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第 09 讲 解三角形及其应用举例
考试要求 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几
何计算有关的实际问题.
2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题．
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂
平面内)所成的角中，目标视线在水平视
仰角与俯角
线上方的叫做仰角，目标视线在水平视
线下方的叫做俯角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到
方位角 目标方向线之间的夹角叫做方位角．方
位角θ的范围是0°≤θ<360°正北或正南方向线与目标方向线所成的
例：(1)北偏东α：
方向角
锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西α：
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ
坡角与坡比 为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之
比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
1.下列结论正确的是( )
(1)东南方向与南偏东45°方向相同．
(2)若△ABC为锐角三角形且A＝，则角B的取值范围是 .
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为
【答案】A
2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观
察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
答案 B
解析 由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置关系如图，
则灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
3.如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的
仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )A．(30＋30)m B．(15＋30)m
C．(30＋15)m D．(15＋15)m
答案 A
解析 在△ABP中，∠APB＝45°－30°，
所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝×－×＝，
由正弦定理得PB＝＝＝30(＋)，
所以该树的高度为30(＋)sin 45°＝30＋30(m)．
4．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，
乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西 45°方向，则甲驱逐舰
与乙护卫舰的距离为________海里．
答案 6
解析 如图，设点A代表甲驱逐舰，点B代表乙护卫舰，点C代表航母，则A＝75°，B＝
45°，
设甲乙距离x海里，即AB＝x，在△ABC中由正弦定理得＝，即＝，解得x＝6.
考点一 解三角形的应用举例
角度1距离问题
例 1 （2023·江西景德镇期末）江西浮梁地大物博，山清水秀．据悉某建筑公司在浮梁投
资建设玻璃栈道、摩天轮等项目开发旅游产业，考察后觉得当地两座山之间适合建造玻璃
栈道，现需要测量两山顶M，N之间的距离供日后施工需要，特请昌飞公司派直升机辅助
测量，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意
图)．飞机测量的数据有在A处观察山顶M，N的俯角为：α ＝60°，β ＝30°，在B处观察
1 1
山顶M，N的俯角为：α ＝45°，β ＝75°，飞机飞行的距离AB为500 m，请问：用以上测
2 2
得的数据能否计算出两山顶间的距离MN，若能，请帮助该建筑公司求出MN，结果精确到
1 m，若不能，请说明理由．
(参考数据：❑√2≈1.414，❑√3≈1.732，❑√67≈8.2，❑√2.68≈1.64)解析：在△AMB中，由正弦定理得
❑√2
500×
500sinα 2
2
AM＝ ＝ ＝500(❑√3－1)，
sin(α +α ) ❑√6+❑√2
1 2
4
在△ABN中，由正弦定理得
❑√2+❑√6
500×
500sinβ 4 500(❑√3+1)
2
AN＝ ＝ ＝ ，
sin(β −β ) ❑√2 2
2 1
2
在△AMN中，由余弦定理得
MN＝❑√AM2+AN2−2AM·AN·cos(α −β )
1 1
√ 5
＝500 ❑5− ❑√3≈500❑√0.67≈500×0.82＝410 m．
2
测量距离问题的求解策略
【对点演练1】为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在某市地面有四个5G基
站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，
测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则基站A，B的距离为(
)
A．10 km B．30(－1)km
C．30(－1)km D．10 km
答案 D
解析 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，
所以∠BCD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADC＝∠CAD＝30°，所以AC＝CD＝10，
在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，
由正弦定理得BC＝＝5＋5，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(10)2＋(5＋5)2－2×10×(5
＋5)cos 75°＝500，
所以AB＝10，即基站A，B之间的距离为10 km.
【对点演练2】(2023·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，
然后再由B地向北偏西60°骑行2 km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D
地，则A地到D地的直线距离是( )
A．8 km B．3 km C．3 km D．5 km
答案 B
解析 如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2，依题意，∠BCD＝90°，
在△ABC中，由余弦定理得
AC＝
＝＝2，
由正弦定理得sin∠ACB＝＝，
在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)
＝－sin∠ACB＝－，
由余弦定理得AD＝＝＝3，
所以A地到D地的直线距离是3 km.
