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2024 届大题强化训练及变式训练（14）
1．为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号
召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分
钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小
矩形的高度比为3：2：1．
（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据
用该组区间的中点值为代表）；
（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学
生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数
记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望．
【答案】（1）67（分钟） （2）分布列见解析；期望为1
【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解；
（2）依题意求出随机变量 的分布列，并利用数学期望公式求解.
【解析】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
日均阅读时间的平均数为：
（分钟）
（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人
可的能取值为：0，1，2
则
所以 的分布列为：
0 1 2
.
变式：某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无人飞机
进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100架新能源无人飞机 单的次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中
点值代表）；
（2）经计算第（1）问中样本标准差 的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款新能源无
人飞机的单次最大续航里程 近似地服从正态分布 （用样本平均数 和标准差 分别作为
和 的近似值），现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程 的概率；
（参考数据：若随机变量 ，则
）
（3）该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越A型､卓越 型和卓越
型，统计分析可知卓越A型､卓越 型和卓越 型的分布比例为 ，研发中心在投放市场前决定
分别按卓越A型､卓越 型和卓越 型的分布比例分层随机共抽取6架，然后再从这6架中随机抽取3
架进行综合性能测试，记随机变量 是综合性能测试的3架中卓越A型的架数，求随机变量 的分布
列和数学期望.
【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）由直方图中每个区间中点值乘以相应频率再相加可得；
（2）根据正态分布的概率性质计算；
（3）随机变量 的可能取值为 ，分别求出其概率后得分布列，再由期望公式计算期望．
【解析】（1）估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值为：
.
（2） ，
.
（3）由题设可知抽取的6架新能源无人飞机中，卓越A型､卓越 型和卓越 型的架数分别为3架､2
架和1架，随机变量 的可能取值为 .
，
，
随机变量 的分布列如下表：
0 1 2 3.
2．如图，在平面凸四边形 中， .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1） （2）4
【分析】（1）借助三角恒等变换将所给式子化简计算即可得；
（2）结合题意，借助正弦定理与余弦定理计算即可得.
【解析】（1）由已知得： ，
故 ，
所以 ．
因为 ，
故 ，由三角形内角范围知 ；
（2）由 ， ，故 为边长为4的等边三角形，
在 中， ，由正弦定理得 ，
故 ，
由于 ，
所以 ，故 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，得 .变式：如图，平面四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ，
， .
(1)求 的面积；
(2)求 的值及 的长度.
【答案】(1) (2) ，
【解析】（1）∵ ， ，
， ， ;
（2） ， ， ，则 .
， ，
， ，
又 ，在 中，
由正弦定理可知， .
3．已知函数 ，
（1）若 在定义域内是减函数，求a的取值范围；
（2）当 时，求 的极值点．
【答案】（1） （2）答案见解析.
【分析】（1）先由 在定义域内是减函数得出对于 ， 恒成立，进而分离参数将问题转化为函数的最值；再利用基本不等式得出 ， 即可解答.
（2）分 和 两种情况讨论，在每一种情况中借助导数判断函数 的单调性即可求
解.
【解析】（1）由 可得：函数定义域为 ，
.
因为 在定义域内是减函数，
所以对于 ， 恒成立，即对于 ， 恒成立.
则对 ， 恒成立.
因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，
所以
故a的取值范围为 .
（2）因为 ， ，
所以当 时， ，则函数 上单调递增，此时 无极值
在
点；
当 时，方程 的判别式 ，方程两根为
， .
令 ，解得 ；
令 ，解得 或 ，则函数 上单调递减，在 上单调递增，在
在
上单调递减，
所以函数 的极小值点为 ，极大值点为 .
综上可得：当 时， 无极值点；
当 时，函数 的极小值点为 ，极大值点为 .
变式：已知函数 .
（1）讨论 的单调区间；
（2）若 有三个极值点，求正数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析 （2）
【分析】（1）根据题意，求导得 ，然后分 ， 与 讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，求导可得 ，然后将极值点问题转化为方程根问题，再构造函数求导，即可得到结
果.
【解析】（1） ，则
当 时， 的两根为 .
①若 在 上单调递增；
②若 ，则 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增；
③若 ，则 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增.
综上，当 时，无单调减区间，单调增区间为 ；
当 时，单调减区间为 ，单调增区间为 和 ；
当 时，单调减区间为 ，单调增区间为 和 .
（2）根据题意可知，函数 的定义域为 ，
则 ，由函数 有三个极值点 可知 在 上至少有三个实数
根；显然 ，则需方程 ，
也即 有两个不等于3的不相等的实数根；
由 可得 ，
令 ，则 ，
显然当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增；
所以 ，
画出函数 与函数 在同一坐标系下的图像，
由图可得 且 时， 在 上有两个不等于3的相异的实数根，
经检验可知当 时，导函数 在 左右符号
不同，即 均是 的变号零点，满足题意；
因此实数 的取值范围是 .
4．已知椭圆 的离心率为 ，左右两顶点分别为 ，过点 作斜
率为 的动直线与椭圆 相交于 两点.当 时，点 到直线 的距离为 .（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 关于原点的对称点为 ，设直线 与直线 相交于点 ，设直线 的斜率为
，试探究 是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.
【答案】（1） （2）是定值 ，理由见解析
【分析】（1）由题意可得 ， ，解方程求出 ，再结合 ，即可得
出答案.
（2）设 ，直线 的方程为 ，联立直线和椭圆方程，
利用根与系数的关系、斜率公式即可求得 为定值.
