
y+z ' z+x ' x 十Y
i , ;K~ y+ z I z+工工十y
其逆问题是:若二二十」二十二三=0 则一ι-"--___)'_一+-~-=- 3 或1.
y+ z
I z+x I x + y
V' ;K~y+Z I z+x I x 十y
由三二+~二十二二=0 ，
y+z ' z+x I x十y
得i二十x+~二+_y+之二+z=工十y+
y+Z'~'Z+X'Y
' X+y'~ ~Iy
【证明1
x(主+l)+y(主+1) +z(x~y + 1) =x+y+z,
x ' 吐平土~+ v . 止手土工十Z ' 吐芋:t =x十v+z ，
yTz
ZTX
XTy
即
(七丁主圣:-:+d--:+ _~ _.) Cx+忖y+
忖讪
zρ)=
可工计+忖
飞
rz
ZTX
二L 丁y'
(X+ v+ Z)( ++++-~- - 1) = 0.
Y I
~/ \y+z I z +x I x+y iJ
当x+y十z=O 时，y十z=-x ，z+ x=-y ，x+y=-z ，
· 一王一+一旦一+一王一=_2_+__:t_+_:三=-3 .
y 十z ' z +x 'x+y -x -y -z
当工十y+ z手0 时一ι +++ -王一= 1.
Y I ~，- v .. q 'y + z
I z+x I x+y
故若-4-+~二十二二=0 则一王一十___:t__十一王一=-3 或1.
y+z' z+x I x十y
V , ;K'J y + z
I Z 十x
x 十y
D
五
C
P
例2
如图①，正方形ABCD 的边长为3 ，E 为CD 边上一
点，ζDAE= 30 0 ，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与
AD ，BC 相交于点P ，Q ，已知PQ=AE ，求AP 的长.
(泰州市中考题)
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
分析与解
本例是一道经典问题的变式，通过交换命题的条件和结论，并
适当强化条件(ζ DAE=30 0 ，M 为AE 的中点) . 由PQ=AE 易联想到PQ j_AE ，从
而得出AP = Z 的错误结论，这是因过度机械化训练而形成的思维定势.
25
黄东坡
带{尔发现费史学之美( 八年级)
事实上，如图②，作PQl_AE 分别交AD.BC 于点P.Q.
则可得PQ=AE. 在RtDAMP 中，可求得AP=2 .
而根据对称性，过点M 作直线J 上AD. 则存在与PQ 关
于直线J 对称的线段P 'Q '. 使P'Q'= PQ=AE 满足条件，求
得AP'= 1.
p ' ; p
D
E
故AP 的长为2 或
1.
B
Q
Qi C
图②
太空中的螺旋形
令人惊奇的事实:
世界能由数学理解
例3
试证明:不存在整数z 和y. 使x2 + 20 1 0 =/ 成立.
·
分析与解
问题是否定型的存在性问题证明
，从正面"不存在"入手较难，
正难则反，从反面"存在"切入.
假设存在整数x.y 使等式成立，则(y+x) (y- x ) =2010.
(1 ) 若x .y 同为奇数或同为偶数，则y+x 与y -x 都是偶数，即4
1 (/ - x2 ) .
(2) 若x .y 为一奇一偶，则y+x.y-x 都是奇数，即/-x2 必为奇数.
但20 1 0 不能被4 整除，且20 10 并不为奇数，故假设不成立，从而得证.
例4
JI固思逆想
26
已知α .b ，c 是三个不同的数，求证:
叫人b-J(b-c)lc-J(c 仙一b)O
( c- a) + (a- b) + (b-c)
0
E证明】
左边=
(α- b) (b- c) (c- a)
(a- b) (b- c) (c-a)
从本例出发，可顺推得出下面问题:
1.已知α ，b ，c 是三个不同的数，证明:
I
1
1
1 \ 2
1
(1) (一一+一一+一':_
)
=一一一τ 十一一一τ + 一一一一τ ;
飞a - b ' b- c 'c - a l
(a-b) " ' (b-c) " ' (c- a)" '
迈向思考。
第5t井
I 1
,
1
,
1 I
/
(2) I 一气+ -;-一+ -~- I= A / 一一一寸十一一一寸+ 一一一τ
| α - b
' b- c' c一α
I
'V Ca - b)t ' Cb - C) ι
( c - a) 马
继续逆想，可得如下一个新题:
2. 已知a ，b ，c 是三个不同的有理数，求证: ^ / 一」一一十一」一一十一」一一言是有
勾
(α -b) 2 ' Cb-C)2 I Cc-a)
理数.
顺思逆想是学习数学的基本功，是解决问题、提出问题的一种重要方法.运
用顺思逆想能串联问题，发现问题的内在特征与本质规律.
题海茫茫，从一个典型问题出发，通过一般性达到特殊化，例4 展示了数学
问题编拟的一个重要方法.
"这小小的苇笛，你携带着它逾山越谷，从笛管里吹出永新的音乐"，泰戈尔
的诗句描绘了数学探究的优美意境.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
我们不易直接解问题2 ，但从问题中受到启发，逆序推
得，即从1( 2 ) 到
1 (1)再到例4 ，问题就迎刃而解.
原命题:等腰三角形的两底角的角平分线相等.
其逆命题是:两个内角的角平分线相等的三角形是等
腰三角形.
这是由德国数学家雷米欧司于18 40 年提出的.一年多
后，瑞士几何学家斯坦纳(1 796- 18 63 ) 首次证明了这个命
题，这个问题以"斯坦纳一一雷米欧司定理"而闻名于世.
这个貌似简单的问题，其证明远非易事.时至今日，据
文献记载，人们已发现的有1 0 0 余种证法.
斯坦纳
斯坦纳是现代综合几何创建人之一，曾提出并证明了著名的等周定理:封闭曲
线所围图形中圆面积最大，面积相等者中圆周长最小.
正问题与反问题是现代应用数学研究中的一个热点研究领域.
所谓正问题，一般是按着时间顺序、空间顺序、因果顺序来研究事物的演化过
程或分布形态.
而反问题是根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或
所受的外部影响.反问题通常体现了一种逆向思维，表现为由表及里、索隐探秘、由
果求因.
反问题的研究遍及各个领域，包括定向设计、成像扫描、物理测控、逆时反演等
很多技术，在工业、农业、国防、医学、考古等各方面都有重要的应用.
27
黄东坡@…敏时(八年级)
,..
问
1. 若α+b= l，则a3 +b3 +3ab= 1.
其逆问题是，若a3 +扩十3αb=l ，则α十b=一一一一一·
2 . 等边l:，ABC 的边长为6 ，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连结AF ，BE ，相交
于点P.
28
(1)若AE=CF ，求ζAPB 的度数.
(2)若AF=BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，求点P 经过的路径长.
3. 设实数x ，y ，z 满足xyz手0 ，且x+y十z= O ，
求证: )-\+-\ +/
1 '2=1 斗i
土|
代..; x2 ' l ' CX+y )2
I x 'y
x十yl
.... 设n 为奇数，a j
，a2 '句，… ，an 为1 ，2 ，… ，n 的任一排列，
求证: (1 - aj)C2
α2 ) … Cn - an ) 的积必为偶数.
( 台州市中考题)
F
逆向思考J
第5 Ìi并
也
参警备案
1.设α + b = 工，由Ca十b) 3 = a3 + b3 十3abCa +的，得x3 -3 abx十3ab = 1.
移项并分解因式得Cx - 1)C x2 +x十1 一切的=0 ，:. x=l 或x2+ x+1-3ab
=0 ，即α十b=l 或工2+X十1 =3ab. 当工2+X十1 =3αb 时，得(α + b) 2 + Cα + b)
+ a3 + b3 + 3ab=3αb ，二Ca+b) Ca2 + b2 - ab十α + b 十1) =0 . 当α + b =O 时，得
3a 2 =-1 ，舍去;当a2 + b2 - ab+ α + b+ 1 =0 时，得Ca - b) 2+ C α 十1) 2 + (6+ 1)2
=0 .λ α=6=-1 ，此时α + b =-2 . 故α + b = l 或一2 .
2. (1 ) ζAPB = 120 0 ;
(2) 若AF=BE ，有AE=BF 或AE=CF 两种情况. 当
AE= BF 时，如图①，此时点P 经过的路径是AB 边上的高
13
线CH . 在RtL:，AHC 中，CH ='n~ AC=3 疗，..此时点P 经
2
、
-
S
F
L
E\\\
-
队
队
i
i
车
l
」
F
①
4
/
\
J
一
图
H7/
/-
4
B
过的路径长为313.
当AE = CF 时，如图②，点P 经过的路径是以A ，B 为端点的圆弧，且
ζAPB = 120 0 ，则圆心角ζAOB = 120 0 ，过点。作α; 土AB 于点G ，在
C
AG
~ =
RtL:，Aα3中，ζAα:;=6 0 0 ，OA=__!_一一飞=2 .)3
，
n60"
~， ~
nπr
120 0 X π X 2J3_413
t
一一
。
一了π.λ 此时点P 经过
180 0
180 0
3
4,)3
的路径长为于π
F
4,)3
故点P 经过的路径长为3 战于π
图②
3 . 二. x十y十z=O ，
才~ +~ + ~) 2 = _12+ \ + _12+ 2( !_+ _1_+~
一+一+一r= 一十一+τ+2 ( 一十一+ _2_
x
y
z'
x-
y-
z
飞xy
yz zx
= ι +ι +占
ι叶叶，
x-
y >
Z >
xyz
x-
y
z-
方
法
、
思
维
.
应
用
之
走
刊主+去十去=J ( 士十7 +f) 2=l f +7+士
\ '
u.
/ 1 , 1
,
1
I 1 , 1
1 I
又z=- C计_y) ，执/τ+一+一一一一=1 一+一
一一|
J
队代V x2 ' i ' (X+y) 2
I x ' y
x+y I
4 . 假设原式的积为奇数，则因数
1 - a l
，2 一句，3 一句，… ，n-a 'l 全为奇数，
又因为η 为奇数，所以(l --al)+C2
α 2 ) + … + Cn-a，，) 必为奇数.但(l -al)+
C2- a2 )十… 十(η - a" ) = (1 + 2 + 3 十… 十的一Cal + α2+ … + a ，，) =0 ，由此得到
奇数等于0 ，矛盾，故(1 -a l )(2 一句) … (n-a ，，) 的积必为偶数.
29
号'自-- .
飞舞的彩蝶，飘落的雪花…...
从自然到社会，从科学到艺术，对称无处不在.
著名数学家外尔曾说"对称，尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到
今，它都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想"
对称是均衡、相对相称.
对称有对称式、轴对称、中心对称等.数学中的对称丰富多
彩，数也对称.
数学上的对称本来只是几何学研究的对象，后来数学家又
把它扩展到代数式.
若把一个代数式中的字母对调，所得的代，数式和原来的代
数式恒等，就说J!f-、代数式是关于这些字母的对称式，如x+ y ，
xY ' X2 +y2 等.
对称
. 缸她外h
拽
U咱n腕人民品"唱
"
若把一个代数式的字母按照某个顺序排列，然后依次把第一个字母换成第二
个字母，把第二个字母换成第三个字母……把最后一个字母换成第一个字母，轮换
后所得的代数式与原来的代数式恒等，则房、代数式是关于这些字母的轮换对称式，
如α +b+c ，ab+ bc+ca 等.
对称泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等彼此相对而又相称.
若一个问题的题设条件是对称的，一般情况下其结论也应该具有对称性，不应
轻易打破这种对称性.
对称地处理具有对称性的问题，已成为重要的思维方法.
外尔0885- 1 955) ，德国数学家，他的许多工作成为
2 0 世
纪一系列重要数学成就的出发点，他所创立的深刻数学思想至
今还在起着指路灯的作用.
30
，、
到辛
辛
』
毛主
第6 ì:井
数也对称d
:J数学智慧讲堂
例1
观察下列等式:
12 X 231 = 132 X 21 ,13 X 341 = 143 X 31 ,
23 X 352=253 X 32 , 34 X 473=374 X 43 , 62 X 286=682 X 26 ,…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成的两位数与三位
数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为"数字对称等式"
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为"数字对称等式"
①52X 一一一一=一一一一X25; ②一一一一X396=693X
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为α ，个位数字为b ，且2运α + b~9 ，写出
表示"数字对称等式"一般规律的式子(含α ，的，并证明.
(珠海市中考题)
·
分析与解
观察规律，左边的两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变
为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位;右边的三位数是左
边的三位数字百位和个位数字交换，两位数是左边的两位数十位和个位数字交换
然后相乘，根据此规律填空并进行一般式的证明.
(1)(275 ,572; (
63 ,36.
(2) 一般规律的式子为
:
(1 0a十的[ 100b+10(a + 的十a] = [100a+ 10Ca -←b) 十b] (1 0 b十a) .
证明:·.·左边=(1 0a十b) (1 10b十11a) = 11 (1 0a十的C10b+ α) ,
右边= (1 10a+ 11b) (1 0b十α )=11 (1 0a十的(1 0b十a)
，
λ 左边=右边.
"雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天"，"客上天然居，居然天上客"
例
l 是取材于类似"回文诗"的"回文数"，把数学的严谨与文学的浪漫融为
一体，情趣盎然.试题立意于对数字规律的考察，通过观察思考，实现知识和信
息的迁移，并展现数学之美.
例2
分解因式
:
(xy_ 1) 2 十Cx十y-2) (x十y-2xy) .
·
分析与解
这是一个关于工，y 的对称式，可以用基本对称式工+y 和xy
来表示.
设工+y=a ，xy=b ，则
原式= Cb- 1) 2 + (a-2) (α
2b)
=b2 -2b+1+a 2 一句-2ab十4b
}j
it
思
维
、
应
用
之
美
31
黄础@…… (八级)
= (a - b)2 - 2(a- b) + 1
= (a - b- 1) 2
= (x+ y- Xy _ 1)2
= [x(l -y) + (y _ l) J2
= (X- 1) 2 Cy_ 1) 2 ,
自然数的海洋中隐藏着许多有趣的性质. 请看:
144 X 441 =252 X 252 , 156 X 651 = 273 X 372 , 168 X 861 = 294 X 492 , 276 X
672=483 X 384 ,1586 X 6851 =3782 X 2873 ,13248 X 84231 =23184X 48132 , '"
这样的"逆序积等式"有多少个?两位数的逆序积等式有没有?
ÞTI'
已知xyz= l ，x+ y+叫川2+ Z2=叫古z +古工+注Ey
的值.
( 北京市竞赛题)
·
分析与解
条件与结论都是关于x ，y ，z 的轮换对称式，可以用它的基本对
称式来表示.
32
由z十y十z=2 得x2 十y2 +Z2 + 2( xy + yz十zx ) =4 ,
',' x2+ i + ~ = 16, ，'. xy + yz十zx= - 6 ，
由工+ y + z= 2 得z=2 - x - y ，
.• xy+2z
xy-2工
2y+4
(x - 2)(y- 2) '
1
同理-一一一=
一一一一=
yz+ 2x (y-2)(z-2)'zx+ 2y (z-2)(x-2)'
故原式=
l
(x-2)(y-2) , (y-2)(z-2) , (z-2)(x-2)
z一2 十y-2+z - 2
(x-2) (y-2) (z-2)
Z十γ + z-6
xyz-2(xy + yz十zx) + 4(x + y+ z) - 8
2-6
1-2 X (-6)+4 X 2- 8
4
13'
"♀8 t4ë5_2_ V
哈佛大学入学试题
第6 讲
数也对称~
1X1
1
11 X11
121
111 X 111
12321
1111 X 1111
1234321
11111X11111
123454321
111111 X111111
12345654321
1111111 X 1111111
1234567654321
11111111 X 11111111
123456787654321
111111111 X 111111111
=
12345678987654321
数也对称
ilJ !)
已知a2 (b+c) = b2 (a十c ) = 2 0 1 0 ，且α手b ，求c2 (α+ b) 的值.
分析与解
式子a2 (b+c) ,b2 (α+ c) ,c2 (a+ b ) 是轮换对称式，a ，b ，c 的地位
相等，猜测c2 (a + h) 的值也应为20 1 0 ，为解题指明方向.
.: a2 (b+c) - b2 ( α+c )
= α2 b+ a2 c- b2 a- b2 c
= ab(a - b) 十c( a - b) (a+ h)
= (a -
!J) ( ac十bc十ab )
= 0,
又γ α手b ，λ ac十bc十αb=O .
γ c2 ( α+ b ) - b2 ( α +c)
=c与+ c2 b- b2 a- b2 c
=bc ( c- b) +α (c2 - b2)
= bc ( c- b)+α (c-b) (c十b)
= (c- b) ( bc十以+ ab)=O ，
:. c2 ( α十b) = b2 ( α +c) =2010.
著名物理学家杨振宁在香港大学演讲"物理和对称" 时曾引用了苏东坡七
律诗《题金山寺>> :
潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明.
桥对寺门松径小，槛当泉眼石波清.
迢迢绿树江天晓，萄需红霞海日睛.
遥望四边云接水，碧峰千点数鸿轻.
倒读又成诗，这是一首回文诗.
方
法
.
思
维
、
应
川
之
元
33
黄东坡@ 带…牡美(八年级)
对称存在于大自然的深刻结构中，反映在文学作品的意境中;对称是一种美的
标准，是一个数学概念，是一种思维方式.
右图是三阶幻方，若把1，3 ，9 ，7 顺时针构造两位数及逆时针
构造两位数，得97 ，71 ，13 ，39;31 ，17 ，79 ，9 3 ，可得如下奇特式子:
97+71 + 13+ 39=31 +17 + 79 + 93;
，民
___ ._..
97 2 十71 2 +13 2 + 392 =31 2 + 172 + 792 +93 2 ;
973 +71 3 + 133 +39 3 =31 3 十17 3 十79 3 +93 3 •
处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺.
乏美探寻!
1. 分解因式
: CY-Z) 3+ CZ-X) 3+ Cx- y) 3.
4
⑨ 2
③ 5
⑦
8
① 6
2 . 已知a 2 Cb- C) +b2 Cc-a) + c2 Cα -b)=O ，求证:
a ，b ，c 三个数中至少有两个
相等.
(北京市竞赛题)
3. 12X462=264X21 ,42 X 132=231 X24,46 X352=253 X64,93 X286=682 X39 ,…
以上这样一些算式称为"回文算式"找出具有这样性质的算式的内在规律，并
用你找到的规律再写出2 个"回文算式"
34
4. 已知a ，b ，c 为正数，满足如下两个条件:
a+ b+c=32 (,
b+ c-a
, c+α -b , a+b-c
1
=-、
一一-一+"
，
~
v + 一一一一=一
⑦
bc
ac
ab
4
'=
求证: 以ra_，而，~为三边长可构成一个直角三角形.
(全国初中数学竞赛题)
..
数也对称t.J.:
第6 讲
@
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
1.分析: 若按通常的办法，先用乘法公式将式子展开，再设法分组，提取公
因式，计算较繁，我们现在应用对称性来解.
用y=z 代入原式等于零，知原式有因式(y- z) ，同理有因式(z-x) 及
(x-y) . 因为原式是3 次齐次对称多项式，而(x- y) (y- z) (z- x ) 亦为3 次齐
次对称多项式，于是可设(Y _Z) 3 十(z- X)3 + ( x - y) 3 =k( 工- y) (y- z) (z-
x) ，此处走为一未知常数.由于两端相同项的系数应相等，因此通过比较两端
相同的系数，即可确定常数走的值. 例如y2z 项的系数，左端为
3 ，右端为
走，
得走=3 . 于是分解式为(Y_ Z) 3+ (z- X) 3 + (x- y) 3 =3(x- y) (y- z) (z- x).
上述解法中，通过分析得到对称多项式的因式，然后设出含有待定系数的
分解式，再应用待定系数法求出系数，这种方法是解具有对称性的多项式的因
式分解问题时常用的方法之一.
2. .: a2 (b- C) +扩(c -a) 十c2 (α -b )
=α2 b-a2 c+ b2 c- b2 a十c2α - c2 b
= (b -c) a 2 十(c2 - b2 )a+ bc(b- c)
= (b- c) [a2 一(c+ b)a+ bcJ
= (b- c) (a-b) (a- c) =0 ,
λ 上式说明b- c ，a-b ，α
c 中至少有一个等于0 ，即a ，b ，c 三个数中至少
有两个相等.
3 . 设算式左边的两位数为1 0a+ b ，三位数为100c+ 10d十e ，其中α ，b ，c ，d ，
e 都是1~9 的正整数.
根据"回文"结构有(1 0a+b) (100c+ 10d + e) = (100e+ 10d+c) (10b+ a).
即ac • 103 + (bc+ αd) • 102 + (ae+bd) • 10+be=be • 103 + (ae+bd) •
10 2 +( ad十bc) • 10+町，
(ac- be) • 1 0 3 +[ (bc+ αd) - (ae+bd) J
.
10 2 +[ (ae十bd) 一(bc + ad) ] •
10+(be-ac)=0 ,
(ac - be) • (1 03 - 1)十[(bc+ad) 一(ae+ bd) J
. (102-10) = 0 ,
(ac- be) • 999 十(bc十αd-ae-bd) • 90=0.
令ac-be=O
①，
bc+ αd-ae- bd =O ( .
③，所以?=
4二E ，所以c(d一俨ω- e) ,cd-ed=c2 -e2 ,d(c- e) = (c+仙-e)
a-c
当c- e= O ，即c =e 时，由①知α =b ，这时是一种特殊情况，如22 X 454=
454X22.
35
( .
b
d-e
由①得
=二，由②得α (d -e ) =b( d - c)，即王
d丁c
a
e
黄东坡@…数时(八年级)
当c芋ε 时，由④得d=c+ e. 所以，"回文算式"的规则;
ac = be 且d = c+ e.
如取α =3 ，b=1 ，c=2 ，e=6 ，则d= 8 ，得31 X 286=682X 13=8866.
4 . 条件有很强的对称性，由句股定理知，结论可表示为; a= b+ c 或b=a +
c 或c= b+α
③，
联系①和③，只需证a= 1 6 或b=16 或c= 16 ，
即(α
1 6) (b- 16) (c-16) =0
( .
展开只需证明:
o =abc一16 (ab十bc十ac) +16 2 ( α+ b+ c ) - 16 3
(把①代人)
=abc-16(ab+bc+ca) + 163
( .
由①平方、移项，得α2+ b2 十♂=32 2 -2(ab+bc+ ac)
(
,
又由②移项、通分，得
1
fb十c- a
，
c十α - b
, a+ b- c\
=~- ! 一一一一十一一一+一一一
l
4
飞
bc
ac
ab
/
1
f ab+ ac- a2 , bc+ab-b2 , ac+bc-c2 \
一一一一一一一一一
-
4
\αbc
abc
abc
/
abc-8(ab+bc+ac) +4(a2 +b2 +c2)
4abc
abc- 8(ab+ bc+ αc) + 4[ 322 - 2(ab+ bc十αc) J
4αbc
Gbc- 16(ab+ bc+αc) + 163
4abc
abc一16(ab+ bc+ ac)+ 162 (α十b十c) 一16 3
4αbc
(a- 16) (b- 16) (c- 16)
①
由
4abc
当α一1 6=0 时，由①有α = 16 = b+c.
由勾股定理逆定理知，以;a，而，~为三边长可组成一个以ra为斜边的直角
三角形.
同理，当b= 16 或c = 16 时，分别有b= 16 = α十c 或c = 1 6 = b + α ，均能以
;a ，而，~为三边长组成一个以而或trc为斜边的直角三角形.
36
•
: 常识的精微化
65 数学文化巡礼
咽
-
缸
叫
-
h
u
t
p
h
'飞
吼
叫
们
'
i
'
"
z
山
t
副
飞
u
t
i
-
呻
、
也
'
k
叮
待
川
凹
，
飞
PL-4v
v
h
m
l
私
、
‘
&
黑
著名数学家华罗庚曾说"人们对数学产生枯燥无味、神秘难懂的印象，成因之
一便是脱离实际"
而随着科技的进步和社会的发展，数学已经在自然科学、工程技术、社会科学
乃至生活的各个领域中得到广泛的应用，正如先哲早已指出
: 数学处于人类智能的
中心.
从计算机、互联网，王IJ 生活科学、金融业，处处可见数学的踪影.赌徒们可以自
豪地宣称自己是概率论的教父，因为正是他们激发了赌博与数学的相互影响，并为
概率论研究的发展提供了强大的动力.
在市场经济条件下，随着市场行情的变化，各种日常生活用品的价格不断发生
变化，消费者采用怎样的购买方式，才能使-所花费的费用最少?
买固定总价的商品或买固定数量的商品，对顾客或商家来说哪种情形合算?
为什么商家常把商品尽量进行整体包装再出售?
37
以平衡视角探寻人类最质朴的智慧:数
学是高等智慧生物的共有思维. 是对真理的
探索和对矛盾的怀疑，是常识的精1M.化.
黯
事
与
重
嚣
?
向
i
?
今
二
、
4
内
，
事
、
、
，
c
黄东坡@…… (人银)
在日常生活中，人们在买大米时，有两种不同的习惯: 有些人习惯买固定重
量的大米，而有些人则喜欢买固定钱数的大米，从花的钱数角度看，如果在一段时
间内物价不会发生任何变化，那么在这段时间内，只要购买大米的总数量相同，两
种买法所花的钱数也就一定相同，但是如果物价不稳定，那么结果就不一样了.例
如，在一段时间内，甲、乙两人都买两次大米，但买法不同
: 甲每次都买50 千克，而
乙每次都买50 元钱的，甲、乙两人谁的买法合算?
38
·
分析与解
比较甲、乙两人两次购买大米的平均价格.
假设买两次大米的价格分别为a ，b ，
50a 十50b
a+b
则甲买两次大米的平均价格为一一一一=一一
50+50
2
+ 50
2
2ab
乙买两次大米的平均价格为三V
I ，一=一一一一=一一
50
I 50
1
I 1
a +b'
一+V，V
~++
α
o
a
0
. α +b 2ab
(a-b) 2
一一一一一=一一一一>0 ，
2
a+b
2(a十的
. a+b~ 2ab
一一
2 ...--a+b'
即乙的买法比较合算.
a+b ,-
2
问题解决的关键是比较-一-与
的大小.
2 -" 1 , 1
a ' b
初中阶段，我们会遇到以下各种"平均"
α +b
算术平均数
2
'
几何平均数vlab ，
调和平均数一一ζ-
1 , l '
一一
a ' b
我们把这一系列与平均数有关的不等式称为"均值不等式"
运用作差比较大小的方法可以证明
:
α +b
一一二三vlab>-~一一，当a=b 时，等号成立.
:;;.-- 1 , 1
一一
a ' b
常识的精微化33
第n井
庞加莱(1 854-19 1 2)
，法国数学家，由于他杰
出的工作，他被认为是19 世纪后四分之一和20 世
纪初期的数学主宰，并且是对数学及其应用最具有
全面知识的、能雄观大局的通才.
1 908 年，庞加莱当选为法兰西学院院士，由于
他的通俗文章的文笔非常优美，他获得法国作家中
的最高荣誉→一法国文学会会员
，他还有一批重要
的哲学著作如《科学与假设》、《科学的价值》等.
例2
寻找关联
如图，在梯形ABCD 中，已知AD // BC ，AD= α ，BC= b ，E ，F 分别为AB
，CD 上
的点，EF// BC// AD ，我们形象地说线段EF 为束在梯形上的"腰带"，随着这根"腰
带"束在不同位置，EF 的长与α ，b 有不同的数量关系. 试用含α ，b 的代数式表
示EF .
(1)如图①，EF 为梯形中位线;
(2) 如图②，EF 过梯形对角线的交点。;
(3) 如图③，梯形AEF岛今梯形EBCF;
(4) 如图④，5梯形AEFD =5梯形Ð3CF .
D
i
L
γ
」
C
AF--
E,L
B
F
Llj
C
Dil4Il--
A
A
「
-
-
E
/
/
」
B
D
U
γ
l
当
C
-
识
。
一
AA
Rf
-/
-
E
/
/
/
一
d
B
E严(
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
图④
从特殊到一般，运用相关定理可用含a ，b 的代数式表示EF.
a+ b
/ ~ ， ~~ 2ab
/~， ~~
~ /., ~~
la2 + b2
(1 )EF= 一一; (2)EF= 一一
; (3)EF= vlab; (4)EF气已士L
'α + b
飞
2
对于(4) ，给出如下证明
:
如图④，设梯形AEFD 、梯形EBCF 的高分别为h ]
，仇，
.: 5梯形AEFD =5梯形配F'
九
α + EF
:. ~ (α + EF) • h] = 一(b十EF)
• 儿，得::f. _一一一一
]
2'v
,
,,-"<
/
" 2 "'J h ]
b+ EF.
图③
图②
图①
分析与解
•
39
又可训「÷s…D '
~ (a + EF) • h] = 士(α+的时h2 ) ,
黄东坡@…数时(八年级)
"s hz _ a+2EF- b
d牛一一一
川h]
a 十b
'
. a十EF
a十2EF-b
" b+EF
a 十b
化简得F俨ZE
请读者证明其他关系式.
D
J平
C
我们惊讶于代数中的重要概念关系式、大小关系可以统一在一个图形中，如上
右图所示.
科马克和CT 数学原理
宇宙学家保罗
· 戴维斯说"所有科学都是对统一的寻找"
相对论、量子论是现代物理学的两大基石.
相对论是关于时空和引力的基本理论，研究对象是自然界的"舞者"，量子论则
揭示了微观物质世界的基本规律，研究对象是自然界的"演员"
物理学家试图创立一个将相对论和量子论统一起来的下一代基础理论
超
弦理论.
向数学之美探寻
1. 一辆汽车从甲地开往乙地的速度是6 0 千米/时，从乙地返回甲地的速度是
40 千米/时，问:该汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少?
40
常识的精微化C;
第7 讲
2. 如果你有两个桶，一个装的是红色的颜料，另一个装的是蓝色的颜料，两桶
中装的颜料体积一样.你从蓝色颜料桶里吕一杯倒入红色颜料桶，调匀后再从红色
颜料桶里吕一杯倒入蓝色颜料桶.两个桶中红、蓝颜料的比例哪个更高?通过算术
的方式来证明这一点.
(微软公司选考面试题)
3. 现有两种洗衣方法:
(1)直接把衣服投入一桶水中洗;
(2) 一桶水平分为两盆水，洗两次.
哪一种方法洗出的衣服更干净些?
也
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
l.设甲、乙两地相距z 千米，则该汽车往返甲、乙两地的平均速度为:
5=-2王一=48(千米/时).
x
, x
一一-
60 ' 40
2. 若用直觉理解判断，则易掉入命题者的"陷阱"，所以一些应试者想当然
地认为，第一次是从"蓝色颜料桶里吕一杯倒入红色颜料桶中"，显然混合均匀
后，尽管在这个桶中蓝色颜料占的比例较少，但再从"红色颜料桶里吕一杯倒
入蓝色颜料桶中";此时的一杯已不是纯粹的红颜料，还含有较少的蓝颜料，所
以此时蓝色颜料桶中的蓝色颜料会多一些.产生这种误解的原因是应试者忽
略了除一杯以外的桶中颜料的情形.
事实上，两个桶中红、蓝颜料的比例一样大.
解法1 :设红颜料原来体积为工，吕一杯的体积为y ，则完成第一次操作后，
41
时@ …敛挝美(八相)
42
红桶中蓝颜料占捏合颜料的___}j_ 完成第-次操作后，红桶中还有泪合颜料
x + y '
一
(x十y)-y=x ，可求出此时红桶中蓝颜料还有-L
- z=lL ; 而两次操作
x +y
后，蓝桶中的红颜料就是回来的一杯混合颜料中的红颜料，显然该?昆合颜料中
红颜料占混合颜料的1 一__;j__因此这一杯中的红颜料为y • (1 一+)=
工+y '=....u=
' 1'I"I''':;= I<')I, 11' F J Y
飞
x+y /
二吃，也就是说，红桶中蓝颜料和蓝桶中红颜料一样多
解法2: 比较简捷的解答是设桶的容量是杯子容量的企倍.蓝颜料倒入红
桶中一杯，则红桶中蓝红颜料的比是一1
倒回一杯，此杯里红、蓝颜料的比为
k+l'
走
豆+1' 则蓝桶中红、蓝颜料的比是zτ1 -7- k = k丰1 '比例一样大.
3. 设一桶水有α 升，洗后拧干留下水有b 升;衣服中有衣垢m 克，洗涤过程
中衣垢全入水中，并均匀地分布于其中.因而衣垢也会按比例保留一部分于衣
服中和留下的水中.
如洗衣水有10 升，衣垢有10 克，拧干后衣服上还留下水1 升.因为洗后按
比例每升水应有衣垢1 克，故洗后衣服上还留有衣垢1 克.
如用第一法洗，洗后留有衣垢宁克;
用第二法洗，第一盆用水丘升，有衣垢m 克，拧干后留下水b 升.
2
2bm~
这一次洗后，留下衣垢有(bm) -7-导=一一克;
[,
a
2仇η
第二盆用水号升，尚有衣垢一一克，拧干后还留下水b 升，
4α
1 ,
2bm\. I α
\
4b2…-
这一次洗后，留下衣垢有( b • 一一) -7- ( ~ +b) =
/U一一克
\
V
a
J
飞
2 'v J
α (a十2b)JU
份η
4b2 m
4b
于是，两种洗涤法留下的衣垢之比为I:
II = 一
: 一一一一一= 1 :一一一
a
a(α + 2b)
α + 2b
a+2b
4b
a+2b
所以，当α+ 2b>份，即α> 2b 时，1:
II=一一一> 1，用第二种方法洗较干净;
4b
a+2b
当α +2b<份，即α< 2b 时，1 : II =一一':::: < 1 ，用第一种方法洗较干净;
4b
a+2b
而当a十2b=4b ，即α =2b 时，1 : II =一一一=1 ，两种方法洗一样干净.
4b
根
心数学文化巡礼
阿基米德(公元前287一公元前212) ，古希腊最伟大的数
学家，他与牛顿、高斯并列为三大数学家，并被誉为"数学之
神"阿基米德是在叙拉古陷落时被杀的，相传罗马士兵刺杀
他时，他正专注于沙盘里的图形.当代著名哲学家、数学家怀
特海说"阿基米德死于一个士兵之手，这是世界发生头等重
要变化的一个标志"
"给我一个支点，我就能撬起地球"某种程度上说，题根
正是数学学习中一个有力支点.
著名诗人顾城在《忧天》中写道:
哦，不能!
为了拒绝这种"自由"，
我愿变成一段树根，
深深地扎进地层.
•
这夭蔽日，树影婆婆，参天大树的挺立伟岸缘于深扎泥土中的曼延曲折的根.
数学问题汗牛充栋、千变万化，许多看似迥异、毫无联系的问题，通过分析、剥
离，溯流探源，我们可以发现它们都回归并指向一个基本问题.那些变化多端的问
题只不过是这一基本问题的背景转换，或条件与结论的互换，或条件的弱化与强
化，或从特殊到一般的推广等.
这一基本问题就是题根.
积累题根，就站立于从简单到复杂的逻辑生长点;寻找题根，就理解了问题的
变化方式，就能提出策略.
43
黄东坡@带…挝美(八年级)
数学智慧讲堂
例lj
求证:存在元穷多个自然数走，使得n4 +走不是质数.
(IMO 试题)
·
分析与解
所谓不是质数，那就是1 或者是合数，显然l 是不可能的，只要
证明n4 +是是合数，这就需要把n4 +走分解为两个大于1 的整数的乘积.如何分解
n4 +走呢?
【联想】
旷十4=(η2+2η+2)(η2- 2n+2 )
，当k=4 时，n4 十走是合数，其实当是
=64 ，324 ，1024 ，2500 ，… ，也就是当走=4a4 (a 是自然数)时，n4 +走都是合数.
【证明】
当k=4a4 (a 为自然数)时，n4 + k = 旷+ 4a4 = n4 十4η2 α2+ 4a4 - 4η2 α2
= (n2 + 2a2)2 - (2an) 2 = (η2 + 2an+ 2a2) (η2-2an +2α勺，
当a二三2 时，这是两个大于1 的自然数的乘积，因为α 有无穷多个，所以走也有
无穷多个.
通过本例发现:从714 +4 到
714 +k 只是从特殊到一般的改变，但思维方式却是
从操作性的分解到构造性的证明的飞跃;一个基本常规问题与一个国际数学奥林
匹克试题有时只是一步之遥.
HO\\' CHINESE LEARN
MATHEMATICS
盖章型钢~\等
变式练习是中国数学教育的一大特色.
"变式"即有目的、有计划地对命题进行合理的转化，
通过转换问题的内容和形式、变换命题的非本质特征，变
换问题中的条件或结论等方式. 使问题的非本质特征时隐
时现，而本质特征保持不变.
也~
(1)分解因式:
(b- C)3+(c- a) 3 十(α -b) 3
(2)求所有的三元整数数组(x ，y ，z) ，使得x3+ i + Z3 - 3xyz= 2003.
(3)设n 是整数，如果存在整数x ，y ，z 满足71 =X3 + y3 十z3-3xyz ，则称n 具有
性质P.
①试判断1，2 ，3 是否具有性质P;
②在1，2 ，3 ，…，20 1 4 这20 14 个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个?
(全国初中数学联赛题)
44
第8 讲
题根ι
分析与解
这组问题是建立在a 3 +b3 + ♂一切bc 恒等变形及其应用上.
因为a3 + 扩+c3 - 3abc =(α +b+c) (a2 + b2 十c2 -ab-bc-ac)
=÷(a十b+ c)[ (α一州(b 川(c一川，
故可得出下列命题:
I 若a3 + b3 +c3 -3abc=0 ，则α + b+c=O 或a=b=c;
E 若α+ b+c=O 或a= b=c ，则a 3 + b3 + c3 =3abc.
对于(1)，': (α -b)+(b- c) + (c-a) =0 ，λ 原式=3(α -b) (b-c) (c一α) .
对于(2)
，.: x 3 +i +Z3 -3xyz= (x+y+z)(x2 +y2+Z2 - xy-yz- xz) ,
又(x- y)2 + (Y_Z) 2 + Cz- X) 2 =2Cx2 + y2 + Z2 -xy-yz-xz) ,
即(工- y) 2 + CY_Z) 2 + Cz- X) 2 总为一个偶数，
将方程变形为(X+y + Z) [ Cx - y) 2 十(Y_ Z) 2 + (z- x) 2J= 2 X 2003 ,
「内= 1
①，
(x- y)2 + CY_Z) 2 + Cz- X) 2 =4006
(,
或[ x+ y十z=2003
③，
\ (x- y)2 + (y- Z) 2 + Cz- X) 2 = 2
(,
由①②得Cx-y) 2+ CX十2y_ 1) 2 + (2x+ y_ 1) 2 =4006 ,
:. 6x2 + 6/ + 6xy-6x-6y十2=4006 ，
但上式左边被6 除余2 ，右边被6 除余4 ，故方程组①②无整数解.
由③④得
I x-y
l
，Iy-z l , Ix- z
l 中有两个为1，一个为
0 ，故满足条件的三元
整数数组为Cx ，y ，z)=(668 ，668 ，667)
，C668 ，667 ，668)
，C667 ，668 ，668).
(3) ①取工=l
，y=z=O ，可得1=1 3 + 0 3 +0 3 -3X 1 XOXO ，所以
l 具有性质P;
取x=y=l ，z=O ，可得2=1 3 + 13 + 03 -3 X 1 X 1 X O ，所以
2 具有性质P ; 若3 具有
性质p ，则存在整数x ，y ，z 使得3= CX+y+Z) 3 -3Cx+ y+z) Cxy+yz+zx)
，从而
可得3
1 (x+ y+ Z) 3 ，故3
1 (x+y+z) ，于是有9
1 [(x+y十Z)3 -3(x十y+z) (xy+yz
十zx汀，即
9
1 3 ，这是不可能的，所以3 不具有性质P.
②记jCx ，y ，z)=x3 + i 十Z3 -3xyz ，则
jC工，y ，z)=(x十y) 3 +Z3 -3xy(x+y) -3xyz
= CX+y+Z) 3 -3(x十y)zCx十y+z) 一3xy(x十y+z)
= (X+y+Z) 3 -3(x + y + z)Cxy十yz十zx)
= (x+ y+z) Cx2 +/ + Z2 -xy-yz-zx)
=
~ (x+y+z)[(X-y) 2+ (Y_Z) 2+ CZ_X) 2J
即j(x ，y ，到=÷(工十y+z) [ Cx -y川y_Z) 2 十(Z_X) 2J
不妨设工二三y二泣，
如果x- y=l ，y -z=O ，x-z= l ，即x=z十1 ，y=z ，则有j(x ，y ，z) =3z+ 1;
方
法
、
思
维
、
应
川
之
先
45
时@带…牡美(八年级
如果工- y=O . y- z=l . x- z= l. 即x=y= z十1，则有jCx . y .z) = 3z+ 2 ;
如果x-y= 1, y- z=O ,x-z= 2 ，即x=z十2 ，y=z+ 1，则有j(x ，y ，z)=9(z十1);
由此可知，形如3走十l 或3k+2 或9走Ck 为整数)的数都具有性质P.
又若31 j(x ,y ,z) =(x+ y + Z) 3 -3( x十y+ z) (xy + yz+ zx) ，则
3
I Cx +y+
Z) 3
，从而3
1 Cx+y+z) ，进而可知9
1 jCx ,y ,z) = CX+y+Z)3 -3Cx十y十z)(xy+yz
+zx).
综合可知:
当且仅当n=9走十3 或η = 处十6C 走为整数) 时，整数η 不具有性
质P.
又20 14=9 X2 23 + 7 ，所以，在1，2 ，3 ，…，20 1 4 这20 1 4 个连续整数中，不具有性
质P 的数共有224 X 2=448 个.
例3
的值.
1.
, 1
, 1
,,
1
己知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且α+ 一=b+ 一= c+ 一= d十
=工，试求工
b
~
'
c
( 全国初中数学联赛题〉
·
分析与解
以退求进，从我们熟悉的简单问题入手.
【问题一】
已知α十←lJ+÷=1 ，求c+士的值
【分析一】
条件分别是α 与b ，b 与c 的关系，而结论是关于c ，a 的代数式的值，
可考虑将条件中字母b 消去.
46
1
, 1
E问题二】
已知α+τ = b+一= c+一= xCα ，b ，c 互不相等) ，求工的值.
o
c
a
【分析二】
由α+十=x 得b=土，
。工-a
1
/=
1
1
x-a
由b+~=x 得c=一一=一一一一=丁一一一一
c
~
，..
-
x-b
1
x'-ax-1
工一----
x - a
代入c+i =z 得丁王二丘一咱十i = z .
a
x 】-ax- l
α
整理得αt 一C a2 + 1)x 2 -ax+a2 十1= 0 ，
:.x 2 Cax- a2 - 1) 一(αx- a2 - 1) =0 ，
即( αx - a2 - 1) Cx2 -1) = 0,
由αx- a2 - 1 = 0 ，得x= α+i ，此时a= b ，与题设不符.
a
则x2 - 1= 0 ，二x= 土1.
以上两个问题解法的共同点是消元求值.
第8 讲
题很ι
在直接求解、求证原问题难以入手时，把原问题作适当的变换，如换一种说
法、换一种形式，构造一个或几个比原问题简单或熟悉，易于求解的新问题，通
过对新问题的考查，发现原问题的解题思路，这就是数学解题中的转换思想.
走2 - ak - l
, 1
回到原问题，同理通过反复代换得
1 .1
1 ?
内，
I
十
=走，去分母，整理得:
a
(走3 -2k)a2 -( 走4 -2k 2 ) α 十(走3 -2是) = 0 ，即走(走J2) Ck+ J2) Ca2 - ka+ 1) = 0.
由于a ，b ，c 各不相同，阳十士，即α2 一阳十M
又因为走=0 时得α =c ，b=d ，与条件不符，
故k= -r_J2.
根深而叶茂，纲举而目张.
凝题成链，结题成网.
题根是题网中的一个节点，题族中的一个代表，题群中的一个根基.
深刻理解题根，就把握了相应的题群、题族.
牵一发而动全身.
研究表明，数学特长生的知识是围绕核心概念或观点组织的，这些核心概
念和大观点引导他们去思考.他们能够将解决某一类型数学问题的"方法、策
略、思想"组织成模块，其所生成的提升能力的结构能极大地改善自己的解题
能力.
谷歌公司创始人
佩奇(左)和布林(右)
互联网像一张大网
谷歌创始人之一佩奇曾言"当时我觉得整个互联网就像一张很大的图，每
个网站就像一个节点，而每个网页的链接就像一个弧，我想互联网可以用一个
图形表示"
方
法
、
思
维
、
成
川
之
美
47
黄东坡@ 带…挝美(八年鼠)
命!数字之美探寻
1. 已知a+b+c=3 ，且(α_ 1) 3 十( b-1 ) 3 + (c- 1) 3 = 0 ，证明:
a ，b ，c 中至少有
一个等于1.
2. 求所有的自然数n ，使得数n4 + 64" 是合数.
(欧拉奥林匹克试题)
b2+c2- a2 ~
C2 +α2 -b2 ~ a2 +b2 -C2
3. (1)设A=一一一一~.B= 一一一一~，C=一一-i ，当A+B+C= l 时，
2bc
,LJ
2ca
' '-'
2ab
求证:Al酬+B 1则十C1酬= 3 .
(天津市竞赛题)
Ib2+c2-a2\ 2 , Ic2+ a2-b2\ 2 , la2+ b2-c2\ 2
(2)若正数a ，b ，c 满足(一一一一一)
十(一一一一一)
+ (一一一一一)
=
飞
2bc
/
飞
2ca
/
飞
2ab
/
b2 十c2 - a2 , C2 + α2 -b2
α2 + b2 -C2
代数式一一一一一+一一一一一+一一一一一-的值.
2bc
2ca
2ab
(全国初中数学联赛题)
48
..._
题根tJ::
第8 讲
g
1.由条件得(a- 1) + (b- 1) 十(c- 1) =O ，
.: (a- 1) 3 + (b- 1) 3 十(c- 1) 3 -3( α
1) (b- 1) (c- 1) =[( α- 1) + (b
1) 十(c- 1)J[ (α 一1) 2 + (b- 1) 2 + (C - 1) 2 一(a 一1) (b- 1) 一(α
l)(c- 1)
(b- 1) (c - 1) J=O ,
:. 3(α - 1) (b- 1) (c 一1) =0 ，
λ (a - 1)，(b- 1)， (c - 1) 中至少有一个为
0 ，即向b ，c 中至少有一个等
方
法
、
思
维
、
应
用
之
先
于1.
2. 首先证明x4 +4y4 是合数，其中x ，y 是自然数，且(工，y) 手(1，1).
x 4 + 4/ = (x2 +2l)2 - 4x2l = (X2… 2xy+2y2) (X2 + 2xy 十2l)
，因为x2
-2xy+2l=(x-y)2+l
，且仅当x=y = l 时，它等于1.因而对于其他所有
的自然数，数x4 + 4y4 都是合数.
若n 是奇数，则d 十64" 是合数.因为在这种情况下，64"=64
. 俨=4(2 •
8是)4
令x=n ，y=2
• 驴，便得到形式扩+4y4
，在y 二三2 的情况下，这个数是
合数.
所以，对于任何自然数n ，n4 +64" 是合数.
