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第 03 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：公式的基本应用.......................................4
高频考点二：公式的逆用及变形.....................................7
高频考点三：辅助角公式的运用....................................11
高频考点四：二倍角..............................................14
高频考点五：拼凑角..............................................18
高频考点六：降幂公式............................................23
第四部分：数学文化题...............................................25
第五部分：高考新题型...............................................28
①开放性试题....................................................28
②劣够性试题....................................................28
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1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
①两角和与差的正弦公式
②两角和与差的余弦公式
③两角和与差的正切公式
2、二倍角公式
①
② ； ；
③
3、降幂公式
4、辅助角公式：
(其中 )
5、常用结论
①两角和与差的正切公式的变形：
②
③
④第二部分：高考真题回归
1．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
2．（2021·北京·高考真题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【详解】由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
3．（2021·全国（甲卷文，理）·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，
， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
4．（2021·全国（乙卷文）·统考高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，
.
故选：D.第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：公式的基本应用
典型例题
例题1．（2023秋·吉林辽源·高一校联考期末）若 ， ，则 = （ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
【答案】D
【详解】 .
故选：D
例题2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ，则 ，
，
所以 .
故选：A
例题3．（2023春·江苏常州·高一校考阶段练习）已知 ，则
__________.
【答案】 ##
【详解】因为 ①，
由因为 ②，①②联立可得 ， ，
则 ，
故答案为： .
例题4．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知 ，求
值：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
（2）由（1）可知，
.
练透核心考点
1．（2023春·江苏淮安·高一淮阴中学校考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B
2．（2023·全国·高一专题练习） （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
故选：D.
3．（2023·全国·高一专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 （1），
因为 ，所以 （2），
（1）+（2）得 ，
∴ .
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 ________．
【答案】
【详解】
故答案为：
5．（2023·全国·高一专题练习）已知角 的终边经过点
(1)求角 的正弦､余弦和正切值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵角 的终边经过点 ，
，；
（2）
高频考点二：公式的逆用及变形
典型例题
例题1．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习） 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
故选：B
例题2．（2023春·江苏·高一校联考阶段练习） 结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
例题3．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习） 的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，
所以
，故选:D.
例题4．（2023·全国·高三专题练习） （ ）．
A．-1 B． C． D．1
【答案】C
【详解】 .
故选：C.
例题5．（多选）（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考阶段练习）下列计算正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】 ，A正确；
，B正确；
，C错误；
因为 ，
故 ，
所以 ，D正确，
故选：ABD
练透核心考点
1．（2023春·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习） 的值为（ ）
A．1 B． C．－ D．
【答案】D
【详解】，
所以
，
故选：D
2．（2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试）下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A， ，故A不正确；
对于B， ，故B不正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D不正确；
故选：C.
3．（2023秋·广东云浮·高一统考期末） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 .
故选：D.
4．（多选）（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）下列各式中，值为1的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【详解】对于选项A， ，故A错误；对于选项B， ，故B正确；
对于选项C， ，故C正确；
对于选项D， ，故D错误.
故选：BC.
5．（多选）（2023秋·陕西西安·高一校考期末）下面各式化简正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】 ，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D错误；
故选:AC.
高频考点三：辅助角公式的运用
典型例题
例题1．（2023·高一单元测试） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.
故选：A
例题2．（2023·高一单元测试） ______.
【答案】
【详解】
.
故答案为：
例题3．（2023·全国·高一专题练习）化简： ____.
【答案】
【详解】解：原式=故答案为：
例题4．（2023·高一课时练习）把下列各式化成 的形式.
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
【答案】(1) ；(2) ；(3) ，其中 满足 ， ；(4)
，其中 满足 ， .
【详解】(1) 因为 ，所以
.
(2) .
(3) 因为 ，所以
，
其中 满足 ， .
(4) 因为 ，所以
，
其中 满足 ， .练透核心考点
1．（2023·甘肃兰州·校考一模） 等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 .
故选：C.
2．（2023·广东湛江·统考一模） ______．
【答案】
【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：
.
故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）化简
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
4．（2022·高一课时练习）求证：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(1)证明： .
(2)证明：
.
高频考点四：二倍角
典型例题
例题1．（2023·贵州黔东南·统考一模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，解得 ，
所以 ．
故选：A．
例题2．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，
又 ，.
故选：D.
例题3．（2023春·上海松江·高一上海市松江一中校考阶段练习）已知 ，化简
的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 .
故选：B
例题4．（2023春·四川成都·高一校考阶段练习）已知角 在第二象限，且 则
______．
【答案】 ##
【详解】 ，即 ，则 ，
角 在第二象限，则 ，则 ，
.
故答案为： .
例题5．（2023·全国·高三专题练习）求 的值．
【答案】
【详解】令 ，
则而N≠0，故
练透核心考点
1．（2023·江西·校联考模拟预测） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】注意到 ，
.
则原式
.
故选：A.
2．（2023·甘肃·统考一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，
解得 .
故选：D.
3．（2023·四川遂宁·统考二模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ,①,
又 ②，
由①②得 .
故选：D.
4．（2023·北京·校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边与单位圆交于点
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 是角 终边与单位圆的交点，
所以 ，
故 .
故选：A
5．（2023春·四川广安·高一广安二中校考阶段练习） ______．
【答案】
【详解】由题意可得：
.
