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2025 年1 月“八省联考”考前猜想卷
数 学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在
中，D 是AB 边上的中点，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．以边长为6 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．若函数
为奇函数，则
B．函数
在
上是减函数
C．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
D．若函数
为偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增，则
在
上是单调递减
7．已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知数列
满足
，
．记数列
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生
参加体育测试，其中甲班女生的成绩
与乙班女生的成绩
均服从正态分布，且
，
，则( ).
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
，下列说法正确的是（ ）
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A．函数
的定义域为
B．函数
为偶函数
C．函数
的单调递增区间为
D．函数
的图像关于直线
对称
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为
，则下列说法正确的是（ ）
A．四叶草曲线有四条对称轴
B．设
为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过
作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的
矩形面积的最大值为
C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D．四叶草曲线的面积小于
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若直线
与曲线
相切，则实数
的值为 .
13．已知双曲线
的左焦点为
，过
的直线交圆
于
，
两点，交
的右支于点
，若
，则
的离心率为 .
14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研
究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛
的应用.已知对于正整数
，若存在一个整数
，使得
整除
，则称
是
的一个二次剩余，
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否则为二次非剩余.从1 到20 这20 个整数中随机抽取一个整数
，记事件
与12 互质”，
是12
的二次非剩余”，则
；
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，点
在边
上，且满足
，
的面积
(1)证明：
(2)求
.
16．（15 分）新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取
若干居民进行评分（满分为100 分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在
的居民
有2200 人.
(1)求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50 万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85 分以上的人数.
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17．（15 分）椭圆
的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足
．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M，与y 轴相交于N（N 异于M）．记O 为坐标原点，若
，且
的面积为
，求椭圆的标准方程．
18．（17 分）已知四棱锥
的底面
是直角梯形，
，
，
，
，E 为CD 的中点，
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，PC 与平面
所成的角为
，试问在侧面PCD 内是否存在一点N，使得
平面PCD？若存在，求出点N 到直线PD 的距离；若不存在，请说明理由．
19．（17 分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，
衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，f
″ (x)是
的
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导函数，则曲线
在点
处的曲率
.
(1)求曲线
在
处的曲率
的平方；
(2)求正弦曲线
曲率的平方
的最大值.
(3)正弦曲线
，若
，判断
在区间
上零点的个数，并写
出证明过程.
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