第 07 讲 三角函数中的参数问题
题型一 根据三角函数的周期性求参数
( π)
【例1】（1）若函数f（x）＝2tan kx+ 的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值
3
为 .
π π
解析：由题意得1＜ ＜2，k∈N，∴ ＜k＜π，k∈N，∴k＝2或3.
k 2
答案：2或3
(3π) (π)
【对点演练1】已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0），若︱f －f ︱＝2，则ω的最
4 4
小值为（ ）
1
A. B.2 C.3 D.6
2
(3π) (π)
解析：B 记f（x）的最小正周期为T，因为－1≤sin ωx≤1，所以若使︱f －f ︱
4 4
3π π T
＝2成立，则 － ＝ ＋kT，k∈N，当k＝0时，T取得最大值π，所以ω的最小值为
4 4 22π
＝2.故选B.
π
【对点演练2】记函数 的最小正周期为T．若 ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据最小正周期 ，可得 ，解得 ；
又 ，即 是函数 的一条对称轴，
所以 ，解得 .
又 ，当 时， .
【对点演练3】已知函数 ， ， ，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为
，
又因为 ， ，且 ，所以，函数 的最小正周期 满足 ，则 ，
所以， ，故当 时， 取最小值 .
题型二 根据三角函数的对称性（奇偶性）求参数
【例2】（1）已知函数f（x）＝sin xcos（2x＋φ）（φ∈[0，π]）为偶函数，则φ＝ （
）
π π
A.0 B. C. D.π
4 2
( π) (π)
解析：C ∵f（x）的定义域为R，且为偶函数，∴f - ＝f ⇒－cos（－π＋φ）＝cos
2 2
π π
（π＋φ）⇒cos φ＝－cos φ⇒cos φ＝0，∵φ∈[0，π]，∴φ＝ .当φ＝ 时，f（x）＝－
2 2
sin xsin 2x为偶函数满足题意.故选C.
（2）已知函数 的最小正周期为 ，且 是函数 图象
的一条对称轴，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解题思路】根据最小正周期和辅助角公式得到 ，结合 是对称轴，得到
，求出 ，进而求出最大值.
【解题过程】由题得函数 ，其中 ．
最小正周期为 ，即
．
那么 ．
一条对称轴是
∴ ，即可得： ．
的最大值为 ．
故选：B．
【对点演练1】若将函数 的图像向右平移 个单位长度后所得图
像关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数右移 ，则 ，
由 关于 轴对称，故 ， ，
所以 ， ，又 ，即 ，故 ，
所以，当 时 .
【对点演练2】若将函数 的图象向右平移 个单位后，所得
图象对应的函数为奇函数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】首先对 化简得到 ，再写出平移后的解析式
，因为其为奇函数，则 ，解出 即可得到最小值.
【解题过程】 ，向右平移个单位后得到函数 ，由于是奇函数，因
此，得 ， .又 ，则当 时， 的最小值是
，
故选：B.
【对点演练3】已知函数 ．若对于任意实数x，都有
，则 的最小值为（ ）．
A．2 B． C．5 D．8
【答案】C
【解题思路】由 可求得函数图像的对称中心，结合正弦型函数的性质，
可求 的最小值.
【解题过程】函数 ，由 可知函数图像的一个
对称中心为 ，
所以有 ，解得 ，
由 ，当 时， 有最小值5.
故选：C
【对点演练4】若函数 在区间 上仅有一条对称轴及一
个对称中心，则 的取值范围为________．
【答案】【详解】由题意，函数 ，
因为 ，可得 ，
要使得函数 在区间 上仅有一条对称轴及一个对称中心，
则满足 ，解得 ，所以 的取值范围为 ．
题型三 根据三角函数的单调性求参数
[ π]
【例 3】（1） 若函数 f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间 0, 上单调递增，在区间
3
[π π]
, 上单调递减，则ω＝ .
