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微专题二 圆锥曲线中的最值与范围问题
x2 y2
1.(2024河南郑州二模,18)已知椭圆E: + =1(a>b>0)过点(0,1),且焦距为2√3.
a2 b2
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)过点S(1,0)作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N.
①证明:直线MN必过定点;
②若弦AB,CD的斜率均存在,求△MNS面积的最大值.
解析 (1)依题意有b=1,c=√3,解得a2=b2+c2=4,
x2
∴椭圆E的方程为 +y2=1.
4
(2)①证明:设l :x=my+1(m≠0),A(x ,y ),B(x ,y ),
AB 1 1 2 2
1
则l :x=- y+1(m≠0),
CD m
{ x=my+1,
联立 故(m2+4)y2+2my-3=0,
x2+4 y2=4,
−2m
Δ=16m2+48>0,y +y = ,
1 2 m2+4
( 4 −m )
故M , ,
m2+4 m2+4
1 ( 4m2 m )
由- 代替m,得N , ,
m 1+4m2 1+4m2
4 4m2 4 (4 )
当 = ,即m2=1时,l :x= ,过点K ,0 ,
m2+4 1+4m2 MN 5 5
4 4m2
当 ≠ ,即m2≠1时,
m2+4 1+4m2
5m m 5m ( 4 )
k = ,l :y+ = x− (m2≠1,m≠0),
MN 4(m2−1) MN m2+4 4(m2−1) m2+4
4(m2−1) 4 4m2+16 4
令y=0,x= + = = ,
5(m2+4) m2+4 5(m2+4) 5
(4 )
∴直线MN恒过点K ,0 .
5
(4 )
当m=0时,经验证直线MN过点K ,0 .
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(4 )
综上,直线MN恒过点K ,0 .
5
1 1 1 | m m | 1 |m3+m| 1
+
②S =S +S = ·|KS|·|y -y |= · · = · = ·
△MNS △MKS △NKS 2 M N 2 5 1+4m2 m2+4 2 4m4+17m2+4 2
| 1|
m+
m
,
4
4m2+ +17
m2
| 1|
m+ 1
| 1| 1 m 1 t 1
令t= m+ ,t∈[2,+∞),S = · = · = · 9,
m △MNS 2 4 2 4t2+9 2 4t+
4m2+ +17 t
m2
1
∵S 在t∈[2,+∞)上单调递减,∴S ≤ ,
△MNS △MNS 25
当且仅当t=2,即m=±1时取等号.
1
故△MNS面积的最大值为 .
25
2.(2024黑龙江齐齐哈尔一模,18)在平面直角坐标系xOy中,点F(0,1),P为动点,以PF为直
径的圆与x轴相切,记P的轨迹为Γ.
(1)求Γ的方程;
(2)设M为直线y=-1上的动点,过M的直线与Γ相切于点A,过A作直线MA的垂线交Γ
于点B,求△MAB面积的最小值.
(x y+1)
解析 (1)设P(x,y),则线段FP的中点坐标为 , ,
2 2
因为以PF为直径的圆与x轴相切,
|y+1| 1 1
所以 = |FP|=
√x2+(y−1) 2
,
2 2 2
化简得x2=4y,所以Γ的方程为x2=4y.
( x2 ) x2 x x
(2)设A x , 0 (x ≠0),由y= ,得y'= ,则点A处的切线斜率为 0,所以直线MA的方程为
0 4 0 4 2 2
x2 x x x2 x 2 ( x 2 )
y- 0= 0(x-x ),即y= 0x- 0,令y=-1,则x= 0- ,所以M 0− ,−1 ,
4 2 0 2 4 2 x 2 x
0 0
2 x2 2 2 x2
易知直线AB的斜率为- ,所以直线AB为y- 0=- (x-x ),整理得y=- x+ 0+2,
x 4 x 0 x 4
0 0 0北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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{ x2=4 y,
x2 x2 2
联立 2 x2 消去y得 - 0=- (x-x ),
y=− x+ 0+2, 4 4 x 0
0
x 4
0
2 (x−x )(x+x )
有- (x-x )= 0 0 ,
x 0 4
0
8 8
解得x=- -x ,即点B的横坐标为- -x ,
x 0 x 0
0 0
√ ( 2 ) 2 | 8 |
所以|BA|= 1+ − − −x −x
x x 0 0
0 0
√ 4 |8 |
2(x2+4)√x2+4
= 1+ +2x = 0 0 ,
x2 x 0 x2
0 0 0
√ (x ) 2 |x 2 |
又|AM|= 1+ 0 0− −x
2 2 x 0
0
√ x2 |2 x | (x2+4)√x2+4
= 1+ 0 + 0 = 0 0 ,
4 x 2 4|x |
0 0
1 1 2(x2+4)√x2+4 (x2+4)√x2+4 (x2+4) 3
所以△MAB的面积为 |AB||AM|= × 0 0 × 0 0 = 0 =
2 2 x2 4|x | 4|x3|
0 0 0
1(|x |2+4 ) 3 1( 4 ) 3
0 = |x |+ ,
4 |x | 4 0 |x |
0 0
4 √ 4
又|x |+ ≥2 |x |× =4,当且仅当x =±2时,等号成立,所以△MAB面积的最小值
0 |x | 0 |x | 0
0 0
1
为 ×43=16.
