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§3.3 导数与函数的极值、最值
分值：100 分
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.函数f(x)=1
3x3+x2-3x-1 的极小值点是( )
A.1
B.(1，- 8
3)
C.-3
D.(-3，8)
2.(2024·楚雄模拟)已知定义域为[-3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则( )
A.f(x)在(-2，2)上先增后减
B.f(x)有极小值f(2)
C.f(x)有2 个极值点
D.f(x)在x=-3 处取得最大值
3.(2025·苏州模拟)设0<x<π，则函数f(x)=sin x
2
+ 2
sin x 的最小值为( )
A.1
B.3
2
C.2
D.5
2
4.(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)=xln x-ax 有极值-e，则a 等于( )
A.1
B.2
C.e
D.3
5.若函数f(x)=ex-ln(x+m)的最小值为2+ln 2，则m 等于( )
A.-2
B.1
2-ln 2
C.-1
2
D.1
2+ln 2
6.已知函数f(x)=√xln x-ax 有两个不同的极值点x1，x2(x1<x2)，则下列说法不正确的是( )
A.a 的取值范围是(-∞，1)
B.x1是极小值点
C.当x∈(x2，+∞)时，f'(x)<0
D.ln x1+2
ln x2+2=√x1
√x2
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.已知函数f(x)=x3-3x2，则( )
A.f(x)在(0，1)上单调递减
B.f(x)的极大值点为2
C.f(x)的极大值为-2
D.f(x)有2 个零点
8.(2023·新高考全国Ⅱ)若函数f(x)=aln x+b
x + c
x
2(a≠0)既有极大值也有极小值，则( )
A.bc>0
B.ab>0
C.b2+8ac>0
D.ac<0
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.若函数f(x)=1
3x3-4x+m 在[0，3]上的最小值为4，则m= .
10.若函数f(x)=1
2x2-ax+ln x 在(0，2)上有极值，则实数a 的取值范围是 .
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知函数f(x)= a
e
x+x(a∈R).
(1)若f'(0)=0，求实数a 的值；(5 分)
(2)讨论函数f(x)的极值.(8 分)
12.(15 分)(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5 分)
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.(10 分)
每小题5 分，共20 分
13.设ab≠0，若a 为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则( )
A.a<b
B.a>b
C.ab<b2
D.ab>b2
14.若不等式a+2x+|ln x|-1≥0 恒成立，则a 的取值范围是 .
15.(2024·曲靖模拟)已知函数f(x)=2ax-ex2+18，其中a>0 且a≠1.若f(x)存在两个极值点x1，x2，则实数a 的取
值范围为 .
16.(2025·湘潭模拟)已知函数f(x)=x-aln x(a>0)，记函数y=f(x)，y=f(f(x))的值域分别为M，N，若N
M，则a
的取值范围是 .
答案精析
1.A 2.B
3.D [因为0<x<π，令t=sin x，则t∈(0，1]，由g(t)= t
2+2
t (0<t≤1)可得g'(t)=1
2- 2
t
2 ，当t∈(0，1]时，
g'(t)<0，则g(t)单调递减，所以当t=1 时，g(t)有最小值g(1)=1
2+2=5
2 ，即f(x)有最小值5
2.]
4.B [由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1-a.令f'(x)>0，得x>ea-1；
令f'(x)<0，得0<x<ea-1.
所以函数f(x)在区间(0，ea-1)上单调递减，在区间(ea-1，+∞)上单调递增.
则函数f(x)的极小值点是ea-1，无极大值点，
故f(ea-1)=ea-1ln ea-1-aea-1=-e，
解得a=2.]
5.B [易知f(x)的定义域为(-m，+∞)，f'(x)=ex-
1
x +m ，
易知f'(x)在区间(-m，+∞)上单调递增，
又当x→-m 时，f'(x)→-∞；当x→+∞时，f'(x)→+∞，
所以存在唯一x0∈(-m，+∞)，使得f'(x0)=0，即x0=-ln(x0+m)，
所以当x∈(-m，x0)时，f'(x)<0；当x∈(x0，+∞)时，f'(x)>0，
所以f(x)在区间(-m，x0)上单调递减，在区间(x0，+∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(x0)=e
x0-ln(x0+m)=e
x0+x0=2+ln 2=eln 2+ln 2，
所以x0=ln 2，所以eln 2=
1
ln 2+m ，解得m=1
2-ln 2.]
