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专题02 不等式与复数
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................13
题型一：基本不等式二元式
13
题型二：和式与积式
16
题型三：柯西不等式二元式
20
题型四：齐次化与不等式最值
24
题型五：复数的四则运算
27
题型六：复数的几何意义
31
重难点突破：不等式与复数新定义问题
35
1
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有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，
且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，
分值5 分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值
5 分，考题难度为低档..
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
基本不等式
掌握基本不等
式的应用
2024 年北京卷第9 题，5 分
2023 年上海卷第6 题，4 分
2022 年上海卷第14 题，5 分
2022 年新高考II 卷第12 题，5 分
2021 年上海卷第16 题，5 分
2023 年天津卷第13 题，5 分
预测2025 年高考，
多以小题形式出现，不等
式在高考中主要考查基本
不等式求最值、大小判
断，求取值范围问题；预
测2025 年高考仍将以复
数的基本概念以及复数的
代数运算为主要考点，其
中复数的除法运算、共轭
复数及复数的几何意义是
最可能出现的命题角度！
复数的四则运算
熟练掌握并灵
活应用复数四
则运算法则
2024 年新高考甲卷第1 题，5 分
2023 年新高考I 卷第2 题，5 分
2023 年新高考甲卷第2 题，5 分
2023 年新高考乙卷第1 题，5 分
2022 年新高考II 卷第2 题，5 分
复数的几何意义
理解复数的几
何意义，能直
观应用
2023 年新高考II 卷第1 题，5 分
2023 年上海卷第11 题，5 分
2022 年新高考乙卷第2 题，5 分
2
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3
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1、几个重要的不等式
（1）a
2≥0(a∈R),√a≥0(a≥0),|a|≥0(a∈R).
（2）基本不等式：如果a,b∈R
+，则a+b
2
≥√ab（当且仅当“a=b”时取“ ”）．
特例：a>0,a+ 1
a ≥2; a
b + b
a ≥2（a,b同号）．
（3）其他变形：
①a
2+b
2≥(a+b)
2
2
（沟通两和a+b与两平方和a
2+b
2的不等关系式）
②ab≤a
2+b
2
2
（沟通两积ab与两平方和a
2+b
2的不等关系式）
③ab≤(
a+b
2 )
2
（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）
④重要不等式串：
2
1
a + 1
b
≤√ab≤a+b
2
≤√
a
2+b
2
2
(a,b∈R
+)即
调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知x , y ∈R
+．
（1）如果x + y = S（定值），则xy ≤(
x + y
2 )
2
= S
2
4 （当且仅当“x = y”时取“=”）．即“和为定值，
积有最大值”．
（2）如果xy = P（定值），则x + y ≥2√xy =2√P（当且仅当“x = y”时取“=”）．即积为定值，和
有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：mx + n
x ≥2√mn(m>0,n>0)，当且仅当x =√
n
m时等号成立；
模型二：mx +
n
x−a =m( x−a)+
n
x−a +ma≥2√mn+ma(m>0,n>0)，当且仅当x−a=√
n
m时等号
成立；
4
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模型三：
x
a x
2+bx +c
=
1
ax +b+ c
x
≤
1
2√ac +b (a>0 , c>0)
，当且仅当x =√
c
a时等号成立；
模型四：x(n−mx)= mx(n−mx)
m
≤1
m ⋅（mx +n−mx
2
)
2= n
2
4 m (m>0,n>0,0< x< n
m )，当且仅当
x = n
2m时等号成立．
4、对复数几何意义的理解及应用
（1）复数z，复平面上的点z及向量⃗OZ相互联系，即z =a+bi (a,b∈R)⇔Z(a,b)⇔⃗OZ；
（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解
题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
5
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1．（2024 年北京高考数学真题）已知(x1, y1)，(x2, y2)是函数y =2
x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．lo g2
y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B．lo g2
y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C．lo g2
y1+ y2
2
< x1+ x2
D．lo g2
y1+ y2
2
> x1+ x2
【答案】B
【解析】由题意不妨设x1< x2，因为函数y =2
x是增函数，所以0<2
x1<2
x2，即0< y1< y2，
对于选项AB：可得2
x1+2
x2
2
>√2
x1·2
x2=2
x1+ x2
2 ，即y1+ y2
2
>2
x1+ x2
2 >0，
根据函数y =lo g2 x是增函数，所以lo g2
y1+ y2
2
>lo g22
x1+ x2
2 = x1+ x2
2
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如x1=0, x2=1，则y1=1, y2=2，
可得lo g2
y1+ y2
2
=lo g2 3
2 ∈(0,1)，即lo g2
y1+ y2
2
<1= x1+ x2，故D 错误；
对于选项C：例如x1=−1, x2=−2，则y1= 1
2 , y2= 1
4 ，
可得lo g2
y1+ y2
2
=lo g2 3
8 =lo g23−3∈(−2,−1)，即lo g2
y1+ y2
2
>−3= x1+ x2，故C 错误，
故选：B.
2．（2024 年北京高考数学真题）已知z
i =−1−i，则z =（ ）．
A．−1−i
B．−1+i
C．1−i
D．1+i
【答案】C
【解析】由题意得z =i(−1−i)=1−i.
故选：C.
6
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3．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）若z =5+i，则i(z + z)=（ ）
A．10i
B．2i
C．10
D．2
【答案】A
【解析】由z =5+i⇒z =5−i, z + z =10，则i(z + z)=10i.
故选：A
4．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知z =−1−i，则|z|=（ ）
A．0
B．1
C．√2
D．2
【答案】C
【解析】若z =−1−i，则|z|=√(−1)
2+(−1)
2=√2.
故选：C.
5．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若
z
z−1 =1+i，则z =（ ）
A．−1−i
B．−1+i
C．1−i
D．1+i
【答案】C
【解析】因为
z
z−1 = z−1+1
z−1
=1+
1
z−1 =1+i，所以z =1+ 1
i =1−i.
故选：C.
6．（2024 年上海市1 月春考数学试题）已知ab=1，4 a
2+9b
2的最小值为 ．
【答案】12
【解析】4 a
2+9b
2=(2a)
2+(3b)
2≥2×2a×3b=12ab=12,
当且仅当{
2a=3b
ab=1 ,即a= √6
2 ,b= √6
3 或a=−√6
2 ,b=−√6
3 时,等号成立,
故4 a
2+9b
2的最小值为12.
故答案为：12.
7．（2024 年天津高考数学真题）i是虚数单位，复数(√5+i)⋅(√5−2i)= ．
【答案】7−√5i
7
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【解析】(√5+i)⋅(√5−2i)=5+√5i−2√5i+2=7−√5i.
故答案为：7−√5i.
8．（2023 年北京高考数学真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,√3)，则z的共轭复数z =
（ ）
A．1+√3i
B．1−√3i
C．−1+√3i
D．−1−√3i
【答案】D
【解析】z在复平面对应的点是(−1,√3)，根据复数的几何意义，z =−1+√3i，
由共轭复数的定义可知，z =−1−√3i.
故选：D
9．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）
5(1+i
3)
(2+i)(2−i) =（ ）
A．−1
B．1
C．1−i
D．1+i
【答案】C
【解析】
5(1+i
3)
(2+i)(2−i) = 5(1−i)
5
=1−i
故选：C.
10．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）设z =
2+i
1+i
2+i
5，则z =（ ）
A．1−2i
B．1+2i
C．2−i
D．2+i
【答案】B
【解析】由题意可得z =
2+i
1+i
2+i
5 =
2+i
1−1+i = i(2+i)
i
2
= 2i−1
−1 =1−2i，
则z =1+2i.
故选：B.
11．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，(1+3i)(3−i)对应的点位于（ ）．
8
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A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】因为(1+3i)(3−i)=3+8i−3i
2=6+8i，
则所求复数对应的点为(6,8)，位于第一象限.
故选：A.
12．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知z =1−2i，且z +a z +b=0，其中a，b 为实数，则
（ ）
A．a=1,b=−2
B．a=−1,b=2
C．a=1,b=2
D．a=−1,b=−2
【答案】A
【解析】z =1−2i
z +a z +b=1−2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a−2)i
由z +a z +b=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得{
1+a+b=0
2a−2=0 ,即{
a=1
b=−2
故选:A
13．（多选题）（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若x，y 满足x
2+ y
2−xy =1，则（ ）
A．x + y ≤1
B．x + y ≥−2
C．x
2+ y
2≤2
D．x
2+ y
2≥1
【答案】BC
【解析】因为ab≤(
a+b
2 )
2
≤a
2+b
2
2
（a,b∈R），由x
2+ y
2−xy =1可变形为，
(x + y)
2−1=3 xy ≤3(
x + y
2 )
2
，解得−2≤x + y ≤2，当且仅当x = y =−1时，x + y =−2，当且仅当
x = y =1时，x + y =2，所以A 错误，B 正确；
由x
2+ y
2−xy =1可变形为(x
2+ y
2)−1= xy ≤x
2+ y
2
2
，解得x
2+ y
2≤2，当且仅当x = y =±1时取等号，所
以C 正确；
9
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因为x
2+ y
2−xy =1变形可得(x−y
2)
2
+ 3
4 y
2=1，设x−y
2 =cosθ , √3
2 y =sinθ，所以
x =cosθ+ 1
√3 sinθ , y = 2
√3 sinθ，因此
x
2+ y
2=co s
2θ+ 5
3 sin
2θ+ 2
√3 sinθcosθ =1+ 1
√3 sin 2θ−1
3 cos2θ+ 1
3
= 4
3 + 2
3 sin(2θ−π
6)∈[
2
3 ,2]，所以当x = √3
3 , y =−√3
3 时满足等式，但是x
2+ y
2≥1不成立，所以D 错
误．
故选：BC．
14．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知△ABC中，点D 在边BC 上，
∠ADB =120° , AD =2,CD =2BD．当AC
AB 取得最小值时，BD = ．
【答案】❑√3−1/−1+ ❑√3
【解析】[方法一]：余弦定理
设CD =2BD =2m>0，
则在△ABD中，A B
2= B D
2+ A D
2−2BD⋅AD cos∠ADB =m
2+ 4+2m，
在△ACD中，A C
2=C D
2+ A D
2−2CD⋅AD cos∠ADC = 4 m
2+ 4−4 m，
所以
A C
2
A B
2 = 4 m
2+ 4−4 m
m
2+ 4+2m
= 4(m
2+ 4+2m)−12(1+m)
m
2+ 4+2m
= 4−
12
(m+1)+
3
m+1
≥4−
12
2√
(m+1)⋅
3
m+1
= 4−2√3
，
当且仅当m+1=
3
m+1即m=√3−1时，等号成立，
所以当AC
AB 取最小值时，m=√3−1.