.a2+ b2-c2 "
b2+c2-a2
"
c2+a2- b2
3. (1)'. 一一→_
，_' - l +
v
' ;-,
~
l +
c
' A~
v + 1=0 ,
2ab
~ ,
2bc
~ ,
2ca
，
~
~ ,
(α - b十c) (α -b-c )
I
( b-c+ α )(b-c-a )
I (c+α +b)(c+ α -b )
A
~b
2k
2ca
v ,
:. (c+a-b) [ c(a-b-c)
α(α 十b- c) + b(c+ α + b) J=O ，
(c+ α
b)(b+ αc) (b+c-a) =0 ,
即α +b-c=O 或b十c-a=O 或c+α -b 二0 ，分别讨论可得A ，B ，C 中有
两个为1，一个为
1.不妨设A= l，B= l，C= -1，则A 1 则+ B 1996 十CI 996 = 11996
+ 11996 + ( _1) 1996 =3.
I/b2+c2-a2 \ 2
, l
,
1I ♂+ a 2 - b2 \ 2
, l
(2 )由条件得
I ( u
' ~，
.
U
)
-
1 I + I (一一一一一
)
-
1 I +
L 飞
2bc
!
~ J
L 飞
2ca
!
~ J
(α2+Hc2 ) 2
[ (a' +Z一
1] =0 ,
2ab
化简得(b+c-a)(c+ α -b)( α +b- C) =O ，
( b+c-a)(c十a-b)( α + b-c) 十2abc
λ 原式=
2abc
49
2abc
咱
2α bc
~
…
\
…
---.
心!数学文化巡礼
2013 年11 月
9 日，亚洲冠军足球联赛决赛第二回合在恒大主场开赛之前，广
州恒大足球俱乐部公布了一张官方海报，用数学公式来预测决赛第二回合的比分:
11 月
9
日我们共同解答
恒大:首尔
J1+2 J 1+3 ) 1+ 4 ~
=
e'"+l =
恒大一边的比赛结果是一个拉马努全恒等式，答案是3 ，简单的说，就是反复利
用平方差公式把一个数展开成一个二次根式，这是一个无限嵌套的根式.
3 = 刁丰言交Z
= 刁丰2 v'f丰3 X 5
=vl十2 刁百万有灭石
=,)1 + 2 J1 + 3 /1石万有好
有理化是解有条件的二次根式化简与求值问题的关键，有理化的主要途径有:
(1)乘方:
(f';y = α;
(2) 配方: R=
l a l
;
(3) 对一个代数式的分母或分子有理化;
(4) 在等式两边同乘有理化因式.
50
苟理化C3
第9i井
拉马努金(1887 …
1 920) ，被称为"印度之
子"，印度著名数学家. 主要靠自学成才.是迄
今为止最具洞察力的数学家之一，思维开阔.
不拘于严密的逻辑中，他给出的许多公式是
凭借直觉推演而出的.
~IJ }\ 己知α> l. x=Fa- ~a- l ,y= ~a+1-Fa，z= Fa丰2- Fa丰1，则x ，y ，z
的大小关系是
分析与解
被开方数之间有怎样的联系?如何得到这种联系?
解法1
.λ> 1 ， :.x>O,y>O,z>O.
- i=l=JZ+ d巧，
x
Fa- ~a- 1
i =
1
= d丰T十Fa ，
y
Fa丰I-Fa
z
Fa有-Fa有
1 _ 1 _ 1
.. 一〈一〈一，
x
y
z
故x>y> z.
Jã- ~
(Fa- ~a- l)(Fa+ ~a- l)
1
x=
咱-
1
Fa+ ~a- 1
Fa+Ja=了
•
d丰2+ Fa丰1，
解法2
(d丰1-Fa)( Fa丰T十Fa)
1
y-
Fa平I+Fa
Fa平I+Fa '
( ~a+ 2- Fa丰1)( Fa召十d丰T)
1
z -
Fa丰言+ Fa有
一万亏一+ Fa有'
. . α> 1，
λ O<Fa+.j a-1 < Fa有+Fa<Fa百+Fa有，
即工>y> z.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
51
解法1 巧取倒数，解法2 分别有理化. 通过有理化来寻找工，y ，z 的联系，是
两种解法的共同点.
黄东坡@…时牛棚)
理1>
先阅读下列材料，然后回答后面的问题.
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如立叫号J一这样的式
15 、
3 ',;3+1
子.其实，我们还可以将其进一步化简:
3
3X15
315 '"
15-15x15
5
山
β一
尼灭3
J6品
、
3
飞
3 X 3
3
\旬，
2 一_ _2(，;3- 1)
主亟二1l =，;3- 1
( -
，;3十1
(,;3 + 1) (，;3一1)
(,;3) 2- 12
以上这种化简叫作分母有理化.
J5tl还可以用以下的方法化简:
2
3- 1
(J3) 2- F
(,,13+ 1)(,,13- 1
= 3- 1 = (v'3)" - }" =(,,13+ 1)(,,13- 1) =,,13_ 1
( -
,;3+ 1 ,;3+1
,;3+1
,;3+1
(1)请用不同的方法化简
2一
15+,;3'
参照③式得
2一=(
);
' 15+,;3
参照④式得
2一=(
);
'15+,;3
(2) 试化简
1 一+一」一一+ 一」一一+ … +
l
M 为正
. ,;3+ 1 ' 15+,;3
,
，，1于+15'
ffn丰T十J2n - 1
整数).
(邵阳市中考题)
·
分析与解
仔细阅读，深入理解.通过模仿、类比、迁移来解决问题.
2 (15-，;3)一
(15) 2 一(，;3 ) 2
(1)原式=
-JE-d · 原式一
=15-,;3.
(15 +,;3) (15-,;3)
V v
V v , UJ ' ~"
(15 +,;3)
,;3- 1 115-,;3 I ，，1于
15
I
I
v'Tτ1 - J 2n-1
VÍZ百1-1
ω 原式=7+-T +一厂+ ... 十
二
2
辆3、
已知QJ=15+ J22 + 2J言，
52
Q2=Jll+ 2 VÍZ百+J 16 - 2 VÍZ百十2 J55- 10 VÍZ百，
求证: Q1=Q2.
有理化U;
第9 ì:井
从内向外，脱去根号是证明的关键.
通过配方试一试:因55- 1 0
VÍZ百=(5- /Z9Y+ 1 而舍弃.
通过平方试一试: 即证Qi =Ql .
α =5十22+215+2 J110+ 1 015=27十215(1 +叮百五万5) ,
Ql = 11 十2 vÍZ百十1 6 一2 -/29+2 J55- 10 VÍZ百
+2 V (1 1 十2 -/29) (16-2 -/29+2 J5汇ES)
=27+2 J5百万言+V60+ 10129+22 J 55-10高+4 J29C55一10129)
因计算繁琐而放弃.
扩大视野，继续尝试.
γ1 6-2 VÍZ百十2 J55- 10 VÍZ百
=5+2x15x J l1-2 VÍZ百+C l1 -2 -/29)
=C15+Jl1-2 -/29 )2 ,
:.Q2 = Jll +2 -/29叫(占+J l1 -2 -/29)2
=15斗J 11 十2 vÍZ百+J l1 -2
VÍZ百
=15+VCJ11 +2 VÍZ百十J l1 -2 -/29)2
=15斗J五王2 Ji飞
= Ql .
分析与解
•
方
法
、
思
维
、
战
用
之
先
53
我想试一试(1 '11 Try)-英
· 罗赛蒂
那个说"我想试试"的小孩
他将登上山巅
那个说"我不成"的小孩
在山下停步不前
"我想试试"
每天办成很多事
"我不成"
就真的一事无成
因此你务必说"我想试试"
将"我不成"弃于尘埃
黄东坡
带你发现数学之类(八年级)
归
已知实数x ，y 满足(x+ R平l)( y+ /l + l) = l，求证: 工+ y= o .
(俄罗斯数学奥林匹克试题)
'
分析与解
在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化
简的基本方法是有理化.
【证明一】
x+h牛1 =
二=♂可1 -y
y+ 、
y' 十1
一
'
:.x+y= σ牛1- h可工
两边平方并整理得d斗才·♂τ1=1 :""'xy,
两边再平方得x2 y2 十t 十/+1= x2 /- 2xy+ 1 ，
即(X+ y) 2= 0 ，故x+ y= O.
【证明二】
将原等式两边分别乘以有理化因式♂丰1- x ，♂有-y ，
得
y+ /y2+1= / x 2+1-x (D,
x+ ♂牛1=σ中1-y
②，
由①十②得z十y= -(x+y) ，故x+ y= O .
对例4 进行变式与推广，可得到如下问题:
(1)若(h年1-x)( h年T十y)= l，贝卜计y=O;
(2)若(h可1+x)( σ牛1-y) = 1，则x- y= O;
(3)若( h可1+ y)( σ中T十x ) = l，则y+ x= O;
(4)若(♂亡叮
y)( h年1-x)= 1，贝卜x-y=O;
(5)若(刁可7十y) ( 句年t+x) =t,jj!U x十y=O.
监队
固自
"好问题如同→个蘑菇，当你找到第一个
蘑菇或做出第一个发现后. 再四处看看，它们
总是成群生长"
拉马努金是自学成才的印度数学奇才，他留给世界的最大财富并不是他的论
文，而是四本笔记，里面记载了4000 多个复杂公式，但没有证明，他是一个以特殊的
灵感和直觉进行不可思议的数学思考的天才.
54
有理化U;
第9 ì.井
英国数学家哈代慧眼识天才，并邀请他到英国剑桥大学学习，短短的五年时间
里，他像一团火焰点燃了整个数学王国.
哈代曾感叹"我们学习数学，拉马努金则发现并创造
了数学"他更喜欢公开声称.自己在数学上最大的成就是
.. 发现了拉马努金"
英国数学家哈代
(1877- 1947)
拉马努金曾向《印度数学会杂志》提供了
58 个问题，其中的一些问题与根式
相关.
形如J互+TB的式子，怎样求其平方根?
他给出了一种解决方法，并由此得出:
(1)厉习=÷(扫+洒一而) ;
m
k
叫
后
向数学之美探寻
1. 当
1 ::(x::(2 时，化简: Jx+2 σ- 1 +J x-2 ';x- 1 =
2.. 已知α =J2-1 ，b=/3-J2 ，c=J6-2 ，则α ，b ，c 的大小关系是
A. a< b<c
B. a<c<b
C. b<a<c
D. b<c<α
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
石王2 J";三石-2 ，J2
3 . 记I句气
d江五万
d仁五万
4 . 已知实数工，y 满足(x- Fx亡药08) (y-h亡五百) =2008 ，求3x2 -2i
+3x-3y -2007 的值
55
黄东坡@带…时(叩)
@\
56
1. 2
原式= J ( ♂可+ 1) 2 + J ( σ-1- 1) 2 = 1 h可+ 1 1 +
1 v'x-1-1 1 =σ-1+1-( ♂-1- 1) =2.
1 _ 1
2. C 因为0<言〈τ ，所以b<a ; 又因为c-a=16一(/2十1) ，而(16) 2 一
(/2+ 1)2 =3 - 2 /2>0 ，得c>a ，故b<α<c.
_Jc立工1) 2
j"在17τ _ /2+1
/2- 1
3. 原式一
一
一一一一一一一一一一
J(3+2/2)2
J (3一2 /2) 2
3+2/2 3-2/2
4. 由条件得x= y ，代人已知条件得(x- J;!=药08) 2 = 2008 ，即x2 - 2008
-x R=药百=O ，J;!=药丽( ♂t五百-x)=O ，得x2 =2008.
将x=y 及工2 =2008 代人原式得，
原式= x 2 - 2007 = 2008一2007= 1.
1(1))
•
、-
一
、---一、，
G夕
静止是相对的，变化是永恒的.
子在川上曰
"逝者如斯夫，不舍昼夜"
古希腊著名哲学家赫拉克利特认为"世界永远在不断变化"，"人不能两次走进
同一条河流"是他留传至今的名言.
"在生命的浪潮中，
在行动的风暴里，
上涨复下落，
倏来又忽去!"
在歌德、的《浮士德》中可以触摸到生命韵律的跳动.
"变量"即从某个方面表示变化的数值，变量的思想首先是由笛卡尔引入的.
1718 年，瑞士数学家约翰·贝努利给出了函数的定义，同时第一次使用了"变量"这
个词.
恩格斯对笛卡尔的工作给予了很高的评价，他说"数学中的转折点是笛卡尔
的变数.有了变数，运动进入了数学;有了变数，辩证法进入了数学"
函数是一种数学概念，是一个重要的数学模型，是再现客观事物变化过程的数
学工具，是一种对应关系.
日本著名数学史与数学教育家小仓金之助认为"数学教育的意义在于开发科
学的精神，数学教育的核心是函数概念的形成"
57
黄东坡
带你发现敬学之美
( 八年级)
数学智慧讲堂
例1
容器盛水问题
函数不是一种数，而是描述变化规律的
一种数学模型. 函数的功能就是人类的思维.
" 函数般的表达"思想的本质是: 发现事物之
间的关系.
h
如图①乙，有五种形状不同的容器，从容器口以均匀的
速度倒入某溶液，若液面高度h 关于时间t 的函数图象如图
。
①甲所示，则该容器的形状为
A
B
C
D
图①乙
图①甲
E
(中法中学生数学交流活动试题)
·
分析与解
问题的解决基于对下面两个问题的理解:
h
h
-
巳→o
。
图②
图③
58
函数般的袤达C;
第10 讲
(1) 匀速地向圆柱形的容器内注水，水面的高度h 与注水时间
t 的函数图象如
图②、图③所示.
图②、图③表明
: 圆柱的底面积越小，水面升高的速度越快，反映在图象上，图
象的倾斜程度越大.
(2)Y
\
y
y
x
。
X
y
。
X
L
。
上述图象表明y 随工的变化而变化，区别在于有的变化是均匀的，有的变化是
不均匀的; 有的变化是缓慢的，有的变化是剧烈的
; 有的变化是先缓后急的
，有的变
化是先急后缓的.
x
。
x
。
回到原问题:
图象先平缓上升，接着上升较快，又平缓上升，最后一段是均匀上升，这说
明容器底部较大，容器中部逐渐变小，后又逐渐变大，容器上部的大小是均
匀的.
符合这一要求的只有C 选项.
方
法
、
思
维
‘
应
用
之
美
x
59
y
②
函数图象直观形象地描绘了事物间的
数量关系、运动规律.
数学的和谐不仅在于能解释自然，仿效
自然，还在于它能描述自然.
图①是笛卡尔得到的富有诗意和数学
美感的"莱莉花瓣"一一笛卡尔曲线，它是函
数t 十j = 3axy 的图象;图②是心脏线，是
函数( x 2 十/+ax ) 2= α2 (工2+/ ) 的图象，是荷兰数学家考尔斯玛发现的.
①
黄东坡@ 制
也b
如图①，底面积为30cm2 的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组
成的"几何体"现向容器内匀速注水，注满为止. 在注水过程中，水面高度以cm) 与
注水时间t( s)之间的关系如图②所示.
h/cm
一
斤
一
一
切
l
t
l
t
「
l
t
l
F
「
4lG
。
图①
1824
图②
42
t/s
请根据图中提供的信息，解答下列问题:
(1 ) 圆柱形容器的高为一一一一
cm ，匀速注水的水流速度为-一一一_ cm3/ s;
(2)若"几何体"的下方圆柱的底面积为
1 5cm2 ，求"几何体"上方圆柱的高和底
面积.
(南通市中考题)
·
分析与解
看图、析图，挖掘图象蕴含的信息，并对得到的信息进行分析、
加工，还原问题情境;对于(2) ，先求出α 的值，由圆柱体积建立方程.
30X (14- 11)
(1 )14;5
读图可知容器高为
1 4cm ; 水流速度为一一一一一一=5(cm3 / s) .
(42 - 24)
(2) 由题意可知，30a-15a=18 X5 ，解得α=6 . 故"几何体"上方圆柱的高为
11-6= 5(cm) . 设"几何体"上方圆柱的底面积为5cm2 ，则(30-5) X 5=5 X6 ，解得
5=24.
故"几何体"上方圆柱的底面积为24cm2 •
定性、定量分析法是常用的思考方法. 定性分析即依据经验直觉，推断研究
对象的性质和发展趋势;定量分析即通过计算和推理，分析研究对象的特点和
发展规律.
60
第10 讲
函数般的表达Ct
例3
已知函数y 与自变量工的对应值列表如下:
|
x
1
1
1213
1 4151617181
...1
|
Y
1
3
1
7
1 13
1 21
1 31
1
43
1
57
1
73
1 ...
1
求该函数的解析式.
( 深圳市"启智杯"数学思维与应用能力竞赛试题)
·
分析与解
观察、发现y 与工的联系或相邻的y 与工的联系是解题的
关键.
设(η
l，Y ，，- l)
，( n ，丸，)是该函数图象上的点
，n = 1 ，2 ，3 ，…. 因为
7 -3=4 ，1 3
7=6 ,21- 13=8 ,31- 21 = 10 ,43 - 31 = 12 ,57- 43= 14, 73-57= 16,…,
可以归纳得: 为-y"一1
切，
于是: 为-Yl=4 ，只-yz =6 ，约为=8 ，…
' Y ，，-Yn- l =2 η.
以上( η - 1) 个等式相加得:
( 4+2η) (η - 1 )
?
Y ,, -Yl = 4 十6 + 8+ … +2 n =
2
= nz + η- 2 ，
则y ，，= nZ 十η -2 + Yl= ηz+ n - 2 十3= η2 十η + 1，
用z 代替η ，则函数解析式为y=XZ 十工+ 1.
李善兰(1811- 1882)
，晚清中国杰出的
数学家.在西方传教士的帮助下，翻译了大量
科学著作.不仅向中国学者介绍了西方数学
知识，还创立了许多新概念、新名词、新符
号等.
中学数学教材使用的"函数"一词是转译词，我国清代著名学者李善兰于
1 8 59
年翻译《代数学》一书时，首次把原书中的"function"译为"函数"中国古代的"函"与
"含"相通，有"包含"之意.
法国数学家、物理学家拉格朗日是拿破仑的亲密朋友，被拿破仑称为"数学领域高
耸的金字塔" 拉格朗日在变分法、微分方程、数论、群论等方面做了许多开创性的工作，
他的名字遍布数学的各个领域，他曾说"死亡是我最后遇到的一个函数"即函数相伴
其一生
函数，人类的一种重要思维方式.
七
川
l
b
L
;-J
思
维
、
应
用
之
美
61
冀东坡@ …数时(八年级
向障学乏美探寻;
1. 均匀地向一个瓶子里注水，最后把瓶子注满，在注水过程中，水面高度h 随时
间t 的变化规律如图所示，则这个瓶子的形状是
(
)
h
E
D
( 玉林市中考题)
2. 已知某容器是由上、下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱
组合而成的(如图) ，现往此容器中匀速注水，设注入水的高度为y ，注入水的时间为
工，则y 关于z 的函数图象大致是
(
)
A
日
。
y
。
x
A
A
]
B
y
。
x
y
y
B
。
x
。
X
C
D
(黄石市中考题)
3. 如图①，在底面积为lOOcm2 、高为20cm 的长方体水槽内放入一个圆柱形烧
杯.以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为
止.在此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在水槽中的位置始终不变，
水槽中水面的高度h 与注水时间t 之间的函数关系如图②所示.
图①
h/cm
R
万
4[J
0118 90
t/s
图②
(1)写出函数图象中点A ，B 的实际意义;
(2) 求烧杯的底面积;
(3) 若烧杯的高为9cm ，求注水的速度以及注满水槽所用的时间.
62
第10 i井
函数般的表达b
4 . 网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是
我们习惯称呼的"鞋号"
中国鞋码实际标注
220
225
230
235
240
245
250
255
260
265
(同国际码)mrn
中国鞋码习惯叫法
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
(同欧码)mrn
请你解决下面的问题:
(1)找出满足上面条件的一个计算公式，通过实际脚长α 计算出鞋号b.
(2) 习惯称为"30 号"的童鞋，对应脚的实际尺寸有多长?
(3)一个篮球运动员的脚长为282mm ，他该穿多大号的鞋?
(北京市数学知识应用竞赛试题)
s
l. B
2. A
3 . 要注意关键点的实际意义，如点A 表示烧杯中刚好注满水，点B 表示水
槽中的水位恰好与烧杯中的水位相齐.
设烧杯的底面积为5cm2
，高为h1cm ，注水速度为vcm3 / s ，注满水槽所用的
时间为t1 s.
(1)由图②可知，点A 表示当注水1 8s 时，烧杯刚好注满;点B 表示当注水
90s 时，水槽内水面的高恰为h 1 cm(烧杯的高) .
(5h, = 18v,
(2) 由题设可知L__
l100h1 = 90v.
两式相除，得5= 20 ，故烧杯的底面积为20cm2 •
)]
i去
100 X 20
(3)若h 1 =9 ，由( 2) 知
100X9=90v ，解得v= l O. 从而t 1 = 一丁古一=200 .
故注水速度为10cm3 / s ，注水时间为200 s.
思
维
、
自
川
之
夹
63
黄东坡
带你发现数学之美(八年银)
64
4. (1)观察到，表中给出了两列数:
a"+l =a"+5 ,al =220;b"+1 = b,,+l, b1 =34.
由此得α"= 215 + 切，b ，，=33 十η. 于是有b" =0. 2a" - 10.
如果将对应的脚长(单位: mm) 和鞋号i己作(a ，的，其关系为b=0 . 2α一10 .
(2) 令b=30 ，由上述公式算出α =200 ，即脚的长度为200mm.
(3) 当a = 282 时，利用公式b =0 . 2α-10 算出的结果为b=46 . 4 ，而鞋号都
是整数，按照穿鞋"不挤脚"的原则，这个篮球运动员应穿47 号的鞋.
62 I数字)l-偌巡视
函数图象是函数关系的直观表达形式，是解决函数问题的重要工具.
下图是函数y= 」一的图象，是李白《望天门山》最形象化的描述.
.y
Ixl
"天门中断楚江开，
碧水东流至此回.
两岸青山相对出，
孤帆一片日边来"
y
当代社会的特征是什么?也许你会说是信息化，但其本质是数字化、可视化.
数字、图象是表示信息与传递信息的重要载体.
函数图象以其直观、形象的特征囊括了众多显性与隐性的信息.解决问题的过
程就是释放图象内涵、信息转换的过程.
从图象到信息，是思维方式的拓展.
对函数图象蕴含信息的感知分析、转换和加工，是借助图象思考的内核.
由图象获取信息，解决相关问题，培养数形结合能力，发展形象思维，是函数学
65
黄东坡@ …饭时(八级)
习的重要方面，具体包括以7 四个方面:
(1)看图找点;
( 2 ) 见形想式;
(3) 建模求解;
(4 )i吾言车专才央.
数学智慧讲堂
rUJ 早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路( 直路)上学，途中发现忘带饭盒，停
下往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相
遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家. 1 5 分钟后妈妈到家，再经过3 分钟小刚到达学
校，小刚始终以
1 00 米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离别单位:米) 与小刚打完
电话后的步行时间
t ( 单位:分) 之间的函数关系如图所示，下列四种说法:
①打电话时，小刚和妈妈的距离为
ty/米
1 250 米;
②打完电话后，经过
23 分钟小刚到达
学校;
③小刚与妈妈相遇后，妈妈回家的速度
为1 50 米/分;
④小刚家与学校的距离为2550 米.
其中正确的个数是
2250
1250
11lte-
W
It-
-
-
JEll-1
11
''
---
。
5
20 23
t/分
A. 1 个
C. 3 个
B . 2 个
D. 4 个
(哈尔滨中考题)
·
分析与解
本例实质是借助图象给予信息的行程问题，把图象转译为直线
图，逐一检查. 函数图象上点( 0 ，1 250) 表示当x = O 时
，y = 1 250 ，即小刚打电话时，
小刚和妈妈的距离为
1 250 米，故①正确.函数图象右边端点的横坐标为
23 ，即小刚
打完电话后，经过23 分钟到达学校，故②正确
; 点(5 ，0) 表示当工=5 时，y = O ，即小
刚打完电话后，经过5 分钟，小刚和妈妈相遇. 设妈妈送饭盒时的速度为u 米/分，则
5(100+v) = 1 250 ，解得v= 1 50 ，则小刚与妈妈相遇时，妈妈离家的距离为
1 50X5 =
7 50 ( 米) ，而返回过程妈妈用了1 5 分钟，所以妈妈回家的速度为
750 -:-1 5 = 50C 米/
分) ，故③不正确
; 相遇时小刚离家750 米，小刚从相遇地点到学校所走的时间为
23
5= 1 8 C 分)
，所走路程为
1 8 X 1 00= 1 800C 米)
，所以小刚家与学校的距离为750+
1 800=2550C 米)
，即④正确. 故选c.
66
从圄象到信息C〉
第1H井
斯梅尔，1930 年出生在美国密歇根，是当
今世界上最杰出的数学家之一，在动力系统、
混沌理论、计算复杂性等众多领域，他都做出
了重要贡献，因证明高维庞加菜猜想. 于1 9 6 6
年获得菲尔兹奖.
甲、乙两车分别从X 、Y 两地出发，相向而行，甲车出发1 小时后乙车出发，
并以各自速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶.如图所示是
甲、乙两车之间的距离s( 千米) 与甲车出发时间t(小时)之间的函数图象，其中D 点
表示甲车到达Y 地，两车停止行驶.
a91J ~
SI千米
560l A
D
寸
l
I
l
l
i
t
-
-古
-
c
QU
、
1
4
1
1
l
i
l
-
-
a
1
E
--
--
'
←
6
1
忡
B
OG
A
吨
A
丛
寸
ν小时
(l) X 、Y 两地的距离是一一一一千米;乙车速度是一一一一川表示一一一一·
(2) 乙车出发多长时间后两车相距330 千米?
3
2
。
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
(齐齐哈尔市中考题)
·
分析与解
读取关键信息，还原问题情境:
(1 )坐标轴所表达的意义;
(2) 显示的"数" 的意义;
(3) 特殊点的意义一一起始点、转折点、终止点;
(4) 把图象转化为线段示意图，还原问题情境，将问题转化为相遇问题、追及
问题.
67
带你发现敛学之类(八年银)
黄东坡
。~1 小时的图象与对应的行驶示意图
s/千米
560kA
~Y
440
560
一→x
l
l小时ι
乙
甲
田
'
t/小时
5
4
3
2
。
1~3 小时的图象与对应的行驶示意图
VI
一
←
F
遇
T
t
L「
4
口
H
M
·
牛
斤
，
440
560
- x ~
s/千米
B
--寸
440
乙
3小时
用
C
t/小时
5
4
3
2
。
3~ t 小时的图象与对应的行驶示意图
s/千米
560
G
440
I
L一一-一卡一一斗Y
F
相遇
EFl
- x ~
------ --------lD
4
560
α
乙
3小时
曰
:
t/小时
5
3
2
。
68
第才1 讲
! 从图象到信息C?
例2 是以两个运动对象之间的距离为因变量，以其中一个对象的运动时间
为自变量.这为其生成不同的问题链拓展了空间.
对函数图象蕴含信息的感知分析、转换(自然语言与图象语言之间)和加
工，是借助图象思考的内核.
【解】
(1) XY=560 ,XE=120 ，EY=440 ; 甲车的速度为12 0 千米/时.
当甲车再行驶2 小时，两车相遇
，EF二2 X 120=240.
乙车的速度为(440- 240) -:- 2= 100( 千米/时).
D 点表示甲车到达Y 地并停止行驶，乙车行至点G 处，此时α 表示两车之间的
距离.
1560
. \ . '" ~ ~
1100
a=GY=( 一2; -1) X 100= 一~~~ (千米).
飞
120
~J' .~~~
3
(2)设乙车行驶t 小时，两车相距330 千米.
相遇前:
120(t+ 1) 十100t= 560- 330 , t=O. 5;
相遇后:
120(t+ 1) +100t=560十330 ，t =3 . 5 .
即乙车出发o. 5 小时或3. 5 小时后两车相距330 千米.
需要思考的是:对于(2) ，怎样根据图象运用函数模型求解?
直线BC 的解析式为5= -220t十660 ，当5=330 时，t= 1. 5,t-1=0. 5;
直线CD 的解析式为5=220t-660 ，当5=330 时，t=4 . 5,t-1=3. 5.
在人类看来，钢丝上只有一个运
动的方向，所以是一个一维空间. 然
而，对于比钢丝的直径还小的蚂蚁来
说，在钢丝表面上还可以沿着圆周方
向( y 轴)运动，所以钢丝是一个二维空
间，而且沿着y 轴方向运动.可以回到
出发的原点，这个图说明了什么是"微
小的圆形维度"
人
( 与钢丝直径相比，体积很大)
x轴
说
来
蚁
。
蚂
的
的
维
小
二
小
是
子
丝
对
钢
方
法
.
思
维
、
应
用
之
美
69
数学能力也是一种信息处理能力，数学活动是对信息之间的探索.具体表现在:
(1)抓住中心主题的能力;
(2) 从各种角度考查理解信息的能力;
(3) 舍弃无关的信息而集中于信息的有用方面的能力;
(4) 探索信息之间的联系的能力.
黄东坡
带你发现数学之美( 八年级)
直线、平面、立体分别代表着一维空间、
二维空间、三维空间. 从低维到高维或从高维
到低维，促使维度的相互转化，是有效思考的
一个重要技巧.
向阳捕1
1. 如图①，在某个盛水容器中有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持
续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水. 小水杯内水的高度y(cm ) 和注水时
间x(s ) 之间的关系满足如图②中的图象，则至少需要一一一一
s 能把小水杯注满.
y /cm
11 1-----
~
0
2
~
x/s
( 1)
(2)
(沈阳市中考题)
2. 甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开
A 城的距离yC千米)与甲车行驶的时间t(小时) 之间的函数关系如图所示.则下列
结论:
①A ，B 两城相距300 千米;
②乙车比甲车晚出发1 小时，却早到1 小时;
③乙车出发后2. 5 小时追上甲车;
5 ~1 5
④当甲、乙两车相距50 千米时，t - 一吱
4-""4'
其中正确的结论有
A. l 个
B.2 个
巳3 个
D. 4 个
70
m
一
·
ν
R
U
旷
/
、
，
，
，
-
t
E
』
nu
nu
鸣
，
、
J
t/ h
( 鄂州市中考题)
从国象到信息C t
第111井
3 . 从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路.小明骑车从甲地出发，到
达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间.假设小明骑车在平路、上坡、下
坡时分别保持匀速前进.已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少
5 km ，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km. 设小明出发xh 后，到达离甲地
ykm 的地方，图中的折线OABCDE 表示y 与工之间的函数关系.
(1)小明骑车在平路上的速度为一一一_
t y /km
km/ h; 他途中休息了
h;
6.5 ←一一____B
(2)求线段AB ，BC 所表示的y 与I 之间的
4.5 十一-4
函数关系式;
I /:
(3) 如果小明两次经过途中某一地点的时
一」ζ一」
间间隔为0 .15h ，那么该地点离甲地多远?
0 1
0.3
E
1
x/h
CD
(南京市中考题)
4 . 甲、乙两人在100m 直道AB 上练习匀速往返跑，若甲、乙分别在A ，B 两端同
时出发，分别到另一端点掉头，掉头时间不计，速度分别为5m/ s 和4m/ s.
(1)在坐标系中，虚线表示乙离A 端的距离s( 单位:
m) 与运动时间
t( 单位: s)
之间的函数图象(0 ::;;;;t::;;;;200) ，请在同一坐标系中用实线画出甲离A 端的距离s 与
运动时间t 之间的函数图象( 0::;;;;t::;;;;200) ;
s/m
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
、
, , 、
'、
，、
'
、
'、
,
、、
, ,
、
,
、、
,
、
, ,
甲
、
,
、
,
、
,
、
,
、
,
乙
,
、
,
'
、
、
,
、
,
飞、
,
、
,
、
,
,
,
、
、，
,
、，
、，
、，
、，
、
、,
100
80
60
40
20
0
71
t/s
180 200
160
140
20
40
60
80
100 120
(2) 根据(1)中所画图象，完成下列表格:
两人相遇次数(单位:次)
两人所跑路程之和
(单位: m)
黄东坡
带你发现敛学之美(λ年级)
(3)①直接写出甲、乙两人分别在第一个100m 内，s与t 的函数解析式，并指出
自变量t 的取值范围; ②求甲、乙第6 次相遇时t 的值.
也
72
1. 5
2. B
乙车出发后1. 5 小时追上甲车;由|仙一(川一则
1 =50 得t=?
15
"7 -+，--~，"
.J.. n
J.O-I>= , '>' __25 n-l-
_I' A
V 25
或王，乙车到达B 城后，当t一τ 时，如=60 × lf=250 ，此时，甲、乙两车相距
50 千米.故只有结论①②正确.
3. (1)15;0. 1.
(2) 因为小明骑车在平路上的速度为15km/h ，所以小明骑车上坡的速度
为1 0km/ h ，下坡的速度为20km/ h.
6. 5- 4. 5
由图象可知，小明骑车上坡所用的时间是一一一一一=0 . 2( h ) ，下坡所用的
10
6. 5- 4. 5
时间是一一一一= O . l( h) . 所以，B ，C 两点的坐标分别是(0. 5 ，6. 5) ，(0. 6 ，4. 5 ).
20
当x=0.3 时，y=4.5 ，所以线段AB 所表示的y 与z 之间的函数关系式为y=
4. 5 + 10(x一0.3) ，即y=10x十1. 5(0. 3三三工运0.5) ;
当x=0.5 时，y= 6.5 ，所以线段BC 所表示的y 与工之间的函数关系式为
y = 6 .5 - 20(x一0.5) ，即y= - 20x+ 1 6 . 5(0. 5~二x~O . 6) .
(3)小明两次经过途中某一地点的时间间隔为O . 1 5 h ，根据题意，这个地点
只能在上坡路上. 设小明第一次经过该地点的时间为白，则第二次经过该地点
的时间为(t十0 . 15)h. 根据题意，得1 0t+ 1. 5= -20(t+ 0.15)+ 16. 5 ，解得t =
0 . 4 . 所以y= 1 0 X O. 4+ 1. 5=5. 5 ，即该地点离甲地5 . 5 km.
从国象到信息!J::
第11 讲
4. (1)甲距离A 端的距离s(m) 与时间t( S) 的函数图象如下图所示:
s/m
、
\
/、J I \
/飞
/1\
,
、
\1/
,
1I、\
、
甲
,
、
,
、
s
、、
,
乙
、
,
、
,
,
、
|飞、
1\
, 1\
、
/
、、，, \jj
\X1I
\民，/
\1/
、，
\
\,
100
80
60
40
20
0
t/s
200
180
160
140
120
100
80
20
40
60
(2)完成表格如下:
两人相遇次数(单位: 次)
两人所跑路程之和(单位: m)
(3)①甲
:
s=5t(0~ t::::二20)
; 乙
:
s=100-4t(0~t~25).
②由表格可得，甲、乙两人第6 次相遇时，他们所跑的路程之和为200X6
-100=1100(m).
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
73
1100
t=1100-;- (5十4)=-rh) ，
1100
λ 第6 次相遇时t=-
g- S.
毛》障学文化巡礼
弗里曼·戴森于2008 年为美国数学会的爱因斯坦讲座作关于"飞鸟与青垃"的
演讲，开篇讲道:
"有些数学家是飞鸟，其他则是青桂，飞鸟在高空翻翔，俯瞰数学的广大领域，
直至遥远的地平线，他们乐于统一我们的思想"
函数统领方程和不等式，函数主导下的方程、不等式，本质上是把研究方程、不
等式这个局部的问题直于函数的整体性质中研究，把求方程根及探讨根之间关系、
求不等式解集这些静态的结果放在动态的变化过程中探索.
构造函数即用函数的眼光去观察问题，用函数的观点、方法去分析问题，由问
题的条件构造函数关系式，使原问题在函数关系中实现转化.
74
戴森，1 923 年生于英国，著名的数学家、
物理学家.杰出的科普作家，著有《宇宙波
澜》、《全方位的无限》、《想象中的世界》、《太
阳、基因组与互联网》等畅销作品.
‘
i 1
~，
...
构造函数tI..:
第12 讲
鼓掌曹黝童
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012 个图形中共有
:191]
一一一一枚棋子.
.
.
.
.
.
.
. .
.
•
. .
.
①
.
④
③
②
可以从棋子数的规律或图形生长方式入手，或从构造一次函数
I v
I
I
y
14
10
8
6
12
入手.
以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为纵坐标.
描点(1 ，4)
，(2 ，7)
，(3 ，10)
，(4 ，13). 依次连接以上各
点，所有点都在一条直线上，如图据此可以猜想棋子
的枚数与图形的序号可能构成一次函数.
设一次函数的解析式为y= 走x+ b ，
将(1，的，(2 ，7) 代入y=kx+b ，得
( h+凹，
2走+b = 7 ，
分析与解
•
x
10
8
4
(k=3.
解得
~ --
- ,
\b=l ,
所以y=3x+ 1.
验证:当工=3 时，y=3 X 3 + 1=10 ，所以点(3 ，10) 也满足函数关系式.
故当x=2012 时，y=3 X 2012 十1=6037.
6
4
2
2
。
y
若函数y= 缸-b 的图象如图所示，则关于工的不等式
k(x-3)-b> 0 的解是
IJ ~
?
"
。
/
M
F
h
d
c
d
JX><>
-ZZZ
A
E
C
且
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
x
(徐州|中考题)
75
解法一
.
. 直线y=kx - b 的图象过点(2 ，0)
，
λ 0=2k-b ，即b=2k .
λ 不等式k(x-3)-b>0 变为k(x-3)-2k> 0 ，
黄东坡@…卢(人年级)
:. k(x - 5)> ü.
由图象知是<0 ，λ x-5<0 ，解得x< 5 ，故选c.
解法二
如图，将一次函数y= kx- b 的图象向右平移
3 个单位长度得函数y=k (x-3 ) - b 的图象，由图象知当工
< 5 时，y= 走(x一3)-b 的值大于O . 故选c.
y
解法一通过建立h 与b 的关系，化归为解不等式;解法二构造新的函数，借
助图象获解，直观而简洁.
x
坦;如
小明到服装店进行社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题:
服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价80 元，售价120 元;乙种每件进价
60 元，售价90 元. 计划购进两种服装共100 件，其中甲种服装不少于65 件.
(1 )若购进这
1 00 件服装的费用不得超过7500 元，则甲种服装最多购进多
少件?
(2) 在(1 ) 的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠α (0<α< 20) 元的价格进
行促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大
利润?
( 济宁中考题)
·
分析与解
题(1) 是题(2) 的基础，对于(2 ) ，建立总利润与甲种服装件数的
函数关系式，运用一次函数的增减性确定总利润的最大值，进而得到进价方案.
(1 )设购进甲种服装工件，由题意可知80x+ 60 (1 00 - x) 运7 500 ，解得x:::;;; 7 5 .
答:甲种服装最多购进75 件.
(2) 设总利润为w 元，因为甲种服装不少于65 件，所以65ζzζ 75. 由题易知，w
= (120- 80- a)x + (90- 60) (100-- x ) = (40-a)x+30(100- x) = (10- a)x+3000.
当0<α< 1 0 时，1 0-a> 0 ，w 随z 的增大而增大，所以当x= 7 5 时，w 有最大
值，则购进甲种服装75 件，乙种服装25 件;
当a =l O 时，所有方案获利都相同，所以按哪种方案进货都可以;
当
1 0<α< 20 时，1 0 -a<0 ，w 随工的增大而减小，所以当x=65 时，ω 有最大
值，则购进甲种服装6 5 件，乙种服装35 件.
76
现阶段求代数最值问题的主要方法有:
(1)借助不等式，在约束条件下求最值;
(2) 构造函数，运用函数增减性求最值.
构造函数C
第12 讲
已知函数y=
l x十1
1 -21x一1
1 + Ix+21.
(1)在直角坐标系中作出函数图象;
(2) 已知关于工的方程缸+3=1 工+1
1 -2
I x一11 + Ix+21
(k =l=-O) 有三个解，求走的
取值范围.
例4
("创新杯"竞赛题)
分析与解
对于(2) ，因为走值待求又关联着绝对值，故从方程的角度难以
求解. 设Yl = kx +3 ，只=
I x十1
1 - 21 x-11 + 1 x+ 21 ，所给方程有三个解，实际上就
是这两个函数的图象有三个交点. 借助函数图象思考，形象而直观.
(-5
(xζ2)
，
12x-1
(-2<xζ
1)，
(1 )γ= ~
~
14工十1
(-1<工运1)，
l5
(x> 1) ,
如图，折线为此函数的图象.
•
6 x
5
4
3
2
y
6
5
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
6
(2) 设y二是工十3 ，则y=
l x十1
1 -2
I x-11 十Ix+21 (走芋0) ，因此所给方程有三
个解，实际上就是这两个函数的图象有三个交点.如图，令点A (1，日，点B(0 ，3) ，则
y=kx+3 的图象是过定点B 的直线.
当y= 走z十3 过点A 时，此直线的斜率k=2 ，显然，这两个函数的图象只有两个交
点. 故当0<走<2 时，这两个函数的图象有三个交点，从而走的取值范围是0<k<2 .
77
黄东坡@带…牧美(八年级)
对于例4 ，读者可先作出下列函数的图象:
(1 )y= Ixl ;
(2)y= Ix-11 ;
(3)y= Ix+21.
菜布尼茨(1 646- 1 7l 6)
. 德国著名的哲
学家、数学家、自然科学家. 与牛顿相互独立
地发明了微积分，在《有关切线的逆方法即函
数》的论文中，莱布尼茨首先给出了.. 函数"这
个名称.
"青蛙生活在泥沼中. 只能看到生长在附近的花朵. 它们
以特殊对象的细节为乐
. 在一段时间内解决一个问题…… 数
学既需要飞鸟也需要青垃，数学是丰富的和美丽的，因为飞
鸟赋予它开阔的视野，青蛙赋予它错综复杂的细节"
函数是研究事物之间的普遍联系和运动变化的思想与
方法.构造函数即用运动、变化的观点来审视问题.
向撞笋主茹嗣
晚年的戴森
1 已知直线片x+ b 经过A( - 2 ，一1)和B( 一3 ，0)两点，则不等式÷z〈hz+
b<O 的解集为
2. 如图是由正三角形、正方形及正六边形组成的一系列图案.按此规律，第16
个图案中，正三角形的个数为
@@>>~<<@OO沙
第l 个
第2个
第3个
第4个
A. 82 个
B.72 个C. 83 个
D. 7 3 个
78
...
构造函数~.:
第12 讲
3. 我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共7 0 0 尾，甲种鱼苗每尾3 元，乙种鱼
苗每尾5 元，相关资料表明:甲、乙两种鱼苗的成活率分别为85 % 和90 % .
(1)若购买这两种鱼苗共用去250 0 元，则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾?
(2) 若要使这批鱼苗的总成活率不低于88 % ，则甲种鱼苗至多购买多少尾?
(3) 在(2) 的条件下，应如何选购鱼苗，使购买鱼苗的费用最低?并求出最低
费用.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
(包头市中考题)
4. 沿一条道路依次有6 户居民A 、B 、C 、D 、E ，F ，其中A 、B 相距100mjB 、C 同
住，E 、F 同住.C 、D 及D 、E 间各相距8 0m. 如果在距各户人家距离平均最短处开设
一个小超市，问其位置应在何处为好?并叙述理由.
79
黄东坡@带…肉、年提
g
1. -3<x< 一2
A 点是直线y=kx+ b 与直线y=÷工的交时图象可
80
直接写出不等式的解集.
2. A
第n 个图案有正三角形7十5(η- 1) =5η+ 2( 个) .
3. (1月00 尾、200 尾.
(2) 甲种鱼苗至多买280 尾.
(3) 当甲种鱼苗购买280 尾，乙种鱼苗购买420 尾时，总费用最低，最低费
用为2940 元.
4. 设小超市距居民A 为xm ，从各居民到小超市的距离平均为M，
则M= 士(
I xl 十2
1 x- 1001 十
1 180-xl 十21260
工1 ) ,
6M=lxl+2Ix一1001 + 1180-xl +21260-x l.
(1)当x~O 时，6M= 一6x十900 ;
(2) 当0ζzζ 1 00 时，6M=- 4x+900;
(3) 当100~xζ 180 时，6M= 500;
(4) 当1 80~工运260 时，6M=2x+140;
(5) 当z二三260 时，6M=6x-900.
作出如图所示的函数图象，由图象知: 不论工
在B 、C 与D 间何处，它的平均距离都是500 -7- 6~
83(m) ，为最小.
Y,6M
900
600 ‘-
500
。
A
γ;
但出o
B
D
E
C
F
x
"想"
…-.
心~I敖学文化巡礼
思维之花是世界上最美丽的花朵.
思维也f!p观察问题的视角，解决问题的思路、方法、策略.
探索问题解决的路径是一个活跃而积极的思维过程，充满着"想"!有的人"想
不通" ，有的人越" 想"越活，回想、联想、猜想、冥思苦想… ...
回想:
依据问题的条件、结论，从记忆储备中提取相关知识的方法.
联想:
通过强化或弱化条件，由一个问题想到另一个数学问题，发现问题的相似性.
猜想:
对关联的问题，猜测它们在结论或解决问题方法上的相同或相似.
回想、联想、猜想，对异形同质问题进行多方位拓展，有利于揭示问题的本质.
充分的回想，丰富的联想，大胆的猜想.
茅塞顿开，悠然心念.
这就是思维中的"想"
《数学与思维》从数学与左脑思维、数学
与右脑思维，数学研究与左右脑的配合三个
方面，精辟地叙述了数学研究中思维的作用，
以及数学思维的特性和它的各个侧面: 如抽
象性、形式化与心理化、想象、猜测、直觉等.
81
黄东坡
带你发现曼史学之美( 八年银)
数学智慧讲堂
~IJ 1> 如图，已知MBC ，BP ，CP 分别平分ζABC，LACB ，探求ζBPC 与ζA 的关系.
·
分析与解
回想角平分线性质，三角形内角和定理，把ζBPC 用关于ζA
的式子表示.
ζBPC =180。一(ζl 十ζ2)
=1炉~ (LABC十A臼)
=180。一~ [0800- L A)J
=180。们杠A
=们÷ζA
【拓展】
如图，已知l:，ABC，BP1 ，CP1 分别平分ζABC ，
ζACB; BP2 ，CP2 分别平分ζP1 BC ，ζP1 CB; BP3 , CP3 分别
平分ζP2 BC ，ζP2 CB; …; BP" ，CP" 分别平分ζP"-1 BC,
ζP"一1 CB(其中n 为正整数) ，探求ζBPnC 与ζA 的关系.
B
分析:图中含有类似于例I 的图形，运用例1 的结论推导
B
82
在l:，ABC 中，LBP 1 C=90 0+杠A ，
在l:，BP1 C 中，
ζBP2 C =90 0+杠P1 =9归~ ( 9归杠A)
9OO x 0 十2)
I 1
=--2
十2τζA ，
在l:，BP2 C 中，
ζBP3 C =90 0+杠P2
1 1900X O+2) , 1
/A l
=90 0+一|+ 274乙A
I
2 L
2
' 2一
」
9OO x (1 +2+22)
I 1
=22
+FζA ，
90 0 X O + 2 +2 2 + … 十2
，，- 1) , 1
ζBP"C = VV
" '~
' ~~ ，，~1
'~/ + ;"ζA
2"-
900X(2" 一l)
I 1
=2n l+言ζA.
