文档文本内容
第 06 讲 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：相互独立事件的概率...................................4
高频考点二：条件概率.............................................7
高频考点三：全概率公式的应用....................................13
第一部分：知识点必背
知识点一：相互独立事件
对任意两个事件 与 ，如果 成立，则称事件 与事件 相互独立(mutually
independent)，简称为独立．
性质1：必然事件 、不可能事件 与任意事件相互独立
性质2：如果事件 与 相互独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立
则： ， ，
知识点二：条件概率
1、定义：一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ，我们称 为在事件 发生
的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率．
2、乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件 与 ，若 ，则 ．
我们称上式为概率的乘法公式．
3、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设 ，则
① ；
②如果 和 是两个互斥事件，则 ；③设 和 互为对立事件，则 ．
④任何事件的条件概率都在0和1之间，即： .
知识点三：全概率公式
1、定义：一般地,设 , , 是一组两两互斥的事件, ,且 ，
,则对任意的事件 ,有 ,我们称此公式为全概率公式.
2、全概率公式的理解
全概率公式的直观意义：某事件 的发生有各种可能的原因 （ ）,并且这些原因两两互
斥不能同时发生，如果事件 是由原因 所引起的，且事件 发生时， 必同时发生，则 与
有关，且等于其总和 .
“全概率”的“全”就是总和的含义，若要求这个总和，需已知概率 ,或已知各原因 发生的概率
及在 发生的条件下 发生的概率 .通俗地说，事件 发生的可能性，就是其原因 发
生的可能性与已知在 发生的条件下事件 发生的可能性的乘积之和.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知
该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，
则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 ，则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即 ， ，
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
2．（多选）（2023·全国·统考高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到
1的概率为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为
. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每
个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传
输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
【答案】ABD
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接
收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件
和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，
因此 ，即 ，D正确.故选：ABD
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：相互独立事件的概率
典型例题
例题1．（2023秋·四川成都·高二统考期中）若 ， ， ，则事件 与 的关
系为（ ）
A．相互独立 B．互为对立 C．互斥 D．无法判断
【答案】A
【详解】因为 ，
得 ，所以 ，
故选：A.
例题2．（2023秋·河南信阳·高二校考阶段练习）抛郑两枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚硬币反面
向上”，事件 “第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（ ）
A． 与 为互斥事件 B．
C． 与 为相互独立事件 D． 与 互为对立事件
【答案】C
【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，C正确；
事件 可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；D错误；
，B错误.
故选：C.
例题3．（2023秋·广东佛山·高二校考阶段练习）一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，
2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字．记事件 为“两次记录的
数字和为奇数”，事件 为“两次记录的数字和大于4”，事件 为“第一次记录的数字为奇数”，事件
为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A． 与 不独立 B． 与 不独立
C． 与 相互独立 D． 与 相互独立【答案】D
【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， .
其中事件 包括： ， ， ， ， ， ， ， .
事件 包括： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
事件 包括： ， ， ， ， ， ， ， .
事件 包括： ， ， ， ， ， ， ， .
因为 ， ，而 ,
因为两个事件的发生与否互不影响，且 ，所以 与 相互独立，故A错误；
因为 ， ，而 .
因为两个事件的发生与否互不影响，且 ，所以 与 相互独立，故B错误；
因为 , ，而 .
因为 ，所以 与 不是相互独立.故C错误；
因为 ， ，而 .
因为两个事件的发生与否互不影响，且 ，
所以 与 相互独立.故D正确.