10
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故答案为：√3−1.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，√3），B（-t,0）
∴A C
2
A B
2 = (2t −1)
2+3
(t +1)
2+3
= 4t
2−4t + 4
t
2+2t + 4
= 4−
12
(t +1)+ 3
t +1
≥4−2√3
当且仅当t +1=√3,即BD =√3−1时等号成立。
，
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
{
c
2= x
2+ 4+2 x
b
2= 4+ 4 x
2−4 x
，∴2c
2+b
2=12+6 x
2，
{
c
2= x
2+ 4+2 x
b
2= 4+ 4 x
2−4 x
，∴2c
2+b
2=12+6 x
2，
令AC
AB =t，则2c
2+t
2c
2=12+6 x
2，
∴t
2+2= 12+6 x
2
c
2
= 12+6 x
2
x
2+2 x + 4
=6(
1−
2
(x +1)+
3
x +1)
≥6−2√3
，
∴t
2≥4−2√3，
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当且仅当x +1=
3
x +1，即x =√3+1时等号成立.
[方法四]：判别式法
设BD = x，则CD =2 x
在△ABD中，A B
2= B D
2+ A D
2−2BD⋅AD cos∠ADB = x
2+ 4 +2 x，
在△ACD中，A C
2=C D
2+ A D
2−2CD⋅AD cos∠ADC = 4 x
2+ 4−4 x，
所以A C
2
A B
2 = 4 x
2+ 4−4 x
x
2+ 4+2 x
，记t = 4 x
2+ 4−4 x
x
2+ 4+2 x
，
则(4−t ) x
2−(4 +2t ) x +(4−4 t )=0
由方程有解得：Δ=(4 +2t )
2−4 (4−t )(4−4 t )≥0
即t
2−8t + 4≤0，解得：4−2√3≤t ≤4+2√3
所以tmin= 4−2√3，此时x = 2+t
4−t =√3−1
所以当AC
AB 取最小值时，x =√3−1，即BD =√3−1.
15．（2022 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知9
m=10,a=10
m−11,b=8
m−9，则（ ）
A．a>0>b
B．a>b>0
C．b>a>0
D．b>0>a
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由9
m=10可得m=lo g910= lg10
lg9 >1，而lg9lg11<(
lg9+lg11
2
)
2
=(
lg99
2 )
2
<1=(lg10)
2，所以
lg10
lg9 > lg11
lg10，即m>lg11，所以a=10
m−11>10
lg11−11=0.
又lg8lg10<(
lg8+lg10
2
)
2
=(
lg80
2 )
2
<(lg9)
2，所以lg9
lg8 > lg10
lg9 ，即lo g89>m，
所以b=8
m−9<8
lo g89−9=0.综上，a>0>b.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由9
m=10，可得m=lo g910∈(1,1.5)．
12
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根据a,b的形式构造函数f ( x)= x
m−x −1( x >1) ，则f '( x)=m x
m−1−1，
令f '( x)=0，解得x0=m
1
1−m ，由m=lo g910∈(1,1.5) 知x0∈(0,1) .
f ( x) 在 (1,+ ∞) 上单调递增，所以f (10)>f (8) ，即 a>b ，
又因为f (9)=9
lo g910−10=0 ，所以a>0>b .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用a,b的形式构造函数f ( x)= x
m−x −1( x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是
该题的最优解．
16．（2021 年浙江省高考数学试题）已知α , β ,γ是互不相同的锐角，则在
sin α cos β ,sin β cos γ ,sin γ cosα三个值中，大于1
2的个数的最大值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】法1：由基本不等式有sin α cos β ≤sin
2α +co s
2 β
2
，
同理sin β cos γ ≤sin
2 β +co s
2γ
2
，sin γ cosα ≤sin
2γ +co s
2α
2
，
故sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cosα ≤3
2，
故sin α cos β ,sin β cos γ ,sin γ cosα不可能均大于1
2.
取α = π
6 ，β = π
3 ，γ = π
4 ，
则sin α cos β = 1
4 < 1
2 ,sin β cos γ = √6
4 > 1
2 ,sin γ cosα = √6
4 > 1
2，
故三式中大于1
2的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设α < β <γ，则cosα >cos β >cos γ ,sin α <sin β <sin γ，
由排列不等式可得：
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sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cosα ≤sin α cos γ +sin β cos β +sin γ cosα，
而sin α cos γ +sin β cos β +sin γ cosα =sin (γ +α )+ 1
2 sin 2 β ≤3
2，
故sin α cos β ,sin β cos γ ,sin γ cosα不可能均大于1
2.
取α = π
6 ，β = π
3 ，γ = π
4 ，
则sin α cos β = 1
4 < 1
2 ,sin β cos γ = √6
4 > 1
2 ,sin γ cosα = √6
4 > 1
2，
故三式中大于1
2的个数的最大值为2，
故选：C.
17．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．y = x
2+2 x + 4
B．y =|sin x|+
4
|sin x|
C．y =2
x+2
2−x
D．y = ln x + 4
ln x
【答案】C
【解析】对于A，y = x
2+2 x + 4 =(x +1)
2+3≥3，当且仅当x =−1时取等号，所以其最小值为3，A 不符合
题意；
对于B，因为0<|sin x|≤1，y =|sin x|+
4
|sin x|≥2√4 = 4，当且仅当|sin x|=2时取等号，等号取不到，所
以其最小值不为4，B 不符合题意；
对于C，因为函数定义域为R，而2
x>0，y =2
x+2
2−x =2
x+ 4
2
x ≥2√4 = 4，当且仅当2
x=2，即x =1时取等
号，所以其最小值为4，C 符合题意；
对于D，y = ln x + 4
ln x ，函数定义域为(0,1)⋃(1,+∞)，而ln x∈R且ln x≠0，如当ln x =−1，y =−5，
D 不符合题意．
故选：C．
18．（2021 年天津高考数学试题）若a>0 , b>0，则1
a + a
b
2 +b的最小值为 ．
14
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【答案】2√2
【解析】∵a>0 , b>0，
∴1
a + a
b
2 +b≥2√
1
a ⋅a
b
2 +b= 2
b +b≥2√
2
b ⋅b=2√2，
当且仅当1
a = a
b
2且2
b =b，即a=b=√2时等号成立，
所以1
a + a
b
2 +b的最小值为2√2.
故答案为：2√2.
题型一：基本不等式二元式
【典例1-1】[新考法]（2024·浙江宁波·一模）不等式(x
2−ax−1)(x −b)≥0对任意x>0恒成立，则a
2+b
2
的最小值为（ ）
A．2√2−2
B．2
C．2√2
D．2√2+2
【答案】A
【解析】由题意可得，需满足x =b是x
2−ax−1=0的一个根，
即b
2−ab−1=0，且b>0，所以a=b−1
b，
a
2+b
2=(b−1
b)
2
+b
2=2b
2+ 1
b
2 −2≥2√2−2，
当且仅当2b
2= 1
b
2，即b=
4√
1
2时取等号.
15
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所以a
2+b
2的最小值为2√2−2.
故选：A.
【典例1-2】（2024·陕西宝鸡·二模）已知正数x , y满足x + 1
y =1，则1
x +2 y的最小值是（ ）
A．2+2√2
B．6
C．4√2
D．3+2√2
【答案】D
【解析】由x + 1
y =1可得xy = y −1，因x>0, y >0，则y >1，
于是1
x +2 y =
x + 1
y
x
+2 y =1+ 1
xy +2 y =1+
1
y −1 +2 y =3+
1
y −1 +2( y −1)
因
1
y −1 +2( y −1)≥2√
1
y −1 ⋅2( y −1)=2√2，当且仅当
1
y −1 =2( y −1)时等号成立，
即y =1+ √2
2 ，x =√2−1时，1
x +2 y的最小值为3+2√2.
故选：D.