双曲三角之和小于π
C
C
第13 讲思维申的"想" 。
【联想】
上述问题探求的是内角平分线的夹角与第三个内角的关系，当由内角
平分钱改为外角平分线，可提出如下问题.
(1)如图①，已知ζ DBC ，ζ BCE 是D_ABC 的外角
，BP ，CP 分别平分
ζ CBD ，ζ BCE ，探求ζ BPC 与ζA 的关系.
(2) 如图②，已知ζ CBD ，ζ BCE 是D_ABC 的外角
，BPj
，CP j 分别平分ζ CBD ，
ζ BCE; BP2 , CP2 分别平分ζ CBP j
，ζ BCPj
; BP3 , CP3 分别平分ζ CBP2
，
ζ BCP2
; … J孔，CP" 分别平分ζ CBPn-j
，ζ BCPn-j ( 其中
n 为正整数) ，探求
ζ BP"C 与ζA 的关系.
~19IJ
D
E
E
D
P1
图②
P
图①
D
P
C
B
分析与解
猜想:与例
1 的结论是相同或相似?
类比例
l 的解法，可得如下结论:
(1) L_BPC=90。一杠A;
900X(2 n 一1 )
1
(2)ζ BP"C = v ~ '2:' ~ j
~ / -
zn ζA.
相似的结论，相同的结构，你还能提出什么问题?
如图，已知D_ABC ，ζABC 与ζACD 的平分线相交于点p ，
探求ζP 与ζA 的关系.
将例题中的几个图形叠画在一起，又可推出新的角的关系:
(1 )ζBα~+ζ 0' =180 0 ;
(2)ζBα7一ζ cJ'=90 0 ;
(3)ζ 0' +ζ cJ'=90 0 •
•
E
。?
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
83
黄东坡@带…时八年级
例3
如图，己知，6ABC 的外角ζ CBD. ζ BCE 的角平分钱
BF ，CF 交于点F ，连结AF ，求证: AF 平分ζBAC.
·
分析与解
过点F 分别作FG j_ AD 于点G ，FH j_
AE 于点H ，FKj_ BC 于点K.
.: BF ，CF 分别平分ζ CBD ，ζBCE ，
'. FG=FK ,FK=FH ,
人FG=FH ，故AF 平分ζ BA C.
五
D
F
类比联想，你又能提出什么问题?
/
噜
E
In
F
三角形的角平分线是三角形的三条重要线段之一，关联
着数形结合、分类讨论、整体架构等方法.从角平分线出发，捕捉"露出海平面的一
角冰山"，通过回想、联想、猜想生成有内在联系的问题串，发现"海平面下"的"巨大
冰山"
小题大作，以小搏大，历史上许多数学家通过对一个个小问题的全方位、多角
度的探寻，构建起雄伟的数学大厦.
这就是思维的相似性.
V矿
. l _ 1/\ 11 H Y t- -< :,
84
数学家如何思考? 他们的想法怎样与外
部世界发生联想? 数学是最纯粹的思想形
式，其中外部世界几乎被隔离出去了.
思维中的
"想"
!..J
第13 讲
向数学之美探寻
J V
P
1. 如图，在ðABC 中，ζABC =50 0 ，ζACB = 6 0 0 ，点D
在BC 的延长线上，ζABC 的平分线BP 与ζACD 的平分
线CP 相交于点p ，连结AP ，则ζ PAC=
(威海市中考题)
(第
1 题)
A,
2. 如图，在ðABC 中，ζA=mo ，ζABC 和ζACD 的
平分线交于点儿，得ζA 1
; ζA 1 BC 和ζA 1 CD 的平分线
交于点A z
' 得ζA z
; … ; ζAzo 1 z BC 和ζA川CD 的平分线
交于点A ZO l 3
，则ζAZO l 3 =
D
(达州市中考题)
3. (1)如图①，已知ζ CAD 和ζ CBD 的平分线相交
于点p ，设ζ CAD ，ζ CBD ，ζ C ，ζ D 的度数依次为α ，6 ，
c ，d ，用仅含有2 个字母的代数式表示ζP 的度数.
(2) 如图②，若AP 平分ζMAG ，其他条件不变，用仅含有2 个字母的代数式表
示ζP 的度数.
(第2 题)
B
C
D
图②
(第3 题)
4. 折叠ðABC 纸片.
(1)如图，当沿DE 折叠，点A 落在四边形BCDE 内点A' 的位置，探求ζA 与
ζ 1 + ζ2 之间的数量关系.
(2) 联想、猜想，请你尽可能多地提出新问题.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
B
85
C
-E
Ddy-
,''-
'
-
/-
''-
4
AA
冀东坡@ 带…时(八年级)
g
1. 55 。
延长BA 至点F ，则PA 平分ζ CAF.
2. ( ~ (13m
3ω在6ADE 与6EPB 中，有÷ω=LP+ ~ b (,
在6BCF 与6PAF 中，有÷b+c=3+÷α
②，
由①+②得÷(α+时c+产2LP十÷(α十的，
λ ζP=÷(c+d)
(2)LP=仙÷(c+d)
4. (1 )ζ1+ζ2=2ζA.
(2) 可分别就点A 的位置、图形形状的改变、折叠次数的增加进行探索，提
出并解决如下问题:
如图①，点A'落在6ABC 的外部，ζ1+ζ2=2ζA;
如图②，沿EF 折叠四边形ABCD ，ζ1 +ζ2=2(ζA+ ζB)-360 0 ;
如图③，把6ABC 折叠3 次，3 个顶点不重合，ζ1+ζ2+ζ3+ζ4+ζ5
+ζ6 = 360 0
•
gF~~-B
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j 一二:..... A
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\
L------,C
..
D
图①
图②
86
C
B
(\佣二角形
•
心
三角形是最基本的图形之一，是研究其他图形的基础.
三角形是一个从简单情形出友，逐步走向深刻的最具典型性的数学研究对象.
1 595 年，皮蒂斯楚斯所著的《三角学:解三角形的简明处理》在法兰克福出版.
由此三角形升华为三角学.
1 8 世纪，法国人雅克·卡西尼经过7 年努力，用
400 个三角形和18 条直线完
成了对法国全境的三角划分，并以此为基础绘制了法国地图.
人们认识事物的自然趋势是向前推进，但推进的过程又不平坦，有时需要以追
求进.
退，即从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从空间退到平面.
先解决简羊的情形，先处理特殊的对象，再联想、猜想，归纳一般性的结论.
之4
人们一定是掌握了某些三角学知识，才
能建造起宏伟的金字塔，让它历经千年风雨
依然成严耸立.
τ-也:::D电步』
辜"之集.....-
画面盟副
87
，
，
饺
子
、
"
「
1
4
‘
-
h
h
蕾
"
‘
黄东坡
带你发现数学之美(八年级)
数学智慧讲堂
理υ)
以η 边形的η 个顶点和它内部的m 个点作为顶点，可把原n 边形分割成多
少个互相不重叠的小三角形?
'
分析与解
为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，即
先从简单和具体的情形入手.
探究一:
以6.ABC 的三个顶点和它内部的
1 个点P 这4 个点作为顶点(如图
()
，可把6.ABC 分割成多少个互相不重叠的小三角形?
探究二:
以6.ABC 的三个顶点和它内部的
2 个点P ，Q 这5 个点作为顶点(如
图②、③) ，可把6.ABC 分割成多少个互相不重叠的小三角形?
用下图和下表表示分割的关系:
A
A
A
C
C
C
B
B
B
图①
图②
图③
三角形内的点数
可连线得到小三角形的个数
1
3
2
5
3
7
4
9
...
...
不难发现，三角形内有
1 个点时，连线可得到
3 个小三角形，以后每增加
1 个
点，这个点一定落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的
3 个顶点可得到
3 个小三角形，从而增加了
2 个小三角形.
于是可以推出，当三角形内有m 个点时，连接各点可得到小三角形的个数为
3 +2X
(m一1)个.
以此类推，探究拓展可得:
以四边形的4 个顶点和它内部的m 个点这(m+4) 个点作为顶点，可以把四边
形分割成4+2(m-l) 个互相不重叠的小角形;
88
分割三角形C〉
以n 边形的η 个顶点和它内部的m 个点这( m+ η ) 个点作为顶点
，可以把原η
边形分割成n 十2( m - 1)个互不重叠的小三角形.
对于本题，还可用整体核算法求解:
( η -2)X 1 80 o +mX360 。
=( η
2) 十2m= n +2(m- l)，
1 80 。
第14 i芥
著名数学家华罗庚说"复杂的问题要善于退，足够地退，退到原始而不失
去重要性的地方，这是学好数学的一个诀窍"
以退为进的作用表现为
:
(1)揭示解题方法;
(2) 发现解题路径;
(3) 直接解答问题.
傅里叶0768- 1830)
，法国著名数学家、
物理学家.
傅里叶的主要成就是对热传导问题的研
究以及为此研究而引入的数学方法(即用三
角函数级数表示函数等)
. 这些都为数学、物
理学的发展奠定了基础.
u) 傅里叶随拿破仑远征中东，来到当年毕达哥拉斯的故乡，曾思考过下列问题.
(1) 能否将一个三角形剖分成1 2 个全等的小三角形?
(2) 一个三角形，能否剖分成d 个全等的小三角形?
分析与解
对于(1)
，并非所有三角形皆可满足题目要求，如图①，正三角
形可剖分成12 个全等的小三角形.
•
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
m等份
图①图②
对于(2) ，答案是肯定的，首先将所给三角形的三条边都分成m 等份，然后在等
分点处分别连线.
89
时@带…挝美(λ 叙)
这样，可将三角形分成1 + 3 + 5 + 7十… + C2m- 1) =
旷个小三角形.如今有人将上述问题推广为:
若η 可表示为两个整数的平方和，即n= 走2 十l2 ，则存
k
在这样的三角形，它可被剖分成η 个全等的小三角形.
如图，这种三角形是以是，l 为直角边的直角三角形
C
1
B
过点C 作CD _lAB 于点D ,.6ACD , .6BCD 可分别剖分成扩个、l2 个全等的小
直角三角形.
这样.6ABC 就被剖分成η= 走2+l2 个全等的小直角三角形.
υJ
如图，有已知内角度数的四个三角形，请用直尺和圆规作一条直线，把
.6ABC 分割成两个等腰三角形.
90
C
~
90 0
\
A L/γ 24
0
\
图①
B
/........l
、c
图③
'
分析与解
尝试、调整，分割如下:
A
B
图①
C
~
84 0
\
A ..L.气
24
0
\
图②
C
/"104 0 ,\
/
52?B
A
图④
C
A
B
图②
B
//气\
图④
.._
分割三角形~:
第14 讲
而图④不能分割.
从例3 的特殊的不同类型三角形的分割获得怎样的启示?我们提出如下猜想:
若过三角形一顶点作直线把它分成两个等腰三角形，则这样的三角形应满足
下列条件之一:
(1)原三角形是一个直角三角形;
(2) 原三角形有一个角是另一个角的2 倍;
(3) 原三角形有一个角是另一个角的3 倍.
怎样证明?需按三角形的形状、等腰三角形的腰与底全面讨论，大约画出图
形，引入字母、代数比.
现证明如下
:
A
A.
!:<S2αl
/'
"'"
1180 0 -
3α
/〈αα 〉汇1
B L-.J'---__
.J..L、
C
90。一α
B
B
图③
如图①，设ζ B= α ，当PB=PC ，且PA=PC 时，ζAPC=2α ，ζ BCA=90 0
•
如图②，设ζ B= α ，当PB=PC ，且PA=AC 时，得ζACB=3α ，即ζACB=
3ζ B ，此时，ζA=180。一切.
如图③，设ζ B= α ，当PB=PC 且PC=AC 时，得ζA=2α ，即ζA=2LB ，此时
ζ BCA=180 0 -3α.
图②
图①
如图④，设3勺，当BC=CP 且AP= 臼时，得LA= 号，即LB=2LA ，此
时ζBα=180。一学
如图⑤，设ζB 勺，当BC=BP 且AP= 臼时，LA=LPα=450f ，
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
A
α 一一α145 。一?
90 。一?L
B
A
/
ι
向
〈
U
一
B
C
A
/
ι
问
H
N
a
目
u
p
n
战
-
4
Ed
q3
1i
一
B
C
A
/
ι
91
图⑤
图④
B
黄东坡@…数时人相)
对于图②，ζA = 1 80。一句> 0 ，得α<45 0
•
对于图③，ζBCA=180。一切> 0 ，得α< 6 0 0 ，又180。一切〉α ，得α< 4 5 0 ，综合得
α<45 0•
因此，对于二倍角关系，分割的必要条件是较小的角必须小于45 0 ，这也回答了
为什么例3 中图④不能分割的原因.
由此可以看出: 解决问题的关键是恰当运用分类讨论法.
即对所涉及的对象按一定的标准分成若干类，然后
逐步讨论.
分类讨论的一般过程是:
(1)关注分类诱因;
(2) 确定分类标准;
(3) 逐级分类;
(4) 概括结论.
傅里叶还证明了所有的音乐一一不管是器乐还是声乐，都能用数学表达式
来描述，它们是一些简单的周期函数的和，每种声音都有三种品质一一音调、音
量、音色，并以此与其他的乐声相区别.
傅里叶的发现使人们可以将声音的三种品质通过图解加以描述并区分.音
调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，而音色则与周期函数的形状
有关.
傅里叶曾说"对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的源泉"
1. 在一张正五边形的纸片内有2007 个点，加上5 个顶点一共有201 2 个点.
(1)如果这些点中的任意3 个点都不在同一条直线上，现在以这201 2 个点为顶
点，把纸片剪开，最多可以剪出多少个互相不重叠的三角形?
(2)如果这2012 个点中，有3 个或3 个以上的点共线，你能确定最多能剪出的
三角形的个数吗?说明你的结论和理由.
92
第14 讲
分割三角形ιJ
2. 有没有这样的三角形，它可被剖分成1989 个彼此全等的小三角形?
3. 一个三角形可被分割成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36 0 ，求原
三角形最大内角的所有可能值.
(青少年数学国际城市邀请赛试题)
4. 课本的作业题中有这样一道题:把一个顶角为36 。的等腰三角形纸片剪两
刀，分成3 张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形.你能办到吗?请画示意图说明
剪法.
我们有多种剪法，图①其中的一种方法:
图①图②
定义: 如果两条线段将一个三角形分成3 个等腰三角形，我们把这两条线段叫
做这个三角形的三分线.
(1)请你在图②中用两种不同的方法画出顶角为45 。的等腰三角形的三分线，
并标注每个等腰三角形顶角的度数; (若两种方法分得的三角形成3 对全等三角形，
则视为同一种. )
(2) 在6ABC 中，ζ B=30 0 ，AD 和DE 是6ABC 的三分钱，点D 在BC 边上，
点E 在AC 边上，且AD=BD ，DE=CE. 设ζ C=X O ，试画出示意图，并求出工的所
有可能的值.
(宁波市中考题)
L
刀
沽
.
思
维
、
应
川
之
芙
93
黄东坡@ 带你发现数时(八年提)
也
1.当正五边形内有n 个点时，可以剪出(3 + 2η) 个三角形.
(1 )4017 个.
(2) 可以确定，结论不变:因为每增加一个点，这个点要么落在某一个三角
形内，要么落在某一个三角形的边上，前者当然增加两个三角形，而后者会将
共用该边的2 个三角形各拆分为2 个三角形，一共还是增加2 个三角形，故结
论不变.
2 . 存在，因为1 989=900+ 1089=302 +33 2 •
3. 剖分的三角形有不同形式，剖分线与36 。的角有不同的位置关系，故应
全面讨论.
(1)若剖分线不过点B ，设剖分线为AD ，相应角的度数如图①~④;
(2)若剖分线过点B ，设剖分线为BE ，相应角的度数如图⑤.
故原三角形的最大内角可能是72 0 ，90 0
，108 0 ，126 0 ，l32
0
•
A
j法》子\
B
36 。
D 图④
4. (1)画图如下:
94
C
D
图②
D
图③
B夺人卜C
图⑤
C
分割三角形C;
第14 讲
方
法
.
思
维
、
应
用
之
先
95
(2) 分以下三种情况讨论:
A
A
~
Æ'i...............
r
A乞。I2x""'__
/γ
士气、E
/气0 '1 μ 二、「
反汇。/
2x 1>ζ
/
-'γ
2x C'>ι
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二乡r
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/
~飞\
BL行0 。
应节
?r-......._
n/--(30
0
/..-<扩
主λ
D
C
~
D
C
图①图②
如图①，当AD=AE 时，2x十x=30 0 +30 0 ，1导工=20 0 ;
如图②，当AD=DE 时，30 0 +30 0 +2x+ x= 180 0 ，得x=40 0 ;
当AE=DE 时，不存在.
故ζC 的度数是20 。或40 0 •
睐
幸
自
由
hwd
然
向
口
大
…
二
\
…
十
…….
6》融学文花巡礼-
意大利著名科学家伽利略说"宇宙是用数学语言写成的，其字母是三角形、圆
形及其他图形，缺乏对这一情况的了解，人类便无法读懂其中的奥秘"
自然界中的对象已经提供并且还在提供着激励数学发现的模型，数学是我们
用来试图了解、解释和再现自然现象的手段.
六边形是备受自然界青昧的基本图形之一，干裂的土地、晶体结构、雪花形状、
三重联结、摆放物体、蜂房结构等，可以发现六边形是自然界中广泛存在的形式.
自然界清楚地知道如何用有限的材料和空间，来产生出最和谐的形式.蜜蜂是
技术高超的"建筑师"，它们所建的给房结构十分科学，与数学密切相关.蜜蜂的蜂
房是严格的六角柱体状，每间蜂房的空间都是O. 25 立方厘米，房间的正面是平整的
六角形进出口，背面是一种封闭的六角锥体，它的
6 个三角形的侧面可以拼成3 个
相同的菱形，由菱形面组成的角，其大小完全一样，钝角都是109 0 28' ，锐角都是
70
0 32' ，蜂房的巢壁厚O. 073 毫米，非常精确，经研究计算，这种结构能以最少的材
料获得最大的居住空间，而且能以单薄的材料获得最大的强度.
忍fi/II霄，、
4摩
?、,
，~
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吃F
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二q飞p二，二•
?是仨
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h、"哩'"
『俨
，斗'
。诗
d‘舟
4吭0、TεI击'
足飞~
96
第丁5 讲
大自然的青睐C;
『
伽利略(15 6 ，1- 164 2 ) ，意大利数学家、物
理学家和天文学家.近代实验科学的奠基者
之一，对
1 7 世纪的自然科学和世界观的发展
发挥了重大作用.
回
例y
如图，一个凸六边形的六个内角都是1 20 0 ，六条边的长分别为a ，b ，c ，d ，e ，j ，
则下列等式中成立的是
(
A. a十b十c = d+e十f
c. a十b=d+e
B.a十c+ e = b+d+ j
D. a+ c=b+ d
("希望杯"邀请赛试题) :口
分析与解
由
120。联想到60 0 ，向外补形构造等边三
η户一乒一一立一，H
)
、
1.
b c\ ,'
角形
\1匀
Uιn
A\f
dJ尸
如图，设AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA 的长分别为h b ，c ，d ，e ，
\
-
j，双向延长BC ，DE ，FA 得t0，GHI 因为凸六边形ABωU 的
F\j/ι
六个内角都是120 0 ，所以这个凸六边形的每个外角都是60 0 ，则
l
t0，AGB ，t0，CHD ，t0，EIF 都是等边三角形，从而t0，GHI 也是等边三角形.
于是由GH= HI= IG 可得a+ b+c = c+ d十e = e十j+ α ，所以α + b = d+ e ，故
选c.
@
如图，在凸六边形ABCDEF 中，已知L:A + L:B+ζC=
儿-与
ζD+ζE+ L: F. 试证明: 该六边形必有两条对边是平行的
B(
\ E
(俄罗斯萨温市竞赛题)
A
F
·
分析与解
如图，通过作辅助线，构造平行线判定的基本图形.
C G n
B'r
:
\E
A'H
F
D
F
Eii
D\-
CF-
C/f-
B/L
AA
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
A
图①
图②图③
解题的关键是运用条件、多边形内角和公式，推出相等的角或互补的角.
下面就图①给出证明
:
97
黄东坡
带你发现数学之美(八年级)
如图①，连结CF. 则ζA+ζ B + ζ 1 +ζ 3 =ζ D+ζ E+ ζ2 十ζ4.
二- 4乙A+ζB+ζC=ζD+ζE+ζ F=(6-2) X 180 0 -;'-2=360 0 •
λ ζA+ζB=360 。一ζC=360 。一ζ1 一ζ2.
ζD+ζ E=360 。
ζ F=360 。
ζ3ζ4.
即
360 。一ζ1 一ζ2 十ζ1 十ζ3=360 。一ζ3 一ζ4+ζ2+ζ4.
. . ζ3 一ζ2=ζ2 一ζ3 ，得ζ2= ζ 3.
:. CD//AF.
为什么说几何是神圣的?因为几何是推
理的最具体的.同时也是最抽象的形式;几何
是许多事物，甚至是全部事物的原型模式，无
论那个事物是实体的、概念的、数学的、自然
的或者建筑的.
例3
如图所示的六边形是由三个全等的五边形所拼成的，若
要拼出一个较大的正六边形，请问至少需要用这样的五边形多
少个?
·
分析与解
我们能沿原来的六边形放置6 个外力口的五边形作成另外一个
正六边形，如图①所示. 这是用9 个全等的五边形拼出一个正六边形. 我们需要证明
不能有其他的正六边形可用少于9 个且多于3 个全等五边形构成.
图①
k=3
图②
设有一个六边形，不必是正六边形，由N 个原来的五边形构成且设这个六边形
在最外圈有h 个五边形，则h 可以是3. (如图②在给定的布局中)
98
大自然的青睐cjft
第才5 讲
走也可能是4( 两个五边形的每一个提供一个
1 20。的角)
，但是这个六边形在中
央有一个洞.如图③所示，它不可能用我们的五边形来填满.走不能是5 ，能得到的最
接近的一个如图④所示，由于只有一个五边形贡献两个
1 20。大小的角
，其余的只有
一个.
k=5
k=4
图④
所以走二三6 ，且对走= 6 有一个解，由于在中央的洞能用走=3 的图来填满，故至少
需要9 个这样的五边形才能拼出一个较大的正六边形.
图③
法国著名数学家傅里叶曾说"对自然界的深入研究是数学发现的最丰富
的源泉"
美国学者斯图尔特在《第二重奥秘一一生命王国的新数学》中深刻指出
:
与
数学有关的生命现象是极其广泛的，生命的起源、小鸡翅膀的发育、基因密码的出
现、DNA 双螺旋结构、螺线形螺壳、凤梨上的纹路、天使鱼身上的蓝色斑纹、迷人
的孔雀尾、动物憨态可掬的步态等. 所有这些生命的律动都和数学有关，他同时指
出，如果说基因组的发现在一定意义上揭示了生命奥秘的话，那么这种揭示只是
展示了构成生命的表面"菜单" ，而真正构成这个菜单的内容的就是数学.
近代科学观的核心思想是科学的数学化，
f!p 科学是对
自然过程的精确的数学描述，客观宇宙的奥秘与基于纯粹
逻辑和追求优美而发展起来的数学概念竟然完全吻合，那
真是令人悚然.
p
z
z
数
学
与
科
学
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
向数学之美探寻
99
(第
1 题)
1. 一个六边形的内角都相等，如图，4 条相邻的边长依次等
于3 ，7 ，5 ，9 ，则其余两条边长之和等于一一
2. 如图，在六边形A ! A2 A3 A4 AS A6 中，连接所有九条对
角线，则图中直角三角形的个数为
(
)
A. 12 个
B.36 个
C.48 个
D.72 个
3. 定义: 六个内角相等的六边形叫等角六边形.
(1)研究性质
①如图，在等角六边形ABCDEF 中，三组正对边AB 与
DE ，BC 与EF ，CD 与FA 分别有什么位置关系?证明你的
结论;
②如图，在等角六边形ABCDEF 中，如果有AB = DE ，则
其余两组正对边BC 与EF ，CD 与FA 相等吗? 证明你的结论;
③如图，在等角六边形ABCDEF 中，试判断AB 十BC 与
DE+ EF 的大小，并证明你的结论.
(2)探索判定
三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为
1 20 0 ，才能保证该六边形
黄东坡@ 带…挝美(八年级
一定是等角六边形?
3号飞
6 ~ ~ J
A,
A,
(第2 题)
[
2
、
I
F
C
A
叫
\
/
/
B
D\
-G
J
J
G
-
\
、
;
Ef
\b
cf
(第3 题)
(台州市中考题)
4. 如图①，正六边形ABCDEF 的边长为α ，P 是BC 边上一动点，过点P 作PM//
AB 交AF 于点M，PN// CD 交DE 于点N.
(1)求证:PM+ PN= 3α ;
(2)如图②，点。是AD 的中点，连结OM ，ON. 求证: OM= ON.
图①
B P
C
B P
C
图②
(第4 题)
100
大自然的青睐ι?
第15 t井
18
1. 12
2. D
3. (1) ①平行;证明略.
②如图，延长BA ，EF 交于点p
，延长ED ，BC ，
交于点Q ，则四边形EPBQ 为平行四边形，6AFP ，
6 DCQ 都为等边三角形.
λ PB=EQ ，即AB +AP = ED十DQ ，
:.AB 十AF=ED十DC. 故AF= DC ，同理BC= EF.
③同②，向外补形可证得AB+BC= DE+ EF.
(2) 至少需要三个内角为12 0 0
•
4. (1)如图①，连结AD ，交PM 于点G ，交PN 于点H. 由PM// AB ，PN //
CD ，六边形ABCDEF 是正六边形，易知6AMG 、6 DHN 和6PGH 都是等边
三角形，四边形ABPG 和四边形DCPH 是平行四边形，AD = 2α.
PM十PN= PG+ MG+ P H + HN=AB+ AG+ CD+ DH = BP+ PC+ 2α
=BC+ 2a=3α.
门
υ
-
一
/
/
C
P
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一
b
D
α
2
。，
B
E
C,
F
PL--------..:.
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e
-
-
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一
一
-
J
M
P
F
f
G
℃
\
L
B
Mdm
图①
(2) 如图②，设PM ，PN 和AD 分别交于点G 和点H ，易知6AGM 和
6DHN 都是等边三角形，所以ζMGO= ζ OHN=12 0 0
• 由AM+ DN= α ，AG
+GO= a, AM= AG, DN = GO ，得GO = HN. 同理，MG = OH ，则6MGO旦
60HN ，故OM=ON.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
101
(
) 美丽的，每嵌
6 5
如图，杨振宁著作《基本粒子发现简史》的封面用的是
埃舍尔的画作《骑士)) ，黑色骑马人排成一排，由左向右，而
在空隙所镶嵌的背景里，又有一排白色骑马人，从右向左，
黑与白相辅相成，这幅作品与物理学中对称性结构相
吻合.
从古希腊的拼砖，到中国的窗枝;从自然界的蜂房镶
嵌图案，到阿尔罕布拉宫穆斯林艺术家的奇妙设计;从简
洁的俄罗斯拼砖，到埃舍尔奇妙的镶嵌绘画，镶嵌图案经历了漫长的世纪和不同文
化的滋润.
埃舍尔的镶嵌作品已远远超越传统的平面镶嵌图案，不但赋予他所镶嵌的对
象以运动和生命，而且更多的作品除了平面变换以外，被镶嵌对象本身也经常
变换.
埃舍尔对于镶嵌的兴趣始于1936 年在西班牙的旅行并描摹摩尔人的镶嵌装饰
画，声称这是他"曾经发掘过的最丰富的灵感的源泉"
"在数学方面，人们已经从理论上考虑过平面的规则划分……这是否意味着它
仅仅是一个数学问题呢? 不是的，在我看来，数学已经打开了通往一片广泛领域的
大门"
102
美丽的镶嵌Cj
第16 讲
平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又
不重叠地铺满整个平函，镶嵌的实质在于:围绕一点才并在
一起的若干个多边形的内角加在一起恰为360 0•
埃合尔，荷兰版画家，把自己称为，.一个图形艺术家"
在对他的最热情的赞美中. 有大量来自数学家、物理学家、
化学家. 他们认为在埃舍尔的作品里，数学的原理和思想
得到了非同寻常的形象化.
探究镶嵌图案的常见方式:
(1)用同一种正多边形进行镶嵌;
(2)用几种正多边形进行组合镶嵌.
il]l
将问题转化为求不定方程的正整数解.
(η -2 ) • 1 80 。
(1)假设由h 个正n 边形镶嵌，则k. '"
~/
.L UV =360 0 ,
n
分析与解
•
化简得走=三毛=2 +___!三
n 一-"
n一-"
..
走为正整数，
'. (η一2)14 ，得η-2= 1，2 ，4 ，即n=3 ，4 ，6 .
这说明只用一种正多边镶嵌可有3 种选择: 用正三角形，或用正方形，还可用
正六边形，且在同一顶点处所需要的正多边形的个数分别为
6 ，4 ，3 .
(2) 设在任一顶点周围放置的是正η 边形、正ρ 边形、正q 边形……且每一顶点
处的一种正多边形只有一个，则
(n一2) • 1800
I (ρ-2) • 1800
I (q-2) • 180。+ … =360 0 ,
nρ
q
(1
1
、
( 11\
, (1
1 \
化简得( τ
一
) + ( τ
一) + ( 一一一) + … = 1.
飞
2
n I
飞
2
pl
飞
2
q I
方
法
.
思
维
、
应
用
之
美
103
黄东坡@ …数时(八年极
经讨论得上述方程符合要求的只有8 组解，综上，可以证明:能镶嵌整个平面
的只有11 种.如图所示.
部囚且
去注圃踵黯Sf1川I
醺毒草
这是一个"车轮"是用十边形经过彭罗
斯销砌而成的.十边形上每个顶点都被它周
围的十边形围绕着.
例J)
有大小一样的含30。角的直角三角板若干个，用这样的三角板进行拼图
(1)能拼出哪些内角度数不同的三角形?
(2) 能拼出哪些内角度数不同的四边形?
(3) 能拼出边数最多的是几边形?
·
分析与解
(1)略
(2) 用含30。角的直角三角板能拼成的小于平角的角有30 0 ，60 0 ，90 0 ，120 0 ，150 。
共5 种，它们都是30。的整数倍. 设拼成的四边形的内角分别是30 。工1
，30。码，30。工3 ,
30。勾(1 ~Xl ζ冯主三马运工4~5 ，且Xi 为整数，i= 1，2 ，3 ，的，
则
30 0Xl 十30 0X2 +30。与十30。马=360 0 ，
即Xl +X2+ 工3+均=12.
上述方程的整数解有8 组，根据它的解可确定四边形的内角度数，用最少的块
数拼出相应的图形如下:
104
第16 讲
美丽的撞嵌ζj
方程的整数解
对应的四个内角度数
拼成的四边形
工2 = 1，
ζ2=30 0 ，
j~
x3=5 ,
ζ3= 1 500 ，
工4=5 .
ζ4= 1500 •
工2=2 ，
ζ 2=600 ，
J\/飞k
2
工3= 4 ，
ζ3= 1 20 0 ，
x4=5.
正三4= 1 50 0 •
x2 = 3,
ζ 2 = 90 0 ，
ιA卜、
3
ζ 3=90 0 ，
工3=3 ，
工4= 5 .
ζ4= 1 500 •
A、
工2= 3 ，
ζ 2 = 90 0 ，
4
ζ 3=1200 ，
工3= 4 ，
工4=4 .
ζ 4=1200 •
坠
x2=2 ,
ζ 2=600 ，
5
ζ3 = 900 ，
工3 = 3,
工4 =5 .
ζ 4 = 1 500 •
2
x2=2 ,
ζ2=60 0 ，
6
工3= 4 ，
x4 = 4.
ζ 4 = 1 200 •
也
工2 =3 ，
ζ 2=90 0 ，
7
ζ 3=90 0 ，
工3 =3 ，
工4=4 .
ζ4= 1 200 •
日
工2 = 3 ，
ζ2 = 900 ，
8
ζ 3=900 ，
x3 =3 ,
x4 = 3.
ζ4 = 900 •
卜
刀
沾
、
思
维
、
阵
，
川
之
无
105
黄东坡@带…町、银)
(3) 由n 边形内角和公式得30 0 Xj 十30 。工2+ … + 30 。工"
(n-2 ) X 180 0 ,
即Xj +XZ+X3 十… +xn = 6 ( n -2) .
0: 1运工l 运工2 …ζXnζ 5 ，且Xj' 码，…
，Xn 为整数，
0 0 上述方程最大值为切，由切注6( η -2)
，得nζ 1 2 ，
故能拼成的凸多边形最大边数为十二边形. 如图所示.
例2 以我们熟悉的学习工具为载体，从实际操作的感性认识到建立数学模型(方
程、不等式、多边形内外角和) 的理性分析，让我们感受到数学的方式和数学的力量.
正五边形不能镶嵌，但非正的五边形能镶嵌. 图①经常出现在开罗的街头
和伊斯兰装饰中，被称为"开罗镶嵌"
图②所示的全等五边形可以镶嵌平面，这是圣地亚哥的一位妇女玛乔里
·
赖斯于1977 年12 月找到的.
ζ二〉
图①
图②
平面镶嵌不仅可用于地砖铺地面，而且在建筑结构、经济截料、废物利用等
方面有很大的实用性.对平面镶嵌理论的探索，可把我们带入一个绚丽多彩的
美丽世界.
106
1 93 1 年出生的英国数学家、物理学家彭
罗斯和霍金一起创立了现代化宇宙论的数学
结构理论，他背后的黑板上展示的是宇宙"扭
曲"模型. 除了在宁宙学方面的杰出工作外，
彭罗斯还创造了精巧绝伦的数学"销砌"结
构，还探索过量子效应与人类意识经验之间
的可能关系.
美丽的攘嵌C〉
第16 ì:井
向数学之美探寻
1. 花团锦簇
有一个正六边形花坛，周围用同样规格的正三角形、正方形砖块铺路，按图示
方法从花坛向外铺10 圈，共需砖一一一一块，其中正三角形砖一一一一块. 若铺n
圈，则共需砖一一一一-块.
( (( 时代学习报》数学文化节试题)
~ 民我fj
·~亟如"..
。
(第2 题)
2. 利用每边长度都是1 的五边形ABCDE 共十八个可以拼出边长为
1 的正十
八边形，如图所示(拼出的图形没有重叠、没有缝隙) ，则五边形ABCDE 的内角ζE
(第1 题)
←
刀
法
、
思
维
、
庇
用
之
美
("华罗庚金杯"邀请赛试题)
3. 问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见. 在八年
级课题学习"平面图形的镶嵌"中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四
边形、正六边形的镶嵌问题.今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，
提出其中几个问题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面. 如
|
图，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点。周围围绕着4 个正方形
「万卜什
的内角
I
I
I
试想: 如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着一一一一个正
六边形的内角.
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组
合方案?
问题解决
猜想
1 :是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?
107
黄东坡@带…牧美(八年级)
分析:我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发
现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特
点. 具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好
拼成一个周角.
验证1 :在镶嵌平面时，设围绕某一点有工个正方形和y 个正八边形的内角可
以拼成一个周角.
(8-2) X 180。
根据题意，可得方程:
90 0x十
X y=360 o ，整理得2x+ 3y=8 ，
8
我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为e二;，
结论1. 镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着l 个正方形和2 个正八边形的内
角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行
平面镶嵌.
猜想2: 是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶
嵌?若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案;若不能，请说明理由.
验证2.
结论2:
我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到
了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案.
问题拓展
请你依照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行
平面镶嵌的方案，并写出验证过程.
猜想3.
验证3 :
结论3 .
(山东省青岛市中考题)
4 . 一个凸十一边形由若干个边长为1 的正方形或正三角形无重叠、无缝隙地拼
成，求此凸十一边形各个内角的大小，并画出这样的凸十一边形的草图.
108
第16 i井
美丽的镶嵌d
-
案
一
钙
'
已
1. 660;600;6n2~ 6n
(18-2) X 180 。
2. 140 。
ζA=60 0
，正十八边形每个内角为
= 160 0 • 结合图
18
形可求得ζ E=140 0
•
3. 问题再现: 3
验证2 : 在镶嵌平面时，设围绕某一点有α 个正三角形和b 个正六边形的
内角可以拼成一个周角.
根据题意，可得方程60a 十120b = 360 ，整理得α十2b=6 ，
可以找到两组适合方程的正整数解为{ ~ = :'或(
lb=2 _. lb=l
结论2
: 镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2 个正三角形和2 个正六边
形的内角或者围绕着4 个正三角形和1 个正六边形的内角可以拼成一个周角，
所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
猜想3
. 是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形这三种正多边形组
合进行平面镶嵌?
验证3. 在镶嵌平面时，设围绕某一点有a 个正三角形、b 个正方形和c 个
正六边形的内角可以拼成一个周角.根据题意，可得方程60a 十90b ~ 120c=
360 ，整理得，2α ~ 3b~ 4c=12
，
(a= l,
可以找到唯一一组适合方程的正整数解为~ b=2 ,
结论3. 镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1 个正三角形、2 个正方形和
l 个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六
边形这三种正多边形组合可以进行平面镶嵌.
4 . 因为凸十一边形是由正三角形和正方形拼成的，所以，
各内角的大小只可以是60 0 ，90 0
，1200 ，1500 ，设这4 种角的个数
( x~ v~ z十w=11 ，
分别为x ，y ，z ，切，则l
J
,
J
' - , -- ' / ' . l 60x十90y十120z~150w= (11-2) X 180,
化简得3x十2y ~ z=1 ，正整数解为x = y=O ，z=l
，w
=10.
这说明，所求凸十一边形的一个内角是120 0 ，它由两个正三角形的内角拼成，
其余10 个内角都是1500 ，是由一个正三角形的内角和一个正方形的内角拼成，如
图所示.
方
法
思
维
、
应
川
之
芙
109
-.
、←
~ - - - -、
，
6》攫史学文化巡礼
当代著名数学家怀特海0 8 61- 1 94 7 ) 曾说"这是一个可靠的规律，当数学或
哲学著作的作者是以模糊深奥的话在讲述时，他是在胡说八道"
"确定"是数学中常用且重要的一个词语，数学非常关注一个问题是确定的还
是不确定的.
如果问题是确定的，则求解或画出图形或构造对象，即进一步研究具体的实施
方案，并统揽全局; 如果问题是不确定的，则研究问题的变化状态.
这是数学思考问题的一种倾向，故研究"确定性"是一种数学思考.
"确定" !'lp存在且唯一或有且仅有，"确定性"思考最为关注的是"确定"的条件
及与此相关的基本量、独立量、自由度.
全等即意味着"确定"，确定一个三角形需三个独立的条件，所以我们说三角形
的自由度是3 .
边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从这些元素中选取三个条件，
若干类元素的有机组合可得到判定两个三角形全等的命题，但这些命题有真有假.
110
F. 克莱因(1849一1925 ) ，德国数学家，他
的主要贡献在几何方面. 他的几何学群论观
点是19 世纪几何学发展史上的一次飞跃，它
引导了其后50 年左右的几何学发展，作为当
时的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对
数学家、数学史家有所启迪.
.~
第17 讲
确定性思考J
、〕数学智慧讲堂
例1
已知某四边形的四条边长，要确定这个四边形需要满足什么条件?
分析与解
" 确定" 即意味着全等，联想到全等三角形的判定方法，把四边
形全等的判定转化为三角形全等的判定.
(1) 四条边、一个内角对应相等;
(2) 四条边、一条对角线对应相等;
对(1)
，给出证明
:
)飞
J
飞
图①
如图①，在四边形ABCD 与四边形A'B ' C 'D' 中，已知AB = A 'B ' ,BC= B'C' ,
CD= C'D' ，AD = A 'D' ，且丘A =ζA ' .
求证: 四边形ABCD旦四边形A 'B 'C 'D ' .
证明: 如图②，连结BD ，B'D' ，则DABD旦DA ' B ' D ' ，进一步可得DBDC兽
D B'D'C'.
.. ζABD = ζA' B' D' , L.ADB = ζA'D'B ' ，ζ DBC = ζ D'B ' C '
，ζ BDC =
丘B'D'C ' ，ζ C=ζ C.
于是有ζABC= ζA'B 'C' ，ζADC= ζA 'D 'C ' .
又': AB=A 'B ' ,BC=B'C' ,CD= CD' ,AD= A'D' ,
..四边形ABCD且四边形A 'B 'C 'D ' .
c '
C
图②
三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性一一即使四条边的长度已知，也
不能确定它的形状.
"否定假设法"即通过对原有问题的条件和限定进行思考，自由改变产生新
问题的方法，例
l 就是运用这一方法提出问题的.
}j
i去
思
维
、
应
用
之
先
1
1
1
黄东坡@ 制
锣Jj2
如图，在四边形ADBC 中
，AB 平分ζ DAC.BD =
BC.BE_lAC 于点E
5水
求证:
(1 ) ζ C+ζ D=180 0 ;
(2)AD十AC= 2AE;
(3)AC-AD= 2CE.
A
D '
E
C
·
分析与解
在DADB 与DABC 中，满足" 边边角" 条件，但是两个三角形
并不全等，由角平分线翻折构造全等是证明的关键.
112
(1)在AC 上截取AD' =AD ，连结BD'. 则DADB旦DAD'B ，
.,' BD= BD'. ζ D=ζAD'B
，
,'. BD = BC=BD'. 得ζ BD'C= ζ c.
.. ζ BD'C+ζAD'B=180 0 •
ζC+ζD= 1 80 0
•
(2)',' BD' = BC.BE土AC.
,'. D'E = EC.
.,' AD+ AC =AD' + AC
= AE-D'E + AE+ EC.
= 2AE.
(3) 同上.AC-AD = AE十EC- (AE- D'E)
=2CE.
如上图，在四边形ADBC 中.BE_lAC 于点E ，给出下列条件:
①AB 平分ζDAC;
( BC=BD;
③ζC+ζD=180 0 ;
( AD+AC=2AE;
( AC-AD=2CE.
将其中任意两个作为条件，都能推得其他三个结论，共得出
10 个命题.
英国伦敦科学博物馆陈列着一件凝聚数
学智慧的玻璃制品，这就是克莱因瓶. 1882
年，德国数学家克莱囚设计发明了这个著名
的瓶子.克莱因瓶是一个只有一个面的封闭
曲面，是一个没有瓶底的瓶子.一只爬在"瓶
外"的蚂蚁，可以通过"瓶颈"爬到"瓶内"去.
其实克莱因瓶并无内外之分.
第才7i并
确定性思考J
例3
有四个判断:
(1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等;
(2) 有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等;
(3) 三角形的三条边和三个角中，有5 个元素分别相等的两个三角形全等;
(4) 一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等.
上述判断是否正确?若正确，请说明理由;若不正确，请举出反例.
分析与解
从特殊性、元素位置的不确性、是否对应等方面构造反例. 对于
(3) ，若5 个元素中包括三边，则不会出现反例;若5 个元素中只有两组边相等，当两
组等边恰为对应边时，不会出现反例
，故只能出现在两组等边不为对应边的情况.
判断(1) 、(2) 、( 3) 、(4) 都不正确.
判断(1) 的反倒
:
如图①，在，0，ABC 和，0，AB'C 中
，AC= AC ，BC= B'C ，高AH= AH ，但这两个三
角形不全等.
判断(2) 的反例
:
如图②，在，0，ABC 和，0，ABc' 中
，AB = AB ，AC= AC' ，高AH = AH ，但这两个三
角形不全等.
B
B
C
H
B '
B
C
H
图①图②图③
判断(3) 的反例
:
设，0，ABC 的三边长分别为AB = 1 6 ，AC =24 ，BC=36 ，设，0，A'B'C' 的三边长分
别为A'B' = 24 , A' C' = 36 , B' C' = 54. ，0，ABC 与
，0，A'B'C' 的对应边成比例，故
，0，ABCω，0，A'B 'C'. 从而它们有两条边和三个角分别相等，即ζA = ζ A' ，ζ B =
ζ B' ，ζ C=ζ c' ,AC=A'B' ，BC= A'C ' ，但这两个三角形不全等.
判断(4) 的反例
:
如图③，在，0，ABC 中
，AD ，BE 分别是边BC ，AC 上的高，作ζ BAF = ζ BAC ，
且BF上AF. 延长BC ，FA 交于点C'
，则，0，ABC 的高BF 和，0，ABC 的高BE 相等，
AD = AD ，AB=AB ，但，0，ABC 与，0，ABC' 不全等.
综上所述，题中的四个判断都不正确.
反例通常是指那些说明某个命题不成立的或与命题相矛盾的例子.
冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两大类一一证明与反驳组成，
而数学也正朝着两个主要目标迈进一一提出证明与构造反例.
k
川
法
.
思
维
、
-
M
m
之
先
113
黄东坡@ 带叫敛时八年级)
反例是辨析概念的有力工具，是否定命题的重要方法，在数学史上，恰当的
反例推动了数学的发展.
反例的运用有下列重要作用:
(1)强化推理的严谨性;
(2) 培养思维的批判性;
(3) 发展逆向思维.
翠回!
1900
1 930 年期间
. 克莱因经过不懈的
努力实现了凤尾
将高斯、狄利克雷和黎
曼曾经工作过的哥根廷数学系建设成为德国
的数学中心. 并且成为世界的数学中心.
--
‘二'
美国学者布朗和沃尔特在《提出问题的艺术》中对"否定假设法"的具体原则作
了以下阐述:
(1)对所确定的对象进行分析，列举出它的各个属性;
(2) 就所列举的每一属性思考"如果这一属性不是这样的话，那么可能是什么?"
(3) 依据上述对于各种属性的分析提出新问题.
向数学之美探寻
1. 给出命题: 三条边、两个内角对应相等的两个凸四边形全等.
上述命题正确吗?若正确，请证明;若不正确，请举例说明.
2. 【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即"SAS" 、"ASA" 、"AAS飞"SSS") 和直角三角
形全等的判定方法(即"HL")后，我们继续对"两个三角形满足两边和其中一边的对
角对应相等"的情形进行研究.
114
确是性思考￡;3
第17 讲
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为:在L':，.ABC 和L':，.DEF 中，AC=DF ，BC=
EF ，ζ B = ζ E ，然后，对ζB 进行分类，可分为"ζB 是直角、钝角或锐角"三种情况
进行探究.
E深入探究】
第一种情况:当ζB 是直角时，L':，.ABC旦L':，.DEF.
(1)如图①，在L':，.ABC 和L':，.DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，ζB= ζE= 90 0 ，根据
一一-一一'可以知道RtL':，.ABC豆RtL':，.DEF.
F
C
E
D
B
A
图①
第二种情况:当ζB 是钝角时，L':，.ABC旦L':，. DEF.
(2) 如图②，在L':，.ABC 和L':，.DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，ζB= ζE ，且ζB 和
ζE 都是钝角，求证:
L':，.ABC旦L':，. DEF.
F
C
E
D
B
A
图②
第三种情况:当ζB 是锐角时，L':，.ABC 和L':，.DEF 不一定全等.
(3) 在L':，.ABC 和L':，.DEF 中
，AC=DF ，BC=EF ，ζ B= ζE ，且ζB 和ζE 都是
锐角，请你用尺规在图③中作出L':，. DEF ，使L':，.DEF 和L':，.ABC 不全等. (不写作法，保
留作图痕迹)
方
法
.
