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1.4 基本不等式
1
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2
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3
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4
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考点一 公式型
【例1-1】（2024 湖南株洲）已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【例1-2】（2024·云南）已知正实数
、
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·北京大兴）当
时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 湖南娄底）若
，
，且
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．（2024 重庆）已知两个正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．6
C．
D．
4（2024 江西）若正数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
考点二 配凑型
【例2-1】（2024 安徽芜湖）若
，则
的最小值是 .
【例2-2】（2023 高三·全国·专题练习）函数
的最大值为 .
【例2-3】（2023 福建泉州）函数
在
上的最大值为 ．
【一隅三反】
1．（2024·甘肃·兰州）若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5
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2.（2024·辽宁）已知正实数x，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 广东潮州）若函数
在
处取最小值，则
（ ）
A．
B．2
C．4
D．6
4．（2024 云南）函数
的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．-1
5．（2024·江苏徐州）设
，
为正数，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 常数替换型
【例3-1】（2024 湖南长沙）已知正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．8
C．3
D．
【例3-2】（2024 江苏扬州）已知实数
，
，满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（2024 河南·许昌高中）已知a，b 为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．6
C．7
D．
【例3-4】（2024 辽宁葫芦岛）已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．4
D．
【例3-5】（2023·陕西咸阳·一模）已知
，且
，则
的最小值为 ．
6
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【例3-6】（2024·全国·高三专题练习）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 云南丽江）已知a，b 为正数，
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为
，且总体的平均
值为10，则
的最小值为 ．
3．（20224·辽宁·沈阳）已知a，b 为正实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
4．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数
，且
，则
的最小值是 ．
5（2024 高三专题练习）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 浙江绍兴）已知x 为正实数，y 为非负实数，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 消元型
【例4-1】（2024 四川眉山）设
,则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【例4-2】（2024 浙江·阶段练习）已知实数x，y 满足
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
【例4-3】（2024·河南南阳·一模）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
7
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【例4-4】（2024 河南漯河）设正实数
、
、满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·郑州四中）已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则
（ ）
A．有最大值
B．有最大值
C．有最小值
D．有最小值
2．（2024·辽宁丹东）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
3．（2024 河南）（多选）已知正实数a，b 满足
，则
的可能取值为（ ）
A．2 B．
C．
D．4
4．（2024 北京）设正实数
，
，满足
，则当
取得最大值时，
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 基本不等式求最值
【例5-1】（2024 山东滨州）已知
，
，且
，若
恒成立，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2023 浙江）若两个正实数
满足
，且不等式
有解，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【一隅三反】
1．（2023·重庆沙坪坝）已知正实数x，y 满足
，若
恒成立，则实数t 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 浙江杭州）若正实数
、
满足
，且
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·江西·一模）已知正数x，y 满足
，若不等式
恒成立，则实数a 的取值范围是
．
考点六 基本不等式与其他知识综合
【例6-1】（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列
的前n 项和为
，
，则
的最大值为
（ ）
A．9
B．16
C．25
D．50
【例6-2】（2024 广东惠州）在
中，
为
上的一点，满足
.若
为
上的一点，满足
，则
与
的关系为 ；
的最小值为 .