如果a>0 ， b>0，那么√ab≤a+b
2
，当且仅当a=b时，等号成立．其中，a+b
2
叫作
a ， b的算术平均数，√ab叫作a ， b的几何平均数．即正数a ， b的算术平均数不小
于它们的几何平均数．
不等式可变形为：(√a+√b)
2≥4√ab或ab≤( a+b
2
)
2，其中a ， b∈R
+．
【变式1-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数y = loga( x−1)+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，
若点A在直线mx +ny −1=0(m>0,n>0)上，则4
m + 1
n的最小值为（ ）
A．13
B．8√2
C．9+ 4√2
D．8
【答案】C
【解析】当x−1=1时，y = loga1+1=1，即A(2,1)
因为A在直线mx +ny −1=0上，所以2m+n=1
16
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4
m + 1
n =(2m+n)(
4
m + 1
n) =9+ 4 n
m + 2m
n ≥9+2√
4 n
m ⋅2m
n =9+ 4√2
当且仅当n= √2
2 m= 2√2−1
7
时，取等号，即4
m + 1
n的最小值为9+ 4√2.
故选：C
【变式1-2】[新考法]（2024·广西柳州·一模）设函数f (x)= x ln x−(a+b)ln x，若f (x)≥0，则5
a+5
b的最
小值为（ ）
A．1
B．2
C．√5
D．2√5
【答案】D
【解析】因为f (x)= x ln x−(a+b)ln x =(x−a−b)ln x，
若a+b≤0，则对任意的x>0，x−a−b>0，
则当0< x<1时，f (x)=(x−a−b)ln x<0，不合乎题意；
若0<a+b<1时，当a+b< x<1时，x−a−b>0，ln x<0，此时，f (x)=(x−a−b)ln x<0，不合乎题意；
若a+b>1，则当1< x<a+b时，x−a−b<0，ln x>0，此时，f (x)=(x−a−b)ln x<0，不合乎题意.
所以，a+b=1，此时，f (x)=(x−1)ln x，则f (1)=0，
当0< x<1时，x−1<0，ln x<0，此时，f (x)=(x−1)ln x>0；
当x>1时，x−1>0，ln x>0，此时，f (x)=(x−1)ln x>0.
所以，对任意的x>0，f (x)=(x−1)ln x ≥0，合乎题意，
由基本不等式可得5
a+5
b≥2√5
a⋅5
b=2√5
a+b=2√5，
当且仅当¿时，即当a=b= 1
2时，等号成立，
故5
a+5
b的最小值为2√5.
故选：D.
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1．（多选题）（2024·浙江·一模）已知a>0，b>0，则下列说法正确的是（ ）
A．若a+b=1，则log2a+log2b≤−2
B．若a+b=1，则√a+√b<1
C．若a−b=1，则2
a−1
2
b >1
D．若a−b=1，则a
2+b
2>1
【答案】ACD
【解析】√a+√b≤√2(a+b)=√2当且仅当a=b= 1
2时取等号，B 选项错误；
∵a−b=1，∴a=b+1，∴2
a−1
2
b =2
b+1−1
2
b，∵b>0，∴2
a=2
b+1>2，2
b>1，∴1
2
b <1，∴
2
a−1
2
b = 1
2
b >1，C 选项正确；
∵b>0，a−b=1∴a=1+b>1，∴a
2+b
2>1，D 选项正确.
故选：ACD.
2．（多选题）若实数a，b 满足3a
2+3b
2+ 4 ab=5，则下列结论正确的是（ ）
A．ab<1
B．ab≥−2
5
C．a
2+b
2≥2
D．−√2≤a+b≤√2
【答案】AD
【解析】因为5=3a
2+3b
2+ 4 ab≥6ab+ 4 ab=10ab,当且仅当|a|=|b|= √2
2 时等号成立，所以ab≤1
2，A
正确；
因为3a
2+3b
2+ 4 ab=5，所以3(a+b)
2=5+2ab≥0，所以ab≥−5
2，B 错误；
18
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因为5=3a
2+3b
2+ 4 ab≤3a
2+3b
2+2a
2+2b
2=5a
2+5b
2，当且仅当|a|=|b|= √2
2 时等号成立，所以
a
2+b
2≥1，C 错误；
由3(a+b)
2=5+2ab≤5+2(
a+b
2 )
2
整理，得(a+b)
2≤2，当且仅当|a|=|b|= √2
2 时等号成立，
所以−√2≤a+b≤√2，D 正确．
故选：AD．
3．[新考法]设函数f (x)=(2a−x)ln(x +b)，若f (x)≤0，则a
2+b
2的最小值为（ ）
A．1
5
B．√5
5
C．1
2
D．√2
2
【答案】A
【解析】f ( x)的定义域为(−b,+ ∞)，
令ln(x +b)=0，得x =1−b，
①当x =1−b时，f ( x)=0满足题意，2a∈R；
②当−b< x<1−b时，ln( x +b)<0，由f (x)≤0，得x ≤2a，
要使任意x∈(−b,1−b)，f ( x)≤0恒成立，则(−b,1−b)⊆(−∞,2a]，
所以2a≥1−b；
③当x>1−b时，ln( x +b)>0，由f (x)≤0，得x ≥2a，
要使任意x∈(1−b,+ ∞)，f ( x)≤0恒成立，则(1−b,+∞)⊆[2a,+ ∞)，
所以2a≤1−b；
综上，2a=1−b，即2a+b=1.
又a
2+b
2=a
2+(1−2a)
2=5a
2−4 a+1=5(a−2
5)
2
+ 1
5，a∈R，
当且仅当¿时，取最小值1
5.
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所以a
2+b
2的最小值为1
5.
故选：A.
题型二：和式与积式
【典例2-1】（2024·广西·模拟预测）已知a,b∈(−∞,0)，且a+ 4 b=ab−5，则ab的取值范围为（ ）
A．[25,+∞)
B．[1,+ ∞)
C．(0,5]
D．(0,1]
【答案】D
【解析】因为a,b∈(−∞,0)，a+ 4 b=ab−5，则a+ 4 b<0，所以0<ab<5．
又ab−5=a+ 4 b=−[(−a)+ 4 (−b)]≤−2√4 ab=−4√ab，
即ab+ 4√ab−5≤0，即(√ab+5)⋅(√ab−1)≤0，解得0<√ab≤1，
所以0<ab≤1，当且仅当−a=−4 b，即a= 4 b=−2时，等号成立，
即ab的取值范围为(0,1].
故选：D．
【典例2-2】已知x
2+ y
2= x
2 y
2(xy ≠0)，则1−16 x
2−9 y
2的最大值为（ ）
A．−48
B．−49
C．−42
D．−35
【答案】A
【解析】因为x
2+ y
2= x
2 y
2(xy ≠0)，所以1
x
2 + 1
y
2 =1，
所以16 x
2+9 y
2=(
1
x
2 + 1
y
2)(16 x
2+9 y
2) =25+ 9 y
2
x
2 + 16 x
2
y
2 ≥25+2√
9 y
2
x
2 × 16 x
2
y
2 = 49，
当且仅当9 y
2
x
2 = 16 x
2
y
2 ，即x
2= 7
4 , y
2= 7
3时，等号成立，
所以1−16 x
2−9 y
2的最大值为1−49=−48.
故选：A.
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已知式
目标式
方法选取
和式
积式
基本不等式
积式
和式
基本不等式
和式
和式
柯西不等式
积式
积式
柯西不等式
【变式2-1】（2024·四川绵阳·一模）已知x>0, y >0，且满足x + y = xy −3，则xy的最小值为（ ）
A．3
B．2√3
C．6
D．9
【答案】D
【解析】x + y = xy −3≥2√xy，
(√xy)
2−2√xy −3=(√xy −3)(√xy +1)≥0，
√xy −3≥0, xy ≥9，
当且仅当x = y =3时等号成立，
所以xy的最小值为9.
故选：D
【变式2-2】（2024·山西·三模）已知正实数x，y 满足x
2+3 xy −2=0，则2 x + y的最小值为（ ）
A．2√10
3
B．√10
3
C．2
3
D．1
3
【答案】A
【解析】因为正实数x，y 满足x
2+3 xy −2=0，则y = 2
3 x −x
3 ，
则2 x + y =2 x + 2
3 x −x
3 = 5 x
3 + 2
3 x ≥2√
5 x
3 ⋅2
3 x = 2√10
3
，
当且仅当5 x
3 = 2
3 x ，即x = √10
5 , y = 4√10
15
时，等号成立，
所以2 x + y的最小值为2√10
3
.
故选：A.
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【变式2-3】（多选题）已知m>0,n>0,m
2+n
2−mn= 4，则（ ）
A．log2m+ log2n≤1
B．m+n≤4
C．m
3+n
3≤16
D．√m+√n≤2√2
【答案】BCD
【解析】对于A，m
2+n
2=mn+ 4≥2mn，即mn≤4，当且仅当m=n=2时等号成立，
所以log2m+ log2n= log2(mn)≤2，故A 错误；
对于B，由m
2+n
2−mn= 4，得(m+n)
2=3mn+ 4≤3⋅(
m+n
2 )
2
+ 4，
即(m+n)
2≤16，则m+n≤4，当且仅当m=n=2时等号成立，故B 正确；
对于C，m
3+n
3=(m+n)(m
2−mn+n
2)= 4(m+n)≤16，
当且仅当m=n=2时等号成立，故C 正确；
对于D，√m+√n=√m+n+2√mn≤√2(m+n)，
又m+n≤4，所以√m+√n≤2√2，当且仅当m=n=2时等号成立，故D 正确．
故选：BCD.