思
维
、
应
用
之
荒
115
B
C
图③
A
黄东坡@ 制
(4)ζB 还要满足什么条件，就可以便6ABC且6DEF? 请直接填写结论:在
6ABC 和6DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，ζB=ζE ，且ζB 和ζE 都是锐角，若
，则6ABC旦6DEF.
(南京市中考题)
3. 半角模型
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边
相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等
或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型可把握问题的本质.
问题背景
如图①，在四边形ABCD 中，AB=AD ，ζBAD
= 120 0 ，ζB =ζADC = 90 0 , E , F 分别是BC ，CD 上的点，且
ζEAF=60 0 ，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ，使DG =
BE ，连结AG ，先证明6ABE旦6A四王，再证明6AEF旦6AGF ，
可得出结论，他的结论应是
探索延f伸申
如图②，在四边形ABCD 中，AB=AD ，ζ乙B +
ζ
L_ D
仨归
=斗1肌
8
上述结论是否仍然成立，并说明理由.
G
J、
/
~D
dL一ν
B
E
C
图①
LYU
，
寸
」
叮
A-I
I
F
E
A
B
B
E
C
图②
图③
(第3 题)
实际应用
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(0 处)北偏西30。的
A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接
到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50。
的方向以80 海里/小时的速度前进，1. 5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别
到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70 0 ，试求此时两舰艇之间的距离.
(德州市中考题)
116
第17 ì.:井
确定性思考过J
也
1. (1)若两个内角是对应边相等的中间边的夹角，则两个四边形全等.
(2)若两个内角不是对应边相等的中间边的夹角，则两个四边形不全等.
如图①，在四边形ABCD 和四边形ABC 'D 中，AB = AB ，AD = AD ，BC =
Bc'，ζA= ζA ，ζD= ζ D.
但这两个四边形不全等.
如图②，在四边形ABCD 和四边形ABC 'D 中，AD = AD ，AB=AB ，BC=
Dc'，ζA=ζA ，ζC=ζ C' ，但这两个四边形不全等.
/o
c'
图①
图②
2. (l )HL
( 2 )证明: 如图①，分别过点C ，F 作对边AB ，DE 上的高CG ，FH ，其中点
G ，H 为垂足.
F
A
二---.[1
B
G
D
____.[1
E
H
图①
.. ζABC ，ζ DEF 都是钝角，
:.G ，H 分别在AB ，DE 的延长线上.
.:c刀j_AG ，FHj_ DH ，
λ ζα:;-A，. = ζFHD= 90 0 •
. . ζ CBG= 1 80。
ζABC ，ζFEH = 1 80。
ζ DEF ，ζABC= ζDEF ，
.. ζ CBG=ζFEH.
在6Bω 和6EFH 中，
. . ζCGB = ζ FHE ，ζCBG= ζ FEH ，BC= EF ，
:. 6Bα3旦6EFH ，
)j
法
思
维
、
应
用
之
美
117
黄东坡@…数时(八年级)
118
人(刀= FH.
又': AC=DF ，
:. Rt6ACG经Rt6DFH ，
.ζA= ζD.
在6ABC 和6DEF 中，
.. ζABC=ζDEF' L乙A =ζD ，AC= DF ，
λ 6ABC且6DEF.
(3) 如图②，6DEF 就是所求作出的三角形.
(4)ζB二三ζA.
3. 问题背景
EF= BE+ DF
探索延伸
EF=BE+ DF 仍然成立，延长
FD 至，点G ，使DG= BE ，连结AG ，先证明6ABE
旦6ADG ，再证明6AEF旦6AGF 即可
A
实际应用
如图，连结EF ，分别延长AE ，
BF 相交于点C ，在四边形AOBC 中，
C(月
图②
.: LAOB=30o+90 o+ 20 o=旷，LEOF=庐÷ζAOB ，
又γ OA=OB ，ζOAC+ζOBC=1 80 o ，符合探索延伸中的条件，
:.EF=AE+ BF= l. 5X (60 +80) = 2 10(海里) .
N
A
B
B(E)
《
丸
探
与
式
·
·
变
•
心数学文鱼巡礼
苏联著名教育家苏霍姆林斯基曾说"在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的
需要，这就是希望自己是个发现者、研究者和探究者"
探究即探索、研究之意，通俗地说就是寻求、寻找、求取……探究是体现新课程
理念的关键词之一.
探究性学习以其独特的、用类似科学研究的方式去探索、获取和应用知识而成
为一种新的学习方式，其基本的程式类似于科学研究的一般范式:提出问题一一建
立假设
实验验证一一解择评估.
"变式"是指有目的、有计划地对问题进行合理的转化，即从不同的角度、不同
的侧面、不同的背景等方面变更所提供的数学问题的某些内涵及呈现方式，使数学
问题的非本质特征时隐时现，而本质特征保持不变.
通过变式训练，可有效提高探究能力.
学习是一把钥匙，这钥匙充满魔力，可以打开许多门，门外的道路至少有三条:
知识的深入理解、实际运用、探索性思维的培养.
一题多解，多题一解;举一反三，举三反一.
刘徽(生于公元225 年左右)
，是中国数
学史上伟大的数学家.刘徽的杰作《九章算术
;主》、《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产，讲
究"析理以辞，解题用图"，主张"告往而知来，
举一隅而三隅反者也"
119
黄东坡@带…时(八年级)
学智慧讲堂
例1
如图①，在Rt b，ABC 中，已知ζACB =90 0 ，
AC=BC ，将一直角顶点放在AB 的中点。处，与
A
AC ，BC 分别交于点M ，N ，求证:CM二BN.
C
。
图①
·
分析与解
作出辅助线，将问题转化为全等三角形的证明.
证明
: 连结α士，.: AC=BC ，O 为AB 的中点，
λ ζMαJ=ζα~B =ζ B=4 5 0 ，(汇上AB ，(兀= OB =OA.
γ ζ 1 +ζ 2 = 90 0 ，ζ 2 +ζ 3 =90 0 ，λ ζ1 = ζ3 .
在b，OMC 与b，ONB 中，
lm=ζB
C汇=OB ，
ζ 1 =ζ3 ，
λ b，OMCS2b，ONB ，得CM= BN.
探究一条件不变，深挖结果
如图①，CM+ CN=BN+CN=BC ，
: S L;CMC = S L;(NB ,
.. S四边形MN = SAM+SAm = SAM+SAm= SMB=÷SA础，
这表明:无论怎样移动ζMON ，CM + CN 和
S四边形rMJN 的值都不变.
探究二
交换问题的条件和结论
其他条件不变，增加条件CM= BN ，求证:
ζMON= 90 0•
探究三
改变图形位置
若点M ，N 分别在射线CA
，BC 上运动，其他条件
不变，如图②，CM=BN 还成立吗?证明你的结论.
可以证明结论仍成立，证法类似.
探究囚
改变图形形状
将图①补充成正方形，如图③，例题中的点。为正方形
中心.
可证明S叩CMDN=士S.iE1fJV础
由正方形联想到正三角形，可提出如下问题.
120
N
图②
图③
B
B
C
变式与探究~ .:
第才8ì井
E
C
如图④，已知正6ABC ，O 为6ABC 的中心，
D
类比证明:
连结OA ，OB ，则OB = OA ，ζ2=ζ3=ζ 1 = 30 0 ,
人ζAOB = 1 20 0
•
-J i三MON= 12 0 0 ，
. ζ4=ζAOB 一ζAOM= 1 20 。一ζAOM= ζMON一ζAOM= ζ5 ，
:. 6 AON C/J6 BOM, :.S6JlON= S6酬
'
S叩Amv=M= ts皿
图④
当ζMON=
波利亚(1887 -- 1985)
，美国著名数学教
育家. 对数学思维的一般规律有深入的研究，
这方面的著作有《怎样解题》、《数学的发现》、
《数学与猜想》等. 他曾说..好问题如同一个
蘑菇，当你找到第一个蘑菇或做出第一个发
现后，再四处看看，它们总是成群生长"
问题背景
某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题:
a. 如图①，在正6ABC 中
，M ，N 分别是边AC ，AB 上的点，BM 与CN 相交于
点。，若ζ BON=60 0 ，则BM= CN;
侈IJ 2
D
E
A
A
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
121
图③
图②
C
图①
B
黄东坡@…敬学城叩)
b. 如图②，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是边CD ，AD 上的点，BM 与CN 相
交于点。，若ζBON=90 0 ，则BM=CN.
然后运用类比的思想提出了如下命题:
c. 如图③，在正五边形ABCDE 中，M ，N 分别是边CD ，DE 上的点，BM 与CN
相交于点。，若ζBON=1 08 0 ，则BM=CN.
任务要求
(1)请你从a ，b ，c 三个命题中选择一个进行证明;
(2)请你继续完成下面的探索:
( i )如图④，在正η (n二三3) 边形ABCDEF .. . 中，M ，N 分别是边CD ，DE 上的
点，BM 与CN 相交于点。，问当ζBON 等于多少度时，结论BM=CN 成立?
(不要
求证明)
五
A
D
A
D
B
C
B
图④
图⑤
( ii )如图⑤，在正五边形ABCDE 中，M ，N 分别是DE ，AE 上的点，BM 与CN
相交于点0 ，若ζBON=1 08。时，请问结论BM=CN 是否成立?若成立，请给予证
明;若不成立，请说明理由.
·
分析与解
本例以正多边形为载体，考查了观察、分
E
析、操作探究与逻辑推理的能力，展示了正多边形的丰富内
涵，对于(2) 中的( ii )问，图⑤与图③是有差别的，连结BD ，
A
CE ，设法证明LiBDM旦LiCEN.
(1)略
(2)①当ζBON= iη- 2)X 180。时，结论BM= CN 成立
B 一←
c
n
②当ζBON=108。时，结论BM=CN 成立. 如图，连结BD ，CE ，由LiBCD兽
LiCDE ，得BD=CE ，ζBDC= ζ CED ，ζDBC=ζECD.
122
. . ζ CDE=ζDE五= 1 0 8 0 ，λ ζBDM=ζCEN ，
.. ζOBC+ζα:::B = 108 0 ，ζα:::B+ζα:::D= 108 ".
λ ζMBC=ζNCD ，又ζDBC= ζECD= 36 0 ，
λ ζDBM=ζECN. λ LiBDM三LiCEN ，故BM=CN.
...
第18 ì.:井
变式与探究巳1
在操作活动中发现问题.在观察中发现
规律，在比较中联想类比，在猜想验证中解决
问题.从特殊到一般、从简单到复杂.知识与
方法上的类比推广是数学探索发现的重妥途
径之一.
道通天地有形外，思入风云变态中.
对于一个平面几何问题，我们常从如下几个方面进行变式与探究:
(1)条件不变，深入推理;
(2) 交换问题的条件与结论;
(3) 赋予点的运动，改变图形位置，探究结论;
(4) 改变图形形状，推而广之，触类而旁通.
自
1981 年顾拎沉提出变式教学理论到1988 年马顿提出变异学习理论，为变式
教与学提供了认识论的基础和支撑，变式与探究逐步成为中国数学教与学的特色，
并随着国际数学教育比较研究逐步走向世界.
向数学之美探寻
1. (1)如图①、②、③，在6ABC 中，分别以AB ，AC 为边，向6ABC 外作正三角
形、正四边形、正五边形，BE ，CD 相交于点O.
( i )如图①，求证: 6ABE旦6ADC.
( ii )探究:如图①，L_B町=一一一一一;如图②，L_BC汇= 一一一一一;如图③，
ζBα，
五
五
。
,,
a
GU
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/
一
ν
C
E
f
、
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M
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U
C
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
C
B
C
图①
图②
图③
图④
(2) 如图④，已知AB ，AD 是以AB 为边向6ABC 外所作的正n 边形的一组邻
边，AC ，AE 是以AC 为边向6ABC 外所作正η 边形的一组邻边，BE ，CD 的延长线
相交于点O.
123
黄东坡@ …敖挝美(八年级)
( i )猜想
: LB历=一-一一; (用含n 的式子表示)
( ii )根据图④证明你的猜想.
(南平市中考题)
2. (1) 如图①，在l:，ABC 中，已知ζ BAC= 90
0 , AB = AC ，直线m 经过点A ，
BDl_ m于点D ，CEl_m 于点E . 求证: DE= BD+ CE.
(2) 如图②，将①中的条件改为: 在l:，ABC 中，AB=AC ，D ，A ，E 三点都在直线
m 上，并且有ζ BDA= ζAEC= ζ BAC = α ，其中α 为任意锐角或钝角. 请问结论
DE=BD十CE 是否成立? 若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由.
(3) 拓展与应用:如图③，D ，E 是D ，A ，E 三点所在直线m 上的两动点(D ，A ，E
三点互不重合) ，点F 为ζ BAC 平分线上的一点，且l:，ABF 和l:，ACF 均为等边三角
形，连结BD ，CE. 若ζ BDA= ζAEC= ζ BAC ，试判断6DEF 的形状.
图②
m
c
-
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E
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飞
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一
③
F
尔
l
|
且
A
图
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守
主
D
B
-
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B《二万
(东营市中考题)
3. 在等腰R tl:，ABC 中，ζ BAC=90 0 ，AB=AC ，直线MN 过点A 且MN // BC.
以点B 为一锐角顶点作Rtl:，BDE ，ζ BDE=90 0 ，且点D 在直线MN 上. (不与点A
重合)
(1)如图①，当DE 与AC 交于点P 时，求证: BD=DP.
124
第18 i井
变式与探究d
(2) 如图②，当DE 与CA 延长线交于点P 时，BD= DP 是否成立?如果成立，
请给予证明;如果不成立，请说明理由.
M
N
.N
B
C
图①
图②
( 齐齐哈尔市中考题)
。参警备案
1. (1)①略
( 1200 ; 90 0
; 72。
(2) ( i ) ζB町的度数为正n 边形一个内角的补角，即为
1 80 。
(η- 2 ) X 180 。
360 0
n
=-7 · (也是正η 边形的一个外角度数)
( ii )证明略
2. (1)、(2)证明6.ADB旦6.CEA ，得AE= BD ，AD= CE.
:. DE=AE+AD=BD十CE.
(3) 由(2) 知，6.ADB且6.CEA ，人BD=AE ，ζ DBA 二ζEAC.
.: 6.ABF 和6.ACF 均为等边三角形，
. ζABF= ζ C孔F= 60
0 ,BF= AF,
λ ζDBA +ζABF=ζ CAE+ζC孔F ，二ζDBF= ζFAE.
二6.DBF呈6.FAE ，二DF=EF ，ζBFD= ζAFE ，
.. ζ DFE= ζ DFA +ζAFE= ζ DFA + ζ BFD=6 0
0
，
二6.DEF 为等边三角形.
3. 下列证法仅供参考:
(1)过D 点作DQ 上AD 交MN 于点Q ，则AD = DQ ，又
·.· ζDBQ =
ζAPD ，ζDAP= ζ DQB=135
0
， :. 6.ADP旦6.QDB ，得BD=DP .
(2 )BD=DP 仍成立，证法同上.
}j
it
思
维
、
应
用
之
芙
125
(
:j 不哨的拿破仑
•
"不想当元帅的士兵不是好士兵飞这是著名军事家拿破仑的至理名言.细看历
史，我们将看到一个不一样的拿破仑一一数学爱好者，法国数学的早期推动者.
作为法兰西科学院至高无上的14 5 位院士中的一员，拿
破仑对这一尊号颇为满意，在所有文告上签名时都写下"科
学院院士、东征方面军总司令"的头衔.
拿破仑借助法国大革命才登上权力的宝座，作为第一执
政官，他倾心于推理和才智之士，他的数学家朋友纷纷被封
高官，在南征北战的军事行动中，他的身边总是簇拥着数学
家、物理学家、天文学家，如拉普拉斯、蒙日、傅里叶等，即使
在行军作战时也常与学者讨论科学问题，甚而出"难题"，他
的初等数学技巧曾令他的侯爵、大数学家拉普拉斯赞叹
不已.
拿破仑三角形
如图，以三角形各边为边向外侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三
角形，该等边三角形称为"拿破仑三角形"
126
1784 年，著名数学家拉普拉斯发现了拿
破仑的数学夭赋，这成为拿破仑能够被巴黎
军校录取的一个重妥房、国，在服役期间，他写
过一篇题为《论导弹的投掷》的有关弹道学方
面的论文，应用了严密的数学推理和计算.
不-样的拿破仑v
第19 讲
E
如图，已知6.ABC 和6.DCE 均是等边三角形，点A ，
C ，E 在同一条直线上，BE 与AD 交于点。，BE 与CD 交于
点G ，BC 与AD 交于点F ，连结町，FG ，则下列结论: ①BE
= AD; ( BG= AF; (
FG// AE; ④L:AC汇=ζE町，其中正
确结论的个数是
C
)
A. l 个
B.2 个
C . 3 个
D. 4 个
例1
分析与解
本例类似于拿破仑三角形，是以一条直线上两条线段为边向形
外作两个等边三角形，得到的" 形外形问题" 步步设问，层层推进，发现全等三角形
C 6.ACD旦6.BCE 、6.AF0;;26.BGC 等)是解决问题的关键.
对于③，可证明6.CFG 为等边三角形，推得FG//AE;
对于④，可证明C 点到ζAOE 两边距离相等，推得ζAα~ζEα7. 故选D.
等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是最简单的正多边形，由特殊到
一般，由静止到运动，变式探究提出下列问题.
1.如图，当A ，C ，E 三点不共线时，例1 的结论哪些仍成立? 哪些不成立?
E
B
N
C
M
A
E
N
沾
、
思
维
、
应
川
之
先
( 第2 题)
2. 如图，点C 是线段AB 上的一个动点
，6.ACD 和6.BCE 是AB 同侧的两个等
边三角形，DM ，EN 分别是6.ACD 和6.BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A
向点B 的方向移动(点C 与点A
，B 不重合) ，连结DE ，得到四边形DMNE. 这个四
边形的面积变化情况为
C
)
A.逐渐增大
B . 逐渐减小
C. 始终不变
D.先增大后变小
3 . 如图①，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连结
AE,GC.
(1 ) 试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系?并证明你的结论;
127
(第1 题)
黄东坡@ 带…时(八年级)
( 2 ) 将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图②，
连结AE 和GC . 你认为(1 ) 中的结论是否还成立?若成立，给出证明;若不成立，请
说明理由.
E
F
F
图①图②
( 第3 题)
·
分析与解
l. ①，④，成立; ②，③不成立.
2. C
3. (1) AE上GC ，证明略;(2)
(1)中结论仍成立.
G
波利亚曾说"与其穷于应付烦琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选
择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学
生解题过程中，提高他们的才智与推理能力"
通过变式，形成知识链、问题链;通过探究、引申、拓展，既深化了对基本知
识、基本技能的理解，又提高发现问题与提出问题的能力.
啻ω
拿破仑三角形
如图①，以D_ABC 的三边分别向形外作等边D_ABD 、等
边D_ACE、等边D_BCF. 设D_ABD ，D_ACE, D_BCF 的中心分
别是P
，Q ，R. 求证:
D_PQR 是等边三角形.
D
图①
E
·
分析与解
证明三边相等或两个角为
60。即可，三角形的中心怎样用?有
全等三角形吗?有相似三角形吗?
下面的基本问题有助于本题的解决.
如图②，以D_ABC 的两边AB
，AC 分别向外作等边D_ABD 、等边D_ACE ，则有
128
以下结论:
(l )BE=CD;
(2)AO 平分ζDOE;
(3)ζAOE= ζ COE= ζAOD= ζ BOD=6 0 0 •
证明
:
(1)连结BE ，CD ，AF ，设l:，.ABC 的三边长分别
为α ，b ，c.
J3
rm J3
连结且习，BP ，则BQ =V<)~ a , BP= V<)~ c, BE= CD= AF
3
(
,
. BQ_ BC_ a
"BP AB
c '
又ζQBP = 60 。十ζABC= ζCBD ，二6QBPω6CBD.
. PQ_ BQ_ J3
ß\
" CD
BC
3
山
'-E1 QR_PR 一.)3
月h
同理可得一一一一一- '~
③
AF BE
3
田
比较①②③，得QR = PQ= PR.
故l:，.PQR 为等边三角形.
第19 i并
不-样的拿破仓d
五
图②
拿破仑是科学家的挚友，他资助6000 法郎，以帮助逆境中的意大利物理学
家伏特. 1814 年反法联军兵临城下，兵员不济，有人提议巴黎综合理工学校参
战，拿破仑说"我不愿为取金蛋杀掉我的老母鸡"这句话今天还刻在该校的梯
形大教室的天花板上.
拿破仑曾言:
"数学教育决定着国家的繁荣昌盛"
"百分之二十的法国精英是法兰西民族前进的火车头"
法国大革命尤其是拿破仑使得法国成就了一批精通理论和应用的数学家，
也诞生了巴黎综合理工学校、巴黎高等师范学校两所世界级名校.
拉格朗日是拿破仑的亲密朋友. 被拿破
仑称为"数学领域高耸的金字塔"在变分法、
微分方程、数伦、群论等方面做了许多开创性
的工作.他的名字遍布在史学的各个领域.
k
川
陆
、
也
纷
、
向
川
之
先
129
时@ …仰之炎(八年佩)
帕斯卡、笛卡尔、费尔马、达朗贝尔、拉格
朗日、拉普拉斯、蒙日、傅里叶、泊松、柯西、伽
罗华、庞加莱、韦伊、嘉当等，法兰西民族源源
不断地诞生了众多伟大的数学家，法国人也以
此为傲，仅巴黎以数学家命名的街道、广场、车
站等就有百余处.巴黎二十个街区是以阿拉伯
数字命名，并以平面几何学中的双曲螺线为序
排列.
数学是法国传统文化中最优秀的部分.
巴黎的二十个街区
1. 如图，已知AB=l O ，点C ，D 在线段AB 上，且AC=
l'
BD= 2. P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段
AB 的同侧作等边DAEP 和等边DPFB ，连结EF ，设EF 的
中点为点G. 当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动的路
径长是一一一一一(桂林市中考题)
2. 问题提出
如图，已知DABC 是等边三角形，点E 在线段AB 上，点D 在直线BC 上，且
DE=EC. 将DBCE 绕点C 按顺时针方向旋转60 。至DACF ，连结EF.
试证明
: AB= DB+ AF.
类比探究
(1)如图②，如果点E 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，线段AB ，DB ，AF
之间又有怎样的数量关系?请说明理由.
(2)如果点E 在线段BA 的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形
补充完整，并写出AB ，DB ，AF 之间的数量关系，不必说明理由.
A NF
D
DB
C
图①
130
E
图②
l二
图③
(烟台市中考题)
_._
第19 t并
不-样的拿破仓~::
3. "尊敬的院士们，"拿破仑说，"让我给你们出一道题:不用直尺，仅用圆规，你
们能四等分一个圆吗7"早年的数学功底加上与数学家的交往，使得拿破仑有能力
和勇气向他们提出上述问题.这个问题被称为"拿破仑问题"
@
l.如图，首先确定点G 的运动路径，分别过点E ，F ，G 作AB 的垂线，垂足
为点K ，L ，H ，则GH 为梯形EKLF 的中位线.
GH = ~ (EK+ FL)
F
= ~ (v'3KP+v'3LP)
=子CKP+川
、3" 1
=口× 一CAP十PB )
2 " 2
A
=fAB
无论点P 如何运动，EF 的中点G 到AB 的距离不变，故点G 的路径是平
1 .,.
1 ,. 1
行于AB 的一条线段.当点P 与点C 重合时，KH= 丁z- KL=τ × 言AB=2.5 ，
AH= AK + KH=3. 5.
当点P 与点D 重合时，由对称性可知
，BH=3. 5.
所以当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长即为点H 在AB 上
所经过的路径长，为10 - 3.5 一3.5 =3.
2. 【问题提出】
6 BCEUJ 6 ACF, 6ECF 为等边三角形.
·.· ζ D=ζ ECD = ζACF= ζAEF ，ζ EBD= ζ FAE= 120 0 ，EF= DE ，
:. 6EDB旦6FEA ，
H
出
.
血
统
、
山
川
川
之
先
131
时@ …脚之类(收)
132
人BD= AE ，BE=AF ，得，AB=AE+ BE= BD+ AF.
【类比探究】
(1)同理得L:，EDB且L:，FEA ，
二BD = AE = AB + BE = AF + AB ，得. AB=BD
-AF.
(2)补图如图所示.
AF=BD+ABC或AB=AF-BD).
3 . 作法
如图，己知①0，在圆上任选一点A ，从A 点起，以半径。A 为长，在圆上依
次作出B ，C ，D 三点，再以A ，D 两点为圆心，以AC 长为半径画弧交于M 点，以
OM 为长度，在圆上依次划分，即能将①0 四等分.
证明
设①O 半径。lA =r ，由作图可知，弧AB 的长是圆周
长的乞弧AC 的长是圆周长的t ，
因此AC 正好是圆内接正三角形的一条边，而圆内接
正三角形的边长向=J3r ，
故AC=AM=MD=J3r.
又因为AD 为①0 直径，0Ml_AD 于点。，在RtL:，AMO 中，
OM= .!AM-ON =jCJ3r)2-?=J2r,
而半径为r 的圆内接正四边形的边长向=J2r ，故以OM 为长度即可将
①0 四等分.
阪-~) 费马点
----.
65 数学文化巡礼
如图，设点A ，B ，C 分别表示三个村庄，现在三个村庄要合资建造一个车站，为
了节省用地及开支，问建造在哪个位直，可使车站到三个村
庄的距离之和最短?
人类每天为解决最大最小问题而忙碌着，大自然亦是
女口此.
最早指出自然界中到处都潜藏着最大最小问题的人，大概是费马.
上述问题可抽象为:在已知6ABC 所在平面上求一点F ，使它到三角形三个顶
点的距离之和最小.
这个问题是费马在16 4 0 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，这个问题
中所求的点被人们称为" 费马点"
费马0 60 1 -- 1 665 )
，1 60 1 年8 月
1 7 日生
于法国南部图卢兹，他在大学里学的是法律，
后来当了律师.是一位社会活动家. 30 岁以
后，费马爱上了数学，并把几乎全部止余时间
用于数学研究.费马在17 世纪创立的解析几
何、概率论和数论等，都作出了开创性的贡
献. 成为
17 世纪最著名的数学家之一，人称
"业余数学家之王"
133
黄东坡@…锁f乒协叩)
如图，设F 是锐角L::，.ABC 内一点，使ζAFB=
ζBFC二ζCFA=120 0 ，而P 是L::，.ABC 内任意一点，求
证: PA+ PB十PC二三FA+ FB+ FC.
A
·
分析与解
通过变换，把放射状的线段变为连接两定点间首尾相连的折
线，然后才有可能找到这条折线的最小值.
【证明】
将L::，.ABF ，L::，.ABP 绕B 点按逆时针方向
旋转60 0 ，得到L::，.A'BF'和L::，.A 'BP ' ，连结FF ，pp ' ，由旋
转的性质得L::，.BPP'与L::，.BFF都是正三角形，故FF'=
FB ,PP' =PB.
又L::，.A'BF'呈L::，.ABF ，:. ζA 'F 'B= ζAFB=120 0 ，
. . ζFFB =60 0 ， :.A' ,F' ，F 三点共线.
同理，ζF'FB =60。以及ζBFC= 1 20。知C ，F ，F也
B
三点共线.
从而，C ，F ，F' ，A ' 四点共线.类似的，由旋转的性质知L::，.A'P 'B旦L::，.APB ，
二ζA'P 'B=ζAPB=120 0，又ζBP'P= 6 0 0 ，二A ' ，P' ，P 三点共线.
': A'C 是直线段，而A'P 与PC 是折线段，
:. A 'P + PC二三A'C ，即A'P' + P'P + PC二三A'F' + FF + FC ，
注意到A'P '=PA , P'P=PB ,A'F' =AF, F'F=FB ,
故有PA+PB+ PC二三FA+ FB+ FC.
特别地，如图①，当ζA= 12 0。时，点F 与点A 重合，FA+FB+ FC=AB+AC;
如图②，当ζA> 1 20。时，若要使ζBPC = 120 0 ，则点P 必在三角形外部，可证
明FA+ FB+ FC>AB+AC ，故要使FA+ FB+ FC 最小，须点F 与点A 重合.
/~ /~
图②
134
费马点
!.J..:
第20i井
所谓"费马点飞就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点.
对于一个各角都小于120。的三角形，"费马点"就是对各边的张角都是120。
的点;
对于一个有一个角大于或等于120。的三角形，"费马点"就是最大内角的顶点
通过旋转变换，把分散的条件集中，将问题转化到公理"两点之间，线段最
短"来解决，这是确定"费马点"的关键.
在1否
如图①，已知四个城市A ，B ，C ，D 的位置为正方形的四个顶点，现要建设高
速公路连结A ，B ，C ，D 四个城市，请你设计出最短的高速公路的线路图.
A
D
A I'~<
门"/?'I D
I
I
I
、、三ζ /
| I
I / /p"，- 、
B
C
B
C
图②
分析与解
如图②，连结AC ，BD 交于点p ，则PA + PC十PB + PD = AC
十BD 为最短.在正方形ABCD 内任取一点Q ，连结AQ ，BQ ，CQ ，DQ ，
.: AQ+CQ>AC,BQ+ DQ> BD,
λ AQ十BQ+CQ十DQ>AC+BD ，
故此时点P 为最佳位置.
若不计连接点的个数，有没有更短的线路呢?
如图③的连线较短.
A
AII':
JAD
I \E"'-O/ F/ I
B~
咀C
D
图①
方
法
、
思
维
、
向
用
之
先
图④
其实，我们可以一步步证明，图③的连接方法最短.
我们可以来比较一下，如图④，连接两条对角线，则交点。必为EF 的中点，这
由正方形的轴对称性可得，EF// AD// BC ，易得ζAEF = ζBEF = ζAEB = 1 20 0 ，
则点E 为6ABO 的" 费马点"，同理点F 为6DOC 的" 费马点"，且E ，O ，F 在同一直
线上，意味着这六条线段可以放在一条直线EF 上，由例l 可知AE+ OE+ BE<OA
+ OB ，同理，FD十FO+ FC<OD+α士，所以AE+OE+BE+FD+FO+ FC< BD+
AC ，所以，图③的连法比连接对角线更短.
135
C
图③
B
黄东坡@带…以(八年饭
当正方形改为正五边形、正六边形、长方形、等腰梯形时，怎样设计出这样
的线路图?
省工省料的蜂房结构、火箭的最佳发射时间、人造卫星
的最佳工作状态、节约下料、物资调度、仓库存储、投资组
合、金融策略、优选试验，精益求精是自然进化、人类发展的
一个永恒话题.
最优化一一人类智慧的结果.田忌赛马、华罗庚的优选
法、线性规划…… "多、快、好、省"是生产实践的"最优化"要
求，最优化理论构成了20 世纪数学发展的一个亮点.
优化是一种数学意识.在数量上刻画各种"最优"，是数
学研究的一个重要任务;充分发挥更大的效益，是最优化理
论的鲜明特色.
维纳Cl 89 4 - 1 9 64)
，美国著名数学家，提供了纯
数学和工程技术结合的典范，1 948 年出版的《控制
向数学之美探寻
论》是维纳荒山时代的著作.
维纳曾言"即使没有强烈的创造欲望.人们也
总是妥从已有的东西出发来进行新的创造，就我而
言. 最有用的资源乃是广泛持久的记忆力…… 万花
筒一般的自由想象力，这种想象力本身或多或少会
向我提供关于极其复杂的思维活动的一系列可能的
1见，点"
1. 如图，已知正方形ABCD 内一动点E 到A ，B ，C 三点的距离之和的最小值为
J2+J6，求此正方形的边长.
A
D
B
C
136
费马点~ ~
第20i并
2 . 如图，已知点P 是锐角6ABC 内的一个点，且使PA+ PB十PC 最小，试确定
定点P 的位置，并证明你的结论.
)
hhc
题
\
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飞
」
考
A
气
\
一
中
/
一
市
/
一
津
/
一
天
/
一
(4B
3. 如图，在一个圆形公园中建六个凉亭(即圆内接正六边形的六个顶点) ，在各
凉亭间修路，使任何两个亭子之间有通路，怎样设计才能使道路长度之和最短?
也
1.如图①，连结AC ，把6AEC 绕点C 按顺时针方向旋转60 0 ，得到6GFC ，
连结EF ，BG ，AG ，可知6EFC ，6AGC 都是等边三角形，则EF=CE.
又FG=AE ，:.AE+ BE+ CE= BE+ EF+ FG.
. .点B 、点G 为定点(点G 为点A 绕点C 旋转所得) ,
二线段BG 即为点E 到A ，B ，C 三点的距离之和的最小值，此时E ，F 两点
都在BG 上(如图②) .
__---:ltG
f _.... -- --ημf
AK:
,IY/
"... ..// t?'1
"
f、、'"
'" \ I ,
v;X\ l if
B 国二
=" C
G
卜
刀
法
.
思
维
、
应
用
之
五
图②
设正方形的边长为α，那么BO=ω=l!a ，GC=品，ω=孚a ，
2 -,- -
,--,--
2
B
图①
J2
, 16
'. BG= BO+ GO= V~~ a +v~v a.
2 -
, 2
137
.. 点E 到A ，B ，C 三点的距离之和的最小值为J2+币，
• J2
, 16
- τα+τα=J2十16 ，解得α =2 .
黄东坡@带…挝美(八银)
2. 如图①，分别以AC ，BC 为边向外作正L::，ACB' , L::,BCA' ，连结BB' ，AA '
交于点p ，则点P 即为所求.
事实上，易证L::，BCB'且L::，A'CA二〉ζB'BC=ζAA'C.
从而，ζBPA' =ζBCA'=60 0•
因为ζAPB'与ζBPA'为对顶角，所以ζAPB' =ζBPA'=60 0•
在PB'上截取PD=AP ，连结AD ，CP ，得L::，APD 为正三角形，易证L::，APC
旦L::，ADB'斗CP= B'D斗PA+PB+ PC= PD+ PB+ B'D= BB' (定值).
A
B
A
B
图①
图②
如图②，在6ABC 内任取一点M (不同于点P) ，连结MA ，MB ，MC ，以点
A 为旋转中心，将L::，AMC 按逆时针方向旋转
60 0 ，使AC 与AB' 重合，得
L::,AGB' ，贝~ L::，AGB'且L::，AMC=亨B'G = CM.
连结GM ，则L::，AGM 为正三角形，有MA=MG.
故MA十MB十MC=BM十MG十GB'>BB'.
因此，点P 到三个顶点A ，B ，C 的距离之和最短. (若以AB 为边向外作正
6 ABc' ，可得AA ' =BB'=Cc' . )
3. 挑选最有代表性的六幅图形(如图) ，设圆的半径为R ，经过计算、比较、
选择，可得出各幅图形中通路的长度分别为:
OOO@ 白。
、
、
j
-A
(
( 2 )
(3 )
( 4 )
(5)
( 6 )
(l)6R; (2)6R; (3)6R;
ω)如3 ×fh55盹
(5)2R+ 4 X1R~5 叫;
(6)9 X1R~5.1 96R
显然图(6)是最佳设计方案，在圆内四个连接点的张角都为120 0 ，就像在
圆内构建三个正三角形，在各个三角形内再构造"费马点"，这样用三个"人"字
形的结构取代六条半径，使总长度最短.
138
(ab) 结
构
•
心障李文花落在
20 世纪3 0 年代中期，一群法国青年数学家组成对现代数学影响深远的数学家
集团，史称"布尔巴基学派"，该学派提出"数学结构" 观念，把数学看作是研究结构
的学科，代数结构、序结构、拓扑结构是数学的三种母结构.布尔巴基学派的代表人
物有庞加;菜、韦伊、嘉当、边厄多内等.
结构，是指事物自身各种要素之间的相互关联和相互作用的方式，包括构成事
物要素的数量比例、排列次序、结合方式和因发展而引起的变化.
一些较复杂的数学问题，整体求解常较困难，但当问题包含若干形态结构相同
的部分，选取部分进行研究，见微知著，常能找到解决问题的突破口.
特别池，对几何图形性质进行有效设计为我们提供了一个观察猜想、类比探究
证明的数学环境，有利于培养合情推理与演绎推理的能力，有下面三种常见的呈现
方式.
(1)给出图形一种位直情形下性质的发现与证明过程，通过阅读、理解、运用，
类比迁移;
(2) 给定图形一种特殊或简单情形下的结论，通过自主探索解题方法，并感悟
类比研究变化后图形性质;
(3) 提供特殊图形相关结论，通过图形直换或变化条件，进行拓展研究.
边厄多内(1906- 1992) ，法国数学家，布
尔巴基学派创始人之一，研究领域广阔，出版
了数本著作. 世界各国的数学同僚们都说.倘
若当设初立了诺贝尔数学奖.他肯定会成为
该奖的获奖者.
139
时@…数町、年级
数学智慧讲堂
Lf2Ij_J)
计算:
(2 4 十2 2 + 1) (44 + 4 2 十1) W+6 2 十1) (84 + 8 2 十1) (104 + 10 2 十1)
(3 4 十3 2 + 1) (54 +5 2 十1) (74 + 72 + 1) (94 + 92 + 1) (114 + 112 + 1 ) .
( 青少年数学国际城市邀请赛试题)
·
分析与解
观察式子的结构特征，用字母表示数，从
一般情形考虑，通过分解因式，寻找复杂数值下隐含的规律.
观察发现原式每一项均可表示为
n4 + n2 + 1.
因为
n4 + n 2 +1= (η 2 + 1)2 -n2 = ( η2- n + 1) ( n2 + η 十
1),
又(n+ 1)2 -
(n十1) 十1=η2 十n + lC η = 1
，2 ，…，11 ) ，于
是分子与分母可逐项分解并相消，可得
《数学推理的音乐》
迪厄多内
22-2+1
3
112+ 11 + 1
133.
例2
已知实数a ，b ，c 满足abc=- l ，α + b + c = 4 ，-TJL一一+ 7JL一+
旷-3a- 1 ' b' -3b- 1
一
c一一=土，求α2 十b2 + C2 的值.
2-3c- 1
9
(全国初中数学联赛题)
·
分析与解
注意到一
a一一一一生一一一
c一一的结构相同，从分析一
α 2 一切- 1'b 2 -3b→l'c 2 -3c- 1
个分式切入.
'; a2 - 3a-1 =a2 -
3a+abc= α ( bc+α-3)=α (bc-b-c+ 1) =α ( b- 1) (c- 1) .
a
1
"a 2-3a- 1 •
(b- 1) (c 一1)'
140
结构ιJ
第21i并
c
1
同理可得τ一一一一=
一→一-一=
。2 -3b-1
Ca- l) (c- l) 'c2-3c- 1 Ca- l) Cb- l)'
1
1
1
4
(b- l) (c- 1) , (a - 1) ( c一1) ' (a - 1) (b - 1)
9 '
得专(α - 1) (b 川
1) = (a- l) + (b- l) + (c- l)
.: abc= - 1 ，a+ b十叫人ab十bc十ac=
士，
33
故a 2 十b2 +C2 = (α + b十C ) 2 一2(ab + bc 十a c ) = 言
例3
(1) 操伟发现
如图①，D 是等边l:，ABC 边BA 上的一动点(点D 与点B 不
重合) ，连结DC ，以DC 为边在BC 上方作等边l:，DCF ，连结AF，你能发现线段AF
与BD 之间的数量关系吗?并证明你发现的结论.
P←~二
157
F
B
C
EC
图①
图②
(2) 类比猜想
如图②，当动点D 运动至等边l:，ABC 边BA 的延长线上时，其
他作法与(1)相同，猜想、AF 与BD 在(1)中的结论是否仍然成立?
A _一节F
.1
/ ν...- I
DL
D户...-
\
1
k斗一一
/ 1 ..........._ \ I
//A \ \
/
1 一-一一岁C
~ ，//
~
B←寸一一-二.....-
-
Fγ/
飞
F'
B
C
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
图③
图④
(3) 深入探究
( i )如图③，当动点D 在等边l:，ABC 边BA 上运动时(点D 与
点B 不重合) ，连结DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边l:，DCF 和等边
l:，DCF' ，连结AF ，BF ，探究AF ，BF 与AB 有何数量关系?并证明你探究的
结论.
( ii )如图④，当动点D 在等边l:，ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与图
③相同，( i ) 中的结论是否成立? 若不成立，是否有新的结论? 并证明你得出的
结论.
(岳阳市中考题)
141
黄础@ 带…牡美(八级〕
'
分析与解
解决本例的关键是把握问题内部结构中"类似"、"相关" 、" 相
近"、" 因果"、" 对比"等因素. 细致分析初始问题，将后续问题与之类比，确定它们之
间的本质关联点.
(1) 易证l::，ACF毛主l::，BCD ，得AF= BD.
(2) 仍可证明l::，ACF三l::，BCD ，故AF=BD.
( 3) ( i ) 分别证明l::，ACF且l::，BCD 、l::，ACD旦l::，BCF' ,
得AF=BD ，AD=BF' ，故AB =AD+ BD= BF' +AF.
仆i )AB=AF- BF'.
类似于例3 的几何探究问题，将
问题中的某些元素，或通过运动，或
从特殊到一般，设计一系列的问题，
融入"多种角度认识问题、多种形式
表现问题、多种策略思考问题"等数
学活动，经历探究图形的形状、大
小、位置关系等变化过程.
142
对数学家而言，
更重要的往往是
数学中的"结构"
伟大的数学家格罗滕边克0928- 2 0 1 4 )
，于1966 年荣
获菲尔兹奖. 他的思想和工作对代数几何与数学的发展产
生了深远的影响. 为世人所称奇的还有他的离经叛逗.
1990 年7 月
. 格罗滕边克这位20 世纪代数几何学的..上
帝"消失在法国与西班牙交界的比利牛斯山. 成为没有国
籍的隐居者.
从1958 年起，边尼多内与格罗滕边克共同研究代数几
何，合著《代数几何基础)) .
格罗滕边克
1 9 2 8 年3 月
2 8 日生于德国柏林，19 4 7 年
因获得法国大学互助会奖学金而来到巴黎.
格罗月桌边克于2 0 14 年11 月
13
日辞世，法国总统奥朗
德在悼词中称赞他为"当代最伟大的数学家之一"，英国《每
日电讯报》在报告中坪价说
.. 他是二十世纪后半叶最伟大
的纯粹数学家.他的名字在数学家中所赢得的尊敬.就像爱
因斯坦的名字在物理学家中所赢得的尊敬一样崇高"
..
结构!J.õ
第21i井
("华杯赛"试题)
2 . 求满足等式a3 (α - 1) + b3 (b- 1) +C3 (c-1) =a(a-1) +b(b-1) + c(c-1 )
的三个整数a ，b ，c ，使它们的和最小.
(7 4 十64) (154 +64) (23 4 十64)(31 4 + 64)(39 4 +64)
. 计算，叫}
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
(全俄中学生奥赛试题)
3. 【探究发现】
如图，己知DABC 是等边三角形，
4
/
ζAEF=60 0 ，EF 交等边DABC 外角平分线CF 所在的
/ 1\
/
直线于点F. 当点E 是BC 的中点时，有AE=EF成立/
\/JF
【数学思考】
某数学兴趣小组在探究AE 与EF
B
E
C
的关系时，运用"从特殊到一般"的数学思想，通过验证得出如下结论:当点E 是直
线BC 上侣，C 除外)任意一点时(其他条件不变) ，结论AE=EF 仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员，请你从"点E 是线段BC 上的任意一点";"点E
是线段BC 延长线上的任意一点";"点E 是线段BC 反向延长线上的任意一点"三
种情况中，任选一种情况，在备用图(1)中画出图形，并证明AE= EF.
A
A
八八
B
C
B
C
备用图
( 1 )
备用图
(2)
143
黄东坡@…敏时(人相
【数学思考】
当点E 在钱段BC 的延长线上时，若CE=BC ，在备用图( 2) 中画
出图形，并运用上述结论求出S6ABC : S
L，AEF 的值.
(东营市中考题)
也
144
1. γ
a4 +64 = (a 2 +8)2 - C4a) 2 = (a2 -4a+8) (a 2 +句+8 )
=[a( α - 4) +8J[a(a+4) 十8J ，
原式=J3X7+8)(7Xll十8) (llX5+8) (l 5X19十8) … (35X39+8)(39 X43+8)
( 一1 X3+ ……_ _
I
~、，_
_
I
39X43+8
=一一一一一一=337 .
一1 X 3 十8
2. 将等式右端各项移到左端，并应用下式:
工3 (x-1) - x(x- 1) = (工3_ X)(X一1) =x(r - 1) (x- 1) =x(.T+ 1) (X- 1) 2 ,
得a( α十1) (α _ 1) 2 +b(b+ 1) (b- 1) 2 +C(C+ 1) (C- 1) 2 =0.
研究形如x(x + 1) (X- 1) 2 的表达式，其中z 是整数，注意到对于所有的
整数工，不等式x(x+ 1) ~O 成立，当且仅当x=-l 或工=0 时等号成立. 同样
不等式( X- 1) 2 二三0 ，当且仅当x= l 时等号成立.因此，对于所有的整数x ，不等
式x(x+ 1) (X- 1) 2 二三0成立，当且仅当工=-1，0 或工=1 时等号成立.
所以在等式a(a + 1) ( α 一1) 2 + b(b+ 1) (b- 1) 2 +C(C+ 1) (C 一1) 2 =0 中，
左端是非负数的各项之和，仅当各加项等于零时，它们的和等于零. 这样，只有
整数α ，b ，c 取值一1，1 或0 时，才有可能成立. 这三个数中，当a =b=c=-l
时，其和最小.
3. 【数学思考】
①第一种情况: 当点E 在
线段BC 上时.
证明:在AB 上取AG=CE ，连接EG ，如图
①，则6BEG 是等边三角形.
二ζAGE=120 0 ，而ζECF=120 0 ，
. ζAGE= ζ ECF.
.. ζAEC = ζAEF + ζ CEF= ζGAE+
B
A
/1
E C
图①
结掏tJ -.
第2H井
方
法
.
思
维
、
应
用
之
先
F
F
A
图③
图②
ζB ，ζAEF=ζB = 6 0 0 ，
λ ζGAE=ζCEF. 二DAGE三DECF C ASA).
:.AE= EF.
②第二种情况:当点E 在BC 的延长线
上时.
证明: 在CF 上取∞= CE ，连结EG ，如
图②.
.:CF 是等边DABC 的外角平分线，
. ζECF=60 0•
.. α=CE ，二DCEG 是等边三角形.
λ ζFGE= ζACE= 12 0 0 •
.. ζAEF=ζAEG+ζGEF=ζAEG+ζAEC=60 0 ，
二ζGEF= ζ CEA.
λ DACE旦D FGE(ASA).
:.AE=EF.
③第三种情况: 当点E 在BC 的反向延长线上.
证明:在AB 的延长线上取AG = CE ，连结EG ，
如图③，则有BG= BE ，
:. DBEG 是等边三角形.
λ ζG=ζECF=60 0•
.. ζ CEF= ζAEF一ζAEC= 60。一ζAEC ，
λ ζEAB = ζABC- L_乙AEC=60 。一ζAEC ，
.. ζCEF=ζ EAB.
:. DAGE豆DECF(ASA).
:.AE=EF.
【拓展应用】
正确画出图形，如图④.
.:CE= BC= AC,
.. ζ CAE= ζ CEA = 30 0 ，ζBAE= 90 0 •
B
B
AB
__0 J 3
一一=tan30 " = 工二
. AE
.:AE= EF ，ζAEF= 60 0 ，
:. DAEF 是等边三角形.