6.A [令f'(x)= ln x
2√x +√x
x -a=ln x +2
2√x -a=0，
由题意，方程ln x +2
2√x =a 在(0，+∞)上有两根x1，x2(x1<x2)，
设g(x)=ln x +2
2√x ，
g'(x)=
√x
x - ln x +2
2√x
2 x
=- ln x
4 x √x ，
当0<x<1 时，g'(x)>0，g(x)单调递增，当x>1 时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)max=g(1)=1>0，
当x→0 时，g(x)=ln x +2
2√x →-∞，当x→+∞时，g(x)=ln x +2
2√x →0，
所以a 的取值范围是(0，1)，故A 不正确；
由A 选项分析可知0<x1<1<x2，
当0<x<x1时，f'(x)<f'(x1)=0，f(x)单调递减，
当x1<x<x2时，f'(x)>f'(x1)=0=f'(x2)，f(x)单调递增，
当x>x2时，f'(x)<f'(x2)=0，f(x)单调递减，
所以x1是极小值点，故B，C 正确；
对于D，因为
ln x1+2
2√x1
=
ln x2+2
2√x2
=a，所以
ln x1+2
ln x2+2=√x1
√x2
，故D 正确.]
7.AD [由函数f(x)=x3-3x2，可得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，
令f'(x)>0，解得x<0 或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2，
所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(-∞，0)，(2，+∞)上单调递增，
当x=0 时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(0)=0；
当x=2 时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(2)=-4，
又由x→+∞时，f(x)→+∞且f(2)=-4<0，f(0)=0，所以函数f(x)只有两个零点，
所以A，D 正确，B，C 不正确.]
8.BCD [函数f(x)=aln x+b
x + c
x
2的定义域为(0，+∞)，则f'(x)=a
x - b
x
2-2c
x
3 =a x
2-bx -2c
x
3
，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，
则函数f'(x)在(0，+∞)上有两个变号零点，而a≠0，
因此方程ax2-bx-2c=0 有两个不相等的正实数根x1，x2，
于是{
Δ=b
2+8ac>0，
x1+ x2= b
a >0，
x1 x2=- 2c
a >0，
即有b2+8ac>0，ab>0，ac<0，
显然a2bc<0，即bc<0，故A 错误，B，C，D 正确.]
9.28
3
解析 f'(x)=x2-4，
当x∈[0，2)时，f'(x)<0，当x∈(2，3]时，f'(x)>0，
所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，
所以f(2)为f(x)在[0，3]上的极小值，也是最小值，
故1
3×8-4×2+m=4，
解得m=28
3 .
10.(2，+∞)
解析 f(x)=1
2x2-ax+ln x 的定义域为(0，+∞)，f'(x)=x-a+1
x ，
要使函数f(x)=1
2x2-ax+ln x 在(0，2)上有极值，则f'(x)=x-a+1
x 在(0，2)上有变号零点，
令g(x)=x+1
x ，x∈(0，2)，
则g(x)=x+1
x ≥2√x· 1
x =2，
当且仅当x=1 时等号成立，所以a≥2.
当a=2 时，f'(x)=x-a+1
x =x+1
x -2≥0，函数f(x)单调递增，
则函数f(x)=1
2x2-ax+ln x 在(0，2)上没有极值，故a>2，
即实数a 的取值范围是(2，+∞).
11.解 (1)由函数f(x)= a
e
x+x，
可得f'(x)=1- a
e
x =e
x -a
e
x
，
所以f'(0)=1-a
1
=1-a=0，
解得a=1.
(2)函数f(x)= a
e
x +x 的定义域为R，
且f'(x)=1- a
e
x =e
x -a
e
x
，
当a≤0 时，f'(x)>0 恒成立，
所以f(x)在R 上单调递增，f(x)无极值；
当a>0 时，令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x<ln a，
所以f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增，
所以f(x)的极小值为1+ln a，无极大值.