1．（多选题）设正实数a，b满足a+b=1，则下列说法中正确的有（ ）
A．√ab有最大值
B．1
a + 1
b 有最大值4
C．√a+√b有最大值√2
D．a
2+b
2有最小值1
2
【答案】ACD
【解析】对于A,a+b=1,则a+b
2
≥√ab,计算可得√ab≤1
2,当且仅当a=b时，√ab取得最大值为1
2.故A 正确；
对于B,1
a + 1
b = a+b
a
+ a+b
b
=2+ b
a + a
b ≥2+2√
b
a × a
b = 4，当且仅当b
a = a
b,即a=b= 1
2,1
a + 1
b 有最小值4，
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故B 错误；
对于C,(√a+√b)
2=a+b+2√ab≤2(a+b)=2，解得0<√a+√b≤√2,当且仅当a=b= 1
2,√a+√b有最大值
为√2，故C 正确；
对于D，由于a
2+b
2=(a+b)
2−2ab≥(a+b)
2−2×( a+b
2
)
2
= (a+b)
2
2
= 1
2
，则a
2+b
2≥1
2，当且仅当
a=b= 1
2,a
2+b
2有最小值为1
2，故D 正确.
故选：ACD.
2．（多选题）已知a>0，b>0，且a+2b=2，则下列说法正确的是（ ）
A．ab≥1
2
B．√a+√2b≤2
C．2
a+ 4
b≥4
D．1
a+b +
2
a+3b ≥2√2+3
4
【答案】BCD
【解析】对于A，a⋅2b≤(
a+2b
2 )
2
=1，即ab≤1
2，当且仅当a=2b，即a=1,b= 1
2时等号成立，故A 错
误；
对于B，√a+√2b≤√2[(√a)
2+(√2b)
2]=√2(a+2b)=2，
当且仅当√a=√2b，即a=1,b= 1
2时等号成立，故B 正确；
对于C，2
a+ 4
b=2
a+2
2b≥2√2
a⋅2
2b=2√2
2= 4，
当且仅当2
a=2
2b，即a=1,b= 1
2时等号成立，故C 正确；
对于D，因为a+2b=2，所以[(a+b)+(a+3b)]=2a+ 4 b=2(a+2b)= 4，
所以1
a+b +
2
a+3b = 1
4(
1
a+b +
2
a+3b)[(a+b)+(a+3b)]
= 1
4(1+ a+3b
a+b + 2(a+b)
a+3b +2)≥3
4 + 1
4 ×2√
a+3b
a+b ⋅2(a+b)
a+3b = 3+2√2
4
，
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当且仅当a+3b
a+b = 2(a+b)
a+3b ，即a=−10+8√2,b=6−4√2时等号成立，故D 正确；
故选：BCD．
3．（多选题）已知正实数a,b满足a
2−ab+b
2=1，则（ ）
A．a+b的最大值为2
B．ab的最小值为1
C．a
2+b
2的最大值为2
D．a
2+b
2的最小值为1
【答案】AC
【解析】由a
2−ab+b
2=1，可得(a−b
2 )
2
+ 3b
2
4 =1，令a−b
2 =cosθ，√3b
2
=sinθ，所以
a=cosθ+ √3
3 sinθ，b= 2√3
3
sinθ，θ∈(0, 2π
3 )
对于A，则a+b=cosθ+√3sinθ =2sin(θ+π
6 )，当θ =π
3 时，a+b取最大值为2，故A 正确
对于B，ab= 2√3
3
sinθ(cosθ+ √3
3 sinθ)
= 2√3
3
sinθcosθ+ 2
3 sin
2θ = √3
3 sin 2θ−1
3 cos2θ+ 1
3 = 2
3 sin(2θ−π
6 )+ 1
3
当θ =π
3 时，ab的最大值为1，故B 错误；
对于C、D，由B 可得0<ab≤1，由a
2+b
2=1+ab，则1<a
2+b
2≤2，故C 正确，D 错误.
故选：AC
4．（多选题）（2024·海南·模拟预测）若正实数a，b 满足a+2b=1，则（ ）
A．b
a + 1
b的最小值为1+2√2
B．3b(2a+b)的最大值为1
C．a
2+2b
2的最小值为1
3
D．(a+1)(b+1)的取值范围为(1,2)
【答案】BC
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【解析】正实数a，b 满足a+2b=1，a=1−2b(0<b< 1
2 )，
对于A，b
a + 1
b = b
a + a+2b
b
= b
a + a
b +2≥2√
b
a ⋅a
b +2= 4，当且仅当a=b= 1
3时取等号，A 错误；
对于B，3b(2a+b)≤( 3b+2a+b
2
)
2
=(a+2b)
2=1，当且仅当a=b= 1
3时取等号，B 正确；
对于C，a
2+2b
2=(1−2b)
2+2b
2=6b
2−4 b+1=6(b−1
3 )
2
+ 1
3 ≥1
3
，当且仅当b= 1
3时取等号，C 正确；
对于D，(a+1)(b+1)=(2−2b)(1+b)=2(1−b
2)∈( 3
2 ,2)，D 错误.
故选：BC
题型三：柯西不等式二元式
【典例3-1】[新考法]（多选题）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛
使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也
可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：
①对于所有实数x和y，有(a
2+b
2)(c
2+d
2)≥(ac +bd)
2.
②等式条件：当且仅当ad −bc =0时，等号成立.
例：已知x +2 y =2，由柯西不等式(x
2+ y
2)(1
2+2
2)≥(x +2 y)
2，可得(x
2+ y
2)min= 4
5 .运用柯西不等式，判
断以下正确的选项有（ ）
A．若a
2+b
2=1，则(2a+3b)max=√13
B．若0<a<2，则(
1
a +
2
2−a)min
=3+2√2
C．若a+b= 4，则(√a+1+2√b+2)max=2√5
D．若1<a<3，则(√a−1+√6−2a)max=√6
【答案】AD
25
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【解析】对于A 选项，根据柯西不等式(a
2+b
2)(2
2+3
2)≥(2a+3b)
2.
因为a
2+b
2=1，所以(2
2+3
2)≥(2a+3b)
2，即13≥(2a+3b)
2.
所以−√13≤2a+3b≤√13，则(2a+3b)max =√13，当且仅当3a=2b时取等号，
A 选项正确.
对于B 选项，令m=a，n=2−a，则m+n=2.
根据柯西不等式( 1
a +
2
2−a )(a+(2−a))≥(√
1
a ×a+√
2
2−a ×(2−a))
2
.
即( 1
a +
2
2−a )×2≥(1+√2)
2=3+2√2.当且仅当1
a ×(2−a)=
2
2−a ×a取等号，
所以( 1
a +
2
2−a )≥3+2√2
2
，B 选项错误.
对于C 选项，根据柯西不等式(√a+1+2√b+2)
2≤(1+ 4)(a+1+b+2).
因为a+b= 4，所以(√a+1+2√b+2)
2≤5×(4+1+2)=35.当且仅当4(a+1)=b+2取等号.所以
√a+1+2√b+2≤√35，C 选项错误.
对于D 选项，令x =√a−1，y =√3−a，则x
2+ y
2=a−1+3−a=2.
根据柯西不等式(√a−1+√6−2a)
2=(√a−1+√2√3−a)
2=( x +√2 y)
2≤(1+2)( x
2+ y
2).
因为x
2+ y
2=2，所以(√a−1+√6−2a)
2≤6.当且仅当√3−a=√2√a−1取等号.
所以√a−1+√6−2a≤√6，D 选项正确.
故选：AD.
【典例3-2】（多选题）已知x>0，y >0，且不等式x (x +1)
2+ y ( y +1)
2−(m
2−2m) xy ≥0恒成立，则m
的取值可能是（ ）
A．−4
B．−2
C．2
D．4
【答案】BCD
26
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【解析】由x (x +1)
2+ y ( y +1)
2−(m
2−2m) xy ≥0得：m
2−2m≤x (x +1)
2
xy
+ y ( y +1)
2
xy
= (x +1)
2
y
+ ( y +1)
2
x
，
∵[(
x +1
√y )
2
+(
y +1
√x )
2
][(√y)
2+(√x)
2]≥[(x +1)+( y +1)]
2
（当且仅当x +1
y
= y +1
x
，即x = y时取等号），
∴(x +1)
2
y
+ ( y +1)
2
x
≥(x + y +2)
2
x + y
= (x + y)
2+ 4 (x + y)+ 4
x + y
=(x + y)+
4
x + y + 4 ≥2√
(x + y)⋅
4
x + y + 4 =8
（当且仅当x = y =1时取等号），
即当x = y =1时，[
x (x +1)
2
xy
+ y ( y +1)
2
xy ]min
=8，
∴m
2−2m≤8，解得：−2≤m≤4，∴m可能的取值为−2,2,4.
故选：BCD.
设a，b，c，d ∈R
+，有(a+b)(c +d )≥(√ac +√bd )
2 当且仅当a
c = b
d 时等号成立．
【变式3-1】存在正数x , y , z ,使得不等式√x +√3 y +√5 z≥m√x + y + z成立，则m的最大值是
.
【答案】3
【解析】解:由柯西不等式可知(1+3+5)( x + y + z)≥(√x +√3 y +√5 z)
2⇒√x +√3 y +√5 z
√x + y + z
≤3
由m≤√x +√3 y +√5 z
√x + y + z
能成立⇒m≤3⇒mmax=3.
故答案为：3.
【变式3-2】（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数a,b满足a+b= a+1
2a+1 + b+1
2b+1，则a+b的最小值为
.