:. DAEFωDABC.
145
图④
告= (结f =(于f=~
(但画: 海伦三角形
、、!咱~吃
6夕慢区学文化巡礼
海伦，古希腊数学家、测量学家和工程师.在数学史
上，他以出色地解决几何测量问题而闻名，曾提出不少计
算图形面积和体积的精确或近似公式，其中包括著名的已
知三角形三边求三角形面积的海伦公式:
设三角形三边长分别为α ，b ，c ，则其面积为
+b+
S= "fp( ρ -a)( ρ -b)( ρ -c) ，其中ρ= 一
2 一.
我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中记
述了"三斜求和、术"，即已知三角形的三边长，求它的面积，
用现代式子表示即为
S=~ ~ [a2 b2 一(ι俨ζ fJ
《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学
的高峰，在世界数学史上拥有崇高的地位，当欧洲还处在漫长的黑暗中世纪时，中
国人的创造己如旭日在东方发出万丈光芒.秦九韶在《数书九章》的序言中说"数
学大则可以通神明，J惯性命;小则可以经世务，类万物"
146
二飞.
,
秦九韶(1 208- 126 1)的代表作是《数书
九章)) ，他对"大衍求一术"和"正负开方术"的
研究，取得卓越的成采，美国科学史家萨顿
说
.. 秦九韶是他那个民族，那个时代，并且确
实也是所有时代最伟大的数学家之一"
海伦三角形C3
第22 讲
已知一个三角形的三边长分别为J2，;1言，，jI7，求此三角形面积.
("希望杯"邀请赛试题)
分析与解
利用求三角形面积的海伦公式可解，而运用n丰百的几何意
义可使问题获得简解.
. p=/_E十/13+;1于;1"3+ ;1于J2
2
,p-a=
2
;
•
解法一
P - b=J2
JF 厅
d+JFd于
b
v -
~r.'"
v
~. ，ρ -C=
. ρ( 户一α)(ρ -b)( ρ -C)
_J2+/13+，jI7，//13十刁于-J2 ，/J2- ITI+ 刁于
J2+/13-;1于
一(/2十/13)2_( ，jI7) 2 v (叮于)2_( /13_J2)2
4
、
4
且
2
且
2
:. S= 仆(ρ 山川
d=?
解法二
如图①，在L:.ABC 中
，AB= J2，AC= ;1言，
A
Bc= ;1宁，作AD上BC 于点D ，设BD= 工，由(/2) 2_X2 =
/ i ~
3 ,jI7
/
L
~
(/13)2 一(刁于_X)2 得户丁了'
B/
T
~ c
图①
d
一η
f
d
l
l
川
V
D
A
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
;rzÌ"l l
IF
F斗、l c
147
图②
1
，，5
v' 17
厅t
SLlABC= ~ BC X AD= 一X
v
_v.二':' X 、17=τ
2 ., 17 .'. ~
，
白
解法三
如图②，构造单位长度为1 的正方形网格.
则SLIABC= S长方形OCCF - S LlABD - S LlBEC -
SμIFC
=2X4一~ X 1 X 1 一÷ × 1 × 4
÷ × 3 × 2
5
2 .
黄东坡@…敛叫人银)
例2
(1) 三边长为连续整数的直角三角形存在吗?如果存在，有多少个?
(2) 三边长为连续整数的钝角三角形存在吗?如果存在，有多少个?
(3) 三边长为连续整数的锐角三角形存在吗?如果存在，有多少个?
'
分析与解
问题的解决立足于下面的基本结论:
设l:，.ABC 的三边长为a ，b ，c ，那么:
①若l:，.ABC 为直角三角形，c 为斜边，则♂=α2 十b2 ;
②若l:，.ABC 为钝角三角形，c 为钝角的对边，则♂>a2 +b2 ;
③若l:，.ABC 为锐角三角形，c 为最大边，则♂<a2 +氏
设三边长分别为x-1 ，x ，x十l，x 为大于1 的整数.
(1)由CX+ 1) 2=X2 十Cx- 1) 2 得x= 4 ，其三边长为
3 ，4 ，5 ，
这表明三边长为连续整数的直角三角形有且只有一个.
((x+ 1)2>X2 + CX- 1) 2 ,
(2) 由
1
得x=3 ，其三边长为
2 ，3 ，4 .
lx+(x- 1)>x+ 1
这表明三边长为连续整数的钝角三角形有且只有一个.
( (x十1) 2<X2 + Cx- 1) 2
，
(3) 由~
, - -
-
,
- ~-~
: -~得x> 4 .
lx+(x- 1)>x+ 1
这表明三边长为连续整数的锐角三角形有无数个，只要令z 为大于4 的整数.
随着数学竞赛的发展，它已逐渐形成了一门独特的数
学学科
竞赛数学，也可称为奥林匹克数学.
数学竞赛是提升智慧的素质教育，著名数学家华罗庚
说"数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力、培养拔夫人
才，是一件具有战略意义的活动"
'W1J]) 三边长为连续整数且面积也为整数的三角形叫海伦三角形，海伦三角形存
在吗?若存在，有多少个?
·
分析与解
数学家们已发现，在锐角三角形中有无限多个海伦三角形，理
由如下:
设l:，.ABC 的三边长为连续整数x - 1 ，x ，x十1.由海伦公式有
S=J?(?+ l)- f -( ? 一1) ,
148
:每伦三角形!:ú
第22 讲
5= ~J{ (号f-lJ
①，5 是整数，所以z 是偶数，
设工=2m(m 是正整数)
，则5 = m v'3百亡1) .
由于S 是整数，(mZ →1)必有因数3 ，设时一1=3η2 (η 是正整数) ,
m2 -3 η 2 =1
②，
则5=3mn
③.
于是问题变为寻求②式的正整数解，再由①，③便可以得到海伦三角形的三边
长和面积.
由②有( m+J3n) (m-J3n) = 1
(
,
④式的最小正整数解为m=2 ，η=1
，
此时可得x=2m=4 ，α =x-1=3 ，b=x=4 ，c= x+ 1=5 ，5=3mn=6 ，这是一个
海伦三角形.
由(2+，，13) (2 -J言)=1，得(2+，，13)' • (2 -J3)'= l( r 是整数)
但(2+，，13)1 =2 十J3=ml + nl • J3(ml =2 ,nl =1，是正整数) ;
(2+J3) Z = (2+J3)(ml + nl . J3)=mz+nz . J3( 其中mz =2ml +3nl ,nz =ml
+ 2矶，也是正整数) ;
(2 + ,,13)3 = (2 +存) (mz 十η z • J言)=叫+ n 3 • J3(其中叫= 2mz 十3屿，η3=mZ
十2码，也是正整数) ; ...
如此递推下去，发现(2+♂)'=(2 十♂) (mr一l+ n广1 • J3)=mr 十几
• J3(mr=
2mr- l +3η r- l ,nr= mr- l + 2nr- l) ;
即有(2+J3)r=mr + nr • ,,13
( .
同理有(2-J3)'=mr-nr
• ,,13
( .
其中m l =2 ，η1= 1 ，且当
r注2 时
，mr =2mr- l +3nr- l ，nr= mr一1 + 2n r一1
.
由⑤×⑦，并根据⑤式，得
(mr +nr J3)(mr -nrJ3) =1 ，或m; -3n; =1
等式⑧说明(饵，ηr) 是二元方程②的整数解，
rml =2 ,nl = 1,
且~ mr =2mr一l 十3η川(r二三2)
，
lnr=mr- l + 2nr--l (r二三2) .
( .
( .
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
ml =2 ,
η 1= 1
，
mr = 2mr一1 +3 nr一l( r注2)
，
ηr= my一1 +2 n r一1 (r二三2)
，
xr =2mr (r二三1)，
5r =3m月r (r二三1) .
于是得海伦三角形的计算公式
:
149
时@ 带你发脚放(八年级)
顺序取r=1 ，2 ，3 ，4 ，可得如下表所示的4 个海伦三角形.
m,.=2m,.-1 +3nr-1
r
nr =Tn,----I + 2nr-1
1
ml=2
nl=l
2
m2=7
n2=4
3
m3=26
n3= 15
4
m4=97
n4 =56
x r =2m,.
5r =3m,.nr
a,b,c
xI=4
5 1 =6
3,4,5
x2=14
52 =84
13,14,15
x3=52
53 =1170
51,52,53
X4 =194
54 =16296
193,194,195
美国网络科普作家安萨曾提出
: 人类最
伟大的十大科学发现中，第一项就是勾股定
理. 从勾股图出友，通过迭代可得到枝繁叶
茂、栩栩如生的勾股树.
勾股定理是数学中的一颗明珠，它揭示了直角三角形三边之间的关系，体现了
数形结合的思想，在数学发展中起着重要的作用.
著名科学思想史专家波普尔曾说"知识的增长，永远始于问题，终于问题
愈深化的问题，愈能启发大量的新问题"
借助勾股定理，古希腊与中国两大文明古国发现了计算三角形面积的一种公
式，并提出解决了整数三角形的若干问题.
美国著名数学教育家波利亚曾向人们提出一个饶有趣味的问题:
"一个三角形有6 个基本元素
3 条边和3 个角，能否找到这样不全等的两
个三角形，第一个三角形的5 个基本元素与第二个三角形的5 个基本元素分别(不
是"对应")相等"
这样一对三角形是否存在?若存在，怎样找到?若不存在，如何证明?
150
海伦三角形。
第22 讲
1994 年. 英国数学家安德鲁
· 怀尔斯证
明了费马大定理，被誉为20 世纪最伟大的数
学成就.
满足不定方程x2 +l =泛的每一组正整数解都是勾股数组，且有无数组正
整数解.
1 7 世纪费马在一本书的页边上批注说"当n>2 时，xn 十yn = zn 没有正整
数解
"史称"费马大定理"
从勾股数组到费马大定理，只不过是将问题换一个角度，却提出了一个影
响深远的问题.
向数学三5美探寻
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
151
1. 定义:三边长和面积都是整数的三角形称为"整数三角形"数学学习小组的
同学从32 根等长的火柴棒(每根长度记1 个单位)中取出若干根，首尾依次相接组
成三角形，进行探究活动.
小亮用12 根火柴棒摆成如图所示的"整数三角形";
小颖分别用24 根和30 根火柴棒摆出直角"整数三角形";
小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰"整数三
角形"
(1)请你画出小颖和小辉摆出的"整数三角形"的示意图;
(2)你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出"整数三角形"?如果能，请画
出示意图; 如果不能，请说明理由.
( i )摆出等边"整数三角形";
( ii )摆出一个非特殊(既非直角三角形，也非等腰三角形)"整数三角形"
2. 油画中的数学
( 宁德市中考题)
俄国著名画家格丹诺夫
· 别尔斯基有一幅名为《难题》的油画. 画面上的主人
公是一位戴眼镜的小学教师，站在一块黑板旁边，黑板上面写着一道计算题:
102+ 112 + 1 2 2 十13 2 + 142
365
= ?这幅画引起了人们的好奇和关注，画中的人物和计
算题使得此画名气大增.
4飞
黄东坡@ 叫放时(叫)
画中的教师叫拉钦斯基，原本是一名待遇优厚的大学教授，却志愿去农村当一
名默默无闻的小学教师，给贫穷家庭的儿童做启蒙工作，他高尚的品德、渊博的学
识赢得了人们的尊重.画中的题目也很有意思，若能联想到了+4 2 =5 2
，则好奇心悄
然而至，是否有更一般的数学秘密隐藏其中?
3. 在L:，ABC 中，BC= α ，AC=b ，AB=c ，若ζC=90 0 ，如图①，根据句股定理，则
a2 +扩=c2 • 若L:，ABC 不是直角三角形，如图②、③，请你类比句股定理，试猜想、a 2 +
b2 与c2 的关系，并证明你的结论.
A
A
A
b
C
b
C
B
C
。
也
C
α
B
G
图①
图②
图③
4. 边长为连续的自然数且周长不超过2010 的锐角三角形有多少个?
(世界数学团体锦标赛试题)
152
第22 讲
海伦三角形t飞
也
l 锦答案
1. (1)小颖摆出如图①所示的"整数三角形"
8
6
y个大
12
13
10/
~ O
:8
12
图②
6
5
图①
小辉摆出如图②所示的三个不同的等腰"整数三角形"
(2) ( i )不能摆出等边"整数三角形"，理由略.
( ii )摆出如图③所示的一个非特殊"整数三角形"
2. 这引起了美国科普大师加德纳的兴趣，他开始琢
磨: 如何用一串连续自然数的平方和构造等式?其中
12
有没有规律?
那么是否存在七个连续正整数，前四个数的平方和
恰等于后三个数的平方和? 为了找出这七个数，不妨设
L
中间数(即第4 个数)为工，则前四个数依次为x-3 ，x
图③
2 ，工一1，工;后三个数依次为x + 1 ，x+2 ，x+3 .
如果( X-3)2+( 工
2) 2 十(X - 1) 2 十工2= ( 工+1) 2+ (x+2) 2+ (x+3) 2
，
则C x十3)2 一CX-3)2 + (X + 2) 2 一(工二2) 2+( X+ 1) 2 一(x 一1) 2_ X2 =0 ，
4(3x+ 2x+ x) - x 1 =0 ，即24x-x2 =0 .
因为工>0 ，故工=24 ，于是有21 2 十22 2 +232 +242 =25 2 十26 2 +272.
由此获得启发，相信存在九个连续正整数，前五个数的平方和等于后四个
数的平方和.设这九个连续数的中间数为工，
则(X -4)2 十(X-3)2 十(X-2 ) 2 十( x- 1) 2 + x 2 = (x+l) 2 + (x 十2 ) 2 十(工
十3)2 + (x十4) 2 .
利用乘法公式(a十的2 -(a-b) 2 =4础，有
4(4x十3x + 2x十x)-x2 =0 ，即40x-x2 =0. 因为x>O ，故x=40 ，故有
362 + 372 + 382 + 39 2 十40 2 =412 +4 2 2 十43 2 +442.
据此规律，有2n+l 个连续正整数，则前n十l 个数的平方和等于后n 个数
N
山
.
川
心
耐
川
、h
M
川
之
队
U
U
A
153
时@ 带…牧美(八级)
154
的平方和.
设这2n+ 1 个连续正整数的中间数为x ，则前n十1 个数依次为工- n ，x- n
+ l，x-n +2 ，…
，x一1，工; 后η 个数依次为工+ l，x+2 ，…
，x+ η.
如果Cx - n) 2 +Cx-n+ 1) 2 +Cx-n+2)2 + … 十Cx- 1) 2 十X2 =C X+ 1) 2+
CX+2) 2+ … +Cx+ η) 2 ，移项，有
Cx十n)2 -
Cx-n) 2 十Cx-n- 1) 2 -
Cx
η+ 1) 2+ … +CX+ 1) 2_Cx- 1) 2
-x2 =0 ,
即4[ nx十Cn- 1) x+ … +xJ-x2 =0 ，亦即2ηCn + 1)x- X2 =0.
因为x>O ，所以x=2 nC η十1).
这样就解决了这一研究课题.
_ "".<'号> . <> . <> . <> . <> . <> . <号> . <> . <> . <号> . <> . <> . <> . 9 . 9 . <> . <> . <> . ~日斗> . <> . <> . <> . <> . <> . <> . <> . <> . <> . "，
J
有趣的数字金字塔:
十
~
n=1
32+42=52
.iJ.
"-j_
ù
I '"t -._,
Y
牛
η=2
102+ 112+ 122=132+ 142
V
i
11=3
21 2 十2 2 2 +232 +242 =25 2 十26 2 +272
Y
;
η=4
仙3叫8 2 十3种←4川22+4归442;
i
n=5 552+562+572+582+592+602=612+ 622+632+642+ 652 ~
!
存在C2k+川连续的正整数，使得其中较小的k + 1 个数的平方
;
牛
和等于较大的企个数的平方和.~
;
EF 创+走向C2k 2 + 走+川
+创+2k) 2 = C2扣2k+ 1) 2 十
;
.iJ.
C2走2 +2k+2) 2+ … + C2扩+3走) 2 .
C 其中走为正整数)
~.
!1
I1.+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ ·+ -4>· <> ·+ ·+ ·+f
3 . 猜想对于图②，a2 + b2 >c2
; 对于图③，a2 + b2 <c2 .
证明:如图，过点B 作BD l_ AC 于点D ，设CD=
A
工，则AD=b -x ，由句股定理得
c2 一Cb- X)2 =BY ,a2
-x2=Blj ,
:. c2 - Cb- X)2 =a2 -
X2
，即♂- b2 + 2bx- X2 =a2
2
工
，
化简得a 2 + b2 -
C2 = 2bx> 0 ，二α 2 + b2>C2 .
对于图③，同理可证明a2 + b2 <c2 .
4. 设三角形三边的长分别为η - l，n ，n + l，则
(( n一1) + η +C什1) ζ2肌
Cn- 1) + n> n+ 1,
解得2<ηζ670 .
C
x
b
D
、
、、
、
α
、
、
、、
C
、
、
、
、
其中，锐角三角形三边的长还要满足Cn- 1) 2 + 对>Cn+ 1) 2 ，解得η>4.
λ 4< nζ6 70 ，从而知这样的锐角三角形有66 6 个.
8
院酶，) 弦图
•
区》撒掌文化巡
勾股定理是最古老和影响最广泛的定理，四千多年前的巳比伦人已经知道它，
三千多年前中国周代人商高了解它，两千多年前的古希腊数学家毕达哥拉斯证明
了它.
悠悠千载，时光流转，人们对勾股定理的兴趣不曾更改.时至今日，它的证明方
法己多达400 种，有数学家的聪明才智，艺术家的神来之笔，政治家的奇思妙想.
在400 多种的证明方法中，古代中国
11
数学家的经典证明，充分彰显了中国智慧.
如图，我国汉代数学家赵爽为了证明
勾股定理，创制了一幅"弦图"
赵爽的这个无字证明简洁而极富创
意，他用几何图形的截、割、拼、补来证明代
川二
数恒等式，严密又直观，为中国古代"形数
统一"、代数和几何紧密结合的独特风格树
立了一个典范，更具有科学创新的重大意义.2002 年，在我国举行的国际数学家大
会，选用的会徽就是"赵爽弦图"
赵爽是我国三国时期吴国著名的数学
家. 他曾为《周静算经》作泣，其中有一篇《勾
股困方图注>) ，总结了我国东汉以来勾股算术
的重要成果，在世界上最早给出并证明了有
关直角三角形勾、股、弦三边及其和、差关系
的二十多个命题，并在《勾股困方图注》中推
导出了二次方程的求根公式.
155
黄东坡
带你发现数学之美(八年级)
如图，赵爽弦图是以四个全等的直角三角形拼成一个正方形，
由弦图可得:
(1)小正方形边长为两直角边之差α-b;
(2) 大正方形与小正方形的中心重合.
弦图的结构特征是解相关问题的基础.
数学智慧讲堂
例1
我国汉代数学家赵爽为了证明句股定理，创制了一幅"弦图"，后人称其为
"赵爽弦图"，如图①.图②由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而
成. 记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为乱，52
，53 ,
若5] 十52 +53 =10 ，则52 =
弦图
~
朱
味
实
实中弦
六v
黄写E
黄\般四实
实
1'-.. 勾一
司在五卜、
图①
弦
实
A
D
B
图②
(温州市中考题)
C
·
分析与解
解题的关键在于理解如何拼接成"弦图"，并运用弦图中隐含的
结论寻找新的等量关系.设直角三角形的两直角边分别为α ，b(b>α) .
156
解法一
.: 5] =(α+ b) 2 ,52 =a2 +b2 ,53 = (b- a)2 ,
λ (α+b)2+<α2 + b2 )+ (b- a) 2 = 10 ,
?
,
. ?
10
得a2 + b2 = 亏
10
即52 =τ
解法二
.: 51 - 52 = 4 X ~叫2
53 = 4 × ÷αb ，
:.5] - 52 = 52 - 53 ' 即252 = 5] 十53 = 10-52,
5, = 1~0
二-
2
3 .
弦圄U
第23 讲
例2
如图，以RtL"BCA 的斜边BC 为一边在L"BCA 的同侧
作正方形BCEF ，设正方形的中心为0，连结AO ，如果AB=4 ，
AO=6 J2，那么AC 的长为
人12
B. 16
D. sJ2
C. 4 ♂
(浙江省竞赛题)
·
分析与解
AO ，AB ，AC 不在同一个三角形中，通过作辅助线，使分散的条
件集中到同一个三角形中，或凸现线段之间的关系.
解法一
如图①，在AC 上取一点C ，使CG=AB=4 ，连结CG，则ζα:x;=ζOBA
γ OB = α2 ，ζα:::C= ζ OBA ，AB=CC ，
λ A∞CS2 L"OAB ，二(茹=OA=6 J言，ζAαJ= ζ BC汇=90 0
•
从而知L"Aα2 为等腰直角三角形，AC=J20A = 12.
:.AC=12+4=16.
故选B.
C
C
E
E
图②
解法二
如图②，构造"弦图"，则点。也是小正方形的中心，OA 的长为小正方
形对角线长的一半.
λ AK =J20A =J2 X 6 J2 = 12 ,
':CK=AB , :.AC=AK + KC=12 十4= 16.
故选B.
图①
，..) "学~他小丛书
千古第一定理
-一句阻~II
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
157
与正方形相关问题中
. 若有一边为斜边
的直角三角形，则不妨构造弦图，借助弦图
.
常能使问题获得简解、巧解.
时@ …敛牡美(八年级)
理})
如图，在边长为10 的正方形ABCD 中，内接有六个
大小相同的正方形，点P ，Q ，M ，N 是落在大正方形边上的
N
小正方形的顶点，求每个小正方形的面积.
(北京市竞赛题)
A
·
分析与解
如图构造"弦图"，设图中所有全等直角
ρ
三角形的长直角边长为
α ，短直角边长为
b ，可得
{~α+归0，口'
解得
α =10 ，
lb= l. 2,
则每个小正方形的面积为a 2+b2 =5. 44.
A
C
P
C
i虽
如图，在l:，ABC 中，AB=AC ，ζBAC=90 0 ，BD 是中线，
AE_L BD 于点F ，AF 交BC 于点E. 求ìiE: BE二2CE.
(河北省竞赛题) A大
CE
1
、二
分析与解
即要证明BE
言，通过作平行线，定用比例线段有不同证法，如图:
A
A
/尘"~R
/'
.L.............r"飞
A飞A飞
/
__...-飞\、
B
E \7C
/~飞、、、
B
E
C
G
构造弦图，陈题新证.
如图，把等腰Rtl:，ABC 补全为正方形ABNC.
.: AE_LBD , :. Rt l:，AFB 是以正方形ABNC 一边AB
为斜边.
.. 可作赵爽弦图.
':D 为AC 的中点，λ P ，R ，Q 分别为CN ，NB ，BA 的
中点.
在
l:，CMN 中
，PE // NM ，P 为CN 的中点，从而CE
=EM.
A
B
在l:，BAE 中
，QM//AE ，Q 是BA 的中点，又有BM= ME. :.BE=2CE.
158
第23i井
弦国U
赵央弦图证法的巧妙在于其独特的逻辑起，点、构图方
法，故蕴含着灵活割补、截拼图形、为我所用的思想方法.
外星人是否存在?
1977 年美国发射旨在寻找地球外
文明的"旅行者
1 号"探测器，在征集所携带的礼物时. 我国
著名数学家华罗庚教授曾建议带上用以表示..勾股定理"
的简单、明快的主生形图.
向数字之美探寻
1. 如图①，是用四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图
案，设x ，y 表示直角三角形的两直角边(x>y).
(1)若大正方形面积为49 ，小正方形面积为4 ，下列四个说法:
( x 2+i=49 ;( x-y=2 ;( 2xy+4=49 ;( x+y= 13.
其中正确的说法是
. (填序号)
(2) 如图②，若x=6 ，y=5 ，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延
长1 倍，得到"数学风车"，则这个风车的外围周长为一一一一一·
(河南省中考题)
i川
图①图②
2. 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣. 1995 年希腊发行了一枚
以勾股图为背景的邮票. 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形
构成，它可以验证勾股定理.在如图所示的句股图中，已知ζACB =90 0 ，ζ BAC =
30 0
，AB=4. 作6PQR 使得ζR=90 0 ，点H 在边QR 上，点D ，E 在边PR 上，点G ，F
在边PQ 上，那么6PQR 的周长等于一一一一一·
H
P
(温州市中考题)
方
法
、
思
维
.
应
用
之
先
R D
159
黄东坡
ZW勇斗普f尔发现数学之美( 八年级)
3. 长方形ABCD 中嵌入了如图所示的5 个相同的正方形和一个三角形，E ，F ，
G ，H 分别在长方形的边AB ，BC ，CD 和DA 上.已知AB = 22 米，BC = 2 0 米，求嵌
入的图形总面积.
H
A
E
B
F
C
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
4. 阅读下面的材料:
小明遇到这样一个问题:如图①，在边长为a (a> 2) 的正方形ABCD 各边上分
别截取AE = BF = CG = DH = l ，当ζAFQ = ζ BGM= ζ CHN = ζ DEP = 4 5 0 时，
求正方形MNPQ 的面积.
小明发现，分别延长QE ，MF ，NG ，PH 交FA
，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，
S ，T ，W ，可得DRQF ，D SMG ，D TNH ，DWPE ，是四个全等的等腰直角三角形(如
图②).请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠) ，则这
个新正方形的边长为
(2) 求正方形MNPQ 的面积.
参考小明思考问题的方法，解决问题:
(3) 如图③，在等边DABC 各边上分别截取AD = BE= CF ，再分别过点D ，E ，F
作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边DRPQ 若S^RPO =字，则AD=
A E
D
F~似H
B
G C
图①
160
一
二
一-
R
p、!\F
n
ι 7 W
'H
‘ T
图②
(北京市中考题)
图③
第23i井
弦圄j
→
摞
-
钙
'
功
1. (1)(((
(2)76
2.27+ 13)3
3. 如图，可以将每个正方形依长方形的长与宽的
A
方向构造成"弦图"，显然，所有的直角三角形都相同.
设它的直角边分别为a 与b ，
H
r 3a+ b=20 ,
由图可知，
~ =-- : ~ . - ~ ~ 解得α = 6 ，b=2 .
l3a+ 2b=22 ,
每个正方形的面积等于α2 十b2 = 36 + 4 = 40( 平方
米) ，而其中三角形面积为正方形的一半，为
20 平
B
方米.
E
D
G
F
C
综上所述，嵌入图形的总面积是40 X 5+20= 220(平方米) .
4 . 本例源于勾股正方形模型，对于(1 )(2) ，把勾股定理的证明思路迁移过
来，由出入相补原理求面积;对于( 3) ，类比(1)的操作方法.
(1) .: AR= AE= BF= B5= …= DW,
:. 5正方形Ð'GH = 5正方形AHCD =a2 •
R
'(W)
川I叫阿=也ZR=4 ×÷ × 1 × l=2
(3) 如图，可证明L:，MRF旦L:，DPN旦L:，QEK ，这三
个等腰三角形拼成边长为a 的等边三角形，56MNK = 56 AHC •
~..，)3
~ "
1
，， A '"'? ",)3
又5^用。=35MDM ，1导巳=3 X 一X AIJ X"-.二，:. AD=
~
6 11<.l..!
V~6AVM 'I ' J 3
\J ~ , 2
M
(\A
M(D)
B
/ ~~~~E
C
K
N
方
法
、
思
维
、
成
川
之
夹
161
('aJj 几何直观
-.
6?障辛茹砸在
这是19 世纪法国数学家柳卡在一次数学会议上提出的问题:假设每天中午，
某航运公司有一艘轮船从巴黎的外港
勒阿佛尔开往纽约，在每天的同一时间
也有该公司的一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔港.轮船在横渡大西洋途中所花时间
正好是七天七夜，并且假设在全部航程中轮船都是匀速行驶的，轮船在大西洋上按
照一定航线航行，在近距离内彼此可以看到.那么，当某天中午从勒阿佛尔港开出
去的船A 到达纽约时，将会遇到多少艘同一公司的轮船从对面开来(包括在港口相
遇的情形) ?
这个问题难倒了包括柳卡在内的所有人，后来有位数学家通过下面的图解法，
才使问题完美解决.
法国勒阿佛尔
o 1 2 3 4
直观就是借助于经验、观察或类比联想，所产生的对事物关系的直接感知与认
识; 是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对
本质的认识.
几何直观!'lf 用图形描述问题、分析问题、整体把握问题，突出地表现为撇开枝
枝节节，敏锐洞察问题核心，直达问题的关键.
162
几何直观C3
第24 讲
希尔伯特在其名著《直观几何》中写道:
"图形可以帮助我们发现、描述研究的问题;
可以帮助我们寻找解决问题的思路;可以帮
助我们理解和记忆得到的结果"
数学智慧讲堂
在6ABC 中，础，BC ，AC 三边的长分别为布，v'l百，v'l言，求这个三角形的
面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为
1)，再在网格中画出格点6ABC( 即6ABC 的三个顶点都在小正方形的顶点处) ，如
图①所示，这样不需求6ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.
(1)请你将6ABC 的面积直接填写在横线上:
思维拓展
(2) 我们把上述求6ABC 面积的方法叫做构图法，若6ABC 三边的长分别为
J5a ,2J2a , /f7α(α>0) ，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a) 画出
相应的6ABC ，并求出它的面积.
探索创新
'IJ 1
(3) 若6ABC 三边的长分别为R丰1百2，~中百，2 -/歹丐2 (m >0 ，
n>O ，且m手时，试运用构图法求出这个三角形的面积.
(成宁市中考题)
A
J [\
V
81---卜\ 二达Ic
方
法
、
思
维
‘
应
用
之
先
图②
图①
3
7
(l )S^ A旷=3X3- 1 -3
一=一
凸A且
2
2 '
(2) v'l飞可看作两直角边为知和α 的直角三角形的斜边，J5a 和2 J2a 类似-
6ABC 如图③所示(位置不唯一) ,
163
分析与解
•
时@ 带你发现敛时(八年级)
l
S6ABC 二2α X 4a- :2 X a X 2a 一
X 2α X 2α 一
× αX4α =3a z .
2
(3) 构造6ABC 如图④所示.
l
S6ABC =3m X4n- 2 X m X4 n 一
X 3mX2n
一X 2m X 2η =5mn.
2
4n
f'
A
/
ν/ \
BI--民~ h、~止运
|A一斗一一←一í7l ~
3m l"--J
I X
I
|俨\↓/' I
I
B
图③
C
图④
r1.<r> . <r> . <r> . <r> . <r> . <r> . <r> . <r> . <r> . ~日<r> . '令. <r> .9 . <r> . <r> .~日<r>.<r> . <r> . ?<r>.<r> . <r> . <r> . <r> . <r> . <r> . <r> . <r>咛> . <r> . '>l. .
牛
构造图形解题，本质是代数语言向图形语言的转换，需熟悉下列基本代数今
; 关系式的几何意义:
? +
十
(1 )c = Fa丐1} ;
(2) 主=if
+
b d'
f
j
r丁、
AGb
j
;ω= 品;
阳+bd=Ef·;
j
冈
:
牛
a
b
"--一./
y
'>l.. <r>. <r>. <r>.<r>. <r>.<r>. <r>.<r>. <r>. <r>.<r>. <r>.<r>. <r> .令. <r> .9 .9 . <r> . <r> .令. <r> .<r>.<r>. <r> . <r> .令. <r> . <r> . <r> .令. <r>.r1
例2
已知正数a ，b ，c ，m ，n ，p 满足α + m=b + n=c + ρ= 走，求证:
an + bp 十cm
〈走Z
( 全苏奥林匹克试题)
·
分析与解
若用常见的不等式证明方法证明
，则困难
较大，将问题抽象分析转化为图形
n
由α + m=b+n=c + ρ = 走不难想到，能否构造一个正方形
b
边长为走，则面积为走Z 在正方形中，分别构造出以a ，l1 ;b ，p 和
c ，m 为长和宽的小矩形，其面积关系就明于右图中.
164
。
C
n
b
几何直观色l '
第24i井
因为α + m = b+ n =c十ρ = 走，所以构造一个正方形ABCD ，使边长为走，
显然有an +印+cm<扩成立.
已知a ，b ，c ，d>O ，求证:
vla可7J+ Jb2丰7+fc可歹+Jcl中歹兑f2 ( α
例3
+ b+c+d).
由，j2(a+ b +d- d ) 想到边长为(α + b +c+ d ) 的正方形对角线
的长-
E证明】
以b 和a
，c 和b ，c 和d
，d 和α 为边长分别作4 个矩形，再将这4 个矩
形放置于边长为( α十b+c+ d ) 的正方形中，如图各小矩形的对角线的长分别是:
d
分析与解
•
几何直观的培养关键在
于积淀代数、统计、概率等表
达方式及其图形表示;建立
图形模型与其他数学模型之
间的等价关系.
G
d可万，/i;可7 ，fc可歹，Jcl可歹，
而以( α + b +c+ d) 为边长的正方形的对角线长为，j2 (计b+c十d ) ,
由于两点之间线段最短，
所以R丰7J+Æl丰7十R丰d2 十n丰7l兑f2 (α 十b+c+ d) ，当a= b =c
= d 时等号成立.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
165
希尔伯特( 1862 -- 19~3) ，德国著名数学
家.在积分方程、变分法、j乏函分析、理论物理
等许多领域做出了杰出的贡献.
1900 年8 月. 第二届国际数学家大会在
巴黎举行.这一天，希尔伯特作了影响整个世
纪数学进程的精彩演讲.
黄东坡
JrI1 f尔发现敛学之美(八年级)
求♂τZ十、102一工) 2 + 9 的最小值.
·
分析与解
注意到8丰4=8丰22 ，! 02-X)2+9= ! 02-X) 2 十32
，
联想到勾股定理，于是可通过构图法巧解.
由于是求最小值，故不妨设工注O .
如图所示，作线段AB=12 ，
在线段AB 上任取一点p ，设AP= 工，则BP=12-x.
作RtD.APC 和RtD.BPD ，
使AC=2 ，BD=3 ，ζCAB= ζABD= 9 0 0 ，
7陀、____ P I川
;1 二二、J~
则CP= ♂丰22= ♂丰4 ，DP= -!02- X) 2 +32 = -! 02- X) 2 + 9.
由图可知，欲求8丰4+ !Cl Z -x) 2 + 9 的最小值，就是求线段CP 与DP 的
和的最小值.
显然，此最小值为线段CD 的长，由勾股定理易求得CD= /5古丰W=13 ，即
8丰4+ ! 02-X) 2 十9 的最小值为13 .
几何学的价值不仅在于逻辑推理，而且在于图形的直观.几何直观是在直观感
知的感性基础上所形成的理性思考，是对对象的几何属性的整体把握，有助于直觉
思维的培养.
"大胆猜测，小心论证"，数学家发现数学真理常常是先"看"出来，再进行证明
的，而几何直观正是帮助数学家"一眼就看出结论"的利器.
著名物理学家、诺贝尔奖获得者玻恩认为实验物理的全部伟大发现，都是来源
于一些人的直觉.
命[数学棋露在
在著名法国数学家阿达玛看来，·· 在创造
阶段，科学家的思维载体往往是各种各样的.
因人因事而异的符号、图表或其他形象，亦即
此时的思维方式往往是形象的和直觉的，而
不是逻辑的.，
直觉是发现和发明的源泉.
1. 己知a ，b ，c ，d>O 求证:/8丰7+ ! a2 +c +~ + 2cd> Jcl干百干歹+ 2ab.
166
几何直观C?
第24i井
(加拿大竞赛题)
P
: B(3 , 2)
i3
一l 俨一一一一一一__1
A '
C
D
X
307英时干
2. 设c 为Rt.6ABC 的斜边，a ，b 为直角边，求证: α+ b"，二J2c.
E
3. 一天，英国著名数学家巴尔正在伦敦的大街上散步，
当他走到克里斯蒂拍卖行的门口时，发现了一张附有土地图
形的广告.
广告的大意是这样的: 有总面积为560 英亩的土地要
拍卖. 土地共分为三个正方形(如图所示) ，面积分别为74 英
亩、11 6 英亩、370 英亩. 三个正方形恰好围着一个池塘
.6ABC ，请准确计算出池塘的面积.
巴尔站在熙熙攘攘的人流中，只用了很短的时间就算出
了准确答案，你知道他是怎样计算的吗?
y,
... . 阅读材料:
例: 说明代数式Jx2 + 1 + J(X-3) 2 + 4 的几何
意义，并求它的最小值.
解:
/7丰"1+ J (X- 3) 2 十4 =v (x- 0) 2 + 1 2+
V (X-3) 2+ 22 ，如图，建立平面直角坐标系，点P (x ，
0)是z 轴上一点，则V(X- 0)2 十1 2 可以看成点P 与
方
法
、
思
维
、
应
用
之
先
点A(O ，l) 的距离，V (X-3) 2 十2 2 可以看成点P 与点B( 3 ，2 ) 的距离，所以原代数式
的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+ PB 的最小值.
设点A 关于工轴的对称点为A' ，则PA = PA ' ，因此，求PA + PB 的最小值，只
需求PA' + PB 的最小值.而点A' ，B 间的直线段距离最短，所以PA ' + PB 的最小
值为线段A'B 的长度.为此，构造直角.6A'CB ，因为A'C=3 ，CB=3 ，所以A 'B =
312 ，即原式的最小值为3 12.
167
黄东坡@ 带…叫人极)
根据以上阅读材料，解答下列问题:
(1)代数式.;cx-1)τ丰1+ ! (X- 2) 2+ 9 的值可以看成平面直角坐标系中点
P(x ，O) 与点A( l，1)、点B 一一一一一的距离之和; (填写点B 的坐标)
(2)代数式R丰Z百+VX2 一12x+ 37 的最小值为一一一一一.
( 十堪市中考题)
也I铸畜案
168
1.如图，矩形中内接6ABC 的3 条边长正好是
求证不等式中的3 项，根据三角形中两边之和大于第
三边的定理，不等式成立.
2. 本题若按常规方法，可采用两边平方的方法
并结合句股定理进行证明.联想到前美国总统加菲
B
尔德证明句股定理的方法，可运用构图法证明.
。
C
c
d
将Rt6ABC 绕点C 按逆时针方向旋转90 0 ，再平移至Rt6CED 的位置，
使点B ，C ，E 在一条直线上.连结AD ，如图所示，则Rt6ABC且Rt6 CED.
于是CE=AB= α ，DE=BC=b ，CD=AC=c.
.fIc ~丁D
易知L_ACD=90 0 ，由句股定理得AD= Jc:可7=
J2c.
A_____
/ I
1'"
Cj
Ib
al、飞/
由于α手b ，从而可知四边形ABED 是一个直角梯
B
b
C a
E
形，显然BE<AD ，即a十b<fù.
特别地，当α = b 时，α + b=12c ，
故α + b运12c .
3. 因为74 ，116 ，370 都是正方形的面积数，所以
它们相当于池塘的三条边长的平方.把这三个数看成
三个直角三角形斜边的平方，就组成了以池塘三边为
斜边的三个直角三角形.可以发现有74=5 2 + 7 2
，11 6
= 42 + 102 , 370 = 92 + 1 7 2 ，而由这些特殊的数字正好
可以拼成右图.由图中的数据可知:
凶杀\
D
7
E
10
C
l
S6A配=S6A仄-S6ABF - S6庇:c - S矩形UìlF = 言X 9 X 17-
:2 X 5 X 7-
:2 X 4
X 1 0-4 X 7=1 1C英亩).
4. (1 )(2 ,3)
(2)10
•
65 数学文化巡礼
什么是对称?
对称是一种客观存在.
一片枫叶，一只蝴蝶，自然界的对称性可以从亚原子粒子的结构到整个宇宙的
结构的每一个尺度中找到.
对称是一种美的标准.
人类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我们的视觉有感染力，影响我们
对美的感受，建筑、绘画广泛地应用对称.
对称是一个数学概念.
轴对称、中心对称、对称式，泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等彼
此相对又相称.
对称是思维方法，对称是哲学思想.
‘一阴一阳之谓道"，中国古典哲学充满着对称理念.
杨振宁曾说"今天，人们已经普遍接受这样一个信条，自然界中所有的基本力
是由一些对称原理产生的，这也是说:对称性起支配作用"
如图，图形Fl 的每一点关于直线l 的对称点组成的图形
民
F z 称为FJ 关于直线l 的轴对称图形.把一个图形变为关于直
线J 的轴对称图形的变换，叫对称变换.
对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，对称轴垂直
平分连接各对应点的线段.
恰当运用对付、变换可实现条件的相对集中.
海伦是古希腊亚历山大里亚城精通数学、物理的学者，一
天，一位将军向他请教一个问题:
r--,-
169
黄东坡@带…牡美(八级)
如图①，从A 地出发，到笔直的河边去饮马，然后再去B 地，走什么样的路线最
短呢?
A •
.B
图①
B
A
图②
如图②，运用对称变换知饮马点选在P 点，此时PA十PB 最短.
从将军饮马问题出友，通过问题的变式深入探究.
对称之美，首先是对称和谐之美，这是法国欧普艺术杰出的代表人物瓦萨雷利
(1 908-1997) 的作品，他利用节奏丰富的网格和对称变化的构成，在渐变构造的区
域中，塑造立体造型.
1飞静曹慧讲堂
在l!Þ
如图①，从A 点出发，然后沿着笔直的河边走固定
的距离α ，最后回到B 地，怎样选择饮马点，才能使所走路
程最短?
A\ I
·
分析与解
即求AC+CD+BD 的最小值，因为CD= α 为定值，只需求AC
+ BD 的最小值. 与前图相比，PA + PB 为折线，而AC ，BD 是没有公共端点的线段，
要通过平移把它们连接起来.
170
【解】
如图②，作法如下:
(1)过点B 作BE // l ，且使BE= α.
(2)作点A 关于1 的对称点A' ，连结A'E 交J 于点C.
(3)在f 上截取CD= α.
A~r-----r
!/C
D
A'
图②
••
对称变换~.:
第25 讲
则饮马路线为A→C→o---.B ，此时所走路程最短.
这是因为BD+AC= EC+ AC= A'E.
对称在诸如艺术、文学和自然科学等方面都扮演着重要的角色.
宋代大诗人苏东坡写过一首七律回文诗，巧妙组织，顺读、倒读自然通畅，
生动描绘镇江金山寺清晨与傍晚的优美景色.
回文诗正读
:
潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。
桥对寺门松径小，巷当泉眼石波清。
迢迢远树江天晓，蔼蔼红霞晚日晴。
遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。
回文诗对称倒读
:
轻鸥数点千峰碧，水接云山四望遥。
晴日晚霞红蔼蔼，晓天江树远迢迢。
清波石眼泉当巷，小径松门寺对桥，
明月钓舟渔浦远，倾山雪浪暗随潮。
如图，在锐角L::.ABC 中
，AB=4 .J言，ζ BAC=45 0 ，ζ BAC
/\ C
的平分线交BC 于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，求
/
\
BM+MN 的最小值
/Mλ D
~ /
::::::J. B
A --
<N
2
·
分析与解
与前图相比，有两个动点M ，N ，先假设N 点为定点，先取得问
题的局部解决，再逐步逼近目标.
【解】
如图①，作点N 关于直线AD 的对称点N' ，连结BN' ，则BM+MN=
BN' ，过点B 作BE_lAC 于点E，当BN'=BE 时，BN' 的值最小，最小值为4.
C
A C
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
171
B
N
图②
A
B
N
图①
如图②，逆推确定点M ，N 的位置.
黄东坡@ 带…批美(八级)
!GV
如图①，己知ζAOB=30 0 ，在角的内部距顶点。为1 米的P 点住有一个蓝
精灵.蓝精灵从P 点走到角的OA 边上的点D ，即刻转身走到OB 边的点E ，然后走
回到P 点.求蓝精灵所走的最短路程.
("华罗庚金杯"少年数学邀请赛试题)
A
P
。
B
图①
·
分析与解
化归为基本模型，分别作两次对称变换，
使得三角形的三边之和最短问题转化为两点之间线段最短.
蓝精灵走的最短路程是由
3 条线段组成的三角形.如图
②，作点P 关于OA 的对称点Pj ，作点P 关于OB 的对称点
P Z
' 连结P j PZ
' 交OA 于点D ，交OB 于点E ，连结PD ，PE ，则
蓝精灵走的路线的最短路程是L':，PDE 的周长.
由对称性知，OP j =OPz=OP=l,
ζPj OPz =2 X ζAOB=2 X 30 0 =60 0 ,
L':,Pj OPz 是等边三角形，PjPz= l，
图②
!!Ill.晶晶挝
因此PD十DE+EP=PjD+DE+EP2= PjPz =1( 米).
假设蓝精灵走的是L':，PDj Ej 的三边，则
PDj+DjE j 十E j P
人们在漫长的岁月里，
体验着对称、享受着对称.
=PjD j 十D j E j + EjPZ>PjP2
=PjD+ DE+EPz =PD斗DE+ EP.
所以，蓝精灵走的路线的最短路程是1 米.
例4
如图，在L':，ABC 区域内，小羊从路边AB 某点出发跑到
水沟边AC 喝水，然后跑向路边BC 吃草，再跑回到出发点处休
息，为使所跑总路程最短，小羊应从AB 边上的哪一点出发，又
按怎样的路线奔跑?
172
第2511并
对称变换巳J '
·
分析与解
(1)如图①，不妨先固定一个点P ，将问题转化为"双动点模型"
下的最短路程p/P j 飞
(2) 改变该定点的位置到P2
，仍利用"双动点模型"确定最短路程p/P 2飞
(3) 比较Pj'p/' 与p/p z" 的长短;
(4) 问题转化为比较等腰三角形L，CP/p /' 与L，CP/P z" 底边的长短;
(5) 发现不变量一一←等腰三角形的顶角(均等于ζACB 的2 倍) ，从而转化为比
较两个等腰三角形的腰CP J 与CP2 的大小;
(6) 由于P 点是BC 边上的动点，问题转化为求CP 的最小值;
(7) 从而确定P 点为BC 边上的高线所在的垂足.如图②，这就是小羊的奔跑路线.
'B
图①
图②
从单动点到双动点，再到三动点，化动为静，化繁为简，几个例题展示了化
归与转化的思想方法，揭示了类似问题间的本质联系.
运用对称变换，化折线为直线段，这是解几何最值问题的常用方法.
例题解决的关键是怎样把一个非标准模式转化为"标准模式"(将军饮马问题) .
罗增儒教授在《数学解题学引论》中指出:
"学习教学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或
重要性的典型结构与重要类型
模式，将其有意识地记下来. 当遇到一个新问题
时，我们辨认属于哪一类基本模式，联想起一个已解决的问题，以此为索引，在记忆
贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略"
川
量
…
《数学解题学引论》是罗增儒教授的数学
解题学建设的一个尝试，他多角度地探讨了
解题观点、解题过程、解题方法、解题策略和
习题理论，初步建立起. . 通过解题过程的分析
去探索怎样学会解题"的理论框架.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
史
173
黄东坡
带你发现数学之美(八年级)
1. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A C2 ，3)! 点BC-2 ，1)，在工轴上存在点
P 到A ，B 两点的距离之和最小，则点P 的坐标是一一一一·
y
B .