角度2 高度问题
例2 (2023·青岛模拟)如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接
结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．如图
乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在
赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在
赛道与建筑物CD之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°(其中B，
E，D三点共线)．该学习小组利用这些数据估算得AB约为60米，则CD的高h约为( )
(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
A．11米 B．20.8米 C．25.4米 D．31.8米
答案 C
解析 由题意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，则∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°，
在Rt△ABE中，AE＝＝，
在△ACE中，由正弦定理得＝，
所以CE＝，
所以CD＝CE＝，
又sin 75°＝sin(45°＋30°)＝，
所以CD＝＝60－20≈60－20×1.73＝25.4(米)．
测量物体高度的求解策略
高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本
思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个三角形中，使用正、余弦定理或共他相
关知识求出该高度．
【对点演练1】[2023·湖北襄阳五中月考]如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示
意图，为测量大跳台最高点P距地面的距离，小明同学在场馆内的点 A测得P的仰角为
30°，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，AB＝60(单位：m)，(点A，B，O在同一水平地面上)，
则大跳台最高高度OP＝( )
A．45 m B．45❑√2 m
C．60 m D．60❑√3 m
解析：在△ABO中，∠ABO＝120°，∠BAO＝30°，所以∠AOB＝30°，又AB＝60，由正
弦定理可得，
AB AO
＝ ，
sin∠AOB sin∠ABO
❑√3
60×
ABsin∠ABO 2
AO＝ ＝ ＝60❑√3，
sin∠AOB 1
2
OP OP ❑√3
在Rt△APO中，tan 30°＝ ＝ ＝ ，
AO 60❑√3 3
所以OP＝60(m)．
故选C.
答案：C
【对点演练2】如图，一座垂直建于地面的信号发射塔 的高度为 ，地面上一人在A
点观察该信号塔顶部，仰角为 ，沿直线步行 后在B点观察塔顶，仰角为 ，若
，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ）A． B． C． D．
【解答】依题意，在 中， ，则 m，
在 中， ，则 m，
在 中， ，由余弦定理得： ，
即 ，解得 m，即有 ，
所以他的步行速度为 .故选：D
角度3 角度问题
例 3 （2023·山东东营期末）如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部
C在北偏东15°方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东60°
方向上，测得塔顶P的仰角为60°，已知灯塔高为2❑√3 km.
(1)求巡逻船的航行速度；
(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时灯塔底部C位于D处的南偏东什么方向？
PC
解析：(1)在Rt△BCP中，tan ∠PBC＝ ，故BC＝2.
BC
在△ABC中，∠BCA＝180°－15°－120°＝45°，
BC AB
由正弦定理得 ＝ ，解得AB＝2(❑√3＋1)，
sin∠BAC sin∠BCA从A到B共花20分钟，故巡逻船的航行速度v＝6(❑√3＋1)km/h.
(2)在△BCD中，BC＝2，BD＝❑√3＋1，∠DBC＝60°，
由余弦定理可得CD＝❑√6，
CD CB ❑√2
在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ，则sin ∠CDB＝ ，
sin∠DBC sin∠CDB 2
π
而CD>CB，则∠CDB<∠DBC，故∠CDB＝ ，
4
所以此时灯塔底部C位于D处的南偏东45°方向．
角度问题的解题方法
首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意
正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学
方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
【对点演练1】一艘船航行到点 处时，测得灯塔 与其相距30海里，如图所示.随后该船
以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点 ，测得灯塔 在其北偏东
方向，则 （ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知， ， 海里，
由正弦定理可得 = ，代入数据得 .故选：C.
