98.计算条件概率的四种常用方法
一．基本原理
1.根据件概率的定义, 也就是条件概率的计算公式, 先求
和
, 再由
( )( ( )
0)
P A P A
(
)
P AB
定义
, 即可求解
.
(
)
(
|
)
( )
P AB
P B A
P A
(
|
)
P B A
2.根据条件概率的定义, 也就是条件概率的计算公式, 先求
和
, 再
( )( ( )
0)
P A P A
(
)
P AB
由定义
, 即可求解
.
(
)
(
|
)
( )
n AB
P B A
n A
(
|
)
P B A
3.由条件概率和对立事件的定义, 可得条件概率的性质:
, 利用该
(
|
)
1
(
|
)
P B A
P B A
性质可以解决一些证明相对复杂的条件概率问题.
4.条件概率的性质
二．典例分析
题型一. 概率公式
例1．已知
，
，则
3
(
|
)
10
P B A
1
( )
5
P A
(
)
P AB
A．
B．
C．
D．
1
2
3
2
2
3
3
50
【解析】由条件概率的公式
得
故选
(
)
(
|
)
( )
P AB
P B A
P A
1
3
3
(
)
( )
(
|
)
,
5
10
50
P AB
P A
P B A
D.
题型二.基本事件数法
例2．为响应“援疆援藏万名教师支教计划”，珠海市教育局计划从某学校数学科组的4 名
男教师（含一名珠海市骨干教师）和英语科组的3 名女教师（含一名珠海市骨干教师）中
分别选派2 名男教师和2 名女教师，则在有一名珠海市骨干教师被选派的条件下，两名珠
海市骨干教师都被选派的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
1
3
1
2
2
5
3
4
【解析】记至少有一名骨干教师被选派的事件为A，两名骨干教师被选派的事件为B，
则
，
，于是得
，
1
2
2
1
1
1
3
2
3
2
3
2
2
2
4
3
C C
C C
C C
5
( )
C C
6
P A
1
1
3
2
2
2
4
3
C C
1
(
)
C C
3
P AB
(
)
2
(
|
)
( )
5
P AB
P B A
P A
所以所求概率为
.故选：C
2
5
三．条件概率的性质
例3．已知
，
分别为随机事件A，B 的对立事件，
，
，则下列说法正
A
B
( )
0
P A
( )
0
P B
确的是（ ）
A．
( )
P B A
P B A
P A
B．若
，则 A，B 对立
1
P A
P B
C．若A，B 独立，则
( )
P A B
P A
D．若A，B 互斥，则
1
P A B
P B A
【解析】对A，
，故A 错误；
(
)
(
)
( )
1
( )
( )
P AB
P AB
P A
P B A
P B A
P A
P A
对B，若A，B 对立，则
，反之不成立，故B 错误；
1
P A
P B
对C，根据独立事件定义，故C 正确；
对D，若A，B 互斥，则
，故D 错误；故选：C
0
P A B
P B A
例4．已知随机事件
，
，若
，
，
，则
A
B
1
3
P A
3
|
5
P B A
4
|
7
P A B
P B
_________.
【解析】由题意可得，
，且
，则
，又因为
3
|
5
P AB
P B A
P A
1
3
P A
1
5
P AB
，则
，且
，所以
4
|
7
P A B
3
|
1
|
7
P A B
P A B
|
P AB
P A B
P B
.故答案为:
.
1
7
5
3
15
7
P AB
P B
P A B
7
15
题型4.计算反面
例5．三行三列的方阵
中有9 个数
，从中任取三个
11
12
13
21
22
23
31
32
33
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1,2,3,
1,2,3
ij
a
i
j
数，已知取到
的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率是_____________．
22
a
【解析】记事件
{任取的三个数中有
}，事件
{三个数至少有两个数位于同行或同
A
22
a
B
列}，则
{三个数互不同行且不同列}，依题意得
，
，
B
2
8
C
28
n A
2
n A
B
故
，则
．
2
1
28
14
n A
B
P B A
n A
1
13
1
1 14
14
P B A
P B A
即已知取到
的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为
．故答案为：
.
22
a
13
14
13
14
题型5.综合问题
例6．如果
不是等差数列，但若
，使得
，那么称
为“局部等
na
k
N
2
1
2
k
k
k
a
a
a
na
差”数列.已知数列
的项数为4，其中
，
，2，3，4，记事件A：集
nx
1,2,3,4,5
nx
1
n
合
；事件B：
为“局部等差”数列，则
（ ）
1
2
3
4
,
,
,
1,2,3,4,5
x x x x
nx
P B A
A．
B．
C．
D．
2
15
7
30
1
5
1
10
【解析】由题意知，事件
共有
个基本事件，
A
4
4
5
4
C
A
120
对于事件
，其中含1，2，3 的“局部等差”数列的分别为1，2，3，5 和5，1，2，3
B
和4，1，2，3 共3 个，含3，2，1 的“局部等差”数列的同理也有3 个，共6 个；
含3，4，5 的和含5，4，3 的与上述相同，也有6 个；含2，3，4 的有5，2，3，4 和2，
3，4，1 共2 个；含4，3，2 的同理也有2 个；
含1，3，5 的有1，3，5，2 和2，1，3，5 和4，1，3，5 和1，3，5，4 共4 个；
含5，3，1 的同理也有4 个，
所以事件
共有24 个基本事件，所以
．故选：C.