【答案】√2
【解析】a>0,b>0，
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a+b= a+1
2a+1 + b+1
2b+1 =
1
2 (2a+1)+ 1
2
2a+1
+
1
2 (2b+1)+ 1
2
2b+1
=1+
1
2
2a+1 +
1
2
2b+1
，
所以a+b−1=
1
2
2a+1 +
1
2
2b+1 ≥
( √2
2 + √2
2 )
2
2a+1+2b+1 =
1
a+b+1
，
当且仅当
√2
2
2a+1 =
√2
2
2b+1
即a=b时等号成立，
所以(a+b−1)(a+b+1)≥1，得(a+b)
2≥2，
所以a+b≥√2或a+b≤−√2（舍去），
即a+b的最小值为√2.
故答案为：√2
1．已知x，y，z是正实数，且x + y + z =5，则x
2+2 y
2+ z
2的最小值为 .
【答案】10
【解析】由柯西不等式可得(x
2+2 y
2+ z
2)[1
2+(
1
√2)
2
+1
2]≥( x + y + z)
2，
所以5
2 (x
2+2 y
2+ z
2)≥25，即x
2+2 y
2+ z
2≥10，
当且仅当
x
1 = √2 y
1
√2
= z
1即x =2 y = z也即x =2, y =1, z =2时取得等号，
故答案为：10
2．[新考法]设角α、β均为锐角，则sin α +sin β +cos(α + β)的范围是 ．
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【答案】(1, 3
2]
【解析】因为角α、β均为锐角，所以sin α ,cosα ,sin β ,cos β的范围均为(0,1)，
所以sin (α + β)=sin α cos β +cosα sin β <sin α +sin β，
所以sin α +sin β +cos(α + β)>sin (α + β)+cos(α + β)=√2sin(α + β +π
4 )
因为0<α <π
2 ,0< β <π
2 ,π
4 <α + β +π
4 <3π
4 ，
所以√2sin(α + β +π
4 )>√2× √2
2 =1，
sin α +sin β +cos(α + β)=sin α +sin β +cosα cos β −sin α sin β
=(1−sin β)sin α +cosα cos β +sin β ≤√(1−sin β)
2+cos
2 β +sin β
=√2(1−sin β)+sin β，
当且仅当(1−sin β)cosα =sin α cos β时取等，
令√1−sin β =t，t ∈(0,1)，sin β =1−t
2，
所以=√2(1−sin β)+sin β =√2t +1−t
2=−(t −√2
2 )
2
+ 3
2 ≤3
2.
则sin α +sin β +cos(α + β)的范围是：(1, 3
2].
故答案为：(1, 3
2]
3．已知正实数a,b满足a+2b=1，则a
4
b + 32b
4
a
的最小值为 ．
【答案】1
2
【解析】由柯西不等式a
4
b + 32b
4
a
=（a
4
b + 32b
4
a
)（2b+a)≥(√2a
2+ 4√2b
2)
2=2(a
2+ 4 b
2)
2
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而a
2+ 4 b
2= 1
2 (a
2+ 4 b
2)(1+1)≥1
2 (a+2b)
2= 1
2，所以a
4
b + 32b
4
a
≥2(a
2+ 4 b
2)
2≥1
2 ，a= 1
2 ,b= 1
4 时等
号成立，
故答案为：1
2.
题型四：齐次化与不等式最值
【典例4-1】[新考法]若正实数x，y满足(3 x−2)
3+8( y −1)
3= 4−3 x−2 y，则2 x + y
x + 3 x
2
y 的最小值是
.
【答案】4
【解析】设m=3 x−2,n=2( y −1)，则m
3+n
3=−(m+n)，即(m+n)(m
2−mn+n
2+1)=0，
若m+n≠0，则m
2+n
2=mn−1≥0，而m
2+n
2≥2mn，仅当m=n时等号成立，
所以mn−1≥2mn⇒mn≤−1，显然与mn≥1矛盾，所以m+n=0，
由上x = m+2
3
, y = n
2 +1，由x , y >0，即m+2>0,n+2=2−m>0，则−2<m<2，
所以2 x + y
x + 3 x
2
y = 2(m+2)
3
+ 3(n+2)
2(m+2) + 2(m+2)
2
3(n+2) = 2(m+2)
3
+ 3(2−m)
2(m+2) + 2(m+2)
2
3(2−m)
= 8(m+2)
3(2−m) + 3(2−m)
2(m+2) ≥2√
8(m+2)
3(2−m) ⋅3(2−m)
2(m+2) = 4，当且仅当4(m+2)=3(2−m)时等号成立，
所以m=−2
7 ，n= 2
7 ，即x = 4
7 ，y = 8
7 时，目标式最小值为4.
故答案为：4
【典例4-2】设x>0, y >0, x +2 y =2，则
√xy
( x−2)( y −1)+ 4 的最大值为 .
【答案】√2
9
【解析】∵x +2 y =2，
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∴
√xy
( x−2)( y −1)+ 4 =
√xy
xy −( x +2 y)+2+ 4 = √xy
xy + 4 ，
令t =√xy
又∵2= x +2 y ≥2√x⋅2 y，
∴0<t =√xy ≤√2
2 ，当且仅当x =2 y =1时等号成立,
∴√xy
xy + 4 =
t
t
2+ 4
=
1
t + 4
t
,
∵y =t + 4
t 在(0, √2
2 ]上单调递减，
∴t = √2
2 时ymin=(t + 4
t )
min
= 9√2
2
，
∴(
1
t + 4
t
)
max
= √2
9
∴
√xy
( x−2)( y −1)+ 4 的最大值为√2
9 .
故答案为：√2
9
关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。
【变式4-1】已知x>0，y >0，2 x
3+2 y
3= x−y，则1−2 x
2
y
2
的最小值为 .
【答案】4+ 4√2/4√2+ 4
【解析】∵x>0，y >0，2 x
3+2 y
3= x−y >0，∴2 x
3+2 y
3
x−y
=1，且x> y，
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则1−2 x
2
y
2
=
2 x
3+2 y
3
x−y
−2 x
2
y
2
=2×
y
3+ x
2 y
(x−y)⋅y
2 =2× y
2+ x
2
xy −y
2 =2×
1+(
x
y)
2
x
y −1
令t = x
y (t >1)，
原式=2× 1+t
2
t −1 =2× (t −1)
2+2(t −1)+2
t −1
=2×[(t −1)+
2
t −1 +2]
≥2×[2√
(t −1)×
2
t −1 +2]= 4√2+ 4，
当且仅当t −1=
2
t −1，即t =1+√2取等号，故1−2 x
2
y
2
的最小值为4 + 4√2.
故答案为：4+ 4√2
【变式4-2】已知正实数a，b，c，a+b=3，则ab的最大值为 ，ac
b + 3c
ab +
3
c +1的最小值为
．
【答案】 9
4 2√6−2
【解析】因为正实数a，b，满足a+b=3，所以ab≤(
a+b
2 )
2
= 9
4 ，
当且仅当a=b= 3
2时，等号成立；
由正实数a，b，满足a+b=3，可得3= (a+b)
2
3
，
所以c×(
a
b + 3
ab)+
3
c +1 =c×
a
2+ (a+b)
2
3
ab
+
3
c +1
=c× 4 a
2+2ab+b
2
3ab
+
3
c +1 =c×(
4 a
3b + b
3a + 2
3)+
3
c +1，
而4 a
3b + b
3a ≥2√
4 a
3b ⋅b
3a = 4
3 ，当且仅当4 a
3b = b
3a ，即a= 2
3 ,b= 4
3 时取等号，
32
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ac
b + 3c
ab +
3
c +1 ≥c(
2
3 + 4
3)+
3
c +1 =2(c +1)+
3
c +1 −2≥2√6−2，
当且仅当2(c +1)=
3
c +1时，即c = √6
2 −1时取等号
故答案为：9
4 ；c =2√6−2
1．（2024·江西新余·二模）已知x，y 为正实数，且x + y =2，则x +6 y +6
xy
的最小值为（ ）
A．12
B．3+2√2
C．25
2
D．6√2−3
2
【答案】C
【解析】由x + y =2，则x +6 y +6
xy
= 2 x +12 y +12
2 xy
= (x + y) x +6(x + y) y +3(x + y)
2
2 xy
= 4 x
2+9 y
2+13 xy
2 xy
= 2 x
y + 9 y
2 x + 13
2 ≥2√
2 x
y ⋅9 y
2 x + 13
2 = 25
2 ，
当且仅当2 x
y = 9 y
2 x ，即x = 6
5，y = 4
5 时，等号成立.
故选：C.
2．[新考法]已知正数x，y满足
3
(x +2 y) y +
8
(3 x +2 y) x =1，则xy的最小值是（ ）
A．5
4
B．8
3
C．4
3
D．5
2
【答案】D
【解析】xy = xy[
3
(x +2 y) y +
8
(3 x +2 y) x]=
3 x
x +2 y +
8 y
3 x +2 y ，
令x +2 y =m，3 x +2 y =n，则x = n−m
2
，y = 3m−n
4
，
33
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xy =
3 x
x +2 y +
8 y
3 x +2 y = 3n
2m + 6m
n −7
2 ≥2√
3n
2m ⋅6m
n −7
2 = 5
2，
当且仅当3n
2m = 6m
n 且
3
(x +2 y) y +
8
(3 x +2 y) x =1，即x =√5，y = √5
2 时，等号成立，
所以xy ≥5
2，故xy有最小值5
2.