。
(第1 题)
A
•
(长沙市中考题)
A
B
x
(第2 题)
2. 如图，在四边形ABCD 中，ζBAD=1 20 0 ，ζB= ζ D= 90 0 ，在BC ，CD 上分
别找一点M ，N ，使A剧'v1.N 的周长最小，则ζ剧'v1.N+ζANM 的度数为
人130 0
B. 1200
C. 1100
D. 1 00 。
3. 如图，已知矩形ABCD ，AB= 12 ,AD= 3, E, F 分别是AB ，DC 上的点，求AF
+ EF+EC 的最小值.
VV
4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，ζMON 的两边分别是射线y=xCx二三0) 与
工轴正半轴. 点AC6 ，5) ，B (l O ，2) 是ζMON 内的两个定点，点P 、Q 分别是ζMON
两边上的动点，求四边形ABQP 周长的最小值.
( 上海竞赛题)
y
M
B
o
Q
N
x
174
对称变换毛J
第25 讲
18 参害窑案
1.(-1,0)
点B 关于z 轴的对称点B' (一2 ，一1)，直线AB' 的解析式为
y=x+ l，与工轴的交点(-1，0) 即为点P.
2. B
如图，分别作点A 关于BC ，CD 的对称点E ，F ，连结EF ，交BC 于点
M ，交CD 于点N ，此时DAMN 的周长最短，ζAMN + ζANM =2( ζ E +
ζF)=2080。一ζ EAF) =2080。一120 0 ) = 120 0 •
.."C,
A
E_//~-，/: 口
DU兴J:
i
耳55/k 1
!
,/ l
A~- 一一一---一一-"0
A
(第3 题)
3.15
如图，分别作点A ，C 关于DC ，AB 的对称点儿，C j
• 连结AjC"
分
别交AB ，DC 于点E"Fj ，连结A ，F ，C j E. 过点儿作BC 延长线的垂线，垂足为
点G.
(第2 题)
x
M
y
.: A I G=AB= 12 ,C1 G=3AD=9 ,
则由勾股定理知A 1 C1 = jA1G2+C1G2 =15 ,
故AF+FE+EC=A1F+FE+EC1 二三A 1 C1 =15.
当点E ，F 分别与点EI
，FI 重合时，取到最小值.
4 . 如图，设点A 关于OM 的对称点为A '
，点B 关于
z 轴的对称点为B'. 连结A'B' ，则由对称性，C四边形响B
AP十PQ+ QB + BA = A' P + PQ+ QB' + BA 二三A'B'
+ AB.
显然A'(5 ，的
，B' (1 0 ，一2) ，所以A'B'= )8百.而
AB=5 ，故C四边形刷B 注5 + )8百，当且仅当P ，Q 是A'B'
与ζMON 两边的交点时等号成立.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
175
驳
皮
与
明
aw
。敖学文化遮杭
•
"证明"是数学中最重要的事情，用公理和命题编织起来的欧几里得几何体系，
提供了自文艺复兴以来现代科学思想的基本框架，相比于其他自然科学家运用的
实验方法，数学家为他们绝对准确元误的证明而感到自豪.
德国数学家康德说"数学学科主现出一个最辉煌的例子，表明不用借助实验，
纯粹的推理证明能成功扩大人们的认知领域"
美国著名数学家盖尔鲍姆说"冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两
大类一一一证明与反例组成，而数学也正朝着这两个主要目标迈进:提出证明与构造
反例"
1644 年，法国修道士梅森宣布Mp =2 P 一l 型的数，当ρ =2 ，3 ，5 汀，13 ，17 ，19 ，
3 1，67 ，127 ，2 5 7 时都是素数，其实他只演算了前面7 个.
1903 年，美国数学家科尔作了一个无声的学术报告，他在黑板上写了一个等式
267 - 1 = 193 707 721 X 761 838 257 287 ，当他回到自己的座位上时，会场上响起了雷
鸣般的掌声，这个反例纠正了人们长达两百多年的错误.
在数学中，从特殊到一般作出猜想，或借助实验作出推测，但是不论猜想、推测
多么自然，都不能代替证明.
著名的哥德巴赫猜想，虽已验证过无数个数例，但是必须要作出证明，否则谁
都无法保证下一个检验结果不会是错误的.
176
《数学证明》一书提出: 数学证明在数学
活动中有何作用? 是否真正确立无可直疑的
结论? 这种独特的思考方式是怎样发展起
来的?
数学境界内的生活理想. 乃基于证明
. 而
这是最崇高的一种道德概论.严谨之于数学
家. 犹如道德之于一般人.
证明与应驳b
第26 讲
、〕数学智慧讲堂
下面有四个命题:
(1)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形;
(2)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;
(3)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的
四边形是平行四边形;
(4)一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分
的四边形是平行四边形.
上述命题是否正确?正确的请证明，错误的请举出反例.
(全国初中数学联赛题)
f91]1
分析与解
判定一个四边形是平行四边形需要知道关于这个四边形的两
个条件，从边、角、对角线中任选两个条件，可构成诸多命题，这些命题中有真
有假.
命题(1 ) 是假命题. 如图①中的四边形ABCD ，它满足命题的条件ζA = ζ C ，
AB=CD ，但它不是平行四边形.
命题(2) 是假命题，如图②，延长等腰6ADE 底边ED 至任意点。，以0 为对角
线的交点作口ABCE ，这时四边形ABCD 满足AD=BC ，且AO=α7，但它不是平行
四边形.
命题( 4 ) 也是假命题，如图③，在四边形ABCD 中，ζBAD = ζBCD ，BD 垂直
平分AC ，但四边形ABCD 不是平行四边形.
下面证明命题。)是真命题. 如图④，在四边形ABCD 中，ζBAD= ζ DCB ，且
OB=OD ，以0 为中心，将6ABD 按逆时针方向旋转180 0
•
因为OB=OD ，所以点B 与点D 重合，点A 与射线α: 上的点A' ( 不是C) 重
合，则ζBA'D>ζ BCD( 点A '在线段α7 上，非点C) ，或ζBA 'D<ζBCD( 点A ' 在
线段α7 的延长线上) ，都与ζBA'D = ζBAD= ζBCD 矛盾，所以点A' 即为点C ，
即OA=OA'= α7. 所以四边形ABCD 是平行四边形.
D
A守C
B
因③
•
方
法
、
思
维
、
应
用
之
先
177
c>o司
图④
P刁
图②
A 卜-......._ D
ßL宁__).C
图①
冀东坡@ …数时(八年级)
反例就是符合题设条件而结论错误的实例.反例需深思才能构造出来，构
造反例是说明一个命题不成立的有效方法.
而反例的构造却需要我们充分展开想象，调用全部的数学知识储备. 正如盖尔
鲍姆所言"一个数学问题用一个反倒予以解决，给人的剌激犹如一出好的戏剧"
例2
如图，已知口ABCD ，以其邻边AB 与AD 为边，分别向外侧作两个正三角形
，6ABE 及，6ADF. 求证，，6 CEF 必定是一个等边三角形.
·
分析与解
只需证明，6AEF旦，6BEC旦，6DCF.
E
. .ζ EAF=120 0 +ζ BAD ，
ζ CDF =360 。一(60 0 +ζADC)
=360 。一[ 60 0 + 080。一ζBA D) J
=360。一(240 。一ζ BA D)
=120 0 +ζBAD ，
二ζEAF= ζ CDF ，
又EA=AB=CD ，AF=DF ，
:. ，6EAF旦，6CDF ，得EF=CF.
同理，6BEC经，6CDF ，得CE= CF.
:. EF=CF=CE. 故，6 CEF 是一个等边三角形.
从本例出发，类比探究，你能提出什么问题?
B
F
著名的行家但不是初等几何的行家维克多
· 泰博在1937
年发表了他的结果: 在任意平行四边形的边上各画一个正方
形，那么它们的中心组成一个正方形.
178
.:1"...…….
证明与反驳
• • ..……
交这;
县委皿
《证明与反驳》是匈牙利裔英国哲学家伊
姆雷
· 拉卡托斯完成的经典著作，如作者所
说. 非形式、;住经验的数学的发展. 并不只靠
逐步增加的毋庸直疑的定理数目.而是靠以
思辩与批许，证明与反驳之逻样对最初彷想
的持续不断的改进.
C
证明与皮驳￡;3
第26ì:并
已知口ABCD 的周长为28 ，过顶点D 作直线AB ，BC 的垂钱，垂足分别为
E ，F ，若DE= 3 ，DF=4 .
求:
(1)边AB ，BC 的长;
(2)BE+ BF 的长.
;i9IJ J
/队/C
( 天津市"未来之星"数学邀请赛试题)
·
分析与解
四边形不具有稳定性，符合条件的图
形形状唯一吗?解题的关键是分类讨论.
(l)AB=8 ,BC=6.
(2) 如图①，当ζA 为锐角时，
BE=AB-AE=8- 3 J言，CF= 4 J言，
因为4 vS > 6 ，故点F 在CB 的延长线上，得BF= CF
BC=4vS-6 ,
图①
F
D
λBE + BF= 2+ vS.
如图②，当ζA 为钝角时，得BE+ BF= (8+3 VS) +
(4 vS+ 6) = 14十7 vS.
B
图②
A
E
综上所述，知BE+町的长为2 十vs或14十7 vS.
一
八
ω
一
厅
β
一
平移变换
如图，若把平面图形Fl 上的各点按一定方向移动一
定距离得到图形Fz 后，则由Fl 到凡的变换叫平移变换.
平移有下列基本性质:
(1)平移变换下，对应线段平行(或共线)且相等;
(2)平移变换下，对应角相等.
平移变换常与平行线相关，往往要用到平行四边形的性质，平移变换可将
角、线段移到适当的位置，使分散的条件相对集中，促使问题的解决.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
斐
A
如图，在6ABC 中，ζ C = 90 0 ，点M 在BC 上，且
BM= AC ，点N 在AC 上，且AN = MC ，AM 与BN 相交于
点P ，求证: ζBPM= 4S 0
•
C
179
B
(浙江省竞赛题)
黄东坡@带…时(八年级)
·
分析与解
条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条
件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN
或AC ，即作ME.JLAN ，构造平行四边形
A
如图，过点M 作ME .JLAN ，连结NE ，BE ，则四边形
AMEN 为平行四边形，得NE=AM，MEl_BC.
γ ME=CM ，ζEMB =ζMCA = 90 0 ,BM=AC,
二L'::，.BEM旦L'::，.AMC ，得BE=AM= NE ，ζ 1= ζ 2 ，
ζ3=ζ4 .
. . ζ 1 +ζ3=90 0 ， :. ζ2+ζ4=90。且BE=NE ，
:. L'::，.BEN 为等腰直角三角形，ζBNE=45 0 •
二' AM//NE ，:. ζBPM=ζBNE=45 0 •
证明是人类理性思维最光辉的成就之一.
当有人宣布其证明以Q. E. D. 三个字母终结时，就已确定了该定理的真实性.
Q. E.D. 是拉丁语的缩写，意为"证明之完毕"，是证明美的同义词.
一个精巧的证明，精神上近乎是一首诗.
佩雷尔曼，俄罗斯数学家，19 66 年出生于圣彼得堡，2002 年佩雷尔曼在网站上
张贴了三篇论文，成功证明了数学界七大难题之一一一庞加莱猜想，震惊了数学
界.科学家们认为，这一难题的解决有助于人们了解宇宙的形状，是"数学发展，也
是人类思想发展的里程碑"
英国《自然》杂志上有一篇文章这样评价他"淡泊名利、潜心研究，佩雷尔曼的
生命只属于他心中的信仰一一数学，他不需要任何奖赏、奖金和职位
"
，、
._. . .-.
法国数学家庞加菜于1904 年提出的猜想
是世界数学难题之一，这一猜想被俄罗斯人佩
雷尔曼于2002 年证明成立. 随后，他拒绝了因
为这一重大成就而颁发给他的所有奖项.
1. 如图，在口ABCD 中，AD= 2AB ，F 是AD 的中点，作CE上AB ，垂足E 在线
段AB 上，连结EF ，CF. 则下列结论中一定成立的是
A
一一一一. (把所有正确结论的序号都填在横线上)
①ζ町'F=杠BCD;
②EF=CF;
( S[',æ:_: = 2S[',æF ;
④ζDFE=3ζAEF.
C
180
证明与反驳兰，
第26 讲
2 . 在连接A 地与B 地的道路上有四个不同的点D ，G ，K ，Q ，下列四幅图中的实
线分别表示某人从A 地到B 地的不同行进路线(箭头表示行进的方向) ，则路程最
长的行进路线图是
(
)
cεH
AM3B
AAD
D
AL民-L74= 一----~.li
A
B
P
Ad眨:63B
A
C
(湖州市中考题)
3. 分别以口ABCD( ζ CDA手90 0 ) 的三边AB ，CD ，DA 为斜边作等腰直角三角
形: 6 ABE,6 CDG,6ADF.
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连结GF ，EF. 请
判断GF 与EF 的关系; (只写结论，不需证明)
GÇ/
,/)E
F
图①图②
(2) 如图②，当三个等腰直角三角形都在平行四边形内部时，连结GF ，EF ，(1)
中结论还成立吗?若成立，给出证明;若不成立，说明理由.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
(淄博市中考题)
181
黄东坡
带你发现数学之美(八年级)
4. 如图，在六边形ABCDEF 中，AB //DE,BC// EF,CD// AF ，对边之差BC
EF=ED-AB=AF-CD>O ，求证:该六边形的各内角相等.
(全俄数学奥林匹克试题)
81
)E
C
D
5. 我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着它的一条对
角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.
发现与证明
如图①，在口ABCD 中，AB学BC ，将~ABC 沿AC 翻
折至~AB'C ，连结B'D.
结论1: B'D//AC;
结论2 : ~AB'C 与口ABCD 重叠部分的图形是等腰三
角形.
D
B
队
1
1
斗
寸
、
J
C
①
/
/
/
一
\
一
图
AJJ-
4B
请证明结论1 或结论2 . (只需证明一个结论)
应用与探究
如图②，在口ABCD 中，已知ζB=30 0 ，将~ABC
沿AC 翻折至~AB'C ，连结B'D .
(1)若AB =J言，ζCB' D = 75 0 ，则ζACB =
,BC=
A
aJ
,,
,,
,,
,,
/
'
一
c
'''
-
,'-
''
-
,,
-
'''-
''-
J
』
B
D
(2)若AB=2 布，BC=l ，AB' 与边CD 相交于点
E ，求~AEC 的面积;
(3) 已知AB=2 v'3 ，当BC 长为多少时，~AB'D
是直角三角形?
8 '
图②
(镇江市中考题)
182
证明与反驳C3
第26 讲
@
阿U
1. ①②④ 如图，过点F 作FH // AB 交BC 于点
H ，交CE 于点。，延长EF ，CD 交于点G.
因为EF= FG ，所以S""αp= S""σG .
因为l:，AEF豆l:，DGF ，所以S""AEF = S""I:GF ,
所以
2S""αF
S""αF + S""σG -
S""æF + S""( F + S""AEF
5梯形AECD >
1 ~
2 0平行四边形必叨
，
而S缸A皿E<÷S乌平行
由题意意、可知FH /;ρ/AB ，所以ζAEF= ζEFH ，ζ BEC= ζ EOF=90旷。.
又因为EF=CF ，所以OF 垂直平分CE ，
容易证明Rtl:，EOF单Rtl:，COF ，所以ζEFH= ζ CFH.
由四边形CDFH 是菱形，可得ζ CFH= ζ CFD ，
所以L.AEF=L.EFH= L.CFH= L.CFD,
即ζ DFE=3ζAEF ，故④正确.
2.D
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
A~~
JJ:::;二v
183
3. (l )GF j_EF,GF=EF.
(2) 上述结论仍成立，证明l:，GDF且l:，EAF ，可推
得GF=EF ，ζ GFE二90
0
•
4. 如图，分别过A 点作剧VI // EF ，过C 点作CP //
AB ，过E 点作EN //AF ，它们分别交于N ，M ，P 点，得
口ABCM ，口CDEP ，口EFAN ，则EF = AN ，AB = CM ，
CD=PE ，BC= AM ，CP = DE ，AF = NE ，由条件得l:，NMP 为等边三角形，可
推得六边形的各角均为
120
0
•
5 . 发现与证明
如图①，设AD 与B 'C 相交于点F.
"
l:，ABC 沿直线AC 翻折至l:，AB'C ，
λ
l:，ABC 旦l:，AB'C ，ζACB= ζACB ' ，BC =
B'C.
..四边形ABCD 是平行四边形，
人AD=BC ，AD矿BC.
λ
B'C = AD ，ζACB= ζ CAD ，
18 0。一ζAFC
λ ζACB' = ζCAD=
2
F
B
黄东坡@ 带叫数时(八年级)
一180 。一ζB'FD
:.AF= CF,:. B'F = DF ，:. ζCB'D =ζB'DA 一
.. ζAFC=ζ B'FD ，:. ζACB'= ζ CB'D.
:. B'D// AC.
应用与探究
D
o 3 . ..)3
(1)45
0
;
~ +巳;
二
2 . 2'
(2) 如图②，过点C 分别作∞_lAB ，CH _l
AB' ，垂足分别为点G ，H ，λ ω=CH.
在Rt6BCG 中，ζ BGC= 90
0 , BC= 1 ，ζB
= 300 ,
'.CG= ~ .BG=占
2 ，~-
2 '
':AB=2 布，
. AG=?♂
:. CH=∞=÷
又6AGC且A肌
AH=A叶♂
设AE= CE=工，由CE" = CH' 十HE"，
?
(1 \ 2 , (3..)3
\ 2
.
7..)3
得x2 = ( 言)
+ ( 才二一斗
，.. x== 亏二
7 ,,)3
λ S^ Ar'f'" = ~ AE • CH=' ~'r工
ιιι2"~ _. .
36'
(3)按6AB'D 中的直角分类:
( i )ζB'AD =90。时，如图③，ζACB = 30 0 ,BC=6 ;
如图④，ζBAC= 30 0 , BC= 2;
仆i )当ζAB'D= 90。时，如图⑤，ζACB=60 0 ,BC=4 ;
( iii )当ζADB'=9 0。时，如图⑥，ζACB= 90 0 ,BC= 3;
综上，BC 的长为2 ，3 ，4 或6 .
n '
A
D
n
/VD ι可/8 乙::fj泸D
15
~
B'
'-'
图③图④图⑤
184
B '
图②
A
D
Btf;二J~
C
B'
图@
、、
院副) 新定义四边形
、‘~:
~ ，数学文化巡礼
•
概念是对客观事物本质属性的概括和反映，是知识组成的基本单元;概念学习
是知识学习的逻辑起点.
数学概念是数学思维的细胞，是开展一切数学活动的基础.
李邦河院士曾说"数学根本上是玩概念的，技巧微不足道也"
仅从数的概念的发展来看，从整数到分数，从有理数到无理数，从实数到虚数，
从复数到四元数，每一个重要的数的概念的产生都历经矛盾危机，每一个重要的数
的概念的确定都预示着观念的变革、思维的创新，标志着数学发展的巨大进步.
科学研究表明，在概念的形成过程中，人们的心理活动经历着以下阶段:
(1)辨别不同的事物;
(2)抽象一类事物的共同属性;
(3) 用简洁的语言符号给概念下定义、定名称.
新定义四边形是指在一个问题中给出一个新四边形的概念，要求运用已有的
经验知识理解新定义，并进行判断、推理、迁移的一种问题.
英国当代著名数学家阿蒂亚指出"实际
上，数学是一门艺术，是一门通过发展概念和
技巧以使人们更加轻快地前进，从而避免蛮
力计算的艺术"
185
黄东坡@ 带叫数时(八年级)
，，'戴学雷慧讲堂-
ü>
阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们
的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形
筝形.所谓筝形，它的形状
与我们生活中风筝的骨架相似.
厅、\
定义:两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形
Ll:.二斗A
ABCD 是筝形，其中AB=AD ，CB=CD.
I
~
、
A
判定: ①两组邻边分别相等的四边形是筝形;
/个\
②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形
B f-一卜一予D
显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同
\
1 /
点和不同点
\1/
如果只研究一般的筝形(不包括菱形) ，请根据以上材料完成
C
下列任务:
(1)请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条;
(2) 请仿照图①的画法，在图②所示的8X8 网格中重新设计一个由四个全等的
筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下:
( i )顶点都在格点上;
( ii )所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形;
( iii )将新图案中的四个筝形都涂上阴影.
图①
，-'T -r 叮-r ，-r 寸-，
:"-'-.J_.J_.l_.J._.J._l.
rTï
寸寸
τï-ï-~
L-'-.J_.J_.l_.J._.J._l._:
I
! ! ! ! ! !
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L_ι -l_-l_-J_-J_牛_J，._~
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t--息_~_-l_-'_~_ 牛_i_!
I
I
I
I
I
I
I
!--4--<--I-..;-..-.j.-.j.-i
I
I
I
I
I
I
护--4--<-";-→-..-.j.-.j. -i
LJ-L 」-L 」-LJ-;
图②
·
分析与解
定义一种新的四边形即赋予图形新的性质，以此为出发点，进
行推理判断.
(1)本小题是开放题，答案不唯一.参考答案如下:
相同点
: ①两组邻边分别相等; ②有一组对角相等; ③一条对角线垂直平分另
一条对角线; ④一条对角线平分一组对角
; ⑤都是轴对称图形; ⑤面积等于对角线
乘积的一半. (答对任意两条即可)
不同点
: ①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分; ②菱形的四边
186
_._
新定义四边形~.:
第27i井
新定义问题的核心在于阅读，关键在于理解，目的在于应用.这类问题的研
究模式为:定义→问题→判断→探究→应用.
类比梯形的定义，我们定义:有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四
边形叫做"等对角四边形"
(1)如图①，已知四边形ABCD 是"等对角四边形"，ζA学ζ C ，ζA = 70 0 ，ζB
=80 0 • 求ζ C ，ζ D 的度数.
D
A
B
「"，\c
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
图①
(2) 在探索"等对角四边形"的性质时:
( i )小红画了一个"等对角四边形"ABCD( 如图②) ，其中ζABC= ζADC ，AB
=AD ，此时她发现CB=CD 成立.请你证明结论;
(ii)由此小红猜想"对于任意‘等对角四边形'，当一组邻边相等时，另一组邻
187
C
图②
黄东坡@…敛时人年银)
边也相等"你认为她的猜想正确吗?若正确，请证明a 若不正确，请举出反例.
(3) 在"等对角四边形"ABCD 中，已知ζ DAB=60 0 ，ζABC=90
0 ，AB=5 ，AD
=4. 求对角线AC 的长.
(舟山市中考题)
·
分析与解
从理解并运用"等对角四边形"这个概念出发，计算与推理，证
明或反驳.对于(3) ，因"等对角"不确定，故需全面讨论.
(1)在等对角四边形ABCD 中，ζA手ζC ，故ζ D=ζ B =80 0 ，
ζC=360。一70 0 -80 0 -80 0 = 130 0 •
(2) ( i )连结BD ，如图③，因为AB = AD ，故ζABD= ζADB ，
又因为ζABC= ζADC ，故ζ CBD= ζ CDB ，于是CB=CD.
( ii )不正确，反例如图④，ζA= ζC=90 0
，AB=AD ，但CB手CD.
A
C
图③
B
C
A
D
图④
E
A /idC
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D .::乞二J二__J
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一-j F
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i
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/
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Yi
I
A~
与
‘ B
图⑤
图⑤
(3) ( i )当ζADC= ζABC=90。时，如图⑤，延长AD ，BC 相交于点E .
由ζABC=90 0 ，ζ DAB=60 0 ，AB =5 ，知ζ E=30 0 ，AE= 10.
:.DE=AE- AD=10- 4=6.
因为ζEDC=90 0 ，ζ E=30 0 ，故EC=2CD.
由
6 2 十C~ =(2Cm 2 , ïíJ得CD =213.
:. AC= /A~ +C~ =2J于.
( ii )当ζ BCD= ζ DAB=60。时，如图⑥，过点D 作DE l_AB 于点E ，DFl_ BC
于点F .
188
因为DEl_AB ，ζ DAB=60 0 ，AD =4 ，故AE=2 ，由勾股定理得DE=2 13.
:. BE=AB- AE=5-2=3.
显然，四边形BFDE 是矩形，故DF=BE= 3, BF= DE= 2 13.
因为ζBCD=60 0 ，故ζ CDF=30 0 ,CD=2CF.
由CP +3 2 = (2CF) 2, ïíJ得CF=13.
二BC= CF + BF= 3 13.
:.AC= !JD32丰BC=2 Æ.
新定义四边形之J
"回到定义中去"，这是美国著名数学家波利亚提倡的一种解题方法，在解
题遇到困难的时候，请记住"回到定义中去"这个重要的思考提示.
第27 讲
奇异矩形
一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作;在剩下的矩
形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作; …;或在第n 次操作
后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n 阶奇异矩形.
例3
如图①，在矩形ABCD 中，若AB = 2 ，BC =6 ，则称矩形ABCD 为2 阶奇异
矩形.
Dlll·-c
A
「
l
l
l
-
-
B
图②
(1)判断与操作:
如图②，矩形ABCD 的长为5 ，宽为2 ，它是奇异矩形吗?如果是，请写出它是
几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线;如果不是，请说明理由.
(2) 探究与计算:
已知矩形ABCD 的一边长为20 ，另一边长为α (a< 20)
，且它是3 阶奇异矩形，
请画出矩形ABCD 及裁剪线的示意图，并在图的下方写出α 的值.
(3) 归纳与拓展:
已知矩形ABCD 两邻边的长分别为b ，c(b<c)
，且它是4 阶奇异矩形，求b: c.
(直接写出结果)
图①
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
(潜江市中考题)
·
分析与解
本例旨在考查动手操作、归纳推理的能力.一般的解题思路是
在一个给定的矩形上进行分割，得到所要分割的图形，再算出各矩形的边的比例.
顺思逆想，通过一个给定的正方形构造出各种η 阶奇异矩形，获得构造规律及给出
各种η 阶奇异矩形的边的比的规律，实际是从一个单位正方形出发，构造n 阶奇异
矩形.
下面我们从一个边长为
1 个单位长度的正方形出发，利用归纳的办法构造出各
种n 阶奇异矩形，实际上有
2 ，，- 1 种.
189
黄础@…… (八
(1)给定一个正方形(不妨设边长为
1 个单位长度) ，在右侧加上一个边长为
1
个单位长度的正方形得到了
l 阶奇异矩形. 如图③，1 阶奇异矩形(2 0 个) .
亡口
图③
(2) 在1 阶奇异矩形的右(或左)侧加上一个边长为
1 个单位长度的正方形得到
了一种2 阶奇异矩形;在
1 阶奇异矩形的上(或下)面加上一个边长为2 个单位长度
的正方形得到了另一种2 阶奇异矩形.如图④，2 阶奇异矩形(2 1 个) .
图④
(3) 依次做下去，对每一个n 阶奇异矩形的右(或左)侧加上一个边长为n 阶奇
异矩形的宽的正方形得到了一种η+1 阶奇异矩形;在这个n 阶奇异矩形的上(或
下)面加上一个边长为n 阶奇异矩形的长的正方形得到了另一种n+1 阶奇异矩形.
如图⑤，3 阶奇异矩形(2 2 个) .
il
图⑤
(4)4 阶奇异矩形(2 3 个) ，如图⑥.
I
依此类推…
图⑥
进一步探究n 阶奇异矩形中短边与长边的比.
190
新定义四边形C〉
第27 讲
(1)显然l 阶奇异矩形:÷
1
，~1
(2)2 阶奇异矩形:将一的分子加到分母上得
将
的分母加到分子上再取
3 ' TJ 2
倒数得÷见图④
1
，~
1
(3)3 阶奇异矩形:将一的分子加到分母上得一将一的分母加到分子上再取倒
4 'TJ 3
3
.1"" 2 ~L "
"7 l.~ r..I "
"'~
I
/.8 2
.I_" 2
数得一;将一的分子加到分母上得一，将一的分母加到分子上再取倒数得τ ，见
4 ' l ,j 3 ..." /v
~
1"'-
--... /v
-" ~
I'~ 5 7
I -" 3
图⑤.
1 3 2 3
(4)4 阶奇异矩形: 分别将一，一，一，一的分子加到分母上，将分母加到分子上
4 ' 4 ' 5 ' 5
1
4
3
4
2
5
3
5
再取倒数得5 ' 5 ' 7 ' 7 ' 7 ' 7 ' 8 ' 8
1
4
3
4
2
5
3
5
(5)5 阶奇异矩形: 分别将τ ，τ'7 ' 7'7'7'8' 石的分子加到分母上，将分
1
5
4
5
3
7
4
7
2
7
5
7
3
8
5
8
母加到分子上再取倒数得一一一一一一一一一一一一一一一一
6 ' 6 ' 9 ' 9 '10' 10' 11 ' 11 ' 9 ' 9 '12' 12 ' 11 '11 '13' 13
依次类推.
这样，可得本例的解答.
(1)矩形ABCD 是3 阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下:
A
D
I ]
~--I
B
C
EζE
E
r
、
U
TI--
=
α
(2) 裁剪线的示意图如下
E
叩
方
法
.
思
维
、
应
用
之
先
1 42 3 4 5 3 5
(3)b: c 的值为
一一一一一一一
5 ' 5 ' 7 ' 7 ' 7 ' 7 ' 8 ' 8
规律如下: 第4 次操作前短边与长边之比为÷;第3 次操作前短边与长边之比
1 2
J,.J.r
""
_ I
I t:I
11 _ 'iL J ,_. , t
L
11
, 1
,. I I
,/ 1 3 2 3
为言' 言; 第2 次操作前短边与长边之比为4'4;τ ，τ; 第
1 次操作前短边与长边
191
1 4 342 5 3 5
之比为
·
一· 一一·一一
5 ' 5 ' 7 ' 7 ' 7 ' 7 ' 8 ' 8
黄东坡@…数以( 人年级)
黄金矩形可以分割成一个正方形和一个
较小的黄金矩形.并且这种分割可以无限进
行下去.分割后的黄金矩形在大小不同的正
方形内各画一个士国孤，就得到黄金螺线，黄
金螺线被认为是自然界中最美的螺旋形状.
我们常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物.
平面图形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然
后通过解决简单的问题巩固所学知识.
图形新定义问题实质是信息迁移题，即设计一个陌生的数学情境信息，要求在
阅读理解的基础上运用已有知识和方法去解决问题(迁移).
迁移，即将所学知识方法用到新情境，解决新问题，包含对新情境的感知、旧知
识与新情境的链接、对新问题的认知和解决.
实际知识"迁移"，关键在于"类比"
荷兰版画家埃舍尔
1 960 年创作了一幅
石版画《上升与下降)).他在二维的平面上.营
造出一个现实中不可能存在的三维(空间)图
形.还不让你轻易看出其中的奥秘.这具是一
种奇特的创造.
乍看上去，建筑物适得规规矩矩，非常传
统.没有什么异常.楼顶上有两队人相向而
行，一队人在上台阶，一队人在下台阶，一直
不停地行走着.
1. 我们给出如下定义:若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等
对角线四边形.请解答下列问题:
(1)写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称:
,
(2) 探究:当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 。时，求这对60。角所
对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.
(北京市中考题)
192
第27 讲
新意义四边形J
2. 若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四
边形为"勾股四边形"
(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称.
(2) 如图，将6ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60。得到6DBE. 连结AD ，
DC ，CE. 已知ζ DCB=30 0 •
①求证: 6BCE 是等边三角形;
②求证:DC 十BC = AC
，即四边形ABCD 是句股四边形.
(兰州市中考题)
C
A
E
3. 如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近
程度称为"接近度"在研究"接近度"时，应保证相似图形的"接近度"相等.
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m。和n。，将菱形的"接近度"定义为
lm - n
l
，于是，
l m - n
l 越小，菱形越接近于正方形.
①若菱形的一个内角为70 0 ，则该菱形的"接近度"等于
;
②当菱形的"接近度"等于
时，菱形是正方形.
<>α |
b
i 口
(2) 设矩形相邻两条边长分别是α 和b(aζ的，将矩形的"接近度"定义为
l a - b
l
，
于是| α -b
l 越小，矩形越接近于正方形.
你认为这种说法是否合理?若不合理，给出矩形"接近度"的一个合理定义.
(常州市中考题)
卜
刀
法
、
思
维
、
山
川
刑
之
先
193
黄东坡
带你发现敖学之类(八年级)
4. 阅读理解
如图①，如果四边形ABCD 满足AB=AD ，CB=CD ，ζ B= ζ D=90 0 ，那么我
们把这样的四边形叫做"完美筝形"
将一张如图①所示的"完美筝形"纸片ABCD 先折叠成如图②所示形状，再展
开得到图③，其中CE ，CF 为折痕，ζ BCE= ζ ECF= ζ FCD ，点B' 为点B 的对应
点，点D' 为点D 的对应点，连接EB' ，FD'相交于点O.
简单应用
A
A
A
F
B
D
B
D
c
c
c
图①
图②
图③
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为"完美筝形"的
是
(2) 当图③中的ζ BCD=120 。时，ζAEB'=
(3) 当图②中的四边形AECF 为菱形时，对应图③中的"完美筝形"有一一一一一
个. (包含四边形ABCD)
拓展提升
当图③中的ζ BCD=90 0时，连接AB' ，请探求ζAB'E 的度数，并说明理由.
g
194
1. (1)矩形，正方形;
(2) 结论: 等对角线四边形中两条对角线所夹锐角
为60 。时，这对60 。角所对的两边之和大于或等于其中一
条对角线的长.
如图①，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于
点。，AC=BD ，且ζAOD=60 0 ，求证: BC+AD二三A C.
证明
: 过点D 作DF // AC ，在DF 上截取DE ，使
DE= AC. 连结CE ，BE ，则ζ EDO = 6 0 0 ，四边形ACED
C
F
图①
新定义四边形C;
第27 讲
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
A ，，--一一来D
I 0)\ \ \
Bι一\立
ν
C
\F
D
195
是平行四边形，6BDE 是等边三角形，CE=AD ，所以
DE= BE= AC.
( i )如图①，当BC 与CE 不在同一条直线上时，在
6BCE 中，有BC+CE>BE ，所以BC+AD>AC.
( ii )如图②，当BC 与CE 在同一条直线上时，BC
+ CE= BE ，因此BC+AD=AC.
综上，BC+AD二三AC.
即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60 0时，这对60。角所对的两
边之和大于或等于其中一条对角线的长.
2. (1)正方形、矩形、直角梯形均是.
(2) ①因为6ABC呈6DBE ，故BC = BE. 因为ζCBE=60 0 ，故6BCE 是
等边三角形.
②因ζ三四:::B=300 ，故ζ以:::E= 90 0• :.四歹十BC'=目)!+CP=DP=AC .
3. (1) ①40。②0。
(2) 以矩形的边长差来说明接近于正方形，显然不合理，如边长为2 和4 的
矩形，边长为1 和2 的矩形，显然二者的接近度不同，但它们却是相似矩形，形
状未改变.若用矩形的邻边之比作为"接近度"更合理些.
4. 简单应用
(1)正方形
(2)80 。
(3)5
拓展提升
如图，连结EF ，取EF 的中点G ，连结AG ，B'G .
. . ζB=ζD=9 0 0 ，ζBCD=9 0 0 ，λ 四边形ABCD 为矩形.
又': AB=AD ，二四边形ABCD 是正方形.
γζBCD= 900 ，ζBCE=ζECF=ζFCD ，:.ζ且:::E=ζECF=ζFCD=300•
. . ζB= ζ D= 90 0 ，BC= CD ，ζBCE= ζDCF ，
λ 6CBE垣6CDF (ASA)
，人BE= DF.
又.: AB=AD, :.AE=AF,
:. 6AEF 为等腰直角三角形，ζAFE=45 0 •
. . ζEAF= 90 0 ，λ GE=GF=GA.
·.· 由折叠得ζEB 'C = ζ FD'C = 90 0 ，
:. A ，D' ，B'三点共圆，EF 为直径，点G 为圆心.
.: L AGE=900 , :. LAB'E=杠AGE=45 。
图②
B
…
干
完美正方形
----------------------- .
心数学文化巡礼
1 998 年第
2 3 届国际数学家大会在德国的柏林召
开，右图是德国邮政发行的纪念邮票，邮票的主图是
"矩形求方"问题的一种解法，衬底图案和边纸上都是
无理数π 的小数形式.
1 9 2 3 年，有人提出如下问题: 一个矩形能否被分
割成一些大小不等的正方形?
1 925 年，数学家莫伦首先成功把一个33 X 32 的
矩形分割成9 个小正方形(称9 阶) ，这种矩形称为"完
美矩形"
完美矩形的存在，诱发人们去寻找完美正方形.1978 年，荷兰数学家杜伊维斯
廷利用计算机找到
21 阶的完美正方形，并证明了:低于21 阶的完美正方形并不
存在.
1984 年，我国著名数学家吴文俊发表《几
何定理机器证明的基本原理)) ，用电脑证明了
一系列平面几何中的著名定理，成为中国机
器证明的创始人，图为他在中法对照本《九章
算术》的新闻发布会上.
正方形是完美的.
正方形包含特殊三角形，兼有四边形、平行四边形、特殊平行四边形的一切性
质; 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
196
完美正方形u !
第28 ì:并
r飞l数学踊讲堂
探究问题:
(1)方法感悟
如图①，在正方形ABCD 中，点E.F 分别为DC.BC 边上的点，且满足ζ EAF
=45 0 • 连结EF. 求证: DE十BF= EF .
感悟解题方法，并完成下列填空;
将，0，ADE 绕点A 按顺时针方向旋转90 。得到，0，ABG ，此时AB 与AD 重合，由
旋转可得: AB = AD, BG = DE ，ζ1=ζZ ，ζABG = ζ D = 90 0 ，所以ζABG+
ζABF=90 0 +90
0 =180
0 ，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上.因为ζ EAF=45 o. 所以
ζz+ζ3=ζBAD- ζ EAF=90 0 -45 0 =45 0
• 因为ζ1 =ζZ ，所以ζ1 +ζ3=45 0 ，
即ζGAF= ζ
，又AG = AE, AF = AF ，所以，0，GAF 旦
. 所以
一一一一一=EF ，故DE+ BF=EF.
例1
C
图③
F
D
A
B
C
F
图②
(Z) 方法迁移
如图②，将Rt，0，ABC 沿斜边AC 翻折得到，0，A町，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的
点，且L_EAF=杠D础试猜想町，町，EF 之间有何数量关系?并证明你的猜想
(3) 问题拓展
如图③，在四边形ABCD 中
，AB=AD.E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，满足
L_EAF=仨DAB ，试猜想当3 与3 满足什么关系时，可使得DE+ BF = EF?
请直接写出你的猜想. (不必说明理由)
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
(永州市中考题)
例
1 展现了半角模型的特点及处理方式.
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的
两边相等.通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构
造全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型可把握问题的本质.
197
时每善带…挝美(八年银
·
分析与解
本例首先通过例题让我们感悟"旋转法"解题的本质，领会解题
思路，然后将此方法类比运用到新的问题情境中，最后再将问题拓展到一般情况，
探寻使结论成立需满足的条件.这类问题不仅结论可以类比，而且证明过程、思维
方式也可通过类比得出.
(1) EAF; LiEAF; GF
(2)DE+BF=EF. 理由如下:
如图④，假设ζ BAD 的度数为m 。，将LiADE 绕点A 按顺时针方向旋转m 。得到
LiABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得:
198
AB=AD ，BG=DE ，ζ1=ζ2 ，ζABG= ζD=90 0
，
λ ζABG+ ζABF=90 0 +90 0 =180 0 ，
即点G ，B ，F 在同一条直线上.
.: L.EAF=护，
1
0
1
.. ζ2+ζ3=ζBAD
ζEAF=m o -
~ m
O= ~ m
O
•
2 ".
2
. . ζ1=ζ2
，
γ ζl 十ζ3=护，
即ζGAF= ζEAF.
又AG=AE ，AF=AF ，GF=EF ，
:.LiGAfl♀LiEAF ，得GF=EF ，
又.: GF= BG+ BF= DE十BF ，λ DE+BF=EF.
(3) 当ζB 与ζD 互补时，可使得DE+BF=EF.
A
D
G
B
F
C
图④
这里呈现的图形.都是现实空间中的不
可能图形. 这些图形里凝聚着许多艺术家、数
学家的智慧和勤奋，是他们故意不按常规精
心设计出来的.你能看出这些图形的奇妙之
处吗?
...
完美正万形!J..:
第28i井
A
D
川
飞.... M/
I
I \
// ~刻F
|
尧如70/
I
B
E
C
例l 是与正方形相关的内接45 。角的问题，深入探究可得丰富的结论，且它们是
等价的，即:
如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上不与顶点重合的点，AE ，
AF 分别交对角线BD 于点G ，M，ME 与GF 的交点为o . 如果下列19 个结论中的
任何一个成立，那么其余1 8 个结论都成立:
①ζEAF= 45。或ζBAE+ζDAF=45 0 ;
( BE+ DF= EF;
③点A 到EF 的距离等于正方形的边长;
④AG=GF 或AM=EM;
⑤BCZ +MIY=GM气
⑤FG上AE 或EMj_AF;
⑦点。为6AEF 的垂心;
⑧6EFC 的周长等于正方形边长的2 倍;
( S"'AEF = S6ABE+S"'ADF ;
⑩S6AEF =2S"，剧;
。s五边形ABEFD =2SωEF;
@S正边形ABCD : S"'AEF=2AB : EF;
⑩S正边形脏'D
: S五边形ABEFD = AB : EF;
⑩ζAEB=ζAEF 或ζAFD=ζAFE;
@ζAMG=ζAEF 或ζAGM= ζAFE;
⑩6DMF'ω6AEF 或6BGE∞6AEF;
@6BGE，ω6DFM;
⑩6AGM∞6AFE;
⑩G ，E ，C ，F 或E ，C ，F ，M 四点共圆.
变式拓展推陈出新，探究本质; 合理演绎，寻芳探幽，织题成网，充分展现思
维的深刻性、灵活性、广阔性.
构造正方形
~
(1)如图①，在Rt6BCD 中，CD= α ，ζBCD =90 0 ，E 为6BCD 内一点，且
DE= DC ，BE= CE ，求ζCDE 的度数.
(2) 如图②，在6ABC 中，AD上BC 于点D ，ζBAC=45 0 , BD= 2, CD= 3 ，求
AD 的长.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
199
才\
C
图①
B
黄东坡@ 阳现放时( 叫)
·
分析与解
运用等腰直角三角形、45 0 的角、正多形的边等是构造正方形常
见形式.
(1) 如图③，作出等腰Rt L':，BCD 关于BD 对称的等腰Rt L':，BAD ，则四边形
ABCD 为正方形，L':，ABE'经L':，DCE ，L':，ADE 为等边三角形，可得ζ CDE=30 0
•
(2) 如图④，分别以AB ，AC 为对称轴，作出L':，ADB 、L':，ADC 的对称L':，AGB ，
L':，AFC ，并延长GB ，FC 交于点E ，则四边形AGEF 是正方形，设AD= 工，由BC'=
BØ +CØ 得CX- 2) 2+Cx-3 ) 2=5 2
，解得x=6 ，故AD=6 .
D
A
/' I八\""
、"，、\\、飞飞
0(
, /_____\-斤?C
"~D "
B' ，、/
图④E
、
、
、
B
图③
怎样求出
9 阶"完美矩形"中各个正方形的边长呢?
释放图形信息，充分代数化.
如图，设最小的两个正方形的边长分别为工，y ，则
所有正方形的边长都可以用工，y 来表示，见图中标示.
由水平对边长相等，得
C9x-5y)+C6x-2y) = C2x十5y) + Cx+ 2y) + Cx
+y) + C2x+ y) ,
9x-5y
6x-2y
2x+5y
化简为9x- 1 6y = O .
取工= 16 ，y =9 ，代入即得各正方形的边长，图中最大正方形的边长为9 X 16-5
X9=99.
矩形的边长为
1 77 和176 ，几乎接近正方形.
正方形是一种简单而完美的图形，有许多有趣而美妙的性质，在解有些问
题时，若能构造正方形，则能充分彰显正方形的特征，将分散的条件和结论联系
起来，在已知与未知之间架起一座桥.
200
..
完美正万形Ù.:
第28 讲
从一个基本图形出发，以其边为边向形外作特殊三角形，或特殊四边形，可生
成别具匠心、耐人寻味的"形外形"
例3
如图，已知AP 为6ABC 的中线，以6ABC
的AC ，AB 为边向形外分别作正方形ACDE 和
ABFG ，作AN上BC 并延长NA 交EG 于点M.
求i正: (l)GE= 2AP;
(2)M 是EG 的中点;
(3)AM= ~ BC
B
F
分析与解
通过作辅助线，将问题转化为线段相等问题、线段和差问题的
证明
，而发现全等三角形是证明的关键.
对于(1) ，延长AP 至点Q ，使PQ=AP ，证明6AB~6GAE.
对于(2) ，作GK上AM 的延长线于K 点，HEl_AM 于点H ，
由6AGK 旦6BAN ，6AEH豆6CAN ，得GK=AN=EH ，再证明6EMH
且6GMK.
•
B
F
F
区\iP
'Q
对于(白，由(2) 得AH=CN ，AK =BN ，
:.AH十AK = CN十BN = BC ，
即AM- HM十AM十KM= BC ，
而HM=KM，故AM= tBC
若把正方形的中心及相交线段中点结合起来，则可衍生出如下问题.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
201
黄东坡
带你发现敛学之美(八年级)
(1)如图①，以~ABC 的AC ，AB 为边向形外分别作出正方形ACDE 和
ABFG ，01
，02 分别是这两个正方形的中心，M 是BC 的中点. 求证:
01 M=02M 且
01M_l02M.
(2) 如图②，以~ABC 的AC ，AB 为边向形外作正方形ACDE 和ABFG ，M 是
DF 的中点.
①求证: MB=MC;
②若MN_lBC 于点N ，则N 是BC 的中点.
F
F
B
M
C
B
N
C
图①
图②
·
分析与解
充分利用中点，构造三角形中位线、全等三角形证明.
对于(1) ，如图③，连结ω ，BE ，证明~AGC且~BAE.
对于(2) ，如图④，作出正方形ABFG ，ACDE 的中心。1 和02' 连结01 M ，02M ，
则四边形A01 M02 是平行四边形，再证明~MB01 旦~CM02 '
F
S
图③
图④
1 202
••
完美正方形~.:
第28 讲
图①是199 5 年希腊为纪念2500 年前的毕达哥拉斯学派而发行的邮票，这个简
单的图完全可以展示出直角三角形各边的平方之间的关系.
图②
古希腊数学、几何学的奠基人、创始人欧几里得在其著作《几何原本》一书中，
曾用图②借助面积法证明了勾股定理，这可能是最古老的"形外形"在19 世纪的数
学界，寻找更聪明的转换方法来表现图形面积之间的关系成为风靡一时的室内
游戏.