【解析】（1）依题意可知 ，
由于 ，则直线 的方程为 ，
因为点 到直线 的距离为 .
所以 ，解得 ，
所以 ，则 ，
所以椭圆 的标准方程 .
（2）设 ，直线 的方程为 .此时 .
联立直线与椭圆方程 消去 得 ，
则有
不妨设 ，因为 三点共线，则 ，
所以则有 ，因为 三点共线，则 则有 ，
所以
，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
变式：设异面直线 与 所成的角为 ，公垂线段为 ，且 ， 、 分别直线
m、n上的动点，且 ， 为线段 中点，建立适当的平面直角坐标系可确定点 的轨迹
方程 ．
（1）请根据自己建立的平面直角坐标系求出 ．
（2） 为 的任意内接三角形，点 为 的外心，若直线 的斜率存在，
分别为 ， ， ， ，证明： 为定值．
【答案】（1） ； （2）证明见解析.
【分析】（1）过 作直线 ，求出点 在直线 确定的平面上的投影与点 的距离，再建
立坐标系，求出轨迹方程 .
（2）设出点 的坐标，及以点 为圆心的圆的方程，利用点差法借助斜率坐标公式推理计算
即得.
【解析】（1）过 作直线 ，则直线 的夹角为 ，令它们确定的平面为 ，有
，
过 作 ，交直线 于点 ，连接 ，于是 ，而 ，则 ，
取 的中点 ，而 是线段 的中点，连接 ，则 ， ，
显然四边形 为矩形， ，而 ，因此
，
点 在移动过程中，点 到平面 的距离 ，于是点 轨迹所在平面平行于，
点 轨迹与点 的轨迹形状完全相同，在平面 内以直线 相交构成的两组对顶角的平分线为坐
标轴，
建立平面直角坐标系，其中 轴与直线 都成 ，令直线 的方程分别为
，
设 ，则 ，即 ，
由 ，得 ，于是 ，即 ，
所以方程 为 .
（2）设 ，则
，
显然 中任意两个都不相等，否则外心 在 轴上，直线 斜率不存在，即 ，
设 的外接圆方程为 ，
得 ，
两式相减得 ，
由 ，得 ，则有 ，同理
，
两式相减得： ，则
因此，
所以 ，即 为定值.
5．若存在常数 ，使得数列 满足 （ ， ），则称数列 为“
数列”.
（1）判断数列：1，2，3，8，49是否为“ 数列”，并说明理由；
（2）若数列 是首项为 的“ 数列”，数列 是等比数列，且 与 满足
，求 的值和数列 的通项公式；
（3）若数列 是“ 数列”， 为数列 的前 项和， ， ，试比较 与
的大小，并证明 .
【答案】（1）不是“ ”数列 （2） ， （3） ，证明见解析
【分析】（1）根据“ 数列”的定义进行判断，说明理由；
（2）根据 是首项为2的“ 数列”，求出 ，由 是等比数列，设公比为 ，由
，可得 ，作差可得
，利用 前三项数列，可以求解 和 ，进而求解
等比数列 的通项公式；
（3）根据题意构造函数 ，求导并判断 在 上单调递增，由 是 “
数列”与 ，反复利用 ，可得对于任意的 ， ,
进而得到 ，推出 ，再利用 在 上单调递增，得
到 ，通过已知条件变形推出 .
【解析】（1）根据“ 数列”的定义，则 ，故 ，
因为 成立， 成立， 不成立，
所以 不是“ 数列”.（2）由 是首项为 的“ 数列”，则 ， ，
由 是等比数列，设公比为 ，
由 ，
则 ，
两式作差可得 ，
即
由 是 “ 数列”，则 ，对于 恒成立，
所以 ，
即 对于 恒成立，
则 ，即 ，
解得， ， ，
又由 ， ，则 ，即
故所求的 ，数列 的通项公式
（3）设函数 ，则 ，令 ，
解得 ，当 时， ，
则 在区间 单调递减，
且 ，
又由 是 “ 数列”，
即 ，对于 恒成立，
因为 ，则 ，
再结合 ，
反复利用 ，
可得对于任意 的， ,
则 ，
即 ，则 ，
即 ， ， ， ，
相加可得 ，
则 ,又因为 在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，
故 .
变式：定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ －数列”.
(1)已知等比数列 满足： ，求证:数列 为“ －数列”；
(2)已知数列{b}满足: ，其中 为数列 的前 项和．
n
①求数列 的通项公式；
②设 为正整数，若存在“ －数列” ，对任意正整数 ，当 时，都有
成立，求 的最大值．
【答案】见解析
【解析】(1)设等比数列 的公比为 ，所以 ，
由 ，得 ，解得 ．
因此数列 为“M—数列”.
(2)①因为 ，所以
由 得 ，则
由 ，得
当 时，由 ，得
整理得 ．
所以数列 是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列 的通项公式为 .
②由①知， ， .
因为数列 为“ –数列”，设公比为 ，所以 ， .
因为 ，所以 ，其中 .
当 时，有 ；
当 时，有 ．
设f(x)= ，则 ．
令 ，得 .列表如下：x (1，e) e (e，+∞)
+ 0 –
f(x) 极大值
因为 ，所以 ．
取 ，当 时， ，即 ，
经检验知 也成立．
因此所求 的最大值不小于5．
若 ，分别取 ，得 ，且 ，从而 ，且 ，
所以 不存在.因此所求 的最大值小于6.