故选：D.
3．（2024·黑龙江·二模）已知实数a，b且ab>0，则
2ab
a
2+b
2+a
2b
2+9取得最大值时，a+b的值为（ ）
A．√3
B．2√3
C．−2√3
D．2√3或−2√3
【答案】D
【解析】又ab>0，所以ab+ 9
ab ≥2√ab⋅9
ab =6，
所以
2ab
a
2+b
2+a
2b
2+9
≤1
4 ，
当且仅当ab=3，即a=b=√3，或a=b=−√3取等号，
所以a+b=2√3或a+b=−2√3.
故选：D
题型五：复数的四则运算
【典例5-1】若复数z满足3 z−7=i⋅(4 z +24)，则z⋅z =（ ）
A．5
B．25
C．125
D．625
【答案】B
【解析】因为3 z−7=i⋅(4 z +24)，所以3 z−7 = 4i⋅z +24i，
所以z (3−4i)=7+24i，即z = 7+24i
3−4i = (7+24i)(3+ 4i)
25
=−3+ 4i，
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所以z⋅z =(−3+ 4i)(−3−4i)=25.
故选：B
【典例5-2】若复数z满足
z
1+2i =1−i，则z =（ ）
A．−1+i
B．1+3i
C．1+i
D．3+i
【答案】D
【解析】若复数z满足
z
1+2i =1−i，
则z =(1−i)(1+2i)=1+2i−i+2=3+i.
故选：D.
1、复数运算
（1）(a+bi)±(c +di)=(a±c)+(b±d)i
（2）(a+bi)⋅(c +di)=(ac−bd )+(ad +bc)i
{
(a+bi)⋅(a−bi)= z⋅z =a
2+b
2=| z|
2
( 注意z
2=| z|
2)
z + z =2a
，
其中| z| =√a
2+b
2，叫z 的模；z =a−bi是z =a+bi的共轭复数(a, b∈R)．
（3）a+bi
c +di = (a+bi)⋅(c−di)
(c +di)⋅(c−di) = (ac +bd )+(bc−ad )i
c
2+d
2
(c
2+d
2≠0)．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
【变式5-1】[新考法]（2024·陕西咸阳·模拟预测）若复数z满足z
2+ z +1=0，则z
2023+ z
2024= （ ）
A．1
B．−1
C．i
D．−i
【答案】B
【解析】因为z
2+ z +1=0，所以z
3−1=(z−1)(z
2+ z +1)=0，
故z
3=1，
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因为2022=3×674，所以z
2022=(z
3)
674=1，
z
2023+ z
2024= z
2022(z + z
2)= z
2+ z =−1
故选：B
【变式5-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）复数z1、z2满足z1+ z2= z1 z2,若z1=1+i，则|z2|=（ ）
A．√2
2
B．1
C．2 √2
D．√2
【答案】D
【解析】因为z1+ z2= z1 z2，z1=1+i，
所以z2=
z1
z1−1 =
1−i
1−i−1 = 1−i
−i ，
所以|z2|=|1−i|
|−i| =√2.
故选：D
【变式5-3】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知复数z满足：|z|=1，1+ z + z
2+ z
3为纯虚数，则这
样的复数z共有（ ）个.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】法一：设z =a+bi(a,b∈R)，则1+ z + z
2+ z
3的实部为0且虚部不为0，
1+ z + z
2+ z
3=1+a+bi+a
2+2abi−b
2+a
3+3a
2bi−3ab
2−b
3I
=(a
3−3ab
2+a
2−b
2+a+1)+(−b
3+3a
2b+2ab+b)i，
则a
3−3ab
2+a
2−b
2+a+1=0，−b
3+3a
2b+2ab+b≠0，
因为|z|=1，故a
2+b
2=1，即b
2=1−a
2，
则有a
3−3ab
2+a
2−b
2+a+1=2a(2a
2+a−1)=0，解得a=0或1
2或−1，
当a=0时，b
2=1，则−b
3+3a
2b+2ab+b=−b+b=0，舍去；
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当a=−1时，b
2=0，即b=0，则−b
3+3a
2b+2ab+b=0，舍去；
当a= 1
2时，b
2= 3
4 ，则−b
3+3a
2b+2ab+b=−3
4 b+ 3
4 b+b+b=2b≠0，
故b=± √3
2 ，即z = 1
2 ± √3
2 i，共有两个.
综上所述，这样的复数z共有两个.
法二：设z的辐角为θ，θ∈[−π,π]，
z
r表示将复数z在复平面内逆时针旋转(r −1)θ，
由几何图形的对称性：z与z
2在复平面内应关于y轴对称，
则解得：θ =π
3 或π
2 或π或−π
3 ，
易知：θ≠±π
3 时，z =0，舍去，
故θ =±π
3 ，故有两个不同的复数z满足题意.
故选：B.
1．（2024·湖北·模拟预测）已知复数z满足
z
1+3i =i
2024（i为虚数单位），则|z|=（ ）
A．3
B．√10
C．4
D．5
【答案】B
【解析】由
z
1+3i =i
2024，
则z =i
2024(1+3i)=1+3i，
所以|z|=√1
2+3
2=√10.
故选：B.
2．[新考法]（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数z满足z
3−1=0，且z是z的共轭复数，则下列结论错误
37
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的是（ ）
A．z
2+ z +1=0
B．|z|=1
C．z
2= z
D．z + z
2+ z
3+⋯+ z
2024=0
【答案】D
【解析】对A，因为z
3−1=0，故(z−1)(z
2+ z +1)=0，因为z为虚数，故z
2+ z +1=0，故A 正确；
对B，由z
2+ z +1=0可得z =−1
2 ± √3
2 i，故|z|=1，故B 正确；
对C，当z =−1
2 + √3
2 i时，z
2=−1
2 −√3
2 i，此时z
2= z成立，
当z =−1
2 −√3
2 i时，z
2=−1
2 + √3
2 i，此时z
2= z成立，故C 正确；
对D，z + z
2+ z
3+⋯+ z
2024= z(1−z
2024)
1−z
，因为z
3=1，z
2+ z +1=0，
故z(1−z
2024)
1−z
= z(1−z
2)
1−z
= z (1+ z)= z
2+ z =−1，故D 错误.
故选：D
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程x
2+i x +1=0（其中i为虚数单位）的两根分别为z1，z2，则有
（ ）
A．z1
2= z2
2>0
B．z1+ z2= z1 z2
C．|1+ z1|=|1+ z2|
D．z1 z2
z1+ z2
=i
【答案】D
【解析】设方程x
2+i x +1=0的根为z =a+bi(a,b∈R)，
代入方程，(a+bi)
2+i(a+bi)+1=0,整理得(a
2−b
2−b+1)+(a+2ab)i=0，
故¿，则¿，
不妨令z1= −1+√5
2
i,，z2= −1−√5
2
i，
38
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对于A：因为z1
2= √5−3
2
, z2
2=−3+√5
2
，即z1
2≠z2
2，故A 错误；
对于B：z1+ z2=−i≠z1 z2=1，故B 错误.
对于C:|1+ z1|=|1+ −1+√5
2
i|=√1+( −1+√5
2
)
2❑
=√
5−√5
2
,
|1+ z2|=|1+ −1−√5
2
i|=√1+( −1−√5
2
)
2❑
=√
5+√5
2
，
因此，|1+ z1|≠|1+ z2|,故C 错误.
对于D：z1 z2
z1+ z2
= 1
−i =i,故D 正确.
故选:D.
4．[新考法]（2024·黑龙江佳木斯·三模）复数Z =i+2i
2+3i
3+⋅⋅⋅+2024i
2024的虚部是（ ）
A．1012
B．1011
C．−1011
D．−1012
【答案】D
【解析】因为Z =i+2i
2+3i
3+⋅⋅⋅+2024i
2024，
Z ⋅i=i
2+2i
3+3i
4+⋅⋅⋅+2024i
2025，
所以Z ⋅(1−i)=i+i
2+i
3+⋅⋅⋅+i
2024−2024i
2025=i(1−i
2024)
1−i
−2024i
2025，①
因为i
4=1，所以i
2024=i
4×506=1，i
2025=i
4×506+1=i，
所以化简①可得−2024i
1−i
= −2024i×(1+i)
(1−i)(1+i)
= −2024i+2024
2
=1012−1012i，
所以虚部为−1012，
故选：D.
39
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题型六：复数的几何意义
【典例6-1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数z满足|z +2|+|z−2|=6，则复数z在复平面内所对应的点的
轨迹为（ ）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
【答案】C
【解析】设z = x + y i(x , y ∈R)，
因为|z +2|+|z−2|=6，
所以√(x +2)
2+ y
2+√(x −2)
2+ y
2=6，
其几何意义为任意一点(x , y)到点(2,0)于(−2,0)的距离和为6，
又点(2,0)和(−2,0)之间的距离小于6，符合椭圆定义，
所以复数z在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆.
故选：C.
【典例6-2】（2024·湖南郴州·模拟预测）设复数z = 1−i
i
2024+i
，则z的共轭复数z在复平面内对应点的坐标为
（ ）
A．(0,1)
B．(1,0)
C．(−1,0)
D．(0,−1)
【答案】A
【解析】依题意，z = 1−i
1+i = (1−i)(1−i)
(1+i)(1−i) = −2i
2
=−i，
所以z =i在复平面内对应点的坐标为(0,1).