图①
向数学之美探寻
1. 如图，正方形ABCD 的边长为6 ，点。是对角线AC ，BD 的交点，点E 在CD
上，且DE=2CE ，过点C 作CF j_ BE ，垂足为点F ，连结OF ，则OF=
(重庆市中考题)
B
E
H
K
G
B
C
B
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
(第3 题)
2. 如图，在四边形ABCD 中，AD // BCCBC> AD)
，ζ D= 90 o ,BC=CD= 12 ,
ζABE=45
0
，若AE=lO ，则CE=一一一一一·
3. 如图，在i'-.ABC 中，ζACB=90 0
，分别以AC ，AB 为边，在i'-.ABC 外作正方
形ACEF 和正方形AGHB
，过点C 作CK j_AB ，分别交AB 和GH 于点D ，K ，则正
方形ACEF 的面积5 1 与矩形AGKD 的面积5 2 的大小关系为
C
)
A~=~
R~ >~
C~ <~
II 不能确定
203
(第2 题)
(第
1 题)
时@带…牡美(八年级)
4 . 如图，在锐角L，ABC 中，AH 是BC 边上的高，分
别以AB ，AC 为边向形外作正方形ABDE 和ACFG ，连结
CE ，郎和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M 给出下列
结论:①BG=CE; ②BG_l CE; ③川是L，AEG 的中线;
D
④ζE剧\1=ζABC. 其中正确结论的个数是
A. 4 个
B.3 个
C. 2 个
D.l 个
E
B
H C
(第4 题)
(齐齐哈尔市中考题)
S. 在正方形ABCD 外侧作直线AP
，点B 关于直线AP 的对称点为E ，连结
BE ，DE ，其中DE 交直线AP 于点F.
P'
B
C
图①
(1)依题意补全图①;
(2) 若ζ PAB=20 0 ，求ζADF 的度数;
P
B
图②
C
(3) 如图②，若45 0<ζ PAB<90 0 ，用等式表示线段AB ，FE ，FD 之间的数量关
系，并证明.
(北京市中考题)
6 . 如图，以口ABCD 各边向形外作正方形，求证:所得4 个正方形的中心恰是
某个正方形的顶点.
(第6 题)
(莫斯科奥林匹克试题)
204
完美正方形U
第28 讲
也
在BE 上截取BG = CF ，连结∞，可证得6GB但6FCQ ，6ωF
1 平
_
n r.
r'r. _ 6 ，jI百
J2" T"'
6J5
为等腰直角三角形，GF= BF- BG= BF- CF一一一一
，QF=vn~GF=
2 -~
5
2. 6 或4
如图，过点B 作DA 的垂线交DA 的延长线
♀一-44一
G
于点G ，则四边形BC四3 为正方形
I
/ \
:
设CE= 工，则DE= 12
工，由例1 的逆命题可知AE=
1/ \!
CE+AG ，则AG= l O-x ，从而AD= 12 -AG=2 +x .
E~ \!
在Rt6ADE 中，有AP = A rJ 十DP.
I
_______ \i
即10 2 = (2 十工) 2+ (12
工) 2 .
C
B
解得工1 = 6 ，工2=4 . :.CE= 6 或4 .
3. A
连结FB ，GC ，由AF// EB ,AG// CK ，得Si[方形AFEC = 2SLiFAB ，S矩形/>GKD
= 2SLi脯，而6ACG旦6FAB ，故SI= S2 .
4. A
5. (1)略
(2) ζADF = 2 5 。
( 3) AB ，FE ，FD 满足的数量关系为FE 2 + Flj
= 2AB2.
如图，连结AE ，BF ，BD ，BF 交AD 于点G.
..点E 与点B 关于直线AP 对称，:.AE= AB ,FE=FB ,
可证得ζ FEA = ζ FBA.
':AB=AD ，λ AE= AD ，λ ζADE= ζAED ，
λ ζADE= ζABF.
又.. ζ DGF= ζAGB ，二ζ DFB = ζ BAD= 90 0 ，λ FB2 + Flj = Blj.
.: Blj =2AB2
，二FØ + Flj = 2AB2 .
C
P
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
J2 ~" J2
6. .: QC= v ，，~ BC= v ，，~ AD= SD ，ζ DCB + ζADC=180 0 ，ζ EDN + ζADC
2 ~-
2
= 36 0。一ζ EDC
ζ NDA=1 80~ ，
. ζ DCB = ζ EDN.
λ ζαA(=ζα~B+ζ且~D+ζ三四~R=ζBCD+ 90 0=ζEDN十900=ζSDR.
又':RC=RD ，λ 6QCR旦6 SDR ，二QR = RS.
同理QP = QR ，PQ= PS ，即PQ= QR = RS = SP. :.四边形PQRS 为菱形.
又.. ζ QRC= ζ SRD ，
λ ζ QRS= ζ QRD+ζ DRS = ζ QRD+ζ QRC= ζ DRC= 9 0 0
•
λ 四边形PQRS 为正方形.
205
‘- - - ~、，
心顿顿偌源在
一张普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成飞机、轮船、有趣的动物，在
时光的流转中，一些简单的折纸技术在中国和日本代代流传.
二十世纪的日本折纸艺术家吉泽幸被认为是现代折纸之父.他建立了描述折
纸技术的标准语言，将折纸技术提升至一个新的层面，使折纸被当作国粹，成为日
本小学的必修科目.
直到二十世纪八十年代，人们注意到折纸可以作为一个数学问题被加以研究，
折纸已构成数学中一个特别的分支:才斤纸数学.
才斤纸活动过程是一个充满着想象力、创造力和手脑并用的过程.通过折纸活
动，观察折痕所形成的边角关系，可以帮助我们建立折纸操作与数学内容的联系.
数学寓于才斤纸之中. 从折痕中能发现并揭示出大量几何的对象气和性质，如全
等、对称、相似、比例等，因此，折纸已成为现代几何学的一个分支.
h'" 4-
~~吨、飞if寻2乱;主立号:;?
1797 年日本出版的《秘传千羽鹤析形》被
认为是世界上第一本折纸书，记载气了当时所
知道的大量折纸图案.
吉泽章一生友明了五万多种新的才斤纸围
样. 他被看作是日本的一名文化大使.
206
折班申的数学发现C .
第29 讲
例1
如图，在矩形纸片ABCD 中
，AB =4 ，BC=8 ，将纸片沿EF 折叠，使点C 与
点A 重合，则下列结论中错误的是
(
D. AF= EF
G
A ~二一一-:f.----p
…一一
、、/
,
1'\
、、
I
,
…,
I '\
"、10
i
1
'\
I、、，
,
'\
I
、
I
I
'\/、、
l
L__主L_______'.，J
B
E
C
c. EF=Z J5
·
分析与解
易证明选项A 、B 是正确的，对于选项C 、
D ，通过引元计算，作出判断.
连结AC 交EF 于点。，设BE = 工，则AE= CE =8-x .
': AE:' =AB2 + B E:'
，即C8- X)2 =42 + X 2 ,
:. x=3
，得AE =5.
1 . ~ 1
:OA= ~ AC= 一X4 J5=Z 布，
2"~ 2
B. 6ABE旦6AGF
A. AF= AE
λ EF= 20E= Z -/ AE:' -百二Z J5 2 一Cz J5)2 =2 J5.
但AF= AE=5手2 J5= EF ，
故选D.
纸片折叠问题可从对称观点认识:
(1)折痕两边是全等的;
(2) 对应点连线被折痕垂直平分.
解纸片折叠问题常用到轴对称、勾股定理、方程等知识方法.
用矩形纸片折出尽可能多的图形.
用矩形纸片可以折出特殊三角形、特殊四边形、正多边形，下列图
例2
·
分析与解
示折纸过程，证明略.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
207
「h牛二二
ζ
一一一一一一-一…一一-一一…一-一一一-一一-一
L]C
A
|飞ll
~___J~_____J
<'.8
/C
L':，ABC 为等腰三角形
黄东坡
带你发现敬学之美(八年银)
A
A
Eι---------------IF一一··EL-
B
BL---
展开得6ABC 为等边三角形
A:
BL---------C
四边形ABCD 为平行四边形
四边形ABCD 为正方形
E
E
A
F
F
(E) L一一一一一一二"' C
四边形ABCD 为菱形
用较长的矩形纸条打个结，再压平即可得到一个正五边形ABCDE.
A
A
-
下面给出证明.
如图，ζ1=ζ 3 ，AB=AE ，AC=AD ，可证纸条的重叠部分ABα:;' ，ABFE 是菱
形，且全等，
所以ζ 1=L2= ζ3 ，ζ5=ζBAD= ζ1+ζ2=2ζ3 ，ζ4=ζ1+ζ2=2ζ3 .
在6AGE 中，可计算得ζ3 = 36 0 ，进而可求得ζ CBA= ζBAE= ζAED=
108 0
，ζ BCA= ζEDA=36 0 ，ζACD= ζADC=72 0 ， :. ζBCD= ζ EDC=108 0 ，
至此，五边形ABCDE 的五个内角相等，另一方面，可计算ζBCA=36 0 ，λ AB
=BC ，同理，BC=CD ，CD=DE ，
:.AB=BC=CD=DE=AE,
故五边形ABCDE 是正五边形.
208
折纸中的数学发现u
第29 讲
气
l
|
栩栩如生的折纸艺术
芳贺第一定律
例3
把正方形纸片的一边二等分、四等分有理论上的精确折法，而将一边三等分
却不易，这一折法是由日本筑波大学的生物学教授芳贺和夫发现的，被称为"芳贺
第一定理"
生一一
1二
B
其折法如下:
I ~ i
第一步:沿EF 折叠正方形纸片ABCD ，使左右两边盯\1
重合;
1 \K Qn
第二步:重新展开纸片，沿MN 折叠，使点D 与点E 重
j
j \>f
合，点C 落在点P 位置，EP 与BC 的交点Q 即为BC 边上的
U
F
l-
三等分点.
下面给出证明.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
先
E
嗦「
M 'r'..，平、
l
i\二:卜~飞"1η
K 「一一一卡::::了"~D
i1
、Na
D 一---7-一---'C
B
A
分析与解
证法1
设正方形ABCD 的边长为
1 ，
过点Q 作QK l_AD 于点K ，如图所示，则四边形DCQK 为
矩形.
:. CQ= DK ,KQ=CD= l.
设AM= 工，则MD=ME=l- x .
在RtDAME 中，由勾股定理得
X2 +(~) 2 二(l -X) 2 ，解得Ft
设CQ= DK =y ，则BQ= l -y ，肌
209
在Rω
在RtDEBQ 中，由勾股定理得( ~ f + (1 -
y ) 2 = Eq ,
黄东坡
带你发现费立学之美(八年级)
在Rω\lIEQ 中，由勾股定理得(专f + EQ' =MQ' ,
才51 2
/1\ 2
/U
Z
) + (一) +( l-y) 2 =lt-y)1 ，
8 I
飞
2
I
飞
U
解方程得y=÷ ，
即点Q 是BC 边上的三等分点.
证法2
如图，设正方形纸片的边长为1，则AE=BE=t
设AM= 工，则MD=ME=l-x ，
在RωME 中，由勾股定理得x2+ ( ~ f = (1- X) 2 ，解方程得x=去，
3
1
. AM AE cn 8
2
易证[iAME，∞[iBEQ ，.
一一-_一，即一=一一
. BE BQ'''''' 1
BQ'
2
2
. __
_
2
1
'.BQ=立，λ CQ二l
一=一即点Q 是BC 边上的三等分点.
3
3'
问题
如图①，图②所示，一张正方形纸片ABCD ，将点B 折至AD 的中点E ，
FG 为折痕.将点C 折至AD 的中点E ，ML 为折痕. 你能得到哪些结论?
A
五
D
A
E
D
H
/G7
Jf
L
Fk、
1
，」L
\、
i N... ..."
:::+~:
M r//!\才G
B
P
C
图②
B
图①
结论
(l) [iAEF 的边长之间的关系为句3 、股4 、弦5 ;
(2) [iAEF ，[iDKE ，[i HKG 相似;
(3)DK: DC=2 : 3;
(4)GH: DC=l : 8;
(5)FM : AB=l : 2;
(6)EN : NP= 5 : 3,
正方形是折纸的基本道具，是因为正方形有完美的性质.
2003 年11 月在上海召开的第二次国际数学开放题研讨会上，日本学者桥
本吉彦先生以一张正方形纸片的简单折叠展示了开放题的魅力.
210
第29 讲
f斤纸中的数学发现。
右上图为展开才斤纸作品《树垃》得到的才斤痕图，上面的折痕表现出许多数学特
征，使我们有规律可循.
20 世纪90 年代，美国科学家Robert Lang 写了一个名为TreeMaker 的程序，允
许人们输入心中想象的任意形状，计算机就能按照这一程序计算出该形状所需要
的折痕图形，从此，折纸艺术进入了自由王国.
今天，看起来并无实际用途的而只是基本兴趣的折纸活动以出乎意料的方式
在实际中得到应用，如轮胎的胎纹设计、人造血管支架设计等.
2004 年，日本宇宙科学研究所在发射太阳能飞船时意识到，为外太空航行提供
能源所需的太阳能板需要尽可能大的展开面积，而这些太阳能板又必须能够被折
叠到尽可能小的状态才能在发射过程中装进狭小的飞船船舱，而且折叠和展开的
过程都必须尽可能简单，才能在无人环境中顺利完成，这正是折纸技术所要研究的
问题.于是，东京大学宇宙科学研究所教授主浦公亮发明了一种折纸方法，提供了
一个完美的解决方案，这一方案被称为"三浦折叠法"
折纸已经成为一项蕴含数学本质且与思维活动密切相关的智力活动.
a
今天. 才斤纸广泛应用在生活中，如医学、
航空航天等高科技领域.如图，2015 年升空的
太空望远镜被折叠进了整流草里.
宦"'II'i
从数学的角度去研究折纸，从数学教学
的视角去开发折纸.
才斤纸数学，所有从事这一领域研究的科
学家几乎一开始都只是被折纸过程所蕴含的
简单而纯粹的美所吸引，但他们的工作开启
了一个科学和工程学的宝库.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
先
211
黄东坡@ 带…白美( 八年级)
l. 对一张矩形纸片ABCD 进行折叠，具体操作如下:
第一步:先对折，使AD 与BC 重合，得到折痕MN ，展开;
第二步:再一次折叠，使点A 落在MN 上的点A' 处，并使折痕经过点B ，得到
折痕BE ，同时，得到线段BA' ，EA ' ，展开，如图①;
第三步:再沿EA'所在的直线折叠，点B 落在AD 上的点B'处，得到折痕EF ，
同时得到线段B'F ，展开，如图②.
(1)证明
: ζABE= 3 0 0 ;
(2) 证明:四边形BFB'E 为菱形.
A
F
lD
M ←γ
，/μ;一一-一---j N
B
C
Ar----!..
B --, D
M 厅:去?千'一一--iN
F
C
图①
图②
(临沂市中考题)
2. 动手操作
如图①，四边形ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形ABCD 对折，使BC 与
AD 重合，折痕为EF ，把这个正方形展平，然后沿直线CG 折叠，使B 点落在EF 上，
对应点为B'.
数学思考
(1)求ζ CB'F 的度数;
(2) 如图②，在图①的基础上，连结AB' ，试判断ζ B'AE 与ζGCB' 的大小关系，
并说明理由.
D
D
Gi
B
C
图①
C
一
②
一
图
户
M
I
l
t
B
212
折班中的数学发现C.r
第29 讲
方
法
.
思
维
、
应
用
之
美
解决问题
(3) 如图③，按以下步骤进行操作:
4ι一一半又一
D
第一步:先将正方形ABCD 对折，使BC 与AD 重合，折
广、严
痕为EF ，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB 与DC 重
IR'/
:
亏飞了一行了-)，~;-IF
合，折痕为MN ，再把这个正方形展平，设EF 和MN 相交于
1/ 飞"I O /D
G 卜飞飞_ '" í
点。;
i 飞飞主斗
:
P:
第二步:沿直线α 折叠，使B 点落在EF 上，对应点为
f一节一-c
B'; 再沿直线AH 折叠，使D 点落在EF 上，对应点为D' ;
图①
第兰步:设CG ，AH 分别与MN 相交于点P ，Q ，连结B'P ,PD' ，D'Q ，QB'. 试判
断四边形B'PD'Q 的形状，并证明你的结论.
213
3. 我们知道，A4 ，B5 复印纸是彼此相似的长方形，它们的长宽比是J2
: 1，我们
称这样的长方形为"J2长方形"对于一张正方形的纸片，仅使用折叠的方式就可以
将它折成"J2长方形"的形状，步骤如下:
第一步:折叠正方形ABCD ，使其对角线BD 为折痕;
第二步:折起ζ C ，折叠后将BC 与BD 重合，折痕为BH ，点C 关于BH 的对称
点为G;
第三步:折叠出过点G 的折痕EF ，使EF//AD.
如图所示，则长方形BCFE 为"J2长方形"
(1)请对上面得到的结论给出证明;
(2)请在正方形纸片上折叠出"13长方形"，同时叙述折叠的步骤并给出证明.
(北京市数学知识应用竞赛试题)
A
D
r , ,
E 卜一一-号毛--jF
/1H
兰..........
B
C
黄东坡
带你发现敛学之美(八年级)
g
214
1. (1)由题意知，M 是AB 的中点，DABE 与DA'BE 关于BE 所在的直线
对称.
:.AB =A'B ，ζABE=ζA'BE.
在RtDA'MB 中，MB=÷AFB ，
.. ζBA'M=30 0 'L乙A'BM=60 0 'L乙ABE=30 0 •
(2) .: ζABE=30 0 ， :.ζEBF=6 0 0 ，ζBEF=ζAEB= 60 0 ，
二DBEF 为等边三角形.
由题意知，DBEF 与DB'EF 关于EF 所在的直线对称，
:.BE=B'E=B'F=BF, :.四边形BFB'E 为菱形.
2. (1 )ζ CB'F=30 0 •
(2)ζB'AE 二ζGCB'=15 0 •
(3) 四边形B'PD 'Q 为正方形.
如图，连结AB ' ，由(2) 知，ζB'AE = ζGCB' . 由折
叠知，ζGCB'=ζ PCN ，λ ζB'AE =ζ PCN.
由对折知，L_AEB' =ζCNP=队AE=÷AB ，
CN= ~ BC
又.. 四边形ABCD 是正方形，λ AB = BC ，AE= CN ，
λ DAEB'旦DCNP. :.EB' =NP.
同理可得，FD'=MQ ，由对称性可知，EB'= FD' ，
:. EB'=NP=FD' =MQ.
由两次对折可知，OE= ON= OF= OM，
:.OB' = OP= OD' =α:2. ，'，四边形B'PD'Q 为矩形.
由对折知MNj_EF 于点。，λ PQj_B'D'于点。，
λ 四边形B'PD'Q 为正方形.
3. (1)过点G 作BC 边的垂线，与BC 相交于点M ( 如
A
D
图①).由折纸的第三步可知，折痕EF // BC ，从而四边形
BMGE 构成一个正方形，且有BG: BE= J2 : 1.由折纸的
第二步可知BG = BC. 因此矩形BCFE 的长宽比为BC:
BE= BG : BE=J2: 1.从而它是一个"J2长方形"
B
M C
图①
折纸中的数学发现ι;
第29 i:井
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
215
(2) 折叠"13长方形"，如图②.
第一步将正方形ABCD 的两对边AB 与CD 重合对
折，折痕为EF;
第二步过点B 将点C 折到EF 上，折痕为BG ，点C 关
于BG 的对称点为H;
第三步延长BH 交AD 于点M ，折叠出过点M 的折
寝MN ，使MN // AB.
则四边形ABNM 为"13长方形"
证明:显然6BCH 是正三角形，HF 是这个三角形的高，故HF =13BF.
又6BFH∞6BNM ，所以MN =13BN.
A
(S[1f)
CH数学文化巡礼
1 900 年8 月，第二次国际数学家大会在法国首都巴黎举行.
这一天，著名的德国数学家希尔伯特正进行即将影响整个世纪数学进程的精
彩演讲"有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门学科发展的前
景和奥秘? 有谁不想知道我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标?
在广阔而丰富的数学思想领域里，新世纪将会带来什么样的新方法和成果?"希尔
伯特那极富感染力的演讲深深吸引了与会的数学家们.紧接着他向与会者提出了
23 个数学问题作为献给2 0 世纪数学界的丰厚礼物，这便是数学史上极负盛名的
"希尔伯特问题"
其中的第
3 个问题是:两个体和、相等的多面休，能否把其中一个字l 分成有限多
块后拼成另一个多面体? 次年，德国数学家戴恩证明是不可能的，戴恩因此而名震
数学界.
图形的拼合，就是把一个图形通过分割后再重新拼接组合，得到一个新的
图形.
图形的分割，就是在保持面积不变的前提下，将一个或几个图形分割成两个或
几个图形.
图形分割与拼合问题，跳出非算f!p证的传统问题模式，集趣味性、探索性、实验
性于一体.
动手实践，观察思考，将计算与操作相结合，是解图形分割与拼合问题的出发
点;运用对称、全等、面积关系、不变量等是解图形分割与拼合问题的方法策略.
216
第30 i.并
圄形的拼合与台割!.J.:
国际数学家大会(JCM) 是
由国际数学联盟C I MU) 主办的
全球性数学科学学术会议，每四
年举行一次. 第十五届国际数学
家大会于
1 9 66 年在苏联的莫斯
科召开.缩写叮CM" 首次被正式
使用
.
2 00 2 年第二十四届国际
数学家大会在中国的北京召开.
会标是中国古代证明勾股定理
的赵爽弦图.
例1
任意给出两个面积相等的平面几何图形，是否都能将其中一个剪成若干个
小多边形拼成与另一个面积相等的图形?
·
分析与解
尽管这个问题提出来已经有2300 年的历史了
，而它的解决却
是200 年前的事情.
1 9 世纪，匈牙利数学家鲍耶证明了下述定理
:
任意给定两个面积相等的多边形，它们互相之间
都可以通过剪拼得到.
追溯历史，我们可以发现鲍耶运用的方法就是化
归为基本图形的方法，从而解决问题.
三角形、四边形是简单的平面图形，多边形可分
匈牙利数学家鲍耶
· 亚诺什
割为三角形或四边形. 鲍耶步步化归、层层推进，证明
(1 802一1 860)
过程如下:
FTYS?
曰巴→古
方
法
、
思
维
、
庇
用
之
美
217
黄东坡
带你发现数学之美(八年级)
(1)任意一个三角形可以剪拼成一个矩形;
(2) 任意一个矩形可以剪拼成一个正方形;
(3) 两个正方形可以剪拼成一个大正方形;
(4) 任意多个正方形可以剪拼成一个大正方形;
(5) 任意一个多边形都可以剪拼成一个正方形.
例
1 清晰地展示了人们在解决图形剪拼这个数千年前的难题的过程中，是
如何化归为简单问题作为起点、作为阶梯而获得成功的，也正是它们令人信服
地告诉人们应当向数学界的先贤们学习些什么.
￡穷的玩ι
__.院的'霞'与篝行
何谓数学特有的思维方式?化归是具有
数学特征的典型思考方式.
匈牙利数学家路莎
· 彼得在其名著《无
穷的玩艺》中曾言"不对问题进行正面进攻，
而是不断地将它变形，直到把它转化为已经
能够解决的问题"
现有若干个边长为1 的小正方形.
(1)将2 个小正方形剪拼成一个正方形;
(2) 将3 个小正方形剪拼成一个正方形;
(3)将5 个小正方形剪拼成一个正方形;
(4)将n 个小正方形剪拼成一个正方形.
·
分析与解
因为正方形的拼剪与日常生活关系密切，故它们历史悠久，
第一本系统地讨论这个问题的书是一位10 世纪的阿拉伯数学家阿卡尔·维法
的著作.
(1)略
(2) 这是一个历史上的难题，直到公元
10 世纪，阿拉伯数学家阿卡尔·维法才
解决了这一难题.
曰曰口习'
218
...
圄形的拼合与分割t.!.:
第30 讲
叫/{\1\|
正与=
l/ I
I
之ι千/
(4) n 个边长为
1 的正方形接在一起，就得到一个长为n 、宽为
1 的矩形. 更一般
的情况是:能否把长为a 、宽为
b( α >b) 的矩形剪拼为一个正方形?可用下图表示
的方法剪拼，其中m 为满足不等式(m+ l) VÍab<α<(m+2) vÍab的整数解.
←干二=-j
t-::=:::-芝二三才
→~二与
」一-一一」
:--Fab-l
Fab'
一'Fab
rn -/ab
这样，自然就想到两个等积的多边形可以相互剪拼，这就是著名的鲍耶定理.
对于(2)
，20 世纪英国人杜邓奈提出了如图更为巧妙的剪拼法:
h~
6
川七|
解决图形剪拼问题并没有方法可循，需要充分发挥个人的直觉、机敏与创
造力，多数情况下并不能证明现有的剪拼法分割块数是最少的，长久保持着的
纪录常被新的、更巧妙的剪拼法所打破.
请欣赏几个奇妙的剪拼法:
方
法
、
思
维
.
应
用
之
美
219
正十二边形到希腊十字(六块)
六角星到正三角形(五块)
正六边形到正方形(五块)
主-LW
F巳字形到f方形/ --'--块
气r-- J I/ 土ULJJ 儿2 飞/'\与尺
黄东坡@ 制
马耳他十字到正方形(七块)
-
•[M
+
通过恰当剪切，希腊十字可拼成正方形.
运用面积不变是解剪拼问题的关键.虽然是动手操作，但是"算"是关键，应
遵循"想、算、剪、拼、验"的思路去解决.
如果需要把一块金属板切成一些这种或那种形状的零件料时，怎样才能使
材料的消耗减到最低限度? 由此可见，图形剪接虽是一种抽象几何问题，但它
对工程技术人员有很大作用.
理主y
给定一个正方形，问对于怎样的正整数n ，总可以把这个正方形分成n 个互
不重叠的小正方形? (这些小正方形的大小可以是不相同的)
·
分析与解
这是1 98 1 年在美国举行的第二十二届国际数学竞赛的候选试
题，解决它并不需要高深的知识，但需思维敏捷，有迅速抓住问题关键的能力. 如图
①、②、③、④，将一个正方形剪成4 ，6 ，7 ，8 个小正方形.
tfj
什国2
|I II 1_ 1
I
忖下们
图①
图②
220
图③
图④
第30 讲
图形的拼合与分割b
每个正方形都可分成4 个小正方形，从图①出发，由n=4 开始，重复地将一个
正方形分成4 个小正方形，可依次得(3走+ 1) 个(走为大于l 的自然数) 小正方形;
从图②出发，由n=6 开始，重复地将一个正方形分成4 个小正方形，可以依次
得3走个(走为大于1 的自然数)小正方形;
从图④出发，由η=8 开始，可依次得(3走+ 2) 个(走为大于
1 的自然数)小正
方形.
综上得:当η>5 时，总可以把这个正方形分割成n 个互不重叠的小正方形.
可以证明n=2 ，3 ，5 时，一定不能分割.
例3 不但证明了只要η手2 ，3 ，5 ，总可以将一个正方形分割成η 个互不重叠
的正方形，而且还告诉我们如何去分割，这种证明，称为"构造性证明"
科学发展的每一个时代都有自己的问题，希尔伯特站在数学研究的最前沿，高
瞻远瞩地用23 个数学问题，预示20 世纪数学发展的进程. 百年来，人们把解决希尔
伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成是至高无上的荣誉，时至今日己过去一百多
年，这23 个问题约有一半获得解决，有一些已经取得重大进展，还有一些仍然悬而
未决.
据统计，1936- 1974 年间，荣获数学界的最高奖项菲尔兹奖的20 位数学家中，
至少有12 人的工作与希尔伯特问题有关.
重要的问题历来是推动科学前进的杠杆之一，但一位科学家如此自觉、如
此集中地提出一批问题，并且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上是
罕见的.
大数学家外尔在悼念希尔伯特时曾这样说"希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛
手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进数学的深河"
看似简单的拼合与分割，却充满了数学智慧与思考，虽是"动于操作"类问题，
却需要先思后做.
菲尔兹(1 863- 1932) . 生于加拿大的渥
太华.1924 年. 菲尔兹成功地在多伦多筹办
ICM . 正是在这次大会上. 菲尔兹提出把大会
给余的经费用来设立一个数学奖金. 他在去
世前.立下遗嘱并留下一笔钱加到前述的剁
余经费中.后以他的名字命名为..菲尔兹奖
i消肖息很快传遍世界. 白
l山93列6 年首次颁发菲尔
兹奖后.数学界一直把它作为数学研究的最
高荣誉.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
先
221
黄刷@…… (八年饭)
向[辩之嫌
1. 如图，已知四边形ABCD ，现需将该纸片拼成一个与它面
积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多两条，能否做到?
(横线上填"能"或"不能"若"能"，请确定裁剪线的位
置，并说明裁剪方法;若"不能"，请简要说明理由. )
2. 如图，将一张正方形纸片剪成4 个小正方形，共得到
4 个小正方形，称为第一次操作;然后，将其中一个正方形
再剪成4 个小正方形，共得到7 个小正方形，称为第二次操
作;将其中一个正方形再剪成4 个小正方形，共得到10 个
小正方形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到
2011 个小正方形，则需要操作的次数是
A户
(天津市中考题)
A. 669 次
B. 670 次
c. 671 次
D.672 次
(晋江市中考题)
3. 今有长度分别为1，2 ，…，9 的线段各一条，从中选出若干条线段组成"线段
组"，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的"线段组"共有多少组?
(全国初中数学联赛题)
4. 我们在解决数学问题时，经常采用"转化"(或"化归")的思想方法，把待解决
的问题通过某种转化过程，归结到一类己解决或比较容易解决的问题上来.
譬如，在学习了一元一次方程的解法以后，进一步研究二元一次方程组的解法
时，我们通常采用"消元"的方法，把二元一次方程组转化为一元一次方程;再譬如，
在学习了三角形内角和定理以后，进一步研究多边形的内角和问题时，我们通常借
助添加辅助线，把多边形转化为三角形，从而解决问题.
222
第30 讲
圄形的拼合与分割Cr
问题提出
如何把一个正方形分割成n( η注9)个小正方形?为解决前面的问题，我们先来
研究两种简单的"基本分割法"
基本分割法1 ，如图①，把1 个正方形分割成4 个小正方形，即在原来1 个正方
形的基础上增加了3 个正方形;
基本分割法2. 如图②，把1 个正方形分割成6 个小正方形，即在原来1 个正方
形的基础上增加了5 个正方形.
曰~白白苦口
图①
问题解决
有了上述两种"基本分割法"后，我们就可以把1 个正方形分割成n(n注的个小
正方形.
(1)把1 个正方形分割成9 个小正方形.
一种方法: 如图③，把图①中的任意1 个小正方形按"基本分割法2"进行分割，
就可增加5 个小正方形，从而分割成4 + S = 9(个)小正方形.
另一种方法:如图④，把图②中的任意1 个小正方形按"基本分割法1 "进行分
割，就可增加3 个小正方形，从而分割成6 +3=9(个)小正方形.
(2) 把1 个正方形分割成10 个小正方形.
方法: 如图⑤，把图①中的任意2 个小正方形按"基本分割法1"进行分割，就可
增加3 X2 个小正方形，从而分割成4+ 3 X2= 10(个)小正方形.
(3)请你参照上述分割方法，把图⑤给出的正方形分割成11 个小正方形. (画出
草图即可，不用说明分割方法)
(4) 把1 个正方形分割成η(η注的个小正方形.
方法: 通过"基本分割法1" 、"基本分割法2"或其组合把1 个正方形分割成9
个、10 个和11 个小正方形，再在此基础上每使用1 次"基本分割法1" ，就可增加3
个小正方形，从而把1 个正方形分割成12 个、13 个、14 个小正方形，以此类推，即可
把1 个正方形分割成n( η注9 )个小正方形.
从上面的分法可以看出，解决问题的关键就是找到两种基本分割法，然后通过
这两种基本分割或其组合把正方形分割成η (n注9)个小正方形.
类比应用
依照上面的方法，我们可以把1 个正三角形分割成η(η注9)个小正三角形.
(1)基本分割法1 :把1 个正三角形分割成4 个小正三角形(请你在图①中画出
图②
图③
图④
图⑤
图⑥
草图) .
卜
刀
法
、
思
维
.
陆
川
之
先
223
黄东坡@ 带…
(2) 基本分割法2: 把1 个正主角形分割成6 个小正三角形. (请你在图②中画
出草图)
(3) 分别把图③、图④和图⑤中的正三角形分割成9 个、10 个和11 个小正三角
形. (画出草图即可，不用说明分割方法)
66666
图①
图②
图③
图④
图⑤
(青岛市中考题)
'
功
1.能如图所示.
A
E户主斗J斗F
3 i 4
B
G
C
2. B
由3n+ 1 =2011 q导n=670.
3 . 因为九条线段长度互不相等，要拼接成四条边长都相等的正方形，至少
要7 条.所以这些正方形边长至少是7(=1 十6=2 + 5=3 + 4) ;又这九条线段
i45l
总长是1+2+ … +9= 屿，可见所求正方形边长不大于l~VJ=l l.现对正方形
边长(7 ~1 1)分类列举如下:
(1)边长为7 的正方形只有1 个.因为7 =6+ 1 =5+2=4+3 ，即只有一组
r 2_ /3 \
H叫J卡--"1
A ';~\ A I
f主
i 川~
E 户一-;--一IF
l-3i4[
B
G
C
"线段组": {1,2,3,4,5, 6,7};
(2) 边长为8 的正方形只有1 个.因为8=7 十1 =6 十2=5+3 ，即只有一组
"线段组": {1,2,3,5,6,7,8};
(3) 边长为9 的正方形有5 个.因为9 = 8 + 1=7 十2=6+3=5+4 ，所以有
五组"线段组":
{ 9 ，1 ，2 ，3 ，6 ，7 ，剖，{ 9 ，1，2 ，4 ，5 ，7 ，剖，{ 9 ，1，3 ，4 ，5 ，6 ，8 }
，{ 9 ，2 ，
3,4,5,6,7}, {1,2,3,4,5,6,7,8};
(4) 边长为10 的正方形只有1 个. 因为9+1=8 十2=6 + 4=3 + 7 ，即只有
一组"线段组" : {1,2,3,4,6,7,8,9} ;
224
圄形的拼合与分割J
第30 讲
(5) 边长为11 的正方形只有1 个.因为9 + 2 = 8 十3 = 7 + 4=6 + 5 ，即只有
一组"线段组": {2,3,4,5,6,7,8,9};
综上所述，共有9 组"线段组"分别拼接成9 个正方形.
4. 把1 个正三角形分别分割成9 个、10 个和11 个小正三角形:把1 个正
三角形分割成η(η二三9) 个小正三角形的分割方法: 通过"基本分割法1"( 如图
①)、"基本分割法2"( 如图②)或其组合，把1 个正三角形分割成9 个、10 个、11
个小正三角形，再在此基础上每使用
1 次"基本分割法1" ，就可增加3 个小正
三角形，从而把1 个正三角形分割成12 个、13 个、14 个小正三角形，以此类推，
即可把1 个正三角形分割成n(n注9) 个小正三角形.
图②
图①
扣
刀
法
、
思
维
.
院
用
之
走
225
图⑤
图④
图③
(\) 中点四边形------------------------------------------.
6?圈立学文化巡礼
如图①，任意画一个平面多边形po ' 取其各边中点，按顺序连结成一个新的多
边形P 1 ，对Pj 重复以上操作得到P2 ，继续下去，则得到一个多边形序列{ Po ' 日，
P 2 , … ,Pm,… } .我们称Pm 为P m- 1 的"凯纳斯多边形"，其中m 为正整数.
数学家凯纳斯对这种多边形作过研究，发现以下结论: {P j ，PS ' … 'P2什j ' … }
从形状上逼近一个确定的n 边形p ，而{ Pz ，丑，… ，P2n ，… } 则从形状上逼近另一个
确定的n 边形Q ，且P 与Q 内接于同一个椭圆
~ -..… ι
怦;t.... "&' 4"
A
守
Jr
,,
J
Mbaw--
r
'
4
、
、
'
中点三角形
~:o!..
斗{~马4 些
图②
; ~\，-~型号也咒勺子
图①
图③
特别地，当时时，就得到W中点三角形
论可以知道，这里得到的相邻三角形的相似比为2: 1.三角形的凯纳斯多边形序列
逐渐向一点逼近，这一点就是三角形的重心.
当η =4 时，如图③，顺次连结四边形ABCD 各边中点，得到的四边形
Aj B1 Cj D1 称为中点四边形，中点四边形A 1 Bj CLDj 有下列重要性质:
(1) 中，点四边形为平行四边形;
,
VLJ
tJ 飞JJ' 可
m叫叫=÷S叫脏D ;
(3)口A1 B1C1 Dj 随房、四边形对角线的改变而变为特殊平行四边形;
226
""
~
"，
亏
、
，
-
h
s
v
U
咽
，
中点四边形~.:
第31 讲
菲尔兹奖被认为是..数学界的诺贝尔奖"自
1 936 年
首次颁发以来已有八十余载. 旨在奖励4 0 岁以下的杰出
数学人才.
伊朗籍斯坦福大学数学教授玛利亚姆
· 米尔扎哈尼
于2 0 14 年获得菲尔兹奖. 她是七十八年以来首位女性菲
尔兹奖得主. 199 4 年.当米尔扎哈尼
17 岁时，她在国际数
学竞赛中获得一枚金牌.在竞赛的激励下，米尔扎哈尼深
深地爱上了数学.她说"为了发现数学的美. 你必须花一
些精力和努力"
D
如图，在四边形ABCD 中，AC= 6, BD= 8 ，且AC l_ BD ，顺次连接四边形
ABCD 各边中点，得到四边形A j B j Cj Dj
; 再顺次连接四边形A j B j Cj D j 各边中点，
得到四边形A2 B 2 C2 D2
; …;如此进行下去得到四边
A
形A"B "C "D " .
(1)求证:四边形A j B j C j D j 是矩形;
(2) 写出四边形A 1 B j C 1 D 1 和四边形A 2 B2 C2 D2 的
面积;
(3) 写出四边形A "B "C "D " 的面积;
(4) 求四边形A 5 B 5 C5 D5 的周长.
~J
C
(贵阳市中考题)
分析与解
四边形儿，什1 B 2"+ j C2,,+ 1 D 2"+ j 是一组相似的矩形，四边形
Az7IB 271C 271D 2" 是一组相似的菱形，四边形A "B"C "D " 的面积与四边形A"-l B"-l C,,_j -
D "一l 的面积有密切关系，这是解本例的关键.
(1 ) ': A j D j斗BD ，B j C1斗BD ，
•
方
沾
、
思
维
、
戚
朋
之
去
解
λ A l Dj _fl.B j C1 ，四边形A 1 B j C 1 D 1 是平行四边形.
γ AC上BD ，AC//AIBl ,BD// AjDj , :. A j B j 上A j Dj ，IìPζB j A j Dj =90 0 ,
二四边形A j B j Cj Dj 是矩形.
(2)5短形A ，B ，C，D，= 12 ，5菱形A，B，C，D，= 6.
(山
227
( 4) 由(1)得矩形A j B j Cj D 1 的长为4 ，宽为3 .
..矩形A 5 BS C5 D5ω矩形A j B 1 C j D j
，
黄东坡@…数时八年级)
..设矩形As B5 C5 D5 的长为缸，宽为川o 4x • 3x=去X24 ，解得x= 士，
(, ,
3
、
7
汕=IJz=? ，故矩形A5 B5 C5 D5 的周长为2 X P +~ ) =2
t〉YL叫l
以3去吁中'三I
这幅以表现"无穷"概念为主题的作品，
是以无数形状完美的惭场组成，并使它们的
头尾汇聚，运用对称、旋转等方法，从外向内
无限缩小，以表现世界事物的无限性，给人以
丰富的哲理想象空间.
巳态:记|
线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角
形斜边中线、三角形中位线、梯形中位线、中心对称图形等丰富的知识，恰当地
利用中点、处理中点是解与中点有关问题的关键.由中点想到什么? 常见的联
想路径是中线倍长、作直角三角形斜边的中线、构造中位线、构造中心对称、构
造全等三角形等.
例2
在Rt6ABC 中，AB= BC ，在Rt6ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 的中
点M ，连结DM 和BM.
(1)若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 与
DM 的关系并给予证明;
(2) 如果将图①中的6ADE 绕点A 按逆时针方向旋转小于45 0 的角，如图②，
那么(1)中的结论是否仍成立? 如果不成立，请举出反例;如果成立，请给予证明.
/队
图①
图②
·
分析与解
充分运用中点是解决问题的关键，有用捕
捉、有关提取、有效组合，添加与中点相关的辅助线，对于(2) ，
可得到不同证法.
【证法一】
中线倍长
如图③，延长BM 到点F ，使MF= BM ，连结EF ，DB ，DF ，
228
(广州市中考题)
除队
图③
..
中点四边形!J;
第31 讲
E
;_
B
C 户可托~ "
J/D VM、、
A
F
C
': BM= MF ，ζBMC= ζFME ，CM=EM ，
二L，BCM旦L，FEM ，
:. BC=FE=BA ，ζBCM= ζ FEM ， :. EF // BC.
.: BC_lAB ，λ EF
_lAB ，ζFED=ζBAD ，
λ L，FED(/)L，BAD ， :. BD= FD ，ζ EDF=ζADB ，
所以ζEDB+ζBDF=ζEDB+ζEDA ，即ζBDF= ζEDA =90 0•
λ DM=BM ，DM_l BM.
【证法二】
构造中位线
如图④，分别取AC ，AE 的中点F ，G ，连结MF ，MG ，则
MF ，MG 是L，ACE 的中位线，利用三角形中位线性质有MF=
AE~.. AC
亏一，GM=丁，再连结∞.BF ，
图④
AE _~ AE
: MF='2~'∞=τ' λ MF=DG ，同理BF= MG.
. . ζ CFM= ζ CAE=ζMGE ，ζ DGE= ζBFC=90 0 ，
二ζBFM= ζMGD ，
二L，BFM旦L，MGD ，得DM= BM. 由BF_lMG 得DM上BM ，
即BM= DM，BM_lDM.
B
A
N
C
M
(全国初中数学联赛试题)
例3
如图，在L，ABC 中，已知ζACB =90 0 ，AB 边上的高
CH 与L，ABC 的两条内角平分线AM ，BN 分别交于P ，Q
两点，PM ，QN 的中点分别为E ，F. 求证: EF//AB.
从图形的形成过程逐步探索相应结论，将原问题分解为多个
问题.
(1)如图①、②，L，CPM ，L，CNQ 皆为等腰三角形，连结CE ，CF ，则CE_l PM ，
CF _lNQ.
A
分析与解
•
方
法
、
思
维
、
内
用
之
先
A
A
B
229
图③
B
叫图③，分别延长CE ，CF 交AB 于点S ，R ，则EF斗RS
图②
B
M
图①
黄东坡@ 带你发现数时人年报)
例3 表明，一些综合题常是几个简单、熟悉的典型题组合、嫁接而戚，模式识
别、分解基本图形、化大为小，是解综合题的重要策略.
气候真的在变暖吗?太阳系会突然解体吗?在网
络上发送信用卡号码安全吗?如何才能在赌场赢钱?
T~ 队mGF
'‘"r告er坪，
人类不断提出问题，试图预测未来，数学正是人类
创造出来的最强大的工具，帮助我们应对所生存的这个
狂野而复杂的世界.
事A民·电也疆恤
最先激发米尔扎哈尼的数学兴趣的是她
的哥哥，她的哥哥给她讲了小高斯仅用几秒钟
就解决了"1 十2 十3十… + 100 求和"的故事，米
尔扎哈尼后来说
.，这是我第一次欣赏到数学
解法的美妙之处. 虽然在当时我自己想不出这
个解法"从那时起，数学的种子就在她心中生
根友芽，她发现，投身数学海洋学习的时间越
长，越能领略到数学激动人心的魅力.
"我有体会，如果数学一开始没有引发你
的兴趣，它看起来就是毫无意义的、冷冰冰
的，数学之美只会展现给那些更有耐心的追
求者"
向I数学浦嗣
米尔扎哈尼在黑板上演算
1. (1 )如图①，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱
形各边的中点得到一个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则
第n 个矩形的面积为
( 兰州市中考题)
口∞囹。固。圈。
图①
230
中点四边形~.. :
第31 讲
C
D
A
(2) 如图②，在菱形ABCD 中，边长为
10 ，ζA=
60 0 •
}I顶次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形
AjBjCjDj ;}I!Yî次连结四边形A j B j CjDj 各边中点，可
得四边形Az Bz Cz Dz ; }I质次连接四边形A z Bz Cz Dz 各
边中点，可得四边形A 3 B3 C3 D3
; …，按此规律继续下
去，则四边形A z B 2 C2 D2 的周长是一一一_;四边形
A20j3 B20l3 C川D川的周长是
(街州市中考题)
A
_.".,
D
B
2 . 如图，在四边形ABCD 中，AC= α ，BD=b ，且
AC_lBD ，}1质次连结四边形ABCD 各边中点，得到四边
形A j B j Cj D j
; 再顺序连结四边形A j B j C j D j 各边中
点，得到四边形Az B2 Cz Dz
; … ，如此进行下去，得到四
边形A "B "C "D " . 给出下列结论: ①四边形A 4 B4 C4 日
c
a 十b
是菱形; ②四边形A3 B3 C3 D3 是矩形; ③四边形A 7 B 7 C7 D7 的周长为一百一; ④四边形
A"B "C "D " 的面积为争其中正确的是
D. ①②③④
(鄂州市中考题)
3 . 四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线交于点p
，过点P 作任意直线EF ，且
EP= PF ，试说明不论EF 的长度与位置如何，线段AE ，BF 的中点连线MN 一定经
过某一固定点.
c. ①③④
B. ②③④
A. ①②③
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
231
B
时@带叫数时(叫)
4. 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程:
操作发现
在等腰L':，.ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向L':，.ABC 的外侧作等腰
直角三角形，如图①所示，其中DFj_AB 于点F ，EG上AC 于点G ，M 是BC 的中点，
连结MD 和ME ，则下列结论·①AF=AG= iAB; ②MD= ME; ③整个图形是轴
•
'-6"
"
, .~
2
对称图形; ④ζDAB=ζDMB. 其中正确的结论是一一一一. (填序号)
数学思考
在任意L':，.ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向L':，.ABC 的外侧作等腰直角三角
形，如图②所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，则MD 和ME 具有怎样的数量
和位置关系?请给出证明过程;
类比探索
在任意L':，.ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向L':，.ABC 的内侧作等腰直角三
角形，如图③所示，M 是BC 的中点，连结MD 和ME ，试判断L':，.MED 的形状.
答:
D‘二
B
B
232
A
/
\
M
图①
A
D
图③
/手If E ~E
C
图②
C
B
C
(备用图)
...
中点四边形~.:
第31 讲
@
5+513
(2)20 ; 丁而「
由图可知，第2 ，4 ，6 ，8 等偶数个中点四边形为菱形.
第2 个菱形边长为÷ × 1町，周长为m
第1，3 ，5 ，7 等奇数个中点四边形为矩形.
第1 个矩形的长、宽分别为5 布，5 ，周长为1013+1 0 ;
5.J3 5
第3 个矩形的长、宽分别为」三一，周长为513十5 ;
2 '2
1.(叫~f..-2
民厅
5 = ,/ ,, 513+5
第5 个矩形的长、宽分别为卡?周长为一γ-
513+5
. 当η 为奇数时，第η 个中点四边形是矩形，周长为
.-3一.
2 2
D
513+5
• . 当n= 2013 时，其周长为丁丽5
2. A
γ 四边形A1 B 1 C1 D1 是矩形，λ B 1 D1
=A 1 C1
，λ A2 D2 =C2D2 =C2B2 =B2 A2 ，:. 四边形
A2 B2 C2 D2 是菱形，
. .四边形A3 B3 C3 D3 是矩形.
根据三角形中位线的性质知，四边形A4 B4 C4 D4
是菱形. 故①②正确.根据三角形中位线的性质易
C
1.
，1~~
1.