【对点演练2】(多选)某货轮在A处测得灯塔B在北偏东75°，距离为12 n mile，测得灯塔
C在北偏西30°，距离为8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，测得灯塔B在南偏东
60°，则下列说法正确的是( )
A．A处与D处之间的距离是24 n mile
B．灯塔C与D处之间的距离是16 n mile
C．灯塔C在D处的西偏南60°
D．D在灯塔B的北偏西30°
答案 AC
解析 由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝12，AC＝8，
在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24(n mile)，故A正确；
在△ACD中，由余弦定理得
CD＝，
即CD＝＝8(n mile)，故B错误；
由B项解析知CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C
正确；
由∠ADB＝60°，得D在灯塔B的北偏西60°，故D错误．
考点二 解三角形中的最值和范围问题
例4 (2023·九江模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a2＋c2－
b2)＝－2absin C.
(1)求角B；
(2)若D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC面积的最大值．
解 (1)∵(a2＋c2－b2)＝－2absin C，
∴(a2＋c2－b2)＝－2acsin B，
即＝－sin B，
由余弦定理，得cos B＝－sin B，
∵cos B≠0，∴tan B＝－，
∵0<B<π，∴B＝.
(2)方法一 ∵BD＝(BA＋BC)，
∴BD2＝BA2＋BA·BC＋BC2，
∴c2＋accos ＋a2＝4，即a2＋c2－ac＝16，
∵a2＋c2≥2ac，
∴ac≤16，
∴S ＝acsin ≤×16sin ＝4，当且仅当a＝4，c＝4时取等号，
△ABC
故△ABC面积的最大值为4.
方法二 在△ABD中，由余弦定理得c2＝22＋ －2×2×bcos∠ADB，
即c2＝4＋b2－2bcos∠ADB，①在△CBD中，由余弦定理得a2＝22＋ －2×2×bcos∠CDB，
即a2＝4＋b2－2bcos∠CDB，
∵cos∠CDB＝cos(π－∠ADB)＝－cos∠ADB，
∴a2＝4＋b2＋2bcos∠ADB，②
由①＋②得a2＋c2＝8＋b2，③
在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos ，即b2＝a2＋c2＋ac，
代入③中，整理得a2＋c2－ac＝16，
∵a2＋c2≥2ac，
∴ac≤16，
∴S ＝acsin ≤×16sin ＝4，当且仅当a＝4，c＝4时取等号，
△ABC
故△ABC面积的最大值为4.
方法三 如图，
过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，
∵CE∥AB，D为AC的中点，
∴DE＝BD＝2，CE＝AB＝c，∠BCE＝，BE＝4，
在△BCE中，由余弦定理得BE2＝BC2＋EC2－2BC·ECcos∠BCE，
即42＝a2＋c2－2accos ，整理得a2＋c2－ac＝16，
∵a2＋c2≥2ac，
∴ac≤16，
∴S ＝acsin ≤×16sin ＝4，当且仅当a＝4，c＝4时取等号，
△ABC
故△ABC面积的最大值为4.
解三角形中最值(范围)问题的解题策略
利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一条边的函数或不等
式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值(范围)．
【对点演练1】在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
，则 面积的取值范围为______.【解答】因为 ，所以 ，所以 ，所以
.
， ，且满足 ，解得 ，由余弦定理得
，
所以 ，则 .
故答案为： .
【对点演练2】在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，
且 ，则锐角 面积的取值范围是______.
【解答】依题意，锐角三角形 中， ，
即 ，即 .
由正弦定理得 ，由于 ，所以 .
故 ，即 ，
由于 ，所以 ，所以 ，
.
画出三角形 的图象如下图所示，其中 ，
，
由于三角形 是锐角三角形，所以 在线段 内运动（不包括端点），所以 ，即 .
所以 .