3 2
π π
解析 ∵f（x）＝sin ωx（ω＞0）过原点，∴当0≤ωx≤ ，即0≤x≤ 时，y＝sin ωx单调
2 2ω
π 3π π 3π
递增；当 ≤ωx≤ ，即 ≤x≤ 时，y＝sin ωx单调递减.由f（x）＝sin ωx（ω＞0）
2 2 2ω 2ω
[ π] [π π] π π 3
在 0, 上单调递增，在 , 上单调递减，知 ＝ ，∴ω＝ .
3 3 2 2ω 3 2
3
答案
2
（2）若f（x）＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是 （ ）
π π 3π
A. B. C. D.π
4 2 4
( π) π π
解析：A f（x）＝cos x－sin x＝❑√2cos x+ ，由题意得a＞0，故－a＋ ＜ ，因为f
4 4 4
π
{-a+ ≥0,
4
( π)
（x）＝❑√2cos x+ 在[－a，a]上是减函数，所以 π 解得
4 a+ ≤π,
4
a>0,
( π)
（3）若函数f（x）＝sin（φ－2x）在区间 0, 上单调递减，则实数φ的值可以为 （
2
）
2π π π π
A. B. C. D.
3 2 3 4( π)
解析：B f（x）＝sin（φ－2x）＝－sin（2x－φ）.当x∈ 0, 时，2x－φ∈（－φ，π－
2
π
{-φ≥- +2kπ,
( π) 2
φ）.因为函数f（x）＝sin（φ－2x）在区间 0, 上单调递减，所以
2 π
π-φ≤ +2kπ,
2
π π
k∈Z，解得φ＝ －2kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝ ，故选B.
2 2
（4）已知函数f(x)＝sin (ω>0)在区间 上单调递增，则ω的取值范围
为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 方法一 由题意得
则又ω>0，所以
所以k＝0，则0<ω≤.
方法二 取 ω＝1，则 f(x)＝sin，令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋2kπ≤x≤＋2kπ，
k∈Z，当k＝0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数 f(x)在区间上单调递增矛盾，故
ω≠1，结合四个选项可知选B.
【小结】若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等
式（组）求解.
[π π]
【对点演练1】 （1）若函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间 , 上单调递减，则ω
3 2
的取值范围是 （ ）
[ 2] [ 3] [2 ] [3 ]
A. 0, B. 0, C. ,3 D. ,3
3 2 3 2
π 3π π 2kπ 3π 2kπ
解析 由题意，令 ＋2kπ≤ωx≤ ＋2kπ（k∈Z），得 ＋ ≤x≤ ＋
2 2 2ω ω 2ω ω
[ π 2kπ 3π 2kπ]
（k∈Z），即函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的单调递减区间为 + , +
2ω ω 2ω ω
[π π]
（k∈Z），因为函数 f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间 , 上单调递减，所以
3 2π 2kπ π
{ + ≤ ,
2ω ω 3 3
{ ω≥ +6k,
π 3π 2kπ 2 3
≤ + ,(k∈Z),解得 所以k＝0， ≤ω≤3.故选D.
2 2ω ω ω≤3+4k,(k∈Z), 2
T π π π 0<ω<6
= ≥ -
2 ω 2 3
答案 D
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
若 在 上是增函数，则a的最大值为______．
【答案】
【详解】 ，
则 ，
由 ，得 ，
因为 在 上是增函数，
所以 ，解得 ，
所以a的最大值为 .
故答案为： .
（3）已知函数 ，若 在区间 上单调递减，则
实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】利用三角恒等变换，化简三角函数，利用正弦型函数的单调性，建立不等式
组，可得答案.【解题过程】
，
由 ，则 ，由题意， ，则
，解得 .
故选：C.