综上所述，当a≤0 时，f(x)无极值；当a>0 时，f(x)的极小值为1+ln a，无极大值.
12.解 (1)当a=1 时，
则f(x)=ex-x-1，
f'(x)=ex-1，
可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，
即切点坐标为(1，e-2)，
切线斜率k=e-1，
所以切线方程为
y-(e-2)=(e-1)(x-1)，
即(e-1)x-y-1=0.
(2)方法一 因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若a≤0，则f'(x)>0 对任意x∈R 恒成立，
可知f(x)在R 上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x<ln a，
可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，
即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
则g'(a)=2a+1
a>0，
可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0 等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a 的取值范围为(1，+∞).
方法二 因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a 有零点，
令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a 有交点，则a>0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)<0，解得x<ln a，
可知f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，+∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)=a-aln a-a3<0，即a2+ln a-1>0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
因为y=a2，y=ln a-1 在(0，+∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0 等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a 的取值范围为(1，+∞).
13.C [由三次函数的性质可知，要使a 为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点，则
当a>0 时，函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则0<a<b，此时ab<b2；
当a<0 时，函数f(x)的大致图象如图(2)所示，则b<a<0，此时ab<b2.
综上，ab<b2.]
14.[-ln 2，+∞)
解析 不等式a+2x+|ln x|-1≥0 恒成立，
即a≥1-2x-|ln x|恒成立，
设f(x)=1-2x-|ln x|，x∈(0，+∞)，
当x≥1 时，f(x)=1-2x-ln x，
f'(x)=-2-1
x <0，
∴f(x)在[1，+∞)上单调递减，此时f(x)max=f(1)=-1；
当0<x<1 时，f(x)=1-2x+ln x，
∴f'(x)=-2+1
x =-2 x +1
x
，
∴当x∈(0，1
2)时，f'(x)>0，
当x∈(
1
2 ，1)时，f'(x)<0，
∴f(x)在(0，1
2)上单调递增，在(
1
2 ，1)上单调递减，此时f(x)max=f (
1
2)=ln 1
2=-ln 2.
综上可知，a 的取值范围是[-ln 2，+∞).
15. (
1
e ，1)∪(1，e)
解析 对函数f(x)=2ax-ex2+18 求导得
f'(x)=2axln a-2ex=2(axln a-ex)，
因为f(x)存在两个极值点，所以f'(x)有两个变号零点.
令f'(x)=0，有axln a=ex，
令h(x)=axln a，g(x)=ex，
所以h(x)与g(x)的图象有两个交点.
当a>1 时，h(x)=axln a，
h'(x)=ax(ln a)2，
设过原点的直线与h(x)=axln a 的切点坐标为(x0，a
x0ln a)，
切线斜率为k=a
x0(ln a)2，
所以切线方程为y-a
x0ln a=a
x0(ln a)2(x-x0)，
将原点坐标带入切线方程得x0= 1
ln a.
此时切线的斜率为k=a
1
ln a(ln a)2=e(ln a)2，
h(x)=axln a 的函数图象与g(x)=ex 的函数图象有两个交点，
即k=e(ln a)2<e，
因为a>1，有ln a>0，所以0<ln a<1，所以1<a<e；
同理知当0<a<1 时，ln a<0，k=e(ln a)2<e，
即-1<ln a<0，所以1
e <a<1.
综上，a 的取值范围为(
1
e ，1)∪(1，e).
16. (0，1)
解析 因为f(x)=x-aln x(a>0)，x>0，
则f'(x)=1-a
x = x -a
x
，
当x∈(0，a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=a 时，f(x)取得极小值，也是最小值f(a)=a-aln a，
所以M={y|y≥a-aln a}，
当a-aln a≤0 时，M=N，不符合题意，
当a-aln a>0，即0<a<e 时，
令f(x)=t，则y=f(f(x))=f(t)，t≥a-aln a，
因为N
M，所以必有f(a-aln a)>f(a)，
显然不可能有a-aln a≤a，否则M=N，不符合题意，所以a-aln a>a，解得0<a<1，
所以a 的取值范围是(0，1).