【一隅三反】
1．（2023 山西晋城）已知
分别为椭圆
的两个焦点，
为椭圆上一点，则
的最大值为（ ）
A．20
B．16
C．64
D．24
2．（2024 四川成都·开学考试）函数
的图象过定点
，且定点
的坐标满足方程
，
其中
，
，则
的最小值为（ ）
9
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A．
B．9
C．
D．8
3（2023 天津南开·阶段练习）已知正项等比数列
的前
项和为
，且
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（20224·河南濮阳）已知
，
，直线
与曲线
相切，则
的最小值是
______．
考点七 基本不等式的实际应用
【例7】（2023·湖南）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的
可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，
高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供
（万元）的专项补贴．波司登制衣
有限公司在收到高邮政府
（万元）补贴后，产量将增加到
（万件）．同时波司登制衣有限公司生产
（万件）产品需要投入成本为
（万元），并以每件
元的价格将其生产的产品全部售出．
注：收益=销售金额
政府专项补贴
成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益
（万元）关于政府补贴
（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益
（万元）最大？
【一隅三反】
10
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1．（2024·广东茂名·一模）用一段长为cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2023·湖南·一模）某农机合作社于今年初用98 万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第
一年（今年）的维修保养费是12 万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4 万元.若当该机
的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A．6 年
B．7 年
C．8 年
D．9 年
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸
引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适
呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3 米处，其下沿
在观赏者眼睛平视的上方1 米处.（ ）
A．1.73
B．1.41
C．2.24
D．2.45
考点八 利用基本不等式比大小
【例8-1】（2024 贵州安顺·）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-2】（2024 江苏扬州·期末）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 重庆·期末）已知
，则以下关于
的大小关系正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2024 贵州毕节）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 安徽阜阳）（多选）已知正实数x，y，z 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点九 利用基本不等式证不等式
11
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【例9-1】（2024 湖南长沙）（多选）设正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2024 山东枣庄·期末）（多选）已知a，b，c 满足
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 湖南娄底·期末）（多选）已知关于x 的不等式
（
，
）的解集
为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
的最小值为4
D．
的最小值为
3．（2024 重庆大足）（多选）设正实数
，
，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024 高三·全国·专题练习）（多选）已知
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
12
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一．单选题
1．（2024·河南南阳）已知
，
且
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．5
C．
D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知直线
经过点
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．9
D．
3．（2024 四川成都·阶段练习）设
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·安徽省）若
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
5．（2024 北京）已知不等式
对任意正实数x，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．（2024·山东临沂）已知
，且
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值
D．最小值
7．（2024 云南德宏）已知正项等比数列
中，
成等差数列.若数列
中存在两项
，使得
为它们的等比中项，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
8．（2024 北京）设
，
，
，则（ ）
A．
有最大值8
B．
有最小值8
C．
有最大值8
D．
有最小值8
二．多选题
9．（2024 高三·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的有（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
10．（2024 四川成都·期中）已知
，
，且
，下列结论中正确的是（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是
C．
的最小值是8
D．
的最小值是
11．（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三．填空题
12．（2024 山东菏泽·阶段练习）若两个正实数
满足
，且不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
13．（2023·山东济宁·一模）已知函数
且
的图象过定点A，且点A 在直线
上，则
的最小值是 .
14．（2024 浙江宁波·阶段练习）已知正实数
满足
，则
的最小值为 .
四．解答题
15．（2024 湖南岳阳·阶段练习）已知函数
（m,n 为常数）.
（1）若
，解不等式
；
14
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（2）若
，当
时，
恒成立，求
的取值范围.
16（2024 湖北）已知
，
．
(1)若
，
，不等式
恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)若不等式
恒成立，求实数m 的最小值；
(3)若
．且
恒成立，求正实数a 的最小值．
17．（2024 陕西西安）某工厂生产某种零件的固定成本为20000 元，每生产一个零件要增加投入100 元，已知
15
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总收入
（单位：元）关于产量
（单位：个）满足函数：
.
(1)将利润
（单位：元）表示为产量
的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?（单位利润
利润
产量）
18．（2024 重庆沙坪坝·阶段练习）若命题
：存在
，
，命题
：二次函数
在
的图像恒在
轴上方
(1)若命题
，
中均为假命题，求
的取值范围？
(2)对任意的
，使得不等式
成立，求
的取值范围.
16
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19．（2024 贵州贵阳·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：
从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论
的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决
方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等.
例如，
，求证：
．
证明：原式
．
阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问
题处理方法进行研究.
例如，正实数
满足
，求
的最小值．
解：由
，得
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
的最小值为
．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生
长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.
结合阅读材料解答下列问题：
(1)已知
，求
的值；
(2)若正实数
满足
，求
的最小值．
17
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