，
1
，，1.~
1 ,, 1. , 1 ,, 1
知，A，B，=
~ B,C, = 一x
~ C，D，= 一× 一x
~ A,D, =
~ x 一x
~ x : BD=
2 " 2 '-'3 L.J3
2 " 2 " 2" >1 L.J 1
2 " 2 " 2 " 2
B
1 ~~ 1. =_~ ~ ~
1. ~
1
，~~BD=
，~~b ，同理B，C，= 1~，.. AC =
1~，.. a ，:. 四边形A，B，C，D，的周长是2 X ，~~(a
1 6~~
16 ~"
"" =~ ' - '
16'.-
16-"
' ~='V
，
. ，~ ，- ，~
， H""-, ,,,'/'L- _. "16
G十b
+ b) = ~ 8一，故③正确.γ 在四边形ABCD 中，AC = α ，BD = b ，且AC _l BD ，
S阳山=学;由三角形中位线的性质可以推知，每得到一个新四边形，它的
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
面积则为原来四边形面积的一半.四边形A以"，Dn 的面积是拌，故④错
233
误.综上，①②③正确.故选A.
黄东坡
带你发现数学之美(八年银)
234
3. 如图，只要取AB 的中点].则PM]N 是平行四边
形(中点四边形) ，因此MN 的中点与P] 的中点重合，而
P] 不动，因此MN 一定经过一个固定的点.
4 . 操作发现: ①②③④
数学思考: MD= ME ,MDl_ME.
先证MD= ME.
A
证明:如图所示，分别取AB ，AC 的中点F ，G ，连结DF ，MF ，MG ，EG.
':M是BC 的中点，:. MF矿ACMF=÷AC.
又': EG 是等腰直角6AEC 斜边上的中线，
:. EGl_AC 且EG =护C ，:.MF= EG
同理可证DF=MG.
γ MF//AC ，:. ζMFA+ζBAC=180 0 ，
同理可得ζMGA +ζBAC= 180 0 ，
.. ζMFA=ζMGA.
又.: EGl_AC,DF l_AB ，λ ζEGA = ζDFA = 90 0 ，
二ζMFA +ζDFA =ζMGA +ζEGA ，即ζDFM=ζMGE.
又.: MF=EG ，DF=MG ，二6DFM旦6MGE ，: .MD=ME.
再证MDl_ME.
如图，设MD 与AB 交于点H ，
':AB矿MG ，
λ ζDHA =ζDMG.
又.. ζDHA=ζFDM+ζDFH ，
即ζDHA=ζFDM+90 0•
γ ζDMG=ζDME十ζGME ，
又': 6DFM三6MGE ，
B
λ ζFDM= ζGME ，:. ζDME= 90 0 ，即MDl_ME.
类比探究
答: 等腰直角三角形.
B
--
. .、
，
、，
毛》数学文化巡礼
几何学发端于测量土地的面积.面积是几何学研究的一个
重要内容，运用公式、等积变形、面积比定理是计算面积的基本，、
方法.
古希腊数学家希泼克拉底提出并证
B
C
明了如下命题，被称为"月牙形定理"
如图，以Rt6ABC 各边为直径的三个半圆围成的两个
新月形(阴影部分)的面积和，等于直角三角形的面积.
下面是该定理的可视化证明，即利用图形证明问题的
方法.
不著一字，尽得风流
235
黄东坡
带你发现敬学之美(八年级)
有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重
妥元素，所以我们可以从面积角度思考问题，这就是常说的面积法.
用面积法解题的基本步骤是:
(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形的面积，得到一个含边或含角的关系式;
(2) 化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果.
戴学智慧讲堂a
如图，园林小路，曲径通幽.小路由白色正方形大理石和彩
色三角形大理石铺成. 已知中间的所有正方形面积之和是am2 ，外
圈的所有三角形面积之和是b时，那么这条小路的占地面积是
口12 •
·
分析与解
只需求出内圈三角形面积之和.
(烟台市中考题)
园林小路是由下列各基本图形构成. 如图，以6ABC 的边AB ，AC 为边向外作
正方形ABDE 和正方形ACFG . 连结EG ，则SM配= SðAEC '
我们给出不同的证明方法.
如图①，过点C 作CM上AB 于点M ，过点G 作GN l_
EA 交EA 的延长线干点N.
可证明6ACM~♀6AGN ，:.CM= GN.
·J M=tAB · CM，S皿ztAE · GN』=庙，
:.SM配=S6皿·
B
B
图①
如图②，延长GA 到点H ，使AH= AG ，连结EH ，
:. S6AEH = SM昆·
图②
可证明6AEH旦6ABC ，λ S6店H = S6晖，得S6Aκ = S6AEG.
E
于是可知外圈的所有三角形面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，故
小路占地面积为(α + 2b ) m2 •
236
...
面积法~~:
第32 讲
1 9 7 9 年5 月，华罗庚与香港作家梁羽生
在英国伯明翰偶遇，这次谈话华老给后世留
下两个典故:在谈及自己的学习心得时.首次
提出了"弄斧必到.f)l 门"的观点;而关于梁羽
生的著作.则给出了"武侠小说是成人的童
话"这一独到而精辟的评价.
例IJ)
请你画出一条直线，将如图所示的图形分割成面积相
等的两部分.
·
分析与解
从特殊情形看，通过割补把一个不规则图形化归为若干规则图
形的组合;或居高临下建立直角坐标系，直观领悟这样的直线有几条?怎样画出这
些直线?
(1)如图①，过顶点平分三角形面积;
(2) 如图②，过边上任意一点平分三角形面积; (连结AP ，作中线AD ，过D 点作
DE// AP ，连结PE ，则直线PE 为所求. )
(3) 如图③，过顶点平分凸四边形面积; (连结BD ，作AE // BD ，取CE 的中点
P ，连结PD ，则直线PD 为所求. )
A
A
A J IE
D
C
B
P D
图①图②
(4) 如图④，过中心任一直线平分平行四边形面积;
(5) 如图⑤，过连接梯形上下两底中点所得线段的中点的任一直线平分梯形面积.
/ \ /
D
A 一一-τ羽
d乙:一__k_//
\
E
B
P
C
图③
C
B
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
斗「
1
ι----'
237
图⑤
图④
黄东坡@带…牡美(咐)
因此，本题所求作的直线有无数条，画法如下:
(1 )设直线PQ 被原图形截得的线段的中点为0 ;
(2) 过点。任作一条直线MN( 只要MN 与AB ，CD 两
边都有交点)都能把原图形分成面积相等的两部分.
例3
如图，在口ABCD 中，B~AF=C叫时
号
HL俨
于点H ，求证:BH 平分LAHC.
/ ____ 扩气
E~/ "
A扩
::I B
·
分析与解
直接证明ζA HB = ζBHC 可行吗?当证明遇到困难时，可证
明点B 到角的两边距离相等，面积法油然而生.
过点B 作BP j_AF 于点P ，BQj_CH 于点Q ，连结
弓
,, /L/7C
BE ,BF.
: S6AFB = S6IlEC =护。町，
又': AF=CE ，:.BP= BQ,
故BH 平分ζAHC.
A
当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试试.
用面积法可以证明下列命题:
(1)等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高;
(2) 等边三角形内任一点到三边的距离和等于它的高.
理二F
如图，设P 为6ABC 内任意一点，直线AP ，BP ，CP
分别交BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F.
PD
, PE , PF
求证:
( 1)'.;:: +一~ + 一~ = l;
AD ' BE ' CF
PA , PB
, PC
(2) 一~ + 一一+ ~;::- =2 .
AD ' BE ' CF
B
D
A
C
·
分析与解
过P 点
，A 点分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比
PA
例线段，又可与面积联系起来，把一一转化为面积比，利用面积法证明.
AD
238
_._
面棋法by
第32i井
(1)如图，分别过点P ，A 作BC 的垂线，垂足为
证明
点P j
，A j
，
iBC - PP1
56 PBC _
2 ~ '-'
~ ~ j _ PP j _ PD
则旦旦一
_
5 ^ A旷
1
~ ~ •.
AA, AD'
凸A且言BC
. AA j
' ~' j
C
D P, A ,
B
PE
5 今←
PF
5^ PAR
同理
==""""'6出
一一_~ f'，旦
BE
5 6脯'CF
5 6 ABC '
PD I PE I PF _ 56 B1吃+ 56fü\十56阳
故一一十一一+一一一
AD ' BE ' CF
5 6 ABC
PA , PB , PC
~
I PD , PE , PF\
(2): :..: + :-，::: + 一一=3 一( 一一+一一+一;:;
) =2 ,
AD ' BE
' CF
飞AD ' BE ' CF!
l.
削吨，/JflWl，_II)IM!A.'吨，问
面积法与勾股定理、等积变形、面积割补…… 以面积法为
主线，可串联许多有趣的内容.
利用面积关系来说明数学中的某些恒等式、不等式或证
明某些定理，这是一个古老而又年轻的方法.
命匾壁主噩噩
l. 如图①，正方形ABDE ，CDFI , EFGH 的面积分别为
17 ，1 0 ，1 3 ，图②中，
DPQR 为矩形，对照图②，计算图①中六边形ABCIGH 的面积.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
( 江苏省竞赛题)
:巳D
C
H
239
图②
l
图①
G
黄东坡
带你发现数学之美( 八牟级)
2. 如图，以LiABC 的三边为边向形外分别作正方形ABDE • CAFG, BCHK ，连
结EF ，GH ，KD ，求证:以EF ，GH ，KD 为边可以构成一个三角形，并且构成的三角
形的面积等于LiABC 面积的3 倍.
(北京市竞赛题)
D
G
K
H
3. 问题探究
(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面积四等分;
(2) 如图②，M 是正方形ABCD 内
-定点，请在图②中作出两条直线(要求其中
一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由.
问题解决
(3) 如图③，在四边形ABCD 中，AB // CD ，AB + CD=BC ，点P 是AD 的中点，
如果AB= α ，CD=b ，且b>a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四
边形ABCD 的面积分成相等的两部分?
若存在，求出BQ 的长;若不存在，说明理由.
巳
己
之士7
图①
图②
图③
240
面积法王J
第32 讲
4 . 问题情境
张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图①，在L，.ABC 中
，AB
=AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD l_AB ，PE上AC ，垂足分别为D ，E ，
过点C 作CF l_AB ，垂足为F. 求证: PD+ PE=CF.
A
A
F!...
\
FL
\
D队___ ~1 E
D;:::--斗G
B
P
C
B
P
P
A
C
图②
小军的证明思路是:
如图②，连结AP ，由L，.ABP 与L，.ACP 面积之和等于L，.ABC 的面积可以证
得: PD+PE=CF.
小俊的证明思路是:
如图②，过点P 作PG l_ CF ，垂足为G，可以证明: PD=GF ，PE= α2，则
PD+PE=CF.
图①
变式探究
如图③，当点P 在BC 的延长线上时，其余条件不变，可证: PD-PE=CF.
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题.
结论运用
如图④，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C'处，点P
为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG上BE ，PH上BC ，垂足分别为G ，H ，若AD=
8 ，CF=3 ，求PG十PH 的值.
方
法
、
思
维
、
应
用
之
美
241
C'
图④
黄础@ …敬学技(、年银
迁移拓展
图⑤是一个航模的横截面示意图，在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，
ED_lAD ，EC_lCB ，垂足分别为点D ，C ，且AD
. CE= DE . BC,AB= 2 JI3dm,
AD= 3dm,BD= vÍ37dm. M ，N 分别为庙，BE 的中点，连结DM，CN ，求6.DEM 与
6.CEN 的周长之和.
(盐城市中考题)
\L乒乒c
图⑤
飞嚣民宫'…
242
1. .: 5L,EDF = 5矩形FQRD - 5L,PED - 5L,DFR - 5L,EFQ = 5. 5, 5L,EDF = 5L,AEH = 5L,GIF
= 5L,BCC =5. 5.
.. 六边形ABCIGH 的面积应为17 + 10+ 13 + 4 X5 . 5 = 6 2.
2 . 如图，过点K 作KP 矿GH ，并截取KP=GH ，
连结PG ，PB ，PD, PF. 易证四边形PGH K , PC.rCB ,
PBAF ，EFPD 均为平行四边形.
于是，有KP =GH ，PD= EF ，KD= KD ，
这表明: 以EF ，GH ，KD 为边可以构成一个三
角形.
又易证6.PBK三6.GCH ，6.PBD旦6.FAE ，
则5L，PBK = 5L,(CH ,5L,PBD = 5L,FAE .
K
.: 5L,AEF = 5L,/3DK = 5L,(LH = 5L，A配，且5L,PDK = 5 L,PBK + 5 L,PBD + 5 L，酬，
:. 5L,PDK = 35M卧
3. (1)如图①所示.
(2)如图②所示，证明略.
市
图①
图②
H
第32 讲
面积法u
(3) 存在. 当BQ=CD=b 时，PQ 将四边形ABCD 面积二等分.
理由如下:如图③，延长BA 到点E ，使AE=b ，延
长CD 到点F ，使DF= α ，连结EF .
.: BE_.(LCF,BE= BC=a+ b,
.. 四边形EBCF 是菱形.
连结BF 交AD 于点M ，则L，MAB旦L，MDF ，
λ AM= DM ，人P ，M 两点重合，
:. P 点是菱形EBCF 对角线的交点.
在BC 上截取BQ = CD=b ，则CQ= AB = α ，
设点P 到菱形EBCF 一边的距离为d ，
时(AB+BQ)d= ~ (ω+CDM= ÷(G+的
S四itl形AMQB =5四边形q:DP .
.. 当BQ= b 时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分.
4. 结论运用
过点E 作EQ l_BC 于点Q ，PG+ PH = EQ=4 .
迁移拓展
延长AD ，BC 交于点F ，作BHl_AF ，垂足为点H ，如图④.
A
M
E N B
\
/./乡吃斗卢子U
D、lf"'/
'';
/
H\/
、，
F
图④
. AD BC
': AD . CE=DE . BC.
.
一一=一一
' '' DE EC
.: EDl_AD ，EC上CB ，: . ζADE= ζ BCE=90 0 •
:. L，ADE∞L，BCE. 人ζA = ζ CBE.
:. FA= FB.
由问题情境中的结论可得: ED+ EC=BH.
设DH =xdm ，则A H=AD+DH = (3 +x )dm.
': B Hl_AF ，λ ζ B HA=90 0 ，
λ B H' = BIJ - DH2 = AB2 - A H2.
': AB=2 刁言，AD=3 ，BD = YI3于，
:. (y13于) 2
工2 =(2 ~I3) 2- (3 + x) 2
，解得x= l.
:. BH2=BIJ - DH2 =37-1=36 ,
二B H =6 ，:. ED+ EC= 6.
. . ζADE= ζ BCE= 90 0 ，且M ，N 分别为AE ，BE 的中点，
:. DM= EM= ~ AE,CN=EN= ~ BE
:. L，DEM 与L，CEN 的周长之和= DE+ DM+ EM+ CN + EN + EC = DE
+ AE+ BE+ EC= DE+ AB+ CE= (DE+ EC) + AB= (2 Æ
+ 6)dm.
方
法
、
思
维
、
应
川
之
先
243
……)
-…一.
CH数学文花巡礼
这是现代绘画大师达利的作品《保姆背
后的神秘嘴唇)) ，达利充分运用了相互借用、
共享图形的手法，即要辨识一方，必须依赖另
一方的存在.
在这幅画中，你看到了什么?
运用图形与图形、图形与背景的关系，我们可以看到相互借用的隐藏图形.
格式塔是德文Gestalt 的音译，中文被翻译成"完形"，其研究出发点是"形"
格式塔心理学认为:
人在知觉过程中，总是追求事物整体，只有被组织得最简洁、最协调、最规则的
格式塔才能给人的心灵最好的感受;图形与背景以及轮廓在形成心理印象的过程
中具有重要作用;知觉的对象和背景是互相变化的，这种变化既在知觉中起作用，
也在思维中发挥作用.
解几何问题时，背景的残缺、省略都会给正确理解图形带来困难，复杂或不规
则图形会给解题带来障碍.这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形
的一部分，将它们补充完整，则可得到常见的特殊图形，这就是解几何问题的补形
法. 补形法是在分析的基础上，恰当补出图形，完善背景，在新的背景下解决问题.
补形法常见的形式是:
(1)添补成特殊的三角形;
(2) 添补成特殊的四边形;
(3) 添补辅助图形.
244
面积法υ
第32 讲
4. 问题情境
张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题:如图①，在，0，ABC 中，AB
=AC ，点P 为边BC 上的任一点，过点P 作PD _lAB ，PE_lAC ，垂足分别为D ，E ，
过点C 作CF _lAB ，垂足为F. 求证: PD+ PE=CF.
A
A
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\
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D 左"-......l G
B
P
C
P
A
C
P
B
图②
小军的证明思路是:
如图②，连结AP ，由，0，ABP 与，0，ACP 面积之和等于，0，ABC 的面积可以证
得: PD+PE=CF.
小俊的证明思路是:
如图②，过点P 作PG _l CF ，垂足为G，可以证明
: PD = GF ，PE= α2 ，则
PD+PE=CF.
图①
变式探究
如图③，当点P 在BC 的延长线上时，其余条件不变，可证: PD- PE= CF.
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题.
结论运用
如图④，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C'处，点P
为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG上BE ，PH一LBC ，垂足分别为G ，H ，若AD=
8 ，CF=3 ，求PG十PH 的值.
A
卜
刀
沾
、
思
维
、
应
用
之荒
241
C'
图④
黄础@…敏时(八年银)
迁移拓展
图⑤是一个航模的横截面示意图，在四边形ABCD 中，E 为AB 边上的一点，
EDl_AD ，ECl_ CB ，垂足分别为点D ，C ，且AD. CE=DE. BC,AB=2 Ædm,
AD=3dm,BD= v'37dm. M ，N 分别为AE ，BE 的中点，连结DM ，CN ，求6DEM 与
6CEN 的周长之和.
(盐城市中考题)
\μ~
D
图⑤
g
242
l. .: Sf',EDF =S矩形FQRD -
Sf', PED -
Sf', DFR -
Sf', EFQ = 5. 5, Sf',EDF = SMEH = Sf'，αF
=Sf',ffX =5.5.
λ 六边形ABCIGH 的面积应为17+10+13 十4X5 . 5=62.
2. 如图，过点K 作KP//GH ，并截取KP=GH ，
连结PG ，PB ，PD , PF. 易证四边形PGHK ，PCrCB ，
PBAF ，EFPD 均为平行四边形.
于是，有KP=GH ，PD=EF ，KD=KD ，
这表明:以EF ，GH ，KD 为边可以构成一个三
角形.
又易证6PBK三6GCH ，6PBD旦6FAE ，
则Sf'，PBK =Sf'，C凹
，Sf'，PBD =Sf',FAE .
K
.: Sf',AEF = Sf',BDK = Sf',ILH = Sf'，缸，且Sf'，PDK =Sf',PBK + Sf',PBD +Sf'，酬，
:. Sf',PDK = 3SM配·
3. (1)如图①所示.
(2) 如图②所示，证明略.
由
图①
图②
H
第32i井
面积i去过
(3) 存在. 当BQ= CD= b 时，PQ 将四边形ABCD 面积二等分.
理由如下:如图③，延长BA 到点E ，使AE = b ，延
长CD 到点F ，使DF=a ，连结EF.
γ BE=星CF ，BE= BC= α 十b ，
. . 四边形EBCF 是菱形.
连结BF 交AD 于点M ，则6MAB旦6MDF ，
:. AM= DM ，λ P ，M 两点重合，
λP 点是菱形EBCF 对角线的交点.
在BC 上截取BQ = CD = b ，则CQ= AB=a ，
设点P 到菱形EBCF 一边的距离为d ，
则专(AB+ BQ)d = ~ (ω+CD)d = ~ (α十以
'. 5119边形M础= 5四边形Q:Dp .
.. 当BQ=b 时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分-
4. 结论运用
过点E 作EQ _l BC 于点Q ，PG+ PH=EQ=4 .
迁移拓展
延长AD ，BC 交于点F ，作BH土AF ，垂足为点H ，如图④.
A
M
E N B
\
/ /'乒〈二卢子℃
D 、，，'/
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、JF
图④
. AD BC
γ AD
. CE= DE . BC ，:. 一一= 一一
' "" DE
EC'
.: ED_lAD ，EC_l CB ，:. ζADE= ζ BCE=90 0 •
:. 6ADE<ω6 BCE. :. ζA = ζ CBE.
:. FA= FB.
由问题情境中的结论可得
: ED+ EC= BH.
设DH=xdm ，则AH = AD+ DH=(3 +x) dm.
γ BH上AF ，:. ζ BHA=90 0 ，
:. BFf = B[J - DH2=AB2 - AFf.
': AB= 2 yTI, AD=3 ,BD= v'37,
λ ( ♂于) 2
工2 = (2 yTI)2 一(3 十X)2
，解得工=1.
λ B Ff = B[J - DFf =37- 1=36 ,
:. BH=6
，λ ED+ EC=6.
.
. ζADE = ζ BCE=90 0 ，且M ，N 分别为AE ，BE 的中点，
:. DM= EM=卡E ，CN= EN= ~ BE
二6DEM 与6 CEN 的周长之和= DE+ DM+ EM+ CN+ EN+ EC = DE
方
法
、
思
维
、
成
川
之
美
十AE+ BE+ EC= DE+ AB + CE=( DE十EC) +AB = (2 YTI十6)dm.
243
心数学文化巡礼
这是现代绘画大师达利的作品《保姆背
后的神秘嘴唇>> ，达和l 充分运用了相互借用、
共享图形的手法，
J'!p 要辨识一方.必须依赖另
一方的存在.
在这幅画中，你看到了什么?
运用图形与图形、图形与背景的关系，我们可以看到相互借用的隐藏图形.
格式塔是德文Gestalt 的音译，中文被翻译成"完形"，其研究出发点是"形"
格式塔心理学认为:
•
人在知觉过程中，总是追求事物整体，只有被组织得最简洁、最协调、最规则的
格式塔才能给人的心灵最好的感受;图形与背景以及轮廓在形成心理印象的过程
中具有重要作用;知觉的对象和背景是互相变化的，这种变化既在知觉中起作用，
也在思维中发挥作用.
解几何问题时，背景的残缺、省略都会给正确理解图形带来困难，复杂或不规
则图形会给解题带来障碍.这些复杂、不规则的图形，从整体考虑，可看作某种图形
的一部分，将它们补充完整，则可得到常见的特殊图形，这就是解几何问题的补形
法.补形法是在分析的基础上，恰当补出图形，完善背景，在新的背景下解决问题.
244
补形法常见的形式是:
(1)添补成特殊的三角形;
(2) 添补成特殊的四边形;
(3) 添补辅助图形.
格式培气13
第33 讲
C
F
数学智慧、
例1
如图，一个六边形的六个内角都是1 20 0 ，连续四边的长
依次是1，3 ，3 ，2 ，求该六边形的周长.
分析与解
可把六边形看作特殊三角形或特殊四边形截去一些内角而得
到的图形，向外补形，恢复背景，得到规则的"格式塔"
解法一
如图①，由于六边形每个内角都是1 20 0 ，所以可以将原六边形补成边
长为8 的等边6GHR ，且6AGF ，6 BHC, 6EDR 都为等边三角形.
设六边形另两边长分别为工，Y ，9!~ Y十1 +3= 8 ，x+y十2=8 ，
解得y=4 ，x=2 .
故六边形的周长为1 + 3+ 3+ 2+2+4= 15.
3
E
3
吓
人
.G
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，、
方
出
‘
川
心
缆
、
向
川
之
夹
图③
解法二
如图②，由于六边形每个内角都是120 0 ，所以可以将原六边形补成边
长分别为4 和5 的平行四边形.
根据平行四边形、等边三角形的性质，易求得原六边形另两边长分别为2 ，4 ，故
原六边形周长为1+3 +3+2+2十4= 1 5 .
解法三
如图③，分别过点B ，D ，F 作边CD ，EF ，AB 的平行线，交点分别为p ，
Q,R.
由已知易得AB // ED ，BC//EF ，CD//AF,
于是，四边形ABRF ，BCDP, DEFQ 均为平行四边形，且6PQR 为正三角形.
':PR=PB-BR=CD-AF=2-1=1 ,
同理PQ= EF-BC= l ,QR= AB- DE=l ,
又EF= 3 ，DE= 3 ，
245
图②
图①
黄东坡@带…时八年佩
人BC=2 ，AB=4 ，
故原六边形的周长为1 十3+3+2+2+4= 15.
通过对外补形、对内分割等手段得到的多种解法，充分体现了将多边形问
题转化为三角形、四边形加以解决的基本思想.
1])
如图，八边形ABCDEFGH 的八个内角都相
等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分别为7 ，4 ，2 ，5 ，
G
6 ，2 ，求该八边形的周长.
A
E
B
iD
C
(8-2) X 180 。
·
分析与解
八边形每个内角
'U
L.J /n/'
.LVV =1 350 ，向外补形，构造等腰
8
直角三角形、矩形.
如图，分别反向延长AB ，CD ，EF ，GH ，得到四边形MNPQ.
.. 原八边形的8 个内角都相等，
(8-2)X180 。
.它的每个内角为
8"iVV =135 0 ，每个外角
G
为45 0 ，
.
四边形
MNPQ 为矩形，L:.HNA , L:.CBP ,
L:.EDQ ，L:.MGF 都是等腰直角三角形.
设GH= 工，HA=y ，
由MQ= NP 呼y+旧J2=J2+6+手，
二y=3-J2.
J2
5J2
由PQ=MN ，得J2+ x+Y，，"'y= 一一+2+2J言，
2 .J'
2
λ x =3+2 J2.
λ 该八边形的周长为32+J2.
246
~--.Q
6
5
••
格式屠!J..:
第33 讲
吴文俊发现，中国古代数学家重视找到
解决数学问题的机械化程序，而不太关注数
学的演绎和推理，于是从中受到启发.他认为
现代数学应致力于找到适当的机械化程序.
从而能借助计算机来解决问题.于是，他开始
研究初等几何的机械化证明.很快就取得了
突破.
G
•
如图，已知四点E ，F ，G ，H 为正方形ABCD 各边上任一点，
怎样由此四点把正方形ABCD 还原出来?
军
H •
-
F
-
E
分析与解
正方形有以下性质:如图①，已知P ，M ，Q ，N 分别为正方形边
上的点，若PQl_MN ，则PQ=MN. 恰当运用这一结论，可还原正方形.
作法:如图②，作EI 垂直且等于FH ，作直线GI ，过点H 作GI 的垂线交GI 于
点D ，过点E 作HD 的垂线交HD 于点A ，过点F 作AE 的垂线交AE 于点B ，交
GI 于点C . 至此，A ，B ，C ，D 四点全部作出，如图③.
•
D
Q c
NnY M
A
P
B
A E
J
B
A E
B
方
法
.
思
维
、
应
用
之
美
图③
【证明】
易知四边形ABCD 为矩形，如图③，作C] // EI 交AB 于点] ，作
BK //FH 交AD 于点K.
由EI 垂直且等于FH ，
FH_jf_BK ,C] _jf_EI ，可得BK 垂直且等于C]
，ζABK= ζBC] ，
故DABK且DBC] ，λ AB=BC.
从而推出长方形ABCD 是正方形.
需要注意以下几个特殊情况:
247
图②
图①
黄东坡@带…白菜( 、年级)
(1 )若E.F.G.H 四点构成一个正方形，则四边形EFGH 的外接正方形有元数
个，如图④.
(2)若所作的点I 恰好与已知的点G 重合，则直线GI 就不唯一确定，这时分别
过点E.G 作FH 的平行线，分别过点F. H 作EG 的平行线，所得的正方形RSTU
也满足要求，如图⑤.
C'
D'
B'
气?!:
fLL ,
,
, --J
R:
E
:S
图④
图⑤
天才在于勤奋，知识在于积累.一个看似繁难的问题，只是源于教材中一个
知识点，心理学表明: 数学特长生的思维是"包络状"，即不是从零起步，而是从
一个有力支点切入.这个支点就是平时学习累积的准定理、边界知识、题根.
画配fi;:-JI'也
"格式塔"诞生于
1 9 12 年，其代表人物是
韦特海默、考夫卡和苛勒. 它强调经验和行为
的整体性，其核心是整体决定部分的性质. 部
分依从于整体，知觉到的现象大于眼睛观察
到的东西，为心理学、美学、视觉思维等研究
提供了新的视角.
人们普遍具有从背景中分离出一种明显实体的能力，即具有"图形与背景"选
择基础上的化归与建构能力.
解一些几何问题时，不被图形的表象所迷惑，对图形蕴涵的深刻背景进行挖
掘，提高图形与背景相五转换的能力.
这就是"格式塔"的启示.
j-{> ' -{> ' -{> '令·今，-{> ，-{>o<争，-{> ，-{> ，-{> ，-{> ，-{>,-{>,-{> ,-{> ' -{>'<号> ，-{> ，-{> ，-{> ，今，-{> ，-{>, -{> ,-{>, -{>' -{>' -{>' -{>' -{>' -{>' _
;
从不同的角度看莫比乌斯圈雌塑，呈现出四种不同形象: 8 字形代表无限;
牛大，水滴形代表水，卵形代表生命，气沫形代表空气. 整个雕塑象征着自然与科牛
+ 学的协调
.ft
248
格式培47〉
第33 讲
向数学之美探寻
1. 如图，在L':-，ABC 中，AD _l BC 于点D ，ζ BAC =45 0 ,BD=2 , CD= 3 ，求AD
的长.
A
C
2. 如图，在八边形A ! A 2 A 3 A4 A s A 6 A 7 A s 中，ζA!= ζA s
，ζA 2 = ζA 6
' L乙A 3 =
ζA 7
' ζA4 = ζAs .
求证: 该八边形内任意一点到8 条边的距离之和是一个定值.
D
B
A,
'lI 4
3. 如图，在直角梯形ABCD 中
，AB=BC=4 ，M 为腰BC 上一点，且L':-，ADM 为
等边三角形，求S6aJM
: S6ABM 的值.
万3
A;
A;
方
法
、
思
维
、
应
用
之
先
[j~
249
黄东坡@…卢(八年佩
@
A
" / I \
:'F
G飞/L\ ，'
B
' 、D
/ C
E
1.如图，分别以AB ，AC 为对称轴，作出L，ADB ，
L，ADC 的对称图形L，AGB ，L，AFC ，并延长GB ，FC 交
于点E ，则四边形AGEF 是正方形，设AD= 工，由BC
=BØ+CØ ，得C x一2 ) 2 + C x - 3 ) 2 = 5 2
，解得x =6.
2. 双向延长As A 1
，A3 A2 相交于点M，双向延长
A2 A3
，A 5 A4 相交于点N ，双向延长A4 A5
，A 7 A6 相交于
点p ，双向延长A6 A 7
，A 1 AS 相交于点Q ，
.. ζAs A 1 A 2 = ζA6 A 5 A4 ，ζA 1 A2 A3 = ζA 5 A 6 A7
'
.·. ζJ\.1A 1 A2 = ζ PA 5 A6
' ζ J\.1A2 A 1 =ζ PA6 A5
'
人ζM=ζ P.
同理可证ζ N= ζQ ，
J. 四边形MNPQ 是平行四边形，
:.AIAs// A4A5 ,A2A3// A7A6'
同理可证A I A2 // A6A5 ,A3A4 // AsA7'
λ 凸八边形内任意一点到边儿A 和
A6 A7 的距离的和为平行线A 2儿和A6 A 7
间的距离，是一个定值.
同理，这一点到边A4 A 5 和As A l 的距离的和为平行线A4 A5 和As A l 间的
距离;这一点到边A I A2 和A5 A 6 的距离的和为平行线A 1 A2 和A5 A6 间的距
离;这一点到边儿A4 和A 7 AS 的距离的和为平行线A3 A4 和A 7 AS 间的距离.
以上距离之和都是定值，故这一点到8 条边距离之和也为定值，命题成立.
3. 过点A 作AE上CD 交CD 的延长线于点E ，则四
E~
边形ABCE 为正方形.易证RtL，ABM旦RtL，AED ，所以
i
BM=DE ，从而CM=CD.
令CM二工，则由句股定理得
|
z 2+zz=MU=AM2=42+ (4z)2,
1
化简得x2 =32-8x ,
cτ于Z22
于是三尘旦旦
L，
_ 一王一一=2
'S 户ARM
1 " . / .
16 - 4x
ω皿
丁2- X 4C 4-x )
C
A
-A
A
，
/
」
M
250
、
一
--
- -、，
、，
毛》圈E李文再巡视
跨界，f!p跨越边界，是学科的融合，方法的迁移.
21 世纪是生命科学的世纪，随着科学技术的数学化，数学在现代生命科学中扮
演着越来越重要的角色.
孟德尔用概率论的思想发现了生物遗传定律，并因此成为遗传学之父;20 世纪
中期，借助数学上的纽结理论弄清了DNA 的结构，数学打开了双螺旋的终结.今
天，对细胞和神经等复杂系统和网络的研究导致了数学生物学的长足发展.
英国生物学家保罗·纳斯因细胞周期方面的卓越研究成为200 1 年度诺贝尔生
理学或医学奖的得主，他曾在一篇文章中写道"我们需要进入一个更为抽象的陌
生世界，一个不同于我们日常所想象的细胞活动、能根据数学有效地进行分析的
世界"
数学智慧讲堂
例1
蟠蝉鸣叫次数和温度
;夭森、克里克和威尔金斯三人于
1 962 年
因发现~螺旋结构而获诺贝尔桨，图为
1 953
年春，卡文边许实验室最初完成的双螺旋模
型.
蟠蝉鸣叫的次数与周围温度有着密切的关系. 据英国昆虫研究所测试，他们先
测准蟠牌在1 5 秒内鸣叫的次数(设为a) ，然后再加上40 ，这就是当时的华氏温度
(凹，即F= α + 40(FO ) ，这是生物学中简单的一次函数问题.
251
时@ …敏时(八年级)
分析与解
例如，陈婷在
1 5 秒内叫了
9 次，那么F = 9 + 40=49CF).
这就是说，当时温度为49 华氏度.
如果要测定摄氏温度(c)
，可以将蜷蜂在
1 5 秒内叫的次数(a) 加上8 ，然后再除
以号，即c= 川)-;-号C'C)
如上面那只刷
1 5 秒内叫了
9 次，则c= (a + 8) -;- ; = (9 + 8) x ~
2巳9 . 4C'C).
这就是说，当时温度约为9.4 摄氏度.
如因为用数学中分形技术绘制的双螺
旋形.
1953 年4 月
2 5 日，美国生物学家沃森与
英国生物学家克里克在论文《核酸的分子结
构》中向世人宣告:引导生物发育和生命机能
动作的脱氧核糖核酸CDNA) 具有螺旋结构.
ZL2 有大小两只驼鸟蛋，形状一致.科研人员根据以往的经验知道驼鸟蛋的蛋壳
厚度都大体相同.现在，他们要确定这两只蛋的内容物(包括蛋白和蛋黄)的近似
值，而不许把蛋打破，问应当怎样测量和计算?
·
分析与解
首先量出大小两只蛋的长度矶和功，再称出它们的重量Pj
和P2 •
设大蛋的内容物的重量是工，小蛋的内容物的重量为y .
因为两只蛋的壳的厚度相同，所以它们的壳重之比等于它们的表面积之比，又
因为两只蛋的形状相似，所以它们的面积之比等于它们的长度的平方比. 即有
(Pj - X) -;- CP2 - y) =d; : d~
①;
又由于两只蛋的内容物的重量之比等于它们的体积之比，从而等于它们的长
度的立方比(因为只须求近似值，所以这里忽略了蛋壳的厚度) ，故又有
X
: y=dÌ : d~
②.
由①和②解得
z -dj (Pjd~ - P2dD
d2 (Pld~ - P2dD
一吨. -
d~ (dl-d2 )
, y
d;(dj- d2)
252
第34 ì:井
跨界的视野U
例3
已知亲代基因型AA ，Aa ，aa 的比例为u: 2v : w ，且u +2v+ w= 1.
(1)求子一代基因型AA ，Aa ，aa 的比例;
(2) 子二代与子一代基因型比例是否相同?
(清华大学自主招生试题)
分析与解
本题的背景是生物遗传学中的哈边一温伯格定律，也称遗传平
衡定律，其主要内容是:在理想状态下，各等位基因的频率和等位基因的基因型频
率在遗传中是稳定不变的，即保持着基因平衡.
(1)不妨设亲代基因型AA ，Aa ，aa 的数量分别为u ，2v ，切，而每个AA 中有两个
A ，故亲代基因型AA 中A 的数量为
2u; 每个Aa 中有一个A ，故亲代基因型Aa 中
A 的数量为2v. 由此可知A 的数量为2u+2v. 同理a 的数量为2v+ 2切，故亲代基因
A 、a 的比例为2(u+v) : 2(u十w). 所以子一代三种基因型的比例为
:
AA: Aa: aa= [2(u+v)J2 : 2[2(u+ v) . 2(v十w)J: [2(V+ W) J2 =( U+ V) 2
:2(u +v)(v十w) : (V+W) 2.
(2) 设u+v=x ，v+w=y ，上式即z2 :2zy
: y2 ，且Z十y= l. 由于工2+ 2xy+j=
1，将x2
，xy ，j 分别看成u ，V ，切，则由(1) 的结论可知，子二代的AA ，Aa ，aa 的比例为
:
(x2 +Xy) 2 : 2(工2 +xy) (xy十y2 ) : (xy 十y) 2 =X 2 (X+y) 2 : 2xy(x+y)(X+
y) : y2(X+ y) 2=X2 : 2xy : y .
故子二代与子一代比例相同.
奥地利物理学家薛定诗由于为波动力学的发展奠定
了基础而获得1933 年的诺贝尔物理学奖.
在20 世纪上半。十. 很多物理学家把目光投向了生命现
象. 希望能从物质层次揭示生命的奥秘.
19 4c1年薛定诗出
版了《生命是什么》一书
，这本书石破天惊，在年轻的科学
家中产生了巨大的影口向
. 向他们展现了"生物物理"的美妙
前景.
例4
色盲为什么男多子女
色盲的遗传问题是概率应用的一个简单而重要的例子，它在科学史上是非常
有名的.
常见的色盲是不能区分红、绿两色.要弄清色盲是怎么回事，先得明白我们为
什么能看到颜色，又得研究视网膜的复杂构造和性质，还得了解不同的光波所能引
起的光化学反应，等等.如果再问及色盲的遗传问题，似乎比解释色盲现象还要
复杂.
方
法
思
维
、
庇
川
之
美
253
时@ …敏学之美(八相)
可是，答案却是意想不到的简单明了. 由直接统计可以得出
:
(1)色盲中男性远多于女性;
(2) 色盲父亲与正常母亲不会有色盲孩子;
(3) 正常父亲与色盲母亲的儿子是色盲，女儿则不是.
结果何以如此简单?
·
分析与解
原来，生物都是由细胞组成的，人也不例外，人体的细胞里都有
46 条染色体，这些染色体构成几乎完全相同的两套，一套来自父体，一套来自母体.
来自双亲的这两套染色体决定了人体复杂的遗传性质，并且代代相传下去.在两套
染色体中，有一对特殊的染色体，它们在母体内是相同的，而在父体内是不相同的，
这对特殊的染色体叫性染色体，用X 和Y 两个符号来区别，母体内只有两条X 染色
体，而父体内则有X 、Y 染色体各一条.
由上述可清楚地看出，色盲的遗传必然与性别有一定关系.只需要假定产生色
盲的原因是由于一条染色体出了毛病，并且这条染色体代代相传，我们就可以用逻
辑判断得到进一步的假设: 色盲是由于X 染色体中的缺陷造成的.
从这一假设出发，上面三条色盲的统计规律就一目了然了.
我们知道，母体细胞中有两条X 染色体，而父体细胞中只有一条X 染色体. 如
果男性中这惟一的一条染色体有色盲缺陷，他就是色盲，而女性只有在两条X 染色
体都有毛病时才会成为色盲，因为一条正常染色体就足以获得感觉颜色的能力.如
下面两个表所示
: (有色盲缺陷的X 染色体用X表示)
正常母亲与色盲父亲
7芝\
X
Y
X
xx正常女儿
XY 正常儿子
X
xx正常女儿
XY 正常儿子
色盲母亲与正常父亲
三芝\
X
Y
X
xx正常女儿
XY 色盲儿子
X
xx正常女儿
XY 色盲儿子
如果X 染色体中带有色盲缺陷的概率为-L ，那么，1000 个男人中就会有一个
1000
色盲.同样推算的结果，女性中两条X 染色体都有色盲缺陷的可能性则应按概率乘
法原则计算，即
1
,,
1
1
1000 ' ' 1000
1000000.
254
跨界的视野。
第34 讲
所以，100 万个妇女中才有一名先天色盲的可能.这就是色盲中男性远多于女
性的原因. 从上面的表格中可看出，如果父亲视觉正常，母亲是色盲，那么他们的儿
子一定是色盲，而女儿则视觉正常(但她将来的儿子可能色盲) ;色盲父亲和视觉正
常的母亲不会生出色盲的子女. (张奠宙提供)
前美国总统的一位科学顾问说过，"很少有人认识到，当前被如此广泛称颂的
高科技，本质上是数学技术"
对于今天的生命科学工作者而言，数学的价值体现在"模型化"方面. 通过模型
的构建，所要研究的问题的本质将被清晰地抽象出来; 通过模型的构建，实验数据
将被整理成有序可循的数学问题.
现代数学，这个最令人惊叹的智力创造，已经使人类心灵的目光穿过无限的时
空，使人类心灵的手延伸到无边无际的空间.
人们一直难以理解的是为什么大自然妥选择.. 螺旋
形"作为这些生物大分子的结构基础?
科学家用离散几何的方法研究了致密线条的"最大包
装"问题，得到的答案为:在一个体积一定的容器里，能够
容纳的最长线条的形状是螺旋形. 我们可以认为.生命是
遵循. . 最大包装"的数学原理来构造自己的生物大分子的.
事事电..，..，严
，毛..华
数学走进
现代化学与生组4
. . . 在A
E华晶晶"
向阴凉嗣
J
方
法
、
思
维
、
应
用
之
先
1. 已知100g 的大豆含35g 蛋白质，而100g 的小扁豆只含2饨的蛋白质.生活
在温带地区中的一个一般身材的人，每天需摄入70g 蛋白质.假定某人靠吃大豆和
小扁豆以供应他所需的70g 蛋白质.设此人每天吃大豆的量为工，吃小扁豆的量是y
b 和y 以100g 为单位计) ，问z 与y 之间的关系如何?
255
2 . 动物学家测出一头630 千克的公牛在20 0C 的环境温度下，每天维持基础代
谢需要13500 千卡的热量.现在，请你算出另一头420 千克的公牛(与前者属于同一
品种)在同样的环境温度下，每天维持基础代谢所需要的热量.
黄东坡@ 带…牡美(八年报)
3. 某学生受伤后遵医嘱服用某种药物. 每次服药量为440mg ，每日
3 次(间隔8
小时) ，连服10 天.已知学生身体每8 小时吸收药物的60 % ，试分析学生体内的药
物含量.
(摘自《美国课程标准)))
@ ceZ更
256
1.在人体每天所摄入的蛋白质中，来自大豆的为35吨，来自小扁豆的为
26月. 每天总共需蛋白质70g ，于是得到二元一次方程: 35x+ 26y=70.
这个二元一次方程还可以表示成一次函数的
村
、
形式:y= 一罢工+言
、
、
、
2 . 动物维持基础代谢所需热量，只包括维持动
2
物的体温和供应动物的内部器官活动及死亡细胞
补充所需热量.因为动物基础代谢产生的热量通过
。
其体表向周围环境散发，所以，动物进行基础代谢
所需热量与动物身体表面积成正比.
2',
X
记630 千克的公牛和420 千克的公牛的身体表面积分别是51 和52 ，体长
分别是II 和l2 .
设420 千克的公牛每天维持基础代谢需要q 千卡的热量，则
q: 13500=52 : 51
( .
由于同一品种的两头成年公牛体形相似，故它们的身体表面积之比等于
它们的体长的平方比. 另外，两头公牛的体重之比等于它们的体积之比，从而
等于它们的体长的立方比，这样又有
52 : 51 = l~ : li
(
,
420 : 630=l~ : lÌ
( .
由①②③得卢500 ×JZ~川千卡)
3 . 这是一个迭代与递归问题，它反映事物的动态变化过程. 以8 小时为一
时间段，共30 个时刻，用马表示第走个时间段的药物含量，可得选代公式:
X H l =Xk XO. 6+440.
若将与理解为第h 个8 小时后身体内吸收的药物含量，可得迭代公式:
与+ 1 = (Xk +440) X 0.6.
跨界的视野。
第34 讲
用计算器或计算机编程可得上述两个方程的解，下面以C 语言程序为例:
(左为与+ 1 =Xk XO. 6 + 440 ，右为XHI = (Xk +440) X O. 6 的运行结果. )
forCk=1 ，x=0;k<=30 ;k+ 十)
( x=(x+440) 铃0 . 6;
printfCk= 屯d\tx= 屯f\rí',
k ,x);
k=l
for(k=1 ，x=0;k<=30 ;k+ 十)
( x=x 养0.6+4钊40创;
p严ri且
I卫lt旺fCk= 屯
d/tx= 屯f矶
\ri
正"
k ,x);
k=l
x= 264. 000000
x=440.000000
x=422.399994
k=2
x=704.000000
k=2
x=517.440002
k=3
x=862.400024
k=3
x=574.463989
k=4
x=957.240002
k= 4
x=608.678406
k=5
x=1014.463959
k=5
x=629.207031
k=6
x= 1048. 678345
k=6
x=641. 524231
k=7
k=8
k=9
x=1069.207031
k=7
x=648.914551
x=1081. 524170
k=8
x=653.348755
x=1088.914551
k=9
x=657.605591
k= 10
x= 1093. 348755
k= 10
x=658.563354
k=ll
x= 1096. 009277
k=ll
x=659.138000
k=12
x= 1097. 605591
k=12
x=659.482788
k=13
x= 1098. 563355
k=13
x=659.689691
k= 14
x= 1099. 482788
k=14
x= 659. 813843
k= 15
x=1099.689697
k=15
x=659.888306
k=16
x=1099.813843
k=16
x=659.932983
k=17
x= 1099. 888306
k=17
x=659.959778
k=18
x= 1099. 932983
k=18
x=659.975891
k=19
x= 1099. 959839
k=19
x= 659.985535
k= 20
x= 1099. 975953
k= 20
x=659.991333
k=21
k=22
x=1099.985596
k=21
k=22
x=659.994812
x= 1099. 991333
方
法
.
忠
维
、
应
用
之
美
257
x=659.996887
x=659.998108
k=23
k=24
x=1099.994751
x=1099.996826
k=23
k=24
黄东坡@ 带…挝美(八年报)
258
由此可见，大约在7 天以后，药物含量(或吸收量)稳定在一定水平.
迭代与递归问题反映事物的动态变化过程，在数学、生物学、计算机科学
等领域中都有广泛深入的应用，此模型的分析解决给我们的数学教学与学习
以丰富的启迪.
国明~W...1JfII
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黄东坡智慧大讲堂
智ZEZ主
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大
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宏大的叙事，细致的分析，
把理性思维与人文情怀、诗意表达结合，
在广阔文化背景下叙述，展现数学方法之姜、思维之姜、应用之美，
与学习同步，与发展同步，
巅覆人们对数学、数学教育、数学学习的认识!
