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大题预测 01（A 组+B 组+C 组）
【A 组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
2023世界科幻大会在成都举办，为了让同学们更好地了解科幻，某学校举行了以“科幻成都，遇见未来”
为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校50名同学的通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同
学的通关时间均位于区间 ，然后把样本数据分成 ， ， ， ， ，
六组，经过整理绘制成频率分布直方图（如图所示）．
(1)计算a的值，并估算该校同学通关时间低于60分钟的概率；
(2)拟在通关时间低于60分钟的样本数据对应的同学中随机选取2位同学赠送科幻大会入场券，求此2人的
通关时间均位于区间 的概率．
【解析】（1）解：因为 ，所以 ，..................2分
由所给频率分布直方图可知，50名同学通关时间低于钟的频率为 ，
据此估计该校同学通关时间低于钟的概率为 ..................................................5分
（2）解：样本中同学通关时间位于区间 的有 人，
即为 ， ..................................................6分
通关时间位于区间 的有： （位），即为 ， ，...................7分从这5名入样同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
分别为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ...................................................9分
所抽取2人的通关时间均位于区间 的结果有3种，
即 ， ， ，...................................................11分
故此2人的通关时间均位于区间 的概率为 ．...................................................13
分
16．（本小题满分15分）
如图，在平行六面体 中，E在线段 上，且 F，G分别为线段 ，
的中点，且底面 为正方形.
(1)求证:平面 平面
(2)若 与底面 不垂直，直线 与平面 所成角为 且 求点 A 到平面
的距离.
【解析】（1）因为 ， 为 中点，
所以 ， ，即 ， ...................................................1分
因为 是正方形，所以 ，
因为 分别是 的中点，所以 ，
所以 ， ...................................................3分
又 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 . ...................................................5分（2）以 为坐标原点，过 作与平面 垂直的直线为 轴，
以 的方向为 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则 ，设 ，.....................................8分
则 ， ， ，............................................9分
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，又 ，所以 ，...................................................11分
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ， ...................................................13分
解得 或 （舍）， ，
所以点 到平面 的距离为 ，则点 到平面 的距离为 ...............15分
17．（本小题满分15分）
已知函数 ．
(1)若 ，当 时，证明： ．(2)若 ，证明： 恰有一个零点．
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 ， ． ...................................................2分
当 时， ，则 在 上单调递增， ...........................................4分
所以当 时， ． .................................................6分
（2） ．
令 ，
则 ． ...................................................9分
令 ，则 ．
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，............................................12分
所以 ，所以 ，
则 在 上单调递增．
因为 ，所以 恰有一个零点，则 恰有一个零点．.............................15分
18．（本小题满分17分）
已知双曲线 ： （ ， ）的一条渐近线与双曲线 ： 的一条渐近线垂直，
且 的一个焦点到 的一条渐近线的距离为2．
(1)求 的方程；(2)若 上任意一点 关于直线 的对称点为 ，过 分别作 的两条渐近线的平行线，与 分别交于
求证： 为定值．
【解析】（1）由双曲线 ： 可得其中一条渐近线的方程为 ，
因为双曲线 的一条渐近线与双曲线 的一条渐近线垂直，
所以双曲线 的一条渐近线的方程为 ，
所以 ，即 ， ...................................................2分
所以 ，所以 的一个焦点为 ，
点F到双曲线 的一条渐近线 的距离为 ， . ................................4分
所以 ，故 的方程为 ． ...................................................6分
（2）设 ，则 ，即 ， ，
由题意 上任意一点 关于直线 的对称点为 ，得 ，
设 ， ，由题意直线 与 的渐近线的平行，故 的斜率为 ，........8分
则直线 的方程为 ，与 ，
联立得 ，.................................................10分
直线 的方程为 ，与 ,
联立得 ，...................................................13分
所以 ，故 为定值 ． ...................................................17分
19．（本小题满分17分）
设数列 .如果对小于 的每个正整数 都有 .则称 是数列 的一个“
时刻”.记 是数列 的所有“ 时刻”组成的集合， 的元素个数记为 .
(1)对数列 ，写出 的所有元素；
(2)数列 满足 ，若 .求数列 的种数.
(3)证明：若数列 满足 ，则 .
【解析】（1）由题设知当 时， ，故 是数列 的一个“ 时刻”，............2分
同理当 时，都有 ，即 也是数列 的一个“ 时刻”，
综上， ....................................................4分
（2）由 ，易知 或
①当 时， 必须从左往右排列，
6可以是 中任一个，共有5种情况...................................................6分
②当 时，若 中的四个元素是由集合 中的元素
或 或 或 引起的
1.若由 引起，即4，3，2，1从左往右排列，则5必须排在4的后面，共4种；2.若由 引起，即5，3，2，1从左往右排列，则4必须排在3的后面，共3种
3.若由 引起，即 从左往右排列，则3必须排在2的后面，共2种；
4.若由 引起，即 从左往右排列，则2必须排在1的后面，共1种
综上，符合 的数列 有15种 ...................................................10分
（3）①若 ，由 ，
所以 ，即 成立； ...................................................12分
②若 ，
不妨设 且
从而 ...................................