( π)
【对点演练2】将函数y＝3sin x- 的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到f
6
(π 5π)
（x）的图象，若f（x）在 , 上单调递增，则φ的取值范围为（ ）
6 6
[π π] [π π] [π 2π] [π 2π]
A. , B. , C. , D. ,
3 2 6 2 3 3 2 3
( π ) π 5π π 2π
解析：B f（x）＝3sin x- -φ ，当 ＜x＜ 时，－φ＜x－ －φ＜ －φ，由0＜φ
6 6 6 6 3
π
{-φ≥- ,
2π ( π 2π) 2 π π
＜π，有－φ∈（－π，0）， －φ∈ - , ，有 得 ≤φ≤ .故选B.
3 3 3 2π π 6 2
-φ≤ ,
3 2
(π)
【对点演练3】已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）满足f ＝2，
4
(π π)
f（π）＝0，且f（x）在区间 , 上是单调函数，则符合条件的ω的值有 个.
4 3
(π)
解析：设函数f（x）的最小正周期为T，由f ＝2，f（π）＝0，结合正弦函数图象的特
4
T kT 3π 3π (π π)
征可知 ＋ ＝ ，k∈N，故T＝ ，k∈N，又因为f（x）在区间 , 上是单
4 2 4 1+2k 4 3
π π T π 3π π 17
调函数，所以 － ≤ ，故T≥ ，所以 ≥ ，所以k≤ ，k∈N，所以k＝0，
3 4 2 6 1+2k 6 2
2(1+2k)
1，2，…，8，共9个，又ω＝ ，所以符合条件的ω的值有9个.
3
答案：9【对点演练4】已知函数 ， 是函数 的一个零
点， 是函数 的一条对称轴，若 在区间 上单调，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数 的最小正周期为 ，
因为 是函数 的一个零点， 是函数 的一条对称轴，
则 ，其中 ，所以， ， ，
因为函数 在区间 上单调，则 ，所以， .
所以， 的可能取值有： 、 、 、 、 .
（i）当 时， ， ，
所以， ，则 ，
， ，所以， ，
当 时， ，所以，
函数 在 上不单调，不合乎题意；
（ii）当 时， ， ，所以， ，则 ，
， ，所以， ，
当 时， ，所以，
函数 在 上单调递减，合乎题意.
因此， 的最大值为 .
故选：A.
【对点演练5】(2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f ＝3，f(π)＝
0，f(x)在 上单调递减，那么ω的取值共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 D
解析 ∵f ＝3，f(π)＝0，
∴π－＝·T(n∈N*)，
T＝，
∵f(x)在 上单调递减，
∴≥－＝，∴T≥，
即≥，∴2n－1≤10，
∴n＝1,2,3,4,5，
即周期T有5个不同取值，
∴ω的取值共有5个．
【对点演练6】（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线 是曲线
的一条对称轴，且函数 在区间[0， ]上不单调，则的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
【答案】C
【解析】因直线 是曲线 的一条对称轴，则
，即 ，
由 得 ，则函数 在 上单调递增，
而函数 在区间 上不单调，则 ，解得 ，
所以 的最小值为11.
故选：C
题型四 根据三角函数的最值求参数
【例5】（2020·北京高考）若函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cos x的最大值为2，则常数φ的
一个取值为 .
解析：易知当y＝sin（x＋φ），y＝cos x同时取得最大值1时，函数f（x）＝sin（x＋φ）
π
＋cos x取得最大值2，故sin（x＋φ）＝cos x，则φ＝ ＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取
2
π
值为 .
2
π( π )
答案： 只要等于 +2kπ,k∈Z即可
2 2
【例6】已知函数 ，若存在实数 ，使得 ，且
，则 的最小值为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【详解】函数 的最大值为 ，最小值为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，设函数 的最小正周期为 ，
则 ， ，又 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 的最小值为4.
【例7】(2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点，且
f(x)≤ 恒成立，f(x)在区间 上有最小值无最大值，则 ω的最大值是(
)
A．11 B．13 C．15 D．17
答案 C
解析 由题意，直线x＝是f(x)的一条对称轴，
所以 ＝±1，即ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，①
1 1
又 ＝0，所以－ω＋φ＝kπ，k∈Z，②
2 2
由①②，得ω＝2(k－k)＋1，k，k∈Z，
1 2 1 2
又f(x)在区间 上有最小值无最大值，
所以T≥－ ＝，
即≥，解得ω≤16.