故答案为： .
高频考点五：拼凑角
典型例题
例题1．（2023春·江苏南京·高一南京市大厂高级中学校考阶段练习）已知 ，则
的值等于（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：A.
例题2．（2023·陕西榆林·统考二模）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
两边平方得 ，则 ，
故 ．
故选：C.
例题3．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知 ，则
_______.
【答案】 ##
【详解】因为 .
故答案为： .
例题4．（2023春·黑龙江佳木斯·高一校考开学考试）已知 ，且 ，则
________．
【答案】 ##
【详解】设 , ,那么 ,从而 .于是 .因为 ,
所以 .由 ,得 .
所以 ,
所以 .
故答案为： .
例题5．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考）（1）已知 ，求 的
值；
（2）已知 ， ，且 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1） .
（2） ， ， ，
，
，
， ，
又 ， ，
， .
例题6．（2023·浙江·模拟预测）已知角 ，角 的顶点都与原点重合，它们的始边都与 轴的非负半
轴重合，角 的终边过点 ，角 的正切线为 .
（1）求 的值；（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1） 角 的终边过点 ， ，
根据诱导公式得： .
（2） ， ， .
， ，又 ， .
， .
角 的正切线为 ， ，
，
.
练透核心考点
1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意 ，得 ，
故选：A
2．（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中学校考阶段练习）已知 ，则
___________.
【答案】【详解】 .
故答案为： .
3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知 ， ，则 ____________.
【答案】
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为： .
4．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知 ，且 ，则
___________.
【答案】 ##
【详解】∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
所以 ,
∴ .
故答案为：
5．（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）已知
(1)求 ；
(2)若 ，求 .【答案】(1)
(2)
【详解】（1） .
（2） ，
若 ，则 ，
所以 .
6．（2023·江西·高二宁冈中学校考开学考试）已知角 的始边与x轴的非负半轴重合（顶点为原点），它
的终边为射线 .
（1）分别求 ， 的值；
（2）若角 满足 且 为第一象限的角，求 的值.
【答案】（1） ， . （2）
【详解】（1）设 的终边与单位圆的交点为
由 解得
得 ， .
所以， ， .
（2）由（1）知 ， ，
又 且 在第一象限得 .
由 得 ，
所以 .高频考点六：降幂公式
典型例题
例题1．（2023春·山东烟台·高一校考阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， .
故选：C.
例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 得 ，
故 .
所以 .
故选：B
例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则
的值是______.
【答案】
【详解】由于 ，且 ，则 ，
得 ，
则 .
故答案为： .练透核心考点
1．（2023春·山东济南·高一济南外国语学校校考阶段练习） 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 .
故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：B．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， ，即 ， ，
.
故选：B
4．（2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知 ， ，则
__________．
【答案】 ##【详解】解：由 ， ，得 ，
所以 ．
故答案为：
第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间
一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 、 ，且小正方形与大正方形面积
之比为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设大的正方形的边长为1，由于小正方形与大正方形面积之比为 ，
可得:小正方形的边长为 ，
可得: ，①
，②
由图可得: ， ，
①×②可得:
，
解得: ，
故选:A.
2．（2022·浙江·校联考模拟预测）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（ ）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知
识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即 .对同一“表高”测量两次，第一
次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且 ，则第
二次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A．1倍 B． C． 倍 D． 倍
【答案】A
【详解】由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得， ，
又 ，
所以 ，
故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部
分与较大部分的比值，该比值为 ，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华
罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比
，它还可以近似表示为 ，则 的值近似等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】本题考查两角差的正弦公式、诱导公式．
由题意得
，
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作
图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为 ，若 ，则（ ）
A．－4 B．－2 C．2 D．4
【答案】B
【详解】 ．
故选：B．
5．（2023·高一课时练习）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为
基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形
的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 的值等于
___________________．
【答案】
【详解】解：设直角三角形的边长为 ， ，
则 ， ．
解得 ．
， ．
cos2θ=2cos2θ－1= ．
故答案为：
第五部分：高考新题型
①开放性试题
1．（2023·江西·校联考模拟预测）若 ，则 的值可能为___________.【答案】 或1或 ，填写一个即可）
【详解】因为 ，
所以
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，又 ，
所以 或 .
故答案为： 或1或 ，填写一个即可）
2．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）写出满足 的 的一个值：_______．
【答案】 （答案不唯一，α满足 即可）
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： （答案不唯一，α满足 即可）
②劣够性试题
1．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）（1）已知 ，求 的值；
（2）在① ，② 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
已知 为第四象限的角，__________.求 的值.
【答案】（1） （2）【详解】（1）由 ，得 ，
（2）选择①： ，即 ，
为第四象限的角， ，
又 ，
，
.
选择②： ， ，
，
为第四象限的角， ，
，
.
2．（2022春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）在① ，② ，③
三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解．
问题：若锐角 满足________，求 的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
【详解】依题意，
若选①：则有 ，且 为锐角，
因为 ，所以 ，即 ，
又因为 为锐角，所以 ，所以
；
若选②：则有 ，且 为锐角，
因为 ，所以 ，
解得： ，所以 ，
所以
；
若选③：则有 ，且 为锐角
因为 ，所以 ，
解得： ，所以 ， ，
所以
；