故选：D
练透核心考点
1．（2023秋·河南新乡·高二河南师大附中校考阶段练习）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，
5，6．从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件
“第二次取出的球的数字是2”．丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球
的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【详解】依题意可得P(甲) ，P(乙) ，两次取出的球的数字之和为8，有 ， ， ， ， ，共5种情况，则P(丙)
，
两次取出的球的数字之和为7，有 ， ， ， ， ， 共6种情况，则P(丁)
，
对于A，P(甲丙) P(甲)·P(丙)，A错误；
对于B，P(甲丁) P(甲)·P(丁)，B正确；
对于C，P(乙丙) P(乙)·P(丙)，C错误；
对于D，P(丙丁) P(丙)·P(丁)，D错误．
故选：B．
2．（多选）（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）有4个相同的球，分别标有数字1，2，
3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示
“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次
取出的球的数字之和是奇数”，则（ ）
A．A与B互斥 B．C与D对立
C．B与C相互独立 D．B与D相互独立
【答案】BCD
【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，
全部的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， 共 个，
事件 发生包含的基本事件有： ， ， 有 个，
事件 发生包含的基本事件有： ， ， ， ， ， 有 个，
事件 发生包含的基本事件： ， ， ， 有 个，
事件 发生包含的基本事件： ， ， ， ， ， ， ， 有 个，
显然当出现 ， 时事件 、 同时发生，故事件 与 不互斥，故A错误；
事件 与 不可能同时发生，即事件 与 互斥，又事件 与 包含所有的结果，
所以C与D对立，故B正确；
又 ， ， ，所以 ，
所以事件 与 相互独立，故C正确；又 ， ， ，所以 ，
所以事件 与 相互独立，故D正确.
故选：BCD.
3．（2023·全国·高一课堂例题）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数（1张卡
片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A，“从中任抽取1
张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B．试判断是否为相互独立事件．
【答案】是相互独立事件．
【详解】解法1：样本空间为 ，
， ．
若A发生，则B发生的概率为 ；
若A不发生，则B发生的概率为 ．
可见，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，
因此，两者相互独立．
解法2：样本空间为： ，
， ，
，
所以 ， ， ，
即 ．
因此，两者为相互独立事件．
高频考点二：条件概率
典型例题
例题1．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习） 杭州亚运会于 月 日至
月 日举办，组委会将甲、乙、丙、丁 名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金
港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派 名志愿者， 表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”；
表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则（ ）
A．事件 与 相互独立 B．事件 与 为互斥事件
C． D．
【答案】D【详解】将 名志愿者分配到三座体育馆，每座体育馆至少派 名志愿者，共有 种安排方
案；
志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心，各有
种方案， ；
志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心，有 种方案， ；
志愿者甲派往黄龙体育中心且乙派往杭州奥体中心，有 种方案， ；
对于A， ， 事件 与 不相互独立，A错误；
对于B， ， 事件 与 不是互斥事件，B错误；
对于C， ，C错误；
对于D， ，D正确.
故选：D.
例题2．（多选）（2023秋·广东湛江·高三廉江市廉江中学校考阶段练习）将100个数据整理并绘制成频率
分布直方图（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．该组数据的平均数的估计值大于众数的估计值
C．该组数据的第90百分位数约为109.2
D．在该组数据中随机选取一个数据记为n，已知 ，则 的概率为
【答案】BC
【详解】对于A选项：由阴影部分面积之和为1可知 ，解得 ，故A选项不符题意.
对于B选项：不妨设众数和平均数分别为 ，由图可知显然有 ，
，
因此 ，即平均数的估计值大于众数的估计值，故B选项符合题意.
对于C选项：设第90百分位数为 ，且注意到这100个数据落在区间 的概率为 ，
所以 一定落在区间 内，所以 ，
解得 ，故C选项符合题意.
对于D选项：记 、 分别为事件 ，
则由图可知 ， ，
则由条件概率公式得 ，故D选项不符题意.
故选：BC.
例题3．（2023秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）某公司员工小明上班选择自驾、坐公交
车、骑共享单车的概率分别为 ， ， ，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为 ， ，
，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是 ．
【答案】
【详解】设小明迟到为事件A，小明自驾为事件B，则 ，
.
则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为 .