综上，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由①得×15＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，又|φ|≤，
1 1 1 1
所以φ＝－，此时f(x)＝sin ，当x∈ 时，15x－∈，
当15x－＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值，无最大值，满足题意．
故ω的最大值为15.【对点演练1】（1）（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在区间 上单调递增，且在区间 上只取得一次最大值，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数 ， ，
因为 在区间 上单调递增，由 ，则 ，
于是 且 ，解得 且 ，即 ，
当 时， ，因为 在区间 上只取得一次最大值，
因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
（2）已知函数 ，若 ，且 在 上有最大值，
没有最小值，则 的最大值为______．
【答案】17
【解析】由 ，且 在 上有最大值，没有最小值，可得
， 所以 .
由 在 上有最大值，没有最小值，可得 ，解得，又 ，当 时， ，则 的最大值为17，,
故答案为：17
【对点演练2】函数 在区间 上恰有两个最小值点，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】运用换元法，结合正弦函数的性质进行求解即可.
【解题过程】令 ，因为 ，所以 ，
问题转化为函数 在 时恰有两个最小值点，
所以有 ，因为 ，所以 ，
故选：A
【对点演练3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在（0，2]上有最
大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则 的取值范围是
___________.
【答案】
【解析】易知 时不满足题意，
由 Z，得 Z，
当 时，第2个正最值点 ，解得 ，
第3个正最值点 ，解得 ，故 ；
当 时，第2个正最值点 ，解得 ，第3个正最值点 ，解得 ，故 .
综上， 的取值范围是 .
故答案为：
【对点演练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的最大值为2，则使函数 在区间 上至少取得两次最大值，则 取值范围是_______
【答案】 /
【解析】 ，因为 ， ，故
，原式为 ，当 取到最大值时， ，
当 ， 取得前两次最大值时， 分别为0和1， 时， ，
，此时需满足 ，解得 .
故答案为：
【对点演练5】已知函数 在 上有最大
值，无最小值，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】 ．
由题可知， ，所以 ，当 时， ，
因为函数 在 上有最大值，无最小值，
所以存在 ，使得
整理得 ，（ ）.
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
【对点演练6】已知函数 在区间 上单调递增，且
在区间 上只取得一次最大值，则 的最大值是_______
【答案】
【详解】 ，
令 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 在 上时单调递增，所以有 ，
当 时， ，
所以 在 时，只取得一次最大值，
因此有 ，
综上所述： ，所以 的最大值是 ，
题型五 根据三角函数的零点求参数
【例8】设函数 ，若对于任意实数 ，函数 在区间
上至少有3个零点，至多有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 为任意实数，故函数 的图象可以任意平移，从而研究函数 在区间
上的零点问题，即研究函数 在任意一个长度为 的区间上的
零点问题，
令 ，得 ，则它在 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为 ，
， ， ， ， ，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为 ， ， ， ， ，
故相邻四个零点之间的最大距离为 ，相邻五个零点之间的距离为 ，所以要使函数 在区间 上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点
之间的最大距离不大于 ，相邻五个零点之间的距离大于 ，
即 ，解得 .
故选：C
【例9】（2023·河北·高二统考学业考试）设函数 ，若对于任
意实数 ， 在区间 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则
令 ，则
则问题转化为 在区间 上至少有两个，至少有三个t，使得 ，
求 的取值范围.
作出 和 的图像，观察交点个数，可知使得 的最短区间长度为2π，最长长度为 ，
由题意列不等式的：
解得： .
故选：B
【对点演练1】已知函数 的图象是由 （ ）的图象向右平移
个单位得到的，若 在 上仅有一个零点，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，函数 在 上仅有一个零点，
所以 ，所以 ，
令 ，得 ，即 .
若第一个正零点 ，则 （矛盾），
因为函数 在 上仅有一个零点，
所以 ，解得 .