故选：A
40
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复数的几何意义
（1）复数z =a+bi(a, b∈R)对应平面内的点z(a,b)；
（2）复数z =a+bi(a, b∈R)对应平面向量⃗OZ；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数z =a+bi(a, b∈R)的模| z|表示复平面内的点z(a,b)到原点的距离．
【变式6-1】已知复数z =a+bi，其中a,b∈R且a+b=1，则|z +1+i|的最小值是（ ）
A．√2
B．2
C．√2
2
D．3√2
2
【答案】D
【解析】复数z =a+bi，其中a,b∈R且a+b=1，
复数z在复平面内对应的点Z (a,b)，在直线x + y =1上，
|z +1+i|的几何意义是点Z (a,b)到点C (−1,−1)的距离，
其最小值为点C (−1,−1)到直线x + y =1的距离，最小值为d =|−1−1−1|
√1
2+1
2
= 3√2
2
.
故选：D
【变式6-2】已知复数z1=1−2i，复数z满足|z + z1|=2，则（ ）
A．z1⋅z1=|2+i|
B．复数z1在复平面内所对应的点的坐标是(−1,2)
C．√5−2≤|z|≤√5+2
D．复数z在复平面内所对应的点为Z (x , y)，则( x +1)
2+( y −2)
2=2
【答案】C
【解析】因为z1=1−2i，所以z1=1+2i，
所以z1⋅z1=1
2+2
2=5，又|2+i|=√5，A 错误；
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z1对应的点的坐标为(1,2)，B 错误；
由|z + z1|=2知z对应的点在以−z1对应点(−1,2)为圆心，2 为半径的圆上，
又|z1|=√5，因此√5−2≤|z|≤√5+2，C 正确；
z1对应的点的坐标为(1,−2)，因此( x +1)
2+( y −2)
2= 4，D 错误，
故选：C．
【变式6-3】设z1的实部与虚部相等，且实部不为0，z2的虚部是实部的2倍，且z2在复平面内对应的点位
于第三象限，则“z1在复平面内对应的点位于第一象限”是“
z1
z2
在复平面内对应的点位于第二象限”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据题意，不妨设z1=a+ai(a∈R ,a≠0)，z2=b+2bi(b<0)，
若z1在复平面内对应的点位于第一象限，则a>0，
则
z1
z2
= a+ai
b+2bi = a
b ⋅1+i
1+2i = a
b ⋅(1+i)(1−2i)
(1+2i)(1−2i) = a
b ⋅(
3
5 −1
5 i)，
所以
z1
z2
的实部3a
5b <0，虚部−a
5b >0，故对应点在第二象限，
所以“z1在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“
z1
z2
在复平面内对应的点位于第二象限”；
若
z1
z2
在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知
z1
z2
= a
b ⋅(
3
5 −1
5 i)，
所以¿且b<0，可得a>0，所以z1在复平面内对应的点位于第一象限，
所以“
z1
z2
在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“z1在复平面内对应的点位于第一象限”；
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由上可知，属于充要条件，
故选：C.
1．（2024·山西太原·一模）复平面内复数z满足|z−2|=1，则|z−i|的最小值为（ ）
A．1
B．√5−1
C．√5+1
D．3
【答案】B
【解析】设z = x + y i( x, y ∈R)，
因为| z−2|=| x −2+ y i| =√( x −2)
2+ y
2=1，所以( x −2)
2+ y
2=1，即z 在复平面内对应点的轨迹为
圆C：( x −2)
2+ y
2=1，如图，
又|z−i|= | x +( y −1)i|=√x
2+( y −1)
2，
所以|z−i|表示圆C 上的动点到定点A(0,1)的距离，
所以| z−i|min为|CA |−r =√5−1，
故选：B．
2．已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且O 为复平面原点，若z1= √3
2 + 1
2 i（i 为虚数单
位），向量⃗OA绕原点逆时针方向旋转90
∘，且模伸长为原来的2 倍后与向量⃗OB重合，则（ ）
A．z2的虚部为√3
2
B．z2对应的点在第二象限
43
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C．|z1+ z2|=√5
D．|
z2
z1|= 4
【答案】C
【解析】由z1= √3
2 + 1
2 i可知A(
√3
2 , 1
2)，则逆时针旋转90
∘后相应点为A
'(−1
2 , √3
2 )，
所以B(−1,√3)，即z2=−1+√3i，其虚部为√3，故A 错误；
z2=−1−√3i，其对应的点在第三象限，故B 错误；
z1+ z2= √3
2 −1+(
1
2 +√3)i,∴|z1+ z2|=√
3
4 −√3+1+ 1
4 +√3+3=√5，故C 正确；
z2
z1
= −1+√3i
√3
2 + 1
2 i
=
(−1+√3i)(
√3
2 −1
2 i)
(
√3
2 + 1
2 i)(
√3
2 −1
2 i)
=−√3
2 + √3
2 + 1
2 i+ 3
2 i=2i，
则|
z2
z1|=2，故D 错误.
故选：C
3．（多选题）（2024·广西·模拟预测）复数z = x + y i（x , y ∈R，i 为虚数单位）在复平面内内对应点
Z (x , y)，则下列为真命题的是（ ）
A．若|z +1|=|z−1|，则点Z 在圆上
B．若|z−1|+|z +1|= 4，则点Z 在椭圆上
C．若|z +1|−|z−1|=2，则点Z 在双曲线上
D．若|x +1|=|z−1|，则点Z 在抛物线上
【答案】BD
【解析】| z +1|=√( x +1)
2+ y
2表示点( x , y)与(−1,0)之间的距离，
| z−1|=√( x −1)
2+ y
2表示点( x , y)与(1,0)之间的距离，记F1(−1,0)，F2(1,0)，
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对于A，| z +1|=| z−1|，表示点Z( x , y)到F1、F2距离相等，则点Z在线段F1 F2的中垂线上，故A 错
误；
或由( x +1)
2+ y
2=( x−1)
2+ y
2，整理得x =0，所以点Z在x =0，故A 错误；
对于B，由| z−1|+| z +1|= 4得|Z F1|+|Z F2|>|F1 F2|=2，这符合椭圆定义，故B 正确；
对于C，若| z +1|−| z−1|=2，|Z F1|−|Z F2|=|F1 F2|=2，这不符合双曲线定义，故C 错误；
对于D，若| x +1|=| z−1|，则( x +1)
2=( x−1)
2+ y
2，整理得y
2= 4 x，点Z在抛物线，故D 正确．
故选：BD．
重难点突破：不等式与复数新定义问题
【典例7-1】定义:正割secα =1
cosα ，余割cscα =1
sinα .已知m为正实数，且m·csc
2 x +tan
2 x≥15对
任意的实数x(x≠kπ + π
2 ,k ∈Z)均成立，则m的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．8
D．9
【答案】D
【解析】由已知可得m·csc
2 x +tan
2 x =
m
sin
2 x
+sin
2 x
cos
2 x
≥15，
即m≥15sin
2 x -sin
4 x
cos
2 x
.
因为x≠kπ + π
2 (k ∈Z )，所以cos
2 x∈(0,1]，
则15sin
2 x -sin
4 x
cos
2 x
=15(1-cos
2 x)-(1-cos
2 x )
2
cos
2 x
=17-(
1
cos
2 x
+16cos
2 x)
≤17-2√
1
cos
2 x
·16cos
2 x =9，
45
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当且仅当cos
2 x =1
4 时等号成立,故m≥9，
故选：D.
【典例7-2】（多选题）一般地，对于复数z =a+bi（i 为虚数单位，a，b∈R），在平面直角坐标系中，
设|z|=|⃗OZ|=r (r ≥0)，经过点Z的终边的对应角为θ，则根据三角函数的定义可知a=r cosθ，b=r sinθ，
因此z =r (cosθ+isinθ)，我们称此种形式为复数的三角形式，r 称为复数z 的模，θ称为复数z 的辐角.为
使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合0≤θ<2π的辐角θ的值叫做辐角的主值.已知复数z 满足
|z−1|≤r，r ∈(0,1)，Re(z)为z 的实部，θ为z 的辐角的主值，则（ ）
A．|z−√2024i|的最大值为r +√2025
B．|z−√2024i|的最小值为√2025−r
C．cosθ≤√1−r
2
D．Re(
1
z)≥
1
Re(z)
(1−r
2)
【答案】ABD
【解析】因为|z−1|≤r，r ∈(0,1)， 复数z在复平面的对应的点为Z,
所以点Z 在以(1,0)为圆心、以r 为半径的圆上或圆内.
对于选项A，B，由复数的几何意义可得|z−√2024i|表示点Z 与(0,√2024)的距离，
又点(0,√2024)到点(1,0)的距离为√2025，
所以|z−√2024i|的最大值为r +√2025，A 正确，
|z−√2024i|的最小值为√2025−r，B 正确，
对于C，过点O作以C (1,0)为圆心，r为半径的圆的切线，设切点为A ,B，
设∠AOC =θ0，则0≤θ≤θ0或2π−θ0≤θ<2π，
46
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所以cosθ≥cosθ0，所以cosθ≥√1−r
2，所以C 错误.
对于D，设z = x + y i(x , y ∈R)，有Re(
1
z)=
x
x
2+ y
2 = 1
x ⋅cos
2θ（其中θ是z 的辐角的主值），
由于cosθ≥√1−r
2，所以Re(
1
z)= 1
x cos
2θ≥1
x (1−r
2)=
1
Re(z)
(1−r
2)，所以D 正确.