故答案为：
例题4．（2023·河南·校联考模拟预测）A市天文台在该市朝阳区随机调查了100位天文爱好者的年龄，得
到如图所示的样本数据频率分布直方图．(1)估计该朝阳区100名天文爱好者年龄的 分位数（精确到0.01）；
(2)已知该朝阳区天文爱好者的占比为 ，且该朝阳区年龄位于区间 的人口数占该区总人口数的
．用样本的频率估计总体的概率，从该朝阳区任选1人，若此人的年龄位于区间 ，求此人是
天文爱好者的概率．（计算结果精确到0.01）
【答案】(1)28.21岁
(2)0.12
【详解】（1）记该朝阳区100名天文爱好者年龄的 分位数为 ，
则 ，
解得 ，
故估计该朝阳区100名天文爱好者年龄的 分位数为28.21岁；
（2）记事件 为：“任选一人，此人年龄位于区间 ”，
事件 为：“任选一人，此人是天文爱好者”，
由条件概率公式可得，
，
故此人是天文爱好者的概率约为0.12．
练透核心考点
1．（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项
目中分别各自随机选择其中一项，记事件 ：甲和乙选择的活动各不同，事件 ：甲和乙恰好一人选择
①，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知， ， ，所以 ，
故选：B.
2．（2023春·江苏南通·高二校考期中）已知随机事件 ， 满足 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知可得， .
因为 ，
所以， .
又 ,
所以， .
又 ，
所以， .
故选：A.
3．（2023春·山东济宁·高二嘉祥县第一中学校考期中）抛掷甲､乙两枚骰子，若事件 ：“甲骰子的点数
小于 ”，事件 ：“甲､乙两枚骰子的点数之和等于 ”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知事件 为甲骰子的点数小于 ，且甲､乙两枚骰子的点数之和等于 ，
则事件 包含的基本事件为 ，
而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有 种情况，所以 ，
因为甲骰子的点数小于 的有 ， 两种情况，所以 ，所以 ，
故选：C
4．（多选）（2023春·河南周口·高二统考期中）袋中装有6个相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，
6．从中不放回的随机抽取两个球， 表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”， 表示
事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 不相互独立
B．事件 与事件 互斥
C．在事件 发生的前提下，事件 发生的概率为
D．在事件 发生的前提下，事件 发生的概率为
【答案】ACD
【详解】依题意， ， ， ， ，
对于A，因为 ，则事件 与事件 不相互独立，A正确；
对于B，“取出的两个球的编号均为奇数”既在事件 中，也在事件 中，事件 与事件 不互斥，B错
误；
对于C，在事件 发生的前提下，事件 发生的概率 ，C正确；
对于D，在事件 发生的前提下，事件 发生的概率 ，D正确.
故选：ACD
5．（2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）某地的中学生中有 的同学爱好羽毛球，
的同学爱好乒乓球， 的同学爱好羽毛球或爱好乒乓球.在该地的中学生中随机调查一位同学，若
该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为 .
【答案】 /
【详解】同时爱好两项的概率为 ，
记“该同学爱好乒乓球”为事件 ，记“该同学爱好羽毛球”为事件 ，
则 ，所以 .故答案为：
6．（2023春·云南玉溪·高二统考期末）我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产.试产该款芯片共
有三道工序，前两道生产工序互不影响，第三道是检测评估工序，包括自动智能检测和人工抽检.已知前两
道生产工序的次品率分别为 ， .
(1)求该款芯片的次品率；
(2)第三道工序中自动智能检测为次品的芯片会被自动淘汰；否则，进入流水线进行人工抽检.已知该款芯片
自动智能检测显示合格率为98%，求人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）该款芯片的次品率为
（2）设批次的芯片智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
由已知得 ，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品概率为：
高频考点三：全概率公式的应用
典型例题
例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约 的
人近视，而该校大约有 的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为 ，现从每天玩手机不
超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令 “玩手机时间超过 的学生”， “玩手机时间不超过 的学生”， “任意调查一
人，此人近视”，
则 ，且 互斥， ， ，
依题意， ，解得 ，所以所求近视的概率为 .