故选：C.【对点演练2】记函数 的最小正周期为 .若
， 为 的零点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为 的最小正周期为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 为 的零点，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为4，
故选：C
【对点演练3】将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横
坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在 上没有零点，则ω的取值范围是( )
A. ∪ B. C. D．(0,1]
答案 A
解析 将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，得到y＝cos 的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)＝cos
(ω>0)的图象，周期T＝，
因为函数g(x)在 上没有零点，所以－≤，得T≥2π，即≥2π，得0<ω≤1，
假设函数g(x)在 上有零点，
令g(x)＝0，得ωx－＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
则<＋<，得＋<ω<＋2k，k∈Z，
又0<ω≤1，所以<ω<或<ω≤1，
又函数g(x)在 上没有零点，且0<ω≤1，
所以0<ω≤或≤ω≤.
思维升华 三角函数两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研
究“ω”的取值．
【课时作业】
1．（2022·山东济南·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，
则 的图象关于（ ）
A． 对称 B． 对称 C． 对称 D． 对称
【答案】B
【解题思路】先通过最小正周期求出 ，再根据三角函数图像的性质判断对称轴与对称
中心即可.
【解题过程】因为函数 的最小正周期为 ，由 得， ，即 ，
，故 不是对称轴， 也不是对称中心；
，故 是对称轴， 不是对称中心.
故选：B
2．已知函数 的图象向左平移 个单位长度后与原图象
重合，则实数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【解题思路】由题意说明平移的单位是周期的整数倍，利用正切函数的周期可得．
【解题过程】由题可知， 是该函数的周期的整数倍，即 ，解得
，又 ，故其最小值为 ．
故选：A．
3．已知函数 ，若函数f(x)在 上单调递减，则
实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用二倍角和辅助角公式化简解析式，然后利用正弦函数的单调性解决即可.
【解题过程】函数
，由函数f(x)在 上单调递减，且 ，
得 ， ，解 ， .
又因为ω>0， ，所以k＝0，
所以实数ω的取值范围是 .
故选：B
4．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数 在 单调递减，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先用辅助角公式化简成正弦型函数，求出正弦型函数的单调递减区间．
【解题过程】 ，
令 ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
故 ，解得 ，所以 最大值为 ．
故选：B．
5．已知函数 向左平移 个单位后为偶函数，其中 .则
的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】先对函数化简变形，然后利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析式，
再利用其为偶函数可求出 的值.
【解题过程】
，
所以 的图象向左平移 个单位后，得
，
因为此函数为偶函数，
所以 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
故选：D
6．已知函数 的图象如图所示，将 的图象
向右平移 个单位，使新函数为偶函数，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】由 ， ， 可求得 ，由此可得平移后的解
析式，根据平移后为偶函数可构造方程 ，结合 可求得最小值.
【解题过程】由图象可知： ， ；
， ，又 ， ；
， ，解得： ， ；
为偶函数， ，
解得： ，又 ，
当 时， .
故选：D.
7．（2023·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在 上的函数
，若 的最大值为 ，则 的取值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解题思路】因为 ，讨论 或 ，结合函数图像
理解分析．【解题过程】∵ ，则
若 的最大值为 ，分两种情况讨论：
①当 ，即 时，根据正弦函数的单调性可知， ，解得 ；
②当 ，即 时，根据正弦函数的单调性可知， 在 上单
调递增，所以 ，结合函数 与 在 上
的图像可知，存在唯一的 ，使得 .
综上可知，若 的最大值为 ，则 的取值最多有2个.
故选：A．
8.（2023·全国·高三专题练习）记函数 的最小正周期为
.若 ， 为 的零点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为 的最小正周期为 ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 为 的零点，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 的最小值为4，
故选：C
9．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数 在区间 上恰有两
个最小值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】运用换元法，结合正弦函数的性质进行求解即可.