故答案为：
例5 已知 的面积为 ，角 所对的边为 ．点 为 的内心，
且 ．
(1)求 的大小；
(2)求 的周长的取值范围．
【解答】（1）因为 ，
所以 ，即 ，可得 ，
因为 ，所以 ．
（2）设 周长为 ， ，如图所示，由（1）知 ，所以 ，可得 ，
因为点 为 的内心， ， 分别是 ， 的平分线，且 ，
所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，可得 ，
可得 周长 ．
【对点演练1】(2023·南京模拟)在①bcos＝ccos B；②2S ＝BA·BC，这两个条件中任选
△ABC
一个，补充在下面的问题中，并进行解答．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．
(1)求角B；
(2)在△ABC中，b＝2，求△ABC周长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)选择条件①：即bsin C＝ccos B，
由正弦定理可得sin Bsin C＝sin Ccos B，
在△ABC中，B，C∈(0，π)，所以sin B≠0，sin C≠0，
所以sin B＝cos B，且cos B≠0，即tan B＝，所以B＝.
选择条件②：即2×acsin B＝cacos B，
即sin B＝cos B，在△ABC中，B∈(0，π)，所以sin B≠0，则cos B≠0，
所以tan B＝，所以B＝.
(2)由(1)知，B＝，b＝2，
由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos ，
所以12＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac得(a＋c)2－12＝3ac≤32，
所以a＋c≤4，当且仅当a＝c时，等号成立，
所以△ABC周长的最大值为6.
例6．（2023春•道里区校级期中）在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ，
，设 的面积为 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：由不等式 恒成立得 ．
， ， ，
．
．
故选： ．
【对点演练】(2022·洛阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B
＋sin C＝2sin A，则A的最大值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为sin B＋sin C＝2sin A，则由正弦定理得b＋c＝2a.
因为b2＋c2≥＝2a2，bc≤2＝a2，
所以cos A＝≥≥，当且仅当b＝c时，等号成立，
所以A的最大值为.
1．一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20°的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛
B出发，沿北偏东40°的方向航行16海里后到达海岛C，若游船从海岛A出发沿直线到达
海岛C，则航行的路程为( )
A．12海里 B．8海里
C．8海里 D．8海里
答案 D
解析 根据题意知，在△ABC中，∠ABC＝20°＋40°＝60°，AB＝8海里，BC＝16海里，
由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝82＋162－2×8×16×＝192，
∴AC＝8海里．
2．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的
海拔高度为10 000m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山
顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(≈1.4，≈1.7)( )
A．7 350 m B．2 650 m
C．3 650 m D．4 650 m
答案 B
解析 如图，设飞机的初始位置为点 A，经过420 s后的位置为点 B，山顶为点C，作
CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，
在△ABC中，AB＝50×420＝21 000(m)，
由正弦定理得＝，
则BC＝×sin 15°＝10 500(－)(m)，
因为CD⊥AB，
所以CD＝BCsin 45°＝10 500(－)×＝10 500(－1)≈7 350(m)，
所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350＝2 650(m)．
3．(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、
环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的
视角为∠BPC，且tan∠BPC＝.已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC
＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是( )
A. km B．2 km
C. km D．4 km
答案 B
解析 方法一 由题意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PD＝x，记∠PBD＝α，∠PCD＝β，
∴tan α＝，tan β＝x，
∴tan∠BPC＝tan(β－α)＝＝＝，解得x＝1或x＝2，
又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.
方法二 由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.
由tan∠BPC＝，可得cos∠BPC＝，
在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2··，解得x2＝3，进而PD＝＝2.
4．（2023•泰州模拟）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也
为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点
是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 ， 两点与点 在同一条直线上，
且在点 的同侧．若在 ， 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 和 ，且，则该球体建筑物的高度约为
A．49.25 B．50.76 C．56.74 D．58.60
【解答】解：如图，
设球的半径为 ，则 ，
，
，
，
故选： ．
5．（2023•柳州模拟）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知
， ，则 面积的最大值为
A． B． C． D．6
【解答】解： 中， ， ，由正弦定理得 ，
所以 ， ，故
，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 面积的最大值为 ．
故选： ．
6．（2023春•泉州期中）为了测量河对岸两点 ， 间的距离，现在沿岸相距 的两点
， 处分别测得 ， ， ， ，则 ， 间
的距离为
A． B．2 C． D．4
【解答】解：因为 ， ，
所以 是正三角形，
所以 ，因为 中， ， ，
所以 ，
利用正弦定理得 ，
，
中， ，
所以 ，
所以 ，即 、 间的距离为 ．
故选： ．
7．(2023·德阳模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且b＝2asin B,
则cos B＋sin C的取值范围为( )
A．(0，] B．(1，]
C. D.
答案 C
解析 依题意b＝2asin B，
由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以sin A＝，
由于△ABC是锐角三角形，
所以A＝，cos A＝，
由⇒<B<.