4
3.(2024福建部分地市质量检测,18)在直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦
点为F,过F的直线l与C交于M,N两点,且当l的斜率为1时,|MN|=8.
(1)求C的方程;
(2)设l与C的准线交于点P,直线PO与C交于点Q(异于原点).记线段MN的中点为R,若|
QR|≤3,求△MNQ面积的取值范围.
解析 (1)由题意知l的斜率不为0.
p
设l的方程为x=my+ ,M(x ,y ),N(x ,y ),
2 1 1 2 2
{ p
x=my+ ,
联立 2 消去x得y2-2mpy-p2=0,
y2=2px,北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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∴y +y =2mp,y y =-p2,
1 2 1 2
则|MN|=x +x +p=m(y +y )+2p=2p(m2+1),
1 2 1 2
∴由题可知当m=1时,|MN|=8,∴p=2,
∴C的方程为y2=4x.
y + y
(2)由(1)知y = 1 2=2m,
R
2
将R的纵坐标2m代入x=my+1,得R(2m2+1,2m),
易知C的准线方程为x=-1,∵l与C的准线交于点P,
( 2) m
∴P −1,− ,则直线OP的方程为x= y,
m 2
{ m
x= y,
联立 2 消去x得y2=2my,则y =2m,∴Q(m2,2m),
Q
y2=4x,
∴Q,R的纵坐标相等,∴直线QR∥x轴,
∴|QR|=|2m2+1-m2|=m2+1,
由(1)知y +y =4m,y y =-4,则|y -y |=4√m2+1,
1 2 1 2 1 2
1 3
∴S
△MNQ
=S
△QRM
+S
△QRN
=
2
|QR||y
1
-y
2
|=2(m2+1)·√m2+1=2|QR
|2
,
3
∵点Q异于原点,∴m≠0,∴2|QR >2,
|2
又∵|QR|≤3,
3
∴2<2|QR
|2
≤6√3,即S
△MNQ
∈(2,6√3].
√2λ
4.(2024江苏徐州适应性测试,18)将圆x2+y2=2上各点的纵坐标变为原来的 (0<λ<2)
2
(横坐标不变),所得曲线为E.记P(-2,0),Q(1,0),过点P的直线与E交于不同的两点A,B,直线
QA,QB与E分别交于点C,D.
(1)求E的方程.
π
(2)设直线AB,CD的倾斜角分别为α,β.当0<α< 时,
2
tanα
(i)求 的值;
tanβ
(ii)若β-α有最大值,求λ的取值范围.
解析 (1)设所求曲线E上的任意点为(x,y),与x2+y2=2对应的点为(x ,y ),
1 1北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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{ x=x , { x =x,
1 1
根据题意,可得 √2λ 即 2
y= y , y = y,
2 1 1 √2λ
( 2 ) 2 x2 y2
代入方程x2+y2=2,可得x2+ y =2,整理得 + =1(0<λ<2),
√2λ 2 λ
x2 y2
所以曲线E的方程为 + =1(0<λ<2).
2 λ
(2)(i)设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
x −1
{ x= 1 y+1,
x −1 y
则直线QA的方程为x= 1 y+1,联立 1
y x2 y2
1 + =1,
2 λ
[ x −1 2 ] x −1
( )
消去x整理得 1 λ+2 y2+2λ 1 y-λ=0,
y y
1 1
−λ
−λ y y
所以y =[ ( x −1 ) 2 ] = 1 = 1 ,(注意2y2 =2λ-λx2 )
C 1 λ+2 y (x −1) 2λ+2y2 2x −3 1 1
y 1 1 1 1
1
x −1 3x −4
所以x = 1 y +1= 1 ,
C y C 2x −3
1 1
3x −4 y 3x −4 y
( ) ( )
所以C 1 , 1 ,同理可得D 2 , 2 ,
2x −3 2x −3 2x −3 2x −3
1 1 2 2
y y
又因为P,A,B三点共线,所以 1 = 2 ,
x +2 x +2
1 2
即x y -x y =2(y -y ),
2 1 1 2 2 1
y y
2 − 1
2x −3 2x −3 2(x y −x y )+3(y −y ) 7(y −y ) tanα
所以k = 2 1 = 2 1 1 2 2 1 = 2 1 =7k ,所以 =
CD 3x −4 3x −4 x −x x −x AB tanβ
2 − 1 2 1 2 1
2x −3 2x −3
2 1
k 1
AB
= .
k 7
CD
(ii)设直线AB的方程为y=k(x+2),其中k>0,由(i)知,直线CD的斜率为7k,
6
tanβ−tanα 7k−k 3
则tan(β-α)= = =1 ≤ ,
1+tanβtanα 1+7k2 +7k √7
k
1 1
当且仅当 =7k,即k2= 时,等号成立,
k 7北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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{y=k(x+2),
联立 x2 y2 整理得(λ+2k2)x2+8k2x+8k2-2λ=0,
+ =1,
2 λ
则Δ=64k4-4(λ+2k2)(8k2-2λ)>0,得λ>2k2,
1 2
若β-α有最大值,则λ>2× = ,
7 7
(2 )
又因为0<λ<2,所以实数λ的取值范围为 ,2 .
7