【解题过程】令 ，因为 ，所以 ，
问题转化为函数 在 时恰有两个最小值点，
所以有 ，因为 ，所以 ，
故选：A
10．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知函数
在区间 上的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解题思路】由 求得 的范围，再根据函数的直接结合正弦函数的性质列出
不等式，从而可得出答案.
【解题过程】解：当 时， ，
因为函数 在区间 上的值域为 ，
所以 ，解得 .
故选： .
11.（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 的图象关
于点 对称，且 在 上单调，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 关于点 对称，所以 ，
所以 ①；
，而 在 上单调，
所以 ， ②；
由①②得 的取值集合为 .
故选：C
12.（2023·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数
在 内有且仅有三条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 时，函数
，
则 ，函数 在 内有且仅有三条对称轴，则：满足
，解得 ，即实数 的取值范围是 .
13.（2023·全国·高一专题练习）设函数 ，已知 在[ 有
且仅有4个零点，下述四个结论：① 在 有且仅有2个零点；② 在
有且仅有2个零点；③ 的取值范围是 ；④ 在 单调递增，其中
正确个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】由 时，得到 ，根据 在[ 有且仅有4个
零点，则 在第4个零点和第5个零点之间，然后利用余弦函数的性质求解.当时，
，
因为 在[ 有且仅有4个零点，
所以 在第4个零点和第5个零点之间，
所以 ，
解得 ，故③正确；
当 时， ，又 ，
，结合 知 最多有3个零点，故①错误；
当 时， ，又 ，
，结合 有且仅有2个零点，故②正确；
当 时， ，因为 ，所以 ，
则 ，所以 在 单调递增，故④正确；
故选：D
14．（多选题）（2023·福建漳州·统考三模）已知函数
在 上有且仅有 条对称轴；则（ ）
A．
B． 可能是 的最小正周期C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 上可能有 个或 个零点
【答案】AD
【解析】 ；
对于A，当 时， ，
在 上有且仅有 条对称轴， ，解得： ，
即 ，A正确；
对于B，若 是 的最小正周期，则 ， 不能是 的最小正周期，
B错误；
对于C，当 时， ；
， ， ，
， 当 时， 不是单调函数，C错误；
对于D，当 时， ，
， ；
当 时， 在 上有 个零点；当 时， 在 上有 个零点；
在 上可能有 个或 个零点，D正确.
故选：AD.
15．（多选题）（2023·广东汕头·统考一模）已知函数 ，则下述
结论中正确的是（ ）
A．若 在 有且仅有 个零点，则 在 有且仅有 个极小值点
B．若 在 有且仅有 个零点，则 在 上单调递增
C．若 在 有且仅有 个零点，则 的范围是
D．若 的图象关于 对称，且在 单调，则 的最大值为
【答案】ACD
【解析】令 ，由 ，可得出 ，
作出函数 在区间 上的图象，如下图所示：
对于A选项，若 在 有且仅有 个零点，则 在 有且仅有 个极小值点，
A选项正确；
对于C选项，若 在 有且仅有 个零点，则 ，解得，C选项正确；
对于B选项，若 ，则 ，
所以，函数 在区间 上不单调，B选项错误；
对于D选项，若 的图象关于 对称，则 ，
.
， ， ， .
当 时， ，当 时， ，
此时，函数 在区间 上单调递减，合乎题意，D选项正确.
故选：ACD.
16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下述
结论中错误的是（ ）
A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点
B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在 上单调递增
C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是
D．若f（x）图象关于 对称，且在 单调，则ω的最大值为11
【答案】BD
【解析】因为 ,因为 在有且仅有 个零点，所以 ，所以 .所以选项C正确；
此时， 在 有且仅有 个极小值点，故选项A正确；
因为 ，
因为 ，所以当 时，所以 ，此时函数不是单调函数，所
以选项B错误；
若 的图象关于 对称，则 ， .
， ， ， .
当 时， ，当 时， ，
此时，函数 在区间 上单调递减，故 的最大值为9．故选项D错误.
故选：BD