故选：ABD.
面对不等式新定义问题，首要步骤是准确理解题目中给出的新定义，把握其本质含义。接着，运用不
等式的基本性质，如传递性、可加性、可乘性等，对不等式进行化简。同时，注意结合新定义的特点，灵
活运用数学变换和逻辑推理，将复杂不等式转化为熟悉的形式。
复数新定义问题，需深入理解复数概念及其几何意义，熟练运用四则运算，结合题目新定义，灵活运
用复数的模、辐角、共轭等性质进行推理计算，注意复数运算的特殊性，确保解题步骤逻辑清晰、严谨无
误。两类问题均需注重方法选择和逻辑推导。
【变式7-1】（多选题）（2024·山西·模拟预测）数系的扩充是数学发展的一个重要内容，1843 年，数学家
哈密顿发现了四元数．四元数的产生是建立在复数的基础上的，和复数相似，四元数是实数加上三个虚数
单位i，j和k，而且它们有如下关系：
i
2=j
2=k
2=−1,i
0=j
0=k
0=1,ij=k,ji=−k,jk=i,kj=−i,ki=j,ik=−j．四元数一般可表示为
a+bi+cj+d k，其中a,b,c ,d为实数．定义两个四元数：
α =a1+b1i+c1j+d1k, β =a2+b2i+c2j+d2k，那么这两个四元数之间的乘法定义如下：
αβ =(a1a2−b1b2−c1c2−d1d2)+(a1b2+b1a2+c1d2−d1c2)i+(a1c2+c1a2+d1b2−b1d2)j+¿．关于四
元数，下列说法正确的是（ ）
A．ijk=−1
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B．αα =a1
2+b1
2+c1
2+d1
2
C．αβ = βα
D．若α =1+i+j+k，且αβ = 4，则β =1−i−j−k
【答案】AD
【解析】对于A：因为ij=k，所以ijk=k
2=−1，故A 正确；
对于B：设α =a1+b1i+c1j+d1k(a,b,c ,d ∈R)，由两个四元数之间的乘法定义得，
αα =(a1+b1i+c1j+d1k)(a1+b1i+c1j+d1k)
=(a1a1−b1b1−c1c1−d1d1)+(a1b1+b1a1+c1d1−d1c1)i+(a1c1+c1a1+d1b1−b1d1)j+¿
=(a1
2−b1
2−c1
2−d1
2)+2a1b1i+2a1c1j+2a1d1k，故B 错误；
对于C：设α =a1+b1i+c1j+d1k, β =a2+b2i+c2j+d2k(a,b,c ,d ∈R)，
则αβ =(a1a2−b1b2−c1c2−d1d2)+(a1b2+b1a2+c1d2−d1c2)i+(a1c2+c1a2+d1b2−b1d2)j+¿
βα =(a1a2−b1b2−c1c2−d1d2)+(a2b1+b2a1+c2d1−d2c1)i+(a2c1+c2a1+d2b1−b2d1)j+¿
当c2d1=d2c1,d2b1=b2d1,b2c1=c2b1，有αβ = βα，
所以αβ与βα不一定相等，故C 错误；
对于D：设β =a+bi+cj+d k(a,b,c ,d ∈R)，
因为αβ =(a−b−c−d)+(b+a+d −c)i+(c +a+b−d)j+(d +a+c−b)k=4，
所以¿，解得¿，
所以β =1−i−j−k，故D 正确，
故选：AD．
【变式7-2】（2024·青海西宁·二模）早在西元前6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以
及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中
项的定义与今天大致相同.若2
a+2
b=1，则(2
a+1)(2
b+1)的最大值为（ ）
A．9
16
B．25
16
C．9
4
D．25
4
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【答案】C
【解析】因为(2
a+1)(2
b+1)=2
a⋅2
b+2
a+2
b+1，又2
a+2
b=1，
所以(2
a+1)(2
b+1)=2
a⋅2
b+2≤( 2
a+2
b
2
)
2
+2= 9
4 ，当且仅当2
a=2
b，即a=b=−1时取等号，
故选：C
【变式7-3】定义：min {x , y}为实数x，y 中较小的数，已知a= min{x,
4 y
x
2+ 4 y
2}，其中x，y 均为正实
数，则a 的最大值是（ ）
A．1
4
B．1
2
C．1
D．2
【答案】C
【解析】当且仅当x
2
y = 4 y，即x =2 y时等号成立，
当x ≥1
x ，即x ≥1时，a= 1
x ，此时a的最大值为1；
当0< x< 1
x ，即0< x<1时，a= min{x,
4 y
x
2+ 4 y
2}<1，
综上所述，a的最大值为1.
故选：C
1．（多选题）（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，
a1，a2，b1，b2∈R．若a1>a2或（a1=a2且b1>b2）,称z1> z2．若a1=a2且b1=b2,称z1= z2．共余情形均
为z1< z2．复数u，v，w 分别满足：u
2+u+1=0，v =(
√3+1
2 )
2
，|w +1|=1，则（ ）
A．u<w <v
B．u= v = w
C．v >u= w
D．w <u<v
【答案】ACD
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【解析】设复数u=a+bi(a,b∈R)，若b=0，因为a∈R，则a
2+a+1=0无解，
所以a,b∈R ,b≠0，将u=a+bi代入u
2+u+1=0，可得，
a
2−b
2+2abi+a+bi+1=0，即a
2−b
2+a+1+(2a+1)bi=0，
所以¿，解得¿，所以u=−1
2 ± √3
2 i，
又因为v =(
√3+1
2 )
2
= 4 +2√3
4
=1+ √3
2 ，
设w = x + y i(x , y ∈R)，所以|w +1|=√( x +1)
2+ y
2=1，
所以( x +1)
2+ y
2=1，
所以复数w = x + y i对应的点在以(−1,0)为圆心，1为半径的圆上，
所以−2≤x ≤0,−1≤y ≤1，从而v最大，故B 错误；
若x =−1
2，y =± √3
2 ，则w =−1
2 ± √3
2 i，
所以当u=−1
2 + √3
2 i，w =−1
2 + √3
2 i或u=−1
2 −√3
2 i，w =−1
2 −√3
2 i
时u=w，则v >u=w，C 正确；
若−1
2 < x ≤0，此时u<w，则u<w <v，A 正确；
若x<−1
2，此时u>w，则v >u>w，D 正确；
故选：ACD.
2．（多选题）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，
我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复
数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数
为负，在x轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z]来表示复数的“大小”，例
如：[1+2i]=√5,[1−2i]=−√5,[1]=1,[−3]=−3,[−1−2i]=−√5，则下列说法正确的是（ ）
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A．[z]=1在复平面内表示一个圆
B．若z∈C，则方程[ z ]
2=−1无解
C．若z1, z2为虚数，且z1= z2，则[z1]+[z2]=0
D．复数z满足[z−i]=1，则|z|的取值范围为[√2,2]
【答案】BCD
【解析】A：根据已知条件[z]=1表示模长为1，在复平面位于x轴上方的复数，所以并不是一个圆，故A
错误；
B：若z∈C，则方程[ z ]为一个实数，所以[ z ]
2=−1无解，故B 正确；
C：若z1, z2为虚数，且z1= z2，设z1=bi，则z2=−bi，
所以[z1]=b,[z2]=−b，所以[z1]+[z2]=0，故C 正确；
D：设z =a+bi，
根据复数的新定义有[z−i]=[a+(b−1)i]=1，
所以√a
2+(b−1)
2=1，且1≤b≤2，
所以a
2=1−(b−1)
2，
所以|z|是√a
2+b
2=√1−(b−1)
2+b
2=√2b，
所以√2b∈[√2,2]，故D 正确；
故选：BCD.
3．（多选题）（2024·新疆·模拟预测）早在公元前6 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项
以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，后人在此基础上推导
出一个基本不等式链，即已知正实数a, b，有2ab
a+b ≤√ab≤a+b
2
≤√
a
2+b
2
2
，当且仅当a=b时等号成立．
已知a>0, b>0，且a+b+√ab=1，请利用上述不等关系，判断下列说法正确的是（ ）
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A．a
2+b
2
ab
的最小值为2
B．ab的最大值为1
9
C．1
a + 1
b 的最大值为6
D．a+b的最小值为2
3
【答案】ABD
【解析】因为a>0, b>0，且a+b+√ab=1，
对于选项A：因为a
2+b
2≥2ab，可得a
2+b
2
ab
≥2，
当且仅当a=b= 1
3时，等号成立，
所以a
2+b
2
ab
的最小值为2，故A 正确；
对于选项B：因为a+b=1−√ab≥2√ab，可得√ab≤1
3，即ab≤1
9
当且仅当a=b= 1
3时，等号成立，
所以ab的最大值为1
9，故B 正确；
对于选项C：因为1
a + 1
b =(
1
a + 1
b)(a+b+√ab)=2+ b
a + a
b +√
b
a +√
a
b ≥2+2√
b
a ⋅a
b +2√√
b
a ⋅√
a
b =6，
当且仅当a=b= 1
3时，等号成立，
所以1
a + 1
b 的最小值为6，故C 错误；
对于选项D：√ab=1−(a+b)≤a+b
2
，可得a+b≥2
3，
当且仅当a=b= 1
3时，等号成立，
所以a+b的最小值为2
3，故D 正确；
故选：ABD.
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