所以cos B＋sin C＝cos B＋sin
＝cos B＋cos B＋sin B＝cos B＋sin B
＝sin，
由于<B＋<，
所以sin∈.
8．（2023春•工农区校级月考）花戏楼位于亳州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护
单位．花戏楼始于清顺治十三年（公元1656年），是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，
彩绘鲜丽，俗称花戏楼．它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝．我校数学兴趣小组为了测量旗杆 的高度，选取
与旗杆底部（点 在同一水平面内的两点 与 ， ， 不在同一直线上），如图，
兴趣小组可以测量的数据有： ， ， ， ， ， ， ，
则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆 的高度的是
A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【解答】解：对于 ， 中，由 、 、 ，利用正弦定理求出 ，再
利用 ，即可求出 的高度，选项 正确；
对于 ，在 ， 都只有一边一角，不能求出其它角或边，无法求解 的高度，
所以选项 错误；
对于 ， 中，由 、 、 ，利用正弦定理求 ，再利用 ，即
可求出 的高度，选项 正确；
对于 ，△由 ， 可得， ，结合 ，以
及正弦定理求出 ，
再结合 ，求出 的高度，选项 正确．
故选： ．
9．（2023春•朝阳区校级月考）需要测量某塔的高度，选取与塔底 在同一个水平面内的
两个测量基点 与 ，现测得 ， ， 米，在点 处测得塔
顶 的仰角为 ，则塔高 为 米【解答】解：因为在 中， ， ， 米，
所以 ，
由正弦定理得 ，即 ，解得 （米 ，
在 中， ，所以 ，即塔高 （米 ．
故答案为： ．
10．(2022·六安模拟)在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，ccos B＋(2a
＋b)cos C＝0，若△ABC的外接圆面积为π，则△ABC周长的最大值是________．
答案 2＋
解析 ccos B＋(2a＋b)cos C＝0，
由正弦定理得sin Ccos B＋(2sin A＋sin B)cos C＝0，
即sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0，
所以sin(B＋C)＋2sin Acos C＝0，即sin A(1＋2cos C)＝0，
因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，
所以cos C＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝，
因为△ABC的外接圆面积为π，所以△ABC的外接圆半径为1，
所以由正弦定理得＝＝2，解得c＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ＝(a＋b)2－ab＝3，则ab＝(a＋b)2－3，
由基本不等式得ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，
所以(a＋b)2－3≤，解得a＋b≤2，所以△ABC周长的最大值是2＋.
11．（2023•平罗县校级二模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
满足 ，则 的取值范围为 ， ．【解答】解： 中， ，
由正弦定理得 ，可得： ，
由余弦定理得 ，
，可得： ， ，
则
，
由 ，可得 ，
可得 ，
则 ， ．
则 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
12．(2022·西安模拟)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若
sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)．
(1)求sin C；
(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．
解 (1)由sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)及正弦定理，
得absin C＝(a2＋b2－c2)，
又由余弦定理得absin C＝abcos C.所以tan C＝，C为锐角，则C＝，
所以sin C＝.
(2)由2R＝＝得R＝1.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2R(sin A＋sin B)＋＝2(sin A＋sin B)＋
＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋
＝3sin A＋cos A＋＝2sin＋，
因为A∈，－A∈，
所以A∈，A＋∈，
所以2sin＋∈(3＋，3]，
即a＋b＋c∈(3＋，3]．
所以△ABC周长的取值范围为(3＋，3]．