故选：B
例题2．（2023春·福建泉州·高二校考期末）甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球，其中甲袋中有
2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入
乙袋，再从乙袋中随机取出一球.若用事件 和 分别表示从甲袋中取出的球是红球，白球和黑球，用
事件 表示从乙袋中取出的球是红球，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】易知 ，
，
所以
.
故选：A
例题3．（2023秋·广西·高三统考阶段练习）已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅
游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民
（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为 ．
【答案】0.145/
【详解】记该地居民为青少年、中年人、老年人的事件分别为 ，显然 ，且
两两互斥，
记任选一人去桂林旅游的事件为 ，则 ，
,
由全概率公式得
故答案为：0.145
例题4．（2023·全国·高二课堂例题）李老师7：00出发去参加8：00开始的教学会．根据以往的经验，他
骑自行车迟到的概率是0.05，乘出租车迟到的概率是0.50．他出发时首选自行车，发现自行车有故障时再
选择出租车．设自行车有故障的概率是0.01，试计算李老师迟到的概率．
【答案】
【详解】解:用B表示李老师迟到，用A表示自行车有故障，则 是乘出租车迟到的概率， 是骑自行车迟到的概率．根据题意
， ， ．
因为A， 互斥，所以AB， 互斥．
利用概率的可加性得到
．
因为 ， ，再由概率的乘法公式可知，李老师迟到的概率是
．
练透核心考点
1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）重庆某高校有橘园､桃园､李园3个食堂，根据大数
据统计分析，某天上午下课后，在校学生进入橘园､桃园､李园食堂的学生人数分别占 ，但因
为各种原因，进入橘园､桃园､李园食堂的学生中有一些同学未用餐，而选择出校就餐.其中进入橘园､桃园
食堂未用餐而选择出校就餐的学生分别占 ，现从在校学生中任选一位学生，若发现这位学生是出校
就餐的概率为 ，则推测进入李园食堂中但未用餐而选择出校用餐的学生占（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设A表示学生进入橘园､桃园､李园食堂而外出就餐人数， 分别表示学生进入橘园､桃园､
李园食堂人数，由全概率公式：
得到 ，解得 ，
故选：D.
2．（多选）（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）国庆节期间，某商场搞促销活动，商场准
备了两个装有卡片的盒子，甲盒子中有4张红色卡片、2张绿色卡片，乙盒子中有5张红色卡片、3张绿色
卡片(这14张卡片球除颜色外，大小、形状完全相同). 顾客购物满500元即可参加抽奖，其规则如下：顾
客先从甲盒子中随机取出1张卡片放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出1张卡片，记“在甲盒子中取出的
卡片是红色卡片”为事件 ， “在甲盒子中取出的卡片是绿色卡片”为事件 ， “从乙盒子中取出的
卡片是红色卡片”为事件M，若事件M 发生，则该顾客中奖，否则不中奖. 则有（ ）
A． 与 是互斥事件 B．
C． D． 与 相互独立
【答案】AC【详解】从甲箱中摸一张卡片，红色卡片与绿色卡片不可能同时出现，所以 与 是互斥事件，故A正
确；
由题意知 ， ，所以 ，故B错误；
，所以 ，故C正确；
因为 ，故D错误.
故选：AC．
3．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）已知某条公路在一段时间内经过的货车和客车的数
量之比为1：3，货车中途停车维修的概率为0.02，客车中途停车维修的概率为0.01，则在通行的货车和客
车中有一辆中途停车维修的概率为 .
【答案】0.0125
【详解】设 表示中途停车修理， 表示公路上经过的汽车是货车， 表示公路上经过的汽车是客车，
则 ， ， ， ，
则由全概率公式，可知一辆车中途停车修理的概率为
.
故答案为：
4．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦
种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上
麦粒的概率为 ．
【答案】0.56/
【详解】分别记取到一等麦种和二等麦种分别为事件 ，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件 .
由已知可得， ， ， ， ，
由全概率公式可得， .
故答案为：0.56.