14分
由累加法知：
又 ，即 ；
综上， ，证毕 ....................................................17分
【B 组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求证： ．【解析】（1）由 ①，
当 时， 解得 ，
当 时， ②， ...................................................2分
①-②，得 ，
数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，.............................................4分
．
经验证 符合上式，所以 ． ...................................................5分
（2）由（1）知 ，
， ． ...................................................7分
则 ， ...................................................8分
故
， ...................................................11分
所以 ， ， ，
故 . ...................................................13分
16．（本小题满分15分）
已知椭圆 ，抛物线 的焦点均在 轴上， 的中心和 的顶点均为坐标原点 ，从 ， 上分别取两
个点，将其坐标记录于下表中：(1)求 和 的标准方程；
(2)若 和 交于不同的两点 ，求 的值.
【解析】（1）设抛物线 的标准方程为 ，则 ，
结合表格数据，因为 ，
所以点 在抛物线 上，且 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为 . ...................................................4分
将点 代入椭圆 的标准方程 中，
得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 . ...................................................8分
（2）根据对称性，可设 两点坐标分别为 ，
联立方程组 ，消 得 ， ...................................................11分
解得 ， ，
因为 ，
所以 .
所以 . ..........................15分17．（本小题满分15分）
直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受.针对这种现状，某公司决定逐
月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额的统计表（金
额 （万元））.
月份 1月 2月 3月 4月 5月
月份编号 1 2 3 4 5
金额 （万元） 7 12 13 19 24
(1)根据统计表，
①求该公司带货金额的平均值 ；
②求该公司带货金额 与月份编号 的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系
（ ，则认为 与 的线性相关性较强； ，则认为 与 的线性相关性较弱）；
(2)该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法
从甲、乙两种产品中分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到
甲产品的件数为 ，试求 的分布列与期望.
附：相关系数公式 ，参考数据： ， ，
， .
【解析】（1）①由统计表数据可得： ， ..............................................2分
②由于 ， ， ，
所以相关系数 ， ...................................................6分
因此，两个变量具有很强的线性相关性. ...................................................7分
（2）由题意知， 的可能取值为0，1，2，3，因为 ， ，
， ， ...................................................11分
所以 的分布列为：
0 1 2 3
..............................................13分
所以 . .................................................15分
18．（本小题满分17分）
如图1，在矩形 中， ， ，将 沿矩形的对角线 进行翻折，得到如图2所示
的三棱锥 .
(1)当 时，求 的长；
(2)当平面 平面 时，求平面 和平面 的夹角的余弦值.
【解析】（1）由 ， ，且 ， 平面 ，
可得 平面 ， ..................................................2分
又 平面 ，则 ， ...................................................3分
在 中，根据勾股定理， . .................5分（2）
如图，过 点作 于点 ，
由 代值易得： .
由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
可知 平面 . ..................................................8分
在平面 中，过 点作 的垂线为 轴， ， 所在直线分别为 ， 轴，
建立空间直角坐标系,则 ， ， ， ， ....................10分
有 ， ， ， .
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，解得其中一个法向量 ；..................12分
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，解得其中一个法向量 ...................14分
于是， ，..................16分
故平面 和平面 夹角的余弦值为 ...................17分
19．（本小题满分17分）
已知函数 ．
(1)若 恒成立，求实数 的值；(2)证明： ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ， ..................................................2分
当 时，因为 ，所以 恒成立，
则 在 上单调递增，
且 ，所以 恒大于等于零不成立； ..................................................4分
当 时，由 得， ，
易知当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
则 ，若 恒成立，则 ...........7分
令 ，则 ，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以
所以当 时， .