B
24
1
120
5
P B A
三．习题演练
1．根据历年的气象数据，某市月份发生中度雾霾的概率为
，刮四级以上大风的概率
5
0.25
为
，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为
，则在发生中度雾霾的情况下，刮
0.4
0.2
四级以上大风的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
0.5
0.625
0.8
0.9
【详解】设发生中度雾霾为事件
，刮四级以上大风为事件
，由题意知：
，
A
B
0.25
P A
，
，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为
0.4
P B
0.2
P AB
.故选：C.
0.2
0.8
0.25
P AB
P B A
P A
2．已知事件
,
,
，
，则
（ ）
,
A B
1
3
P B
3
|
4
P B A
1
|
2
P B A
P A
A．
B．
C．
D．
1
4
1
3
2
3
1
2
【详解】由条件概率公式可知
,即
①,
3
|
4
P AB
P B A
P A
3
4
P AB
P A
,即
②,而
，所以
1
|
2
P AB
P B A
P A
1
2
P AB
P A
1
P A
P A
1
P A
P A
③，
又已知
④,②③④联立可得
.故选：C
2
1
3
P AB
P AB
P B
P B
2
3
P A
3．定义：设X，Y 是离散型随机变量，则X 在给定事件
条件下的期望为
Y
y
，其中
为X 的所
1
1
,
|
n
n
i
i
i
i
i
i
P X
x Y
y
E X Y
y
x P X
x Y
y
x
P Y
y
1
2
,
,
,
n
x x
x
有可能取值集合，
表示事件“
”与事件“
”都发生的概率．某日小
,
P X
x Y
y
X
x
Y
y
张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1 点向上两次时即停止．设A 表示第一次掷出1 点向上
时的投掷次数，B 表示第二次掷出1 点向上时的投掷次数，则
______．
4
E A B
【详解】由
可得
或
或
，
4
B
1
A
2
A
3
A
由题意可得
1
1
,
4
4
|
4
4
n
n
i
i
i
i
i
i
P A
x B
E A B
x P A
x
B
x
P B
1,
4
2,
4
3,
4
1
2
3
4
4
4
P A
B
P A
B
P A
B
P B
P B
P B
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
1
5
1
5
1
1
5
1
5
1
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
2
3
2
5
1
1
5
1
1
5
1
1
C
C
C
6
6
6
6
6
6
6
6
6
故答案为：2
4．为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物的
先进事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某
校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10 位“最美青年”，其
中6 名女生4 名男生。学校准备从这10 位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告.
（1）若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到
男生为事件B，求
，
；
P B
|
P B A
（2）根据不同需求，现需要从这10 位“最美青年”中每次选1 人，可以重复，连续4 天分
别为高一、高二、高三学生和全体教师做4 场事迹报告，记这4 场事迹报告中做报告的男
生人数为
，求
的分布列和数学期望.
X
X
【详解】（1）解：由题意得，第二次抽到男生的概率为
，
6
4
4
3
2
( )
10
9
10
9
5
P B
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件
发生的条件下，事件B
A
发生的概率，
而
，
，所以
.
3
( )
5
P A
6
4
4
(
)
10
9
15
P AB
(
)
4
(
|
)
( )
9
P AB
P B A
P A
（2）解：被抽取的4 次中男生人数X 的取值为0，1，2，3，4 且
.
2
(4, )
5
X
B
:
可得
；
；
4
0
0
4
3
2
81
(
0)
C
5
5
625
P X
3
1
1
4
3
2
216
(
1)
5
5
625
C
P X
；
；
2
2
2
4
3
2
216
(
2)
C
5
5
625
P X
1
3
3
4
3
2
96
(
3)
5
5
625
C
P X
，
0
4
4
4
3
2
16
(
4)
5
5
625
C
P X
所以随机变量
的分布列为：
X
X
0
1
2
3
4
P
81
625
216
625
216
625
96
625
16
625
所以随机变量
的期望为：
.
X
2
8
(
)
4
5
5
E X
5．某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展现组织A、B 两团体运动员进行比赛.
其中A 团体的运动员3 名，其中种子选手2 名；B 团体的运动员5 名，其中种子选手
名.从这8 名运动员中随机选择4 人参加比赛.
1
5
m
m
（1）已知
，若选出的4 名运动员中恰有2 名种子选手，求这2 名种子选手来自团体
2
m
A 的概率；
（2）设
为选出的4 人中种子选手的人数，确定
的值，使得在
的所有取值中，事
X
m
X
件
的概率最大.
2
X
【详解】（1）由已知得：设“选出的4 名运动员中恰有2 名种子选手”为事件A，
2
2
4
4
4
8
C C
36
18
( )
C
70
35
P A
设“选出的4 名运动员中恰有2 名种子选手来自团体A”为事件B，则B 团体选择2 名非种
子选手，
.
2
2
2
4
4
8
C C
3
(
)
C
35
P AB
故选出的4 名运动员中恰有2 名种子选手，这2 名种子选手来自团体A 的概率为
.
1
6
P AB
P B A
P A
（2）种子选手人数为
，非种子选手人数为
，设选出的种子选手的人数为
2
m
6
m
，
,
0,1,2,3,4
i i
，
4
2
6
4
8
C
C
(
)
C
i
i
m
m
P X
i
令
，即
1
3
2
6
4
8
4
2
6
4
8
C
C
C
(
1)
(
2
)(4
)
1
C
C
(
)
(
1)(
3
)
C
i
i
m
m
i
i
m
m
P X
i
m
i
i
P X
i
i
i
m
(
2
)(4
)
(
1)(
3
)
m
i
i
i
i
m
解得
，则
，
1
2
m
i
(
1)
(
)
P X
i
P X
i
故
，即
时，事件
的概率最大.
1
2
2
m
3
m
2
X