综上，若 恒成立，则 ； ..................................................10分
（2）由（1）得，当 时， 恒成立，
即 ，当且仅当 时等号成立， ..................................................11分
令 ，则 ， ， ，所以 ， ， ， ........13分
令 ，则 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
故当 时， ，即 ． ..................................................15分
所以 ， ， ，
所以
. . .................................................17分
【C 组】
（建议用时：60分钟 满分：77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C成等差数列， ， ．
(1)求 ；
(2)若点 为线段 的中点，求 的长．
【解析】（1）因为角A，B，C成等差数列，则 ，
又 ，所以 ， .................................................2分
由余弦定理， ，
即 ， ..................................................5分
又由正弦定理， ，即 ，所以 ， ..................................................7分
又 ，所以
则 ; ..................................................9分
（2）在 中，由余弦定理
， ...............................12分
所以 . .............................................13分
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ，点E，F分别是棱 ，
的中点．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)在截面 内是否存在点 ，使 平面 ，并说明理由．
【解析】（1）由 平面 ， 、 平面 ，
故 、 ，又底面 为正方形，故 ， ...................................2分
即 、 、 两两垂直，
故可以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，不妨设 ，则 ， ， ， ， ， .........................5分
， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
可取 ， ..............................................7分
因为 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ； ..........................................9分
（2）假设截面 内存在点 满足条件，
设 ， ， ， ，
有 ， ， ，
所以 ，. ...............................................11分
因为 平面 ，所以 ， ..................................................12分
所以 ，解得 ， ..................................................14分
这与假设矛盾，所以不存在点 ，使 平面 ．..................................................15分
17．（本小题满分15分）
某商场将在“周年庆”期间举行“购物刮刮乐，龙腾旺旺来”活动，活动规则：顾客投掷3枚质地均匀的股子．若3枚骰子的点数都是奇数，则中“龙腾奖”，获得两张“刮刮乐”；若3枚骰子的点数之和为6
的倍数，则中“旺旺奖”，获得一张“刮刮乐”；其他情况不获得“刮刮乐”．
(1)据往年统计，顾客消费额 （单位：元）服从正态分布 ．若某天该商场有20000位顾客，请
估计该天消费额 在 内的人数；
附：若 ，则 ．
(2)已知每张“刮刮乐”刮出甲奖品的概率为 ，刮出乙奖品的概率为 ．
①求顾客获得乙奖品的概率；
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率．
【解析】（1）由题意
，...............................3分
若某天该商场有20000位顾客，
估计该天消费额 在 内的人数为 ；. ...........................5分
（2）设事件 “顾客中龙腾奖”， 事件 “顾客中旺旺奖”， 事件 “顾客获得乙奖
品”，
由题意知 ，
事件 包括的事件是：“3枚骰子的点数之和为6”，
“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子的点数之和为18”，
则（i）若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1点，4点”，
“1点，2点，3点”， “2点，2点，2点”，三类情况，
共有 种； ..................................................7分
（ii）若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5点，6点”， “2点，5点，5点”，
“2点，4点，6点”， “3点，4点，5点”， “3点，3点，6点”， “4点，4点，4点”，六类情况，
共有 种；..................................................9分
（iii）若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6点，6点”，一类情况，共有1种；
所有 ， .................................................11分
①由全概率公式可得 ，
即顾客获得乙奖品的概率为 ； ...............................................13分
②若顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是
，
所以顾客已获得乙奖品，求其是中“龙腾奖”而获得的概率是 ...................................................15
分
18．（本小题满分17分）
已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 且 时，讨论 在 上的零点个数.
【解析】（1）显然 定义域为 ，由 得 ，......................................1分
当 时， 单调递增区间为 ，无减区间，........................3分
当 时，由 ，得 ，
所以 单调递增区间为 ，
由 ，得 ，所以 单调递减区间为 ，....................6分综上所述，当 时， 单调递增区间为 ，无减区间；
当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；...................7分
（2）由题可得函数 ，所以
，解得 ，
所以 ， ..................................................9分
①当 时，有 ，
所以 恒成立，
所以 在 上单调递减， 是一个零点；.........................................11分
②当 时， ，
设 ，则 恒成立，
即 在 上单调递增.
又 ，
所以根据零点存在定理可知， ，使得 ..................................................13分
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
因为 ，
根据零点存在定理可知， ，使得 ，..................................................16分综上所述， 在 上的零点个数为2. ..................................................17分
19．（本小题满分17分）
如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向
延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，从 发出的光线
经过图2中的 、 两点反射后，分别经过点 和 ，且 ， .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 、 为双曲线 实轴的左、右顶点，若过 的直线 与双曲线 交于 、 两点，试探究直
线 与直线 的交点 是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：如图所示：
延长 与 交于 ，因为 ， ，
则 ，即 ，.............................................3分
令 ，则 ，所以， ，
由双曲线的定义可得 ，则 ，
，则 ，
又因为 ，即 ，解得 ，..................................................6分
所以， ， ，
由勾股定理可得 ，则 ，
故 ， ..............................................8分
因此，双曲线 的方程为 ......................................9分
（2）解：若直线 与 轴重合，则直线 与双曲线 的交点为双曲线 的两个顶点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
由韦达定理可得 ， ，..................................................12分
易知点 、 ，则 ， ，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，................14分
联立直线 、 的方程并消去 可得 ，
可得
，解得 ，
因此，直线 与直线 的交点 在定直线 上...................................................17